Toán 11 Chân trời sáng tạo bài 2 trang 71

Toán 11 Chân trời sáng tạo bài 2: Giới hạn của hàm số được VnDoc.com sưu tầm và xin gửi tới bạn đọc cùng tham khảo. Mong rằng qua đây bạn đọc có thêm tài liệu để giải bài tập Toán 11 Chân trời sáng tạo nhé. Mời các bạn cùng theo dõi bài viết dưới đây.

Bài 1 trang 79 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo

Tìm các giới hạn sau:

a) \(\lim_{x\rightarrow -2}(x^{2}-7x+4)\)

b) \(\lim_{x\rightarrow 3}\frac{x-3}{x^{2}-9}\)

c) \(\lim_{x\rightarrow 1}\frac{3-\sqrt{x+8}}{x-1}\)

Lời giải

a) \(\lim_{x\rightarrow -2}(x^{2}-7x+4)\)

\(= \lim_{x\rightarrow -2}x^{2}-7.\lim_{x\rightarrow -2}x+\lim_{x\rightarrow -2}4\)

\(= (-2)^{2} - 7.(-2)+4\)

= 22

b) \(\lim_{x\rightarrow 3}\frac{x-3}{x^{2}-9}\)

\(=\lim_{x\rightarrow 3}\frac{x-3}{(x-3)(x+3)}\)

\(=\lim_{x\rightarrow 3}\frac{1}{x+3}\)

\(= \frac{1}{3+3}\)

\(=\frac{1}{6}\)

c) \(\lim_{x\rightarrow 1}\frac{3-\sqrt{x+8}}{x-1}\)

\(=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{(3-\sqrt{x+8})(3+\sqrt{x+8})}{(x-1)(3+\sqrt{x+8})}\)

\(=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{9 - x -8}{(x-1)(3+\sqrt{x+8})}\)

\(=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{1-x}{(x-1)(3+\sqrt{x+8})}\)

\(=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{-1}{3+\sqrt{x+8}}\)

\(= \frac{-1}{3+\sqrt{1+8}}\)

\(=\frac{-1}{6}\)

Bài 2 trang 79 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo

Cho hàm số \(f(x)=\left\{\begin{matrix}-x^{2}; x<1\\x; x\geq 1\end{matrix}\right.\)

Tìm các giới hạn \(\lim_{x\rightarrow 1^{+}}f(x) ; \lim_{x\rightarrow 1^{-}}f(x) ; \lim_{x\rightarrow 1}f(x)\) (nếu có)

Lời giải

\(\lim_{x\rightarrow 1^{+}}f(x) = \lim_{x\rightarrow 1^{+}}x = 1\)

\(\lim_{x\rightarrow 1^{-}}f(x) = \lim_{x\rightarrow 1^{-}}(-x^{2}) = -1\)

Do \(\lim_{x\rightarrow 1^{+}}f(x) \neq \lim_{x\rightarrow 1^{-}}f(x)\) nên không tồn tạ\(\lim_{x\rightarrow 1}f(x)\)

Bài 3 trang 79 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo

Tìm các giới hạn sau:

a) \(\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{4x+3}{2x}\)

b) \(\lim_{x\rightarrow -\infty }\frac{2}{3x+1}\)

c) \(\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{\sqrt{x^{2}+1}}{x+1}\)

Lời giải

a) \(\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{4x+3}{2x}=\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{4+\frac{3}{x}}{2} = \frac{4+0}{2}=2\)

b) \(\lim_{x\rightarrow -\infty }\frac{2}{3x+1}=\lim_{x\rightarrow -\infty }\frac{\frac{2}{x}}{3+\frac{1}{x}} = \frac{0}{3+0}=0\)

c) \(\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{\sqrt{x^{2}+1}}{x+1}=\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}}{1+\frac{1}{x}} = \frac{\sqrt{1+0}}{1+0}=1\)

Bài 4 trang 79 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo

a) \(\lim_{x\rightarrow -1^{+}}\frac{1}{x+1}\)

b) \(\lim_{x\rightarrow -\infty }(1-x^{2})\)

c) \(\lim_{x\rightarrow 3^{-}}\frac{x}{3-x}\)

Lời giải

a) \(\lim_{x\rightarrow -1^{+}}\frac{1}{x+1} = +\infty\)

b) \(\lim_{x\rightarrow -\infty }(1-x^{2}) = \lim_{x\rightarrow -\infty }\left [x^{2}.\left ( \frac{1}{x^{2}}-1 \right ) \right ] = \lim_{x\rightarrow -\infty }x^{2}.\lim_{x\rightarrow -\infty } \left ( \frac{1}{x^{2}}-1 \right )\)

\(= (+\infty) .(0-1)=-\infty\)

c) \(\lim_{x\rightarrow 3^{-}}\frac{x}{3-x} = \lim_{x\rightarrow 3^{-}}x.\lim_{x\rightarrow 3^{-}}\frac{1}{3-x}=+\infty\)

Bài 5 trang 79 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo

Trong hồ có chứa 6000 lít nước ngọt. Người ta bơm nước biển có nồng độ muối là 30 gam/lít vào hồ với tốc độ 15 lít/phút.

a) Chứng tỏ rằng nồng độ muối trong hồ sau t phút kể từ khi bắt đầu bơm là \(C(t)= \frac{30t}{400+t}\) (gam/lít)

b) Nồng độ muối trong hồ như thế nào nếu \(t\rightarrow +\infty\)

Lời giải

a) Sau thời gian t, số lít nước bơm vào hồ là: 15t (lít)

Trong 15t lít nước biển có lượng muối: 30.15t = 450t (gam)

Nồng độ muối trong hồ sau thời gian t phút: \(C(t)= \frac{450t}{6000+15t}=\frac{30t}{400+t}\)

b) \(\lim_{x\rightarrow +\infty }C(t)= \lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{30t} {400+t} = \lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{30}{\frac{400}{t}+1} = \frac{30}{0+1}=30\)

Bài 6 trang 79 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo

Một thấu kính hội tụ có tiêu cự là f > 0 không đổi. Gọi d và d' lần lượt là khoảng cách từ vật thật và ảnh của nó tới quang tâm O của thấu kính (Hình 5). Ta có công thức \(\frac{1}{d}+\frac{1}{d'}=\frac{1}{f} hay d'=\frac{df}{d-f}\)

Xét hàm số \(g(d) = \frac{df}{d-f}\). Tìm các giới hạn sau đây là giải thích ý nghĩa

a) \(\lim_{d\to f^{+}}g(d)\)

b) \(\lim_{d\to +\infty }g(d)\)

Lời giải

a) Ta có: \(\lim_{d\to f^{+}}df = f^{2} > 0\)

\(\lim_{d\to f^{+}}\frac{1}{d-f} = +\infty\)

Suy ra: \(\lim_{d\to f^{+}}g(d)= \lim_{d\to f^{+}}\frac{df}{d-f} =\lim_{d\to f^{+}}\left [df.\frac{1}{d-f} \right ]= +\infty\)

Vậy khi vật tiến gần tới tiêu điểm thì ảnh càng lớn và tiến tới \(+\infty\)

b) \(\lim_{d\to +\infty }g(d) = \lim_{d\to +\infty }\frac{df}{d-f}=\lim_{d\to +\infty }\frac{f}{1-\frac{f}{d}}=\frac{f}{1-0}=f\)

Vậy khi vật ở rất xa, tiến tới \(+\infty\) thì ảnh của vật nằm trên tiêu điểm

------------------------------

• Toán 11 Chân trời sáng tạo bài 3 trang 80