Toán 11 Chân trời sáng tạo bài 3 trang 57
Toán 11 Chân trời sáng tạo bài 3: Cấp số nhân
Toán 11 Chân trời sáng tạo bài 3: Cấp số nhân được VnDoc.com sưu tầm và xin gửi tới bạn đọc cùng tham khảo để có thêm tài liệu giải bài tập Toán 11 Chân trời sáng tạo. Mời các bạn cùng theo dõi bài viết dưới đây.
Bài 1 trang 60 SGK Toán 11 Chân trời
Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số nhân?
a) 
\(u_{n}=3(-2)^{n}\)
b) \(u_{n}=(-1)^{n+1}.7^{n}\)
c) \(\left\{\begin{matrix}u_{n}=1\\u_{n+1}=2u_{n}+3\end{matrix}\right.\)
Lời giải
a) \(u_{n}=3(-2)^{n}= (-6).(-2)^{n}\)
Vậy dãy trên là cấp số nhân có công bội là -2
b) \(u_{n}=(-1)^{n+1}.7^{n} =7. (-7)^{n-1}\)
Vậy dãy trên là cấp số nhân có công bội là -7
c) \(\left\{\begin{matrix}u_{n}=1\\u_{n+1}=2u_{n}+3\end{matrix}\right.\)
Dãy trên không phải cấp số nhân
Bài 2 trang 60 SGK Toán 11 Chân trời
Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân \((u_{n})\) biết:
a) \(\left\{\begin{matrix}u_{5}-u_{1}=15\\u_{4}-u_{2}=6\end{matrix}\right.\)
b) \(\left\{\begin{matrix}u_{1}-u_{3}+u_{5}=65\\u_{1}+u_{7}=325\end{matrix}\right.\)
Lời giải
a) \(\left\{\begin{matrix}u_{5}-u_{1}=15\\u_{4}-u_{2}=6\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}u_{1}.q^{4}-u_{1}=15\\u_{1}.q^{3}-u_{1}.q=6\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}q=2\\u_{1}=1\end{matrix}\right.\)
b) \(\left\{\begin{matrix}u_{1}-u_{3}+u_{5}=65\\u_{1}+u_{7}=325\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}u_{1}-u_{1}.q^{2}+u_{1}.q^{4}=65\\u_{1}+u_{1}.q^{6}=325\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}q=2\\u_{1}=5\end{matrix}\right.\)
Bài 3 trang 60 SGK Toán 11 Chân trời
a) Số đo bốn góc của một tứ giác lập thành cấp số nhân. Tìm số đo của bốn góc đó biết rằng số đo của góc lớn nhất gấp 8 lần số đo của góc nhỏ nhất
b) Viết sáu số xen vào giữa các số -2 và 256 để được cấp số nhân có tám số hạng. Nếu viết tiếp thì số hạng thứ 15 là bao nhiêu?
Lời giải
a) Gọi số đo 4 góc lần lượt là: \(u_{1}; u_{1}.q; u_{1}.q^{2}; u_{1}.q^{3}\)
Ta có: \(u_{1}.q^{3} =8u_{1} \Leftrightarrow q = 2\)
\(u_{1}+2u_{1}+4u_{1}+8u_{1}= 360. \Leftrightarrow u_{1}=24\)
Vậy số đo các góc là: \(24^{o}; 48^{o}; 96^{o}; 192^{o}\)
b) Ta có: \(u_{1} = -2 ; u_{8} = 256 = u_{1}.q^{7}\)
Suy ra: q = -2
Vậy \(u_{15} = (-2).(-2)^{14} = -32768\)
Bài 4 trang 60 SGK Toán 11 Chân trời
Ba số \(\frac{2}{b-a}, \frac{1}{b}, \frac{2}{b-c}\) theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Chứng minh rằng ba số a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số nhân
Lời giải
a) Vì ba số \(\frac{2}{b-a}, \frac{1}{b}, \frac{2}{b-c}\) theo thứ tự lập thành cấp số cộng nên ta có:
\(\frac{1}{b}=\frac{2}{b-a}+d \Leftrightarrow b-a=2b + db(b-a)\Leftrightarrow (bd-1)a = (bd+1)b\Leftrightarrow \frac{bd+1}{bd-1}=\frac{a}{b}\)
\(\frac{2}{b-c} = \frac{1}{b} + d \Leftrightarrow 2b = b-c+qb(b-c)\Leftrightarrow (1+bd)c=b(bd-1) \Leftrightarrow \frac{bd+1}{bd-1}=\frac{b}{c}\)
