Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

VnDoc.com

Giải bài tập Toán 11 bài 4: Cấp số nhân

Giải bài tập môn Toán lớp 11

Giải bài tập Toán 11 Giải tích: Cấp số nhân

Bài 1 trang 103 SGK Đại số 11
Bài 2 trang 103 SGK Đại số 11
Bài 3 trang 103 SGK Đại số 11
Bài 4 trang 104 SGK Đại số 11
Bài 5 trang 104 SGK Đại số 11
Bài 6 trang 104 SGK Đại số 11

VnDoc xin giới thiệu tới bạn đọc bộ tài liệu Giải bài tập Toán 11 bài 4: Cấp số nhân, nội dung tài liệu gồm 6 bài tập trang 103, 104 SGK Toán 11 kèm theo lời giải chi tiết sẽ giúp các bạn học sinh giải nhanh bài tập một cách hiệu quả nhất. Mời thầy cô cùng các bạn học sinh cùng tham khảo.

Giải bài tập Toán 11 Cấp số nhân

Bài 1 trang 103 SGK Đại số 11

Chứng minh các dãy số _{$\left( \frac{3}{5}{{.2}^{n}} \right);\left( \frac{5}{{{2}^{n}}} \right);{{\left( \frac{-1}{2} \right)}^{n}}$} là các cấp số nhân.

Hướng dẫn giải

$u_n$ là cấp số nhân $\Rightarrow$ $\Rightarrow$ $u_{n+1}=u_n.q$ $u_{n+1}=u_n.q$ với $n \in \mathbb{N}^*$ $n \in \mathbb{N}^*$

Công bội $q=\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ $q=\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$

Lời giải:

Để chứng minh dãy (u_n) là cấp số nhân thì ta chứng minh:

u_n+1 = u_n.q với n ∈ N*

(q là công bội cấp số nhân)

${{u}_{n}}=\frac{3}{5}{{.2}^{n}}$ ${{u}_{n}}=\frac{3}{5}{{.2}^{n}}$

Xét $\frac{{{u}_{n+1}}}{{{u}_{n}}}=\frac{\frac{3}{5}{{.2}^{n+1}}}{\frac{3}{5}{{.2}^{n}}}=\frac{{{2}^{n+1}}}{{{2}^{n}}}=\frac{{{2}^{n}}.2}{{{2}^{n}}}=2$ $\frac{{{u}_{n+1}}}{{{u}_{n}}}=\frac{\frac{3}{5}{{.2}^{n+1}}}{\frac{3}{5}{{.2}^{n}}}=\frac{{{2}^{n+1}}}{{{2}^{n}}}=\frac{{{2}^{n}}.2}{{{2}^{n}}}=2$

=> u_n+1 = 2 x u_n. Vậy $u_n$ là cấp số nhân với công bội q = 2.

${{u}_{n}}=\frac{5}{{{2}^{n}}}$ ${{u}_{n}}=\frac{5}{{{2}^{n}}}$

Với $n\in {{\mathbb{N}}^{*}}\Rightarrow {{u}_{n}}>0$ $n\in {{\mathbb{N}}^{*}}\Rightarrow {{u}_{n}}>0$

Xét $\frac{{{u}_{n+1}}}{{{u}_{n}}}=\dfrac{\dfrac{5}{{{2}^{n+1}}}}{\dfrac{5}{{{2}^{n}}}}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow {{u}_{n+1}}=\dfrac{1}{2}{{u}_{n}}$ $\frac{{{u}_{n+1}}}{{{u}_{n}}}=\dfrac{\dfrac{5}{{{2}^{n+1}}}}{\dfrac{5}{{{2}^{n}}}}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow {{u}_{n+1}}=\dfrac{1}{2}{{u}_{n}}$

Vậy $\left( {{u}_{n}} \right)$ $\left( {{u}_{n}} \right)$ là cấp số nhân với công bội $q=\frac{1}{2}$ $q=\frac{1}{2}$

