Tính chẵn lẻ và chu kì tuần hoàn của hàm số lượng giác

Chuyên đề hàm số lượng giác lớp 11

Tính chẵn lẻ và chu kì tuần hoàn của hàm số lượng giác Toán 11

I.Tổng hợp lí thuyết
- 1.Tính tuần hoàn và chu kì
- 2.Hàm số chẵn lẻ
II.Ví dụ minh họa
- III.Bài tập vận dụng

VnDoc.com xin giới thiệu tới quý thầy cô và các bạn học sinh tài liệu tham khảo Tính chẵn lẻ và chu kì tuần hoàn của hàm số lượng giác. Tài liệu này giúp các bạn cách xác định hàm số tuần hoàn, cách tính chu kì cơ sở và cách xác định hàm số chẵn, hàm số lẻ. Tài liệu được VnDoc biên soạn và đăng tải, hi vọng sẽ giúp các bạn ôn tập kiến thức môn Toán hiệu quả, sẵn sàng cho những kì thi sắp tới. Mời các bạn tham khảo và tải về miễn phí tại đây!

Để tiện trao đổi, chia sẻ kinh nghiệm về giảng dạy và học tập các môn học lớp 11, VnDoc mời các thầy cô giáo, các bậc phụ huynh và các bạn học sinh truy cập nhóm riêng dành cho lớp 11 sau: Nhóm Tài liệu học tập lớp 11. Rất mong nhận được sự ủng hộ của các thầy cô và các bạn.

Tài liệu do VnDoc.com biên soạn và đăng tải, nghiêm cấm các hành vi sao chép với mục đích thương mại.

Tính chẵn lẻ của hàm số lượng giác

I.Tổng hợp lí thuyết

1.Tính tuần hoàn và chu kì

Định nghĩa: Hàm số _{$y=f\left( x \right)$} có tập xác định được gọi là hàm số tuần hoàn, nếu tồn tại một số _{$T\ne 0$} sao cho với mọi _{$x\in D$} ta có:

_{$\left\{ \begin{matrix} x-T\in D \\ x+T\in D \\ \end{matrix