Tính chẵn lẻ và chu kì tuần hoàn của hàm số lượng giác

Tài liệu do VnDoc.com biên soạn và đăng tải, nghiêm cấm các hành vi sao chép với mục đích thương mại.

Tính chẵn lẻ của hàm số lượng giác

A. Cách tìm chu kì tuần hoàn của hàm số lượng giác

Định nghĩa: Hàm số _{\(y=f\left( x \right)\)} có tập xác định được gọi là hàm số tuần hoàn, nếu tồn tại một số _{\(T\ne 0\)} sao cho với mọi _{\(x\in D\)} ta có:

• _{\(\left\{ \begin{matrix} x-T\in D \\ x+T\in D \\ \end{matrix} \right.\)}
• _{\(f\left( x+T \right)=f\left( x \right)\)}

Số dương T nhỏ nhất thỏa mãn các tính chất trên được gọi là chu kì của hàm số tuần hoàn đó. Người ta chứng minh được:

• _{\(y=\sin x\)} tuần hoàn với chu kì _\(T=2\pi\)
• _{\(y=\cos x\)} tuần hoàn với chu kì _\(T=2\pi\)
• _{\(y=\tan x\)} tuần hoàn với chu kì _\(T=\pi\)
• _{\(y=\cot x\)} tuần hoàn với chu kì _\(T=\pi\)

Chú ý:

Hàm số _{\(y=\sin \left( ax+b \right)\)} tuần hoàn với chu kì _{\(T=\frac{2\pi }{\left| a \right|}\)}

Hàm số _{\(y=\cos \left( ax+b \right)\)} tuần hoàn với chu kì _{\(T=\frac{2\pi }{\left| a \right|}\)}

Hàm số _{\(y=\tan \left( ax+b \right)\)} tuần hoàn với chu kì _{\(T=\frac{\pi }{\left| a \right|}\)}

Hàm số _{\(y=\cot \left( ax+b \right)\)} tuần hoàn với chu kì \(T=\frac{\pi }{\left| a \right|}\)

Đặc biệt:

i. Hàm số _{\(y=a\sin mx+b\cos nx+c,\left( m,n\in \mathbb{Z} \right)\)} là hàm số tuần hoàn với chu kì _{\(T=\frac{2\pi }{\left( m,n \right)}\)} với (m,n) là ước chung lớn nhất

ii. Hàm số _{\(y=a\tan mx+b\cot nx+c,\left( m,n\in \mathbb{Z} \right)\)} là hàm số tuần hoàn với chu kì _{\(T=\frac{\pi }{\left( m,n \right)}\)} với (m,n) là ước chung lớn nhất

B. Cách xét tính chẵn lẻ của hàm số lượng giác

Hàm số _{\(y=f\left( x \right)\)} có tập xác định D ta có: 

\(\Rightarrow\) Hàm số được gọi là hàm số chẵn

Hàm số _{\(y=f\left( x \right)\)} có tập xác định D ta có: _{\(\forall x,-x\in D,f\left( x \right)=-f\left( -x \right)\)}

\(\Rightarrow\) Hàm số được gọi là hàm số lẻ

C. Bài tập minh họa xét tình chẵn lẻ và chu kì tuần hoàn

Ví dụ 1: Xét tính tuần hoàn và chu kì cơ sở của các hàm số sau:

\(a. y=\sin \left( 2x+1 \right)\)
\(b. y=\cos \left( \frac{1}{2}-3x \right)\)

Hướng dẫn giải

a.Hàm số _{\(y=\sin \left( 2x+1 \right)\)} tuần hoàn với chu kì _{\(T=\frac{2\pi }{2}=\pi\)}

b. Hàm số _{\(y=\cos \left( \frac{1}{2}-3x \right)\)} tuần hoàn với chu kì _{\(T=\frac{2\pi }{\left| -3 \right|}=\frac{2\pi }{3}\)}

Ví dụ 2: Xét tính tuần hoàn và tìm chu kì cơ sở của hàm số:

\(a. y=1+{{\sin }^{2}}2x\)

\(b. y=\frac{1}{\sin 2x}\)

Hướng dẫn giải

a.Ta có:

\(y=1+\sin ^{2}(2 x)=1+\frac{1-\cos 4 x}{2}=\frac{3}{2}-\frac{\cos 4 x}{2}\)

Giả sử hàm số trên tuần hoàn với chu kì T _{\(\Rightarrow f(x+T)=f(x)\)}

\(\Leftrightarrow \frac{3}{2}-\frac{\cos 4x}{2}=\frac{3}{2}-\frac{\cos 4(x+T)}{2}\)

_{\(\Leftrightarrow \cos 4x=\cos 4(x+T)\)} chọn _\(x=0\)