${{u}_{n}}={{\left( \frac{-1}{2} \right)}^{n}}=\left( -1 \right).{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{n}}\Leftrightarrow \frac{{{u}_{n+1}}}{{{u}_{n}}}=\frac{{{\left( -1 \right)}^{n+1}}{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{n+1}}}{{{\left( -1 \right)}^{n}}{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{n}}}$ ${{u}_{n}}={{\left( \frac{-1}{2} \right)}^{n}}=\left( -1 \right).{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{n}}\Leftrightarrow \frac{{{u}_{n+1}}}{{{u}_{n}}}=\frac{{{\left( -1 \right)}^{n+1}}{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{n+1}}}{{{\left( -1 \right)}^{n}}{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{n}}}$

Xét _{$\frac{{{u}_{n+1}}}{{{u}_{n}}}=\frac{{{\left( -1 \right)}^{n}}.{{\left( -1 \right)}^{1}}.{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{n+1}}}{{{\left( -1 \right)}^{n}}{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{n}}}=\frac{-1}{2}\Rightarrow {{u}_{n+1}}=\frac{-1}{2}{{u}_{n}}$}

Vậy $\left( {{u}_{n}} \right)$ $\left( {{u}_{n}} \right)$ là cấp số nhân với công bội $q=\frac{-1}{2},\forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$ $q=\frac{-1}{2},\forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$

Bài 2 trang 103 SGK Đại số 11

Cho cấp số nhân ($u_n$) với công bội q

a. Biết u₁ = 2, u₆ = 486. Tìm q

b. Biết q = 2/3 , u₄ = 8/21. Tìm u₁

c. Biết u₁ = 3, q = -2. Hỏi số 192 là số hạng thứ mấy?

Hướng dẫn giải

Số hạng thứ n của cấp số nhân được tính bằng công thức _{$u_n=u_1.q^{n-1}$}trong đó n là số nguyên thỏa mãn $n \ge1$ $n \ge1$

- Công bội khi đó là: _{$q=\left ( \dfrac{u_n}{u_1} \right ) ^{\frac{1}{n-1}}$} hoặc _{$q=\sqrt[n-1]{\dfrac{u_n}{u_1}}$} trong đó n là số nguyên thỏa mãn $n \ge 1$ $n \ge 1$

Lời giải:

a. Theo công thức un = u₁.q^n-1, thay n = 6 ta được:

u₆ = u_1.q₅ = 2.q₅ = 486

q₅ = 243 = 3⁵ => q = 3

b. Ta có:

${{u}_{4}}={{u}_{1}}.{{q}^{4-1}}=\frac{8}{21}\Rightarrow \frac{8}{21}.{{\left( \frac{3}{2} \right)}^{n}}=\frac{27}{21}=\frac{9}{7}$ ${{u}_{4}}={{u}_{1}}.{{q}^{4-1}}=\frac{8}{21}\Rightarrow \frac{8}{21}.{{\left( \frac{3}{2} \right)}^{n}}=\frac{27}{21}=\frac{9}{7}$

c. Biết u₁ = 3, q = -2. Hỏi số 192 là số thứ mấy?

Ta có: u_n = u1.q^n-1 = 192

q^n-1 = 192/u₁ = 192/3 = 64

(-2)ⁿ = - 128 = (-2)⁷ => n = 7

Vậy số 192 là số hạng thứ 7.

Bài 3 trang 103 SGK Đại số 11

Tìm các số hạng của cấp số nhân ($u_n$) có năm số hạng, biết:

a. u₃ = 3 và u₅ = 27

b. u₄ – u₂ = 25 và u₃ – u₁ = 50

Hướng dẫn giải

Số hạng thứ n của cấp số nhân được tính bằng công thức _{$u_n=u_1.q^{n-1}$}trong đó n là số nguyên thỏa mãn $n \ge1$ $n \ge1$

- Theo đề bài ra ta được hệ phương trình ẩn $u_1,q$. Giải hệ phương trình ta tìm được dãy số cần tìm. Thay n = 1, 2, 3, 4, 5 ta tìm được 5 số hạng đầu dãy.