Suy ra: \(\frac{a}{b} = \frac{b}{c}\)
Gọi b = a.q
Ta có: \(\frac{a}{aq} = \frac{aq}{c} \Leftrightarrow c=aq^{2}\Leftrightarrow c = bq\)
Vậy a,b,c lần lượt là cấp số nhân có công bội là q
Bài 5 trang 60 SGK Toán 11 Chân trời
Tính các tổng sau:
a) \(S_{n}=1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^{2}}+...+\frac{1}{3^{n}}\)
b) \(S_{n}=9 + 99 + 999 + ...+999...9 (n chữ số 9)\)
Lời giải
a) \(S_{n}=1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^{2}}+...+\frac{1}{3^{n}}\)
\(S_{n}=\frac{n\left [ 1-\left ( \frac{1}{3} \right )^{n} \right ]}{1-\frac{1}{3}}\)
\(S_{n}=\frac{3n\left [ 1-\left ( \frac{1}{3} \right )^{n} \right ]}{2}\)
b) \(S_{n}=9 + 99 + 999 + ...+999...9\) (n chữ số 9)
\(S_{n}= \left (10-1 \right ) + \left (10^{2}-1 \right )+\left (10^{3}-1 \right )+...+ \left ( 10^{n}-1 \right )\)
\(S_{n}=(10+10^{2}+10^{3}+...+10^{n})-n\)
\(S_{n}= \frac{n\left ( 1-10^{n} \right )}{1-10}-n\)
\(S_{n}= \frac{n\left ( 10^{n}-1 \right )}{9}-n\)
Bài 6 trang 60 SGK Toán 11 Chân trời
Một loại vị khuẩn được nuôi cấy trong phòng thí nghiệm, cứ mỗi phút số lượng lại tăng lên gấp đôi số lượng đang có. Từ một vi khuẩn ban đầu, hãy tính tổng số vi khuẩn có trong ống nghiệm sau 20 phút.
Lời giải
Tổng số vi khuẩn có trong ống nghiệm sau 20 phút là:
\(S_{20}=\frac{20.\left [ 1-2^{20} \right ]}{1-2} = 20971500\)
Bài 7 trang 60 SGK Toán 11 Chân trời
Giả sử một thành phố có dân số năm 2022 là khoảng 2,1 triệu người và tốc độ tăng dân số trung bình mỗi năm là 0,75%
a) Dự đoán dân số của thành phố đó vào năm 2032.
b) Nếu tốc độ gia tăng dân số vẫn giữ nguyên như trên thì ước tính vào năm nào dân số của thành phố đó sẽ tăng gấp đôi so với năm 2022?
Lời giải
Dân số của thành phố từ năm 2022 lần lượt tạo thành cấp số nhân có công bội là 1 + 0,0075 = 1,0075
Dân số của thành phố vào năm n là: \(u_{n} = 2,1.1,0075^{n-2022}\)
a) \(u_{2032} = 2,1.1,0075^{2032-2022} = 2,26\)
b) Khi \(u_{n} = 2.u_{2022}\Leftrightarrow 1,0075^{n-2022} = 2\Leftrightarrow n =2115\)
Vậy đến năm 2115, dân số thành phố gấp đôi so với năm 2022
Bài 8 trang 60 SGK Toán 11 Chân trời
Trong trò chơi mạo hiểm nhảy bungee, mỗi lần nhảy, người chơi sẽ được dây ăn toàn có tính đàn hồi kéo nảy ngược lên 60% chiều sâu của cú nhảy. Một người chơi bungee thực hiện cú nhảy đầu tiên có độ cao nảy ngược lên là 9m
a) Tính độ cao nảy ngược lên của người đó ở lần nảy thứ ba
b) Tính tổng các độ cao nảy ngược lên của người đó trong 5 lần đầu
Lời giải
Độ cao nảy ngược lên của người đó ở lần nảy thứ nhất là \(u_{1} = 9\)
Độ cao các lần nảy lần lượt tạo thành cấp số nhân có công bội là q = 0,6
\(u_{n}=9.0,6^{n-1}\)
a) \(u_{3}=9.0,6^{3-1} = 3,24\)
b) \(S_{5}=\frac{5.\left [ 1-0,6^{5} \right ]}{1-0,6} = 11,528\)
------------------------------
Trên đây VnDoc.com vừa gửi tới bạn đọc bài viết Toán 11 Chân trời sáng tạo bài 3: Cấp số nhân. Mong rằng qua bài viết này bạn đọc có thêm tài liệu để học tập tốt hơn môn Toán 11 Chân trời sáng tạo.