\(\Rightarrow \cos 4\text{T}=1\Leftrightarrow \text{T}=\frac{\text{k}\pi }{2}\)

Chọn \(\mathrm{k}=1 \rightarrow \mathrm{T}=\frac{\pi}{2}\) vậy chu kì là \(\mathrm{T}=\frac{\pi}{2}\)

b.Giả sử hàm số trên tuần hoàn với chu kì T _{\(\Rightarrow f(x+T)=f(x)\)}

\(\Leftrightarrow \frac{1}{\sin 2\left( x+T \right)}=\frac{1}{\sin 2x}\Leftrightarrow \sin 2\left( x+T \right)=\sin 2x\)

Chọn _{\(x=0\Rightarrow \sin T=0\Rightarrow T=k\pi\)}

Chọn _{\(k=1\Rightarrow T=\pi\)}

Vậy hàm số tuần hoàn với chu kì _\(T=\pi\)

Ví dụ 3: Xét tính tuần hoàn và tìm chu kì cơ sở của hàm số _{\(y={{\sin }^{2}}x\)}

Hướng dẫn giải

Giả sử hàm số đã cho là hàm số tuần hoàn

\(\exists T>0:f\left( x+T \right)=f\left( x \right)\Leftrightarrow \sin {{\left( x+T \right)}^{2}}=\sin {{x}^{2}},\forall x\in \mathbb{R}\)

\(x=0\Leftrightarrow \sin {{T}^{2}}=0\Leftrightarrow {{T}^{2}}=k\pi \Leftrightarrow T=\sqrt{k\pi }\)

\(\Leftrightarrow f\left( x+\sqrt{k\pi } \right)=f\left( x \right),\forall x\in \mathbb{R}\)

Cho _{\(x=\sqrt{2k\pi }\)} . Ta có: _{\(f\left( \sqrt{2k\pi } \right)=\sin {{\left( \sqrt{2k\pi } \right)}^{2}}=0\)}

\(f\left( x+\sqrt{k\pi } \right)=\sin {{\left( x+\sqrt{k\pi } \right)}^{2}}=\sin \left( 3k\pi +2k\pi \sqrt{2} \right)=\pm \sin \left( 2k\pi \sqrt{2} \right)\)

\(\Rightarrow f\left( x+\sqrt{k\pi } \right)\ne 0\)

Vậy hàm số đã không phải là hàm số tuần hoàn

Ví dụ 4: Xét tính chẵn lẻ của hàm số: _{\(y=\cos x\)}

Hướng dẫn giải:

Tập xác định: \(D=\mathbb{R}\)

_{\(\forall x,-x\in D\)} ta xét: _{\(f\left( x \right),f\left( -x \right)\)}

\(f\left( -x \right)=\cos \left( -x \right)=\cos x=f\left( x \right)\)

Vậy hàm số là hàm số chẵn

Ví dụ 5: Cho a, b, c, d là các số thực khác 0. Chứng minh rằng hàm số _{\(f\left( x \right)=a\sin cx+b\cos dx\)} là hàm số tuần hoàn khi _{\(\frac{c}{d}\)} là số hữu tỉ.

Hướng dẫn giải

Giả sử \(f\left( x \right)\) là hàm số tuần hoàn _{\(\Rightarrow f(x+T)=f(x),\forall x\)}

Cho _{\(x = 0, x = -T \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a\sin cT+b\cos dT=b \\ -a\sin cT+b\cos dT=b \\ \end{matrix} \right.\)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \cos dT=1 \\ \sin cT=0 \\ \end{matrix} \right.\)}

\(\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} dT=2n\pi \\ cT=2m\pi \\ \end{matrix} \right.\)\(\Rightarrow \frac{c}{d}=\frac{m}{2n}\in \mathbb{Q}\)

Giả sử _{\(\frac{c}{d}\in \mathbb{Q}\Rightarrow \exists k,l\in \mathbb{Z}:\frac{c}{d}=\frac{k}{l}\)}

Đặt _{\(T=\frac{2k\pi }{c}=\frac{2l\pi }{d}\)}

Ta có: _{\(f\left( x+T \right)=f\left( x \right),\forall x\in \mathbb{R}\)}. Vậy hàm số tuần hoàn với chu kì _{\(T=\frac{2k\pi }{c}=\frac{2l\pi }{d}\).}

Ví dụ 6. Cho hai hàm số \(f(x) = \frac{cos2x}{1 + sin^{2}3x}\) và \(g(x) = \frac{|sin2x| - cos3x}{2 + tan^{2}x}\). Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. \(f(x)\) lẻ và \(g(x)\) chẵn.                       B. \(f(x)\) và \(g(x)\) chẵn.