Lời giải:

a. Ta có: un = u₁q^n-1

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} {{u}_{3}}={{u}_{1}}.{{q}^{2}}=3 \\ {{u}_{5}}={{u}_{1}}.{{q}^{4}}=27 \\ \end{matrix}\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} {{q}^{2}}=9 \\ {{u}_{1}}=\frac{1}{3} \\ \end{matrix} \right. \right.$ $\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} {{u}_{3}}={{u}_{1}}.{{q}^{2}}=3 \\ {{u}_{5}}={{u}_{1}}.{{q}^{4}}=27 \\ \end{matrix}\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} {{q}^{2}}=9 \\ {{u}_{1}}=\frac{1}{3} \\ \end{matrix} \right. \right.$

Vậy q = ± 3.

+ Cấp số nhân (u_n) có công bội q có thể viết dưới dạng:

u₁, u₁q, u₁q₂,…,u₁.q^n-1

Với q = 3 ta có cấp số: 1/3 , 1, 3, 9, 27

Với q = - 3 ta có cấp số: 1/3 , -1, 3, -9, 27

Giải bài tập Toán 11 Cấp số nhân

Bài 4 trang 104 SGK Đại số 11

Tìm cấp số nhân có sáu số hạng, biết rằng tổng của năm số hạng đầu là 31 và tổng của năm số hạng sau là 62.

Hướng dẫn giải

Số hạng thứ n của cấp số nhân được tính bằng công thức _{$u_n=u_1.q^{n-1}$}trong đó n là số nguyên thỏa mãn $n \ge1$ $n \ge1$.
Tổng n số hạng của cấp số nhân _{$S_n=\dfrac{u_1(1-q^n)}{1-q}$}
Áp dụng công thức trên ta được hệ phương trình ẩn $u_1,q$. Giải hệ phương trình ta tìm được cấp số nhân.

Lời giải:

Gọi u₁, u₂, u₃, u₄, u₅, u₆ là cấp số nhân của 6 số hạng.

+ Tổng của 5 số hạng đầu là 31 và 5 số hạng sau là 62, nghĩa là:

Giải bài tập Toán 11 Cấp số nhân

Ta có: (2) – (1) <=> u6 - u1 = 31

Mà u₆ = u₁.q^6-1 = u₁.q⁵

=> u₁.q⁵ - u₁ = 31 <=> u₁(q⁵ – 1) = 31 (3)

Mặt khác, tổng của 5 số hạng đầu là:

Giải bài tập Toán 11 Cấp số nhân

=> q – 1 = 1 => q = 2. Tính ra ta được u₁ = 1.

Với u_n = u₁q^n-1

=> u₂ = 2; u₃ = 4, u₄ = 8, u₅ = 16, u₆ = 32

Vậy cấp số nhân cần tìm là: 1, 2, 4, 8, 16, 32.

Bài 5 trang 104 SGK Đại số 11

Tỷ lệ tăng dân số của tỉnh x là 1,4%. Biết rằng dân số của tỉnh hiện nay là 1,8 triệu người. Hỏi với mức tăng như vậy thì sau 5 năm, 10 năm thì dân số của tỉnh đó tăng bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

Cấp số nhân $(u_n)$ có số hạng đầu tiên $u_1$ và công bội q thì số hạng thứ n: $u_n=u_1.q^{n-1}$ $u_n=u_1.q^{n-1}$với mọi $n \ge 1$ $n \ge 1$

Lời giải:

Theo tỷ lệ tăng dân số 1,4% thì dân số hàng năm của tỉnh x là các số hạng của cấp số nhân với công bội q = 1 + 14/1000 = 1.014

Và số hạng đầu u₁ = 1,8 triệu

Theo công thức: u_n = u₁q^n-1

=> Dân số của tỉnh x sau 5 năm sau là:

u₆ = 1,8.(1.014)5 ≈ 1.9 triệu (người)

Vậy sân số sau 10 năm là: u₁₁ = 1,8.(1.014)¹⁰ ≈ 2.1 triệu (người).