C. \(f(x)\) chẵn, \(g(x)\) lẻ.                           D. \(f(x)\) và \(g(x)\) lẻ.

Hướng dẫn giải:

Xét hàm số \(f(x) = \frac{cos2x}{1 + sin^{2}3x}.\)

TXĐ: \(D\mathbb{= R}\). Do đó \(\forall x \in D \Rightarrow - x \in D.\)

Ta có \(f( - x) = \frac{\cos( - 2x)}{1 + sin^{2}( - 3x)} = \frac{cos2x}{1 + sin^{2}3x} = f(x)\overset{}{\rightarrow}f(x)\) là hàm số chẵn.

Xét hàm số \(g(x) = \frac{|sin2x| - cos3x}{2 + tan^{2}x}.\)

TXĐ: \(D\mathbb{= R}\backslash\left\{ \frac{\pi}{2} + k\pi\ \left( k\mathbb{\in Z} \right) \right\}\). Do đó \(\forall x \in D \Rightarrow - x \in D.\)

Ta có \(g( - x) = \frac{\left| \sin( - 2x) \right| - \cos( - 3x)}{2 + tan^{2}( - x)} = \frac{|sin2x| - cos3x}{2 + tan^{2}x} = g(x)\overset{}{\rightarrow}g(x)\) là hàm số chẵn.

Vậy \(f(x)\) và \(g(x)\) chẵn.

Ví dụ 7. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn?

A. \(y = - \ \ \sin x.\)                                     B. \(y = \cos x - \sin x.\)

C. \(y = \cos x + sin^{2}x.\)                            D. \(y = \cos x\sin x.\)

Gợi ý:

Áp dụng tính chẵn lẻ của hàm số và xét biểu thức \(f( - x)\).

Hướng dẫn giải:

Tất các các hàm số đều có TXĐ: \(D\mathbb{= R}\). Do đó \(\forall x \in D \Rightarrow - x \in D.\)

Bây giờ ta kiểm tra \(f( - x) = f(x)\) hoặc \(f( - x) = - f(x).\)

Với \(y = f(x) = - \ \ \sin x\). Ta có \(f( - x) = - \ \ \sin( - x) = \sin x = - \left( - \sin x \right)\)

\(\Rightarrow f( - x) = - f(x)\). Suy ra hàm số \(y = - \ \ \sin x\) là hàm số lẻ.

Với \(y = f(x) = \cos x - \sin x.\) Ta có \(f( - x) = \cos( - x) - \sin( - x) = \cos x + \sin x\)

\(\Rightarrow f( - x) \neq \left\{ - f(x),f(x) \right\}\). Suy ra hàm số \(y = \cos x - \sin x\) không chẵn không lẻ.

Với \(y = f(x) = \cos x + sin^{2}x\). Ta có \(f( - \ x) = \cos( - \ x) + sin^{2}( - \ x)\)

\(= \cos( - \ x) + \left\lbrack \sin( - \ x) \right\rbrack^{2} = \cos x + \left\lbrack - \sin x \right\rbrack^{2} = \cos x + sin^{2}x\)

\(\Rightarrow f( - x) = f(x)\). Suy ra hàm số \(y = \cos x + sin^{2}x\) là hàm số chẵn.

Chọn C

Với \(y = f(x) = \cos x\sin x.\) Ta có \(f( - \ x) = \cos( - \ x).sin( - \ x) = - \cos x\sin x\)

\(\Rightarrow f( - x) = - f(x)\). Suy ra hàm số \(y = \cos x\sin x\) là hàm số lẻ.

D. Bài tập tự rèn luyện xét tính chẵn lẻ và chu kì tuần hoàn của hàm số lượng giác

Bài tập 1: Xét tính tuần hoàn và tìm chu kì của các hàm số sau:

\(a. y={{x}^{2}}\cos x\)

\(b. y=\cos \left( {{x}^{2}} \right)\)

\(c. y=\tan \sqrt{x}\)

Bài tập 2: Xét tính tuần hoàn và tìm chu kì của hàm số (nếu có):

\(a. y=2{{\sin }^{2}}x-\cos x+1\)

\(b. y=2\cos 2x+5\)

\(c. y=\sin x+2\sin 2x+3\sin 3x\).

-----------------------------------------------------------

Trên đây VnDoc đã chia sẻ đến các bạn học sinh Tính chẵn lẻ và chu kì tuần hoàn của hàm số lượng giác nhằm cung cấp cơ sở kiến thức ôn tập cho các bạn học sinh. Chắc hẳn qua bài viết bạn đọc đã nắm được những ý chính cũng như trau dồi được nội dung kiến thức của bài viết rồi đúng không ạ? Bài viết giúp các bạn tiếp xúc với nhiều dạng bài về hàm số lượng giác. Mong rằng qua bài viết này bạn đọc có thêm nhiều tài liệu để học tập tốt hơn nhé.