Bài 6 trang 104 SGK Đại số 11

Cho hình vuông C₁ có cạnh bằng 4. Người ta chia mỗi cạnh của hình vuông thành bốn phần bằng nhau và nối các điểm chia một cách thích hợp để có hình vuông C₁ (hình bên). Từ hình vuông C₂ lại tiếp tục như trên để được hình vuông C₃…Tiếp tục quá trình trên, ta nhận được các dãy các hình vuông C₁, C₂, C₃, …, C_n

Hướng dẫn giải

Số hạng thứ n của cấp số nhân được tính bằng công thức _{$u_n=u_1.q^{n-1}$}trong đó n là số nguyên thỏa mãn $n \ge1$ $n \ge1$

- Công bội khi đó là: _{$q=\left ( \dfrac{u_n}{u_1} \right ) ^{\frac{1}{n-1}}$} hoặc _{$q=\sqrt[n-1]{\dfrac{u_n}{u_1}}$} trong đó n là số nguyên thỏa mãn $n \ge 1$ $n \ge 1$

Lời giải:

Gọi $a_n$ là độ dài cạnh của hình vuông C_n. Chứng minh dãy số (a_n) là một cấp số nhân.

Cạnh của hình vuông C₁ là: a₁ = 4 (giả thiết)

Theo giả thiết cạnh hình vuông chia thành 4 phần bằng nhau nên theo định lí Pi-ta-go (Pythagore), ta có:

- Cạnh hình vuông thứ hai: C₂ = a₂ = _{$\sqrt{1^2+3^2}$}

- Cạnh hình vuông thứ ba:

${{C}_{3}}={{a}_{3}}=\sqrt{{{\left( \frac{{{a}_{2}}}{4} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{3{{a}_{2}}}{4} \right)}^{2}}}={{a}_{2}}.\frac{\sqrt{10}}{4}$ ${{C}_{3}}={{a}_{3}}=\sqrt{{{\left( \frac{{{a}_{2}}}{4} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{3{{a}_{2}}}{4} \right)}^{2}}}={{a}_{2}}.\frac{\sqrt{10}}{4}$

Tổng quát cạnh ${{C}_{n+1}}$ ${{C}_{n+1}}$ là:

_{${{C}_{n+1}}={{a}_{n+1}}=\sqrt{{{\left( \frac{{{a}_{n}}}{4} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{3{{a}_{n}}}{4} \right)}^{2}}}={{a}_{n}}\frac{\sqrt{10}}{4}$,} $\forall n \in \mathbb{N}^*$ $\forall n \in \mathbb{N}^*$

Vậy dãy số (a_n) là cấp số nhân với số hạng đầu u₁ = 4, công bội q = _{$\dfrac{\sqrt{10}}{4}$}

------------------------------------

Trên đây VnDoc.com đã giới thiệu tới bạn đọc tài liệu: Giải bài tập Toán 11 bài 4: Cấp số nhân. Hi vọng qua bài viết bạn đọc có thể học tập tốt hơn môn Toán nhé. Để có kết quả cao hơn trong học tập, VnDoc xin giới thiệu tới các bạn học sinh tài liệu Hóa học lớp 10, Giải bài tập Hóa học lớp 11, Hóa học lớp 12, Thi thpt Quốc gia môn Văn, Thi thpt Quốc gia môn Lịch sử, Thi thpt Quốc gia môn Địa lý, Thi thpt Quốc gia môn Toán, đề thi học kì 1 lớp 11, đề thi học kì 2 lớp 11 mà VnDoc tổng hợp và đăng tải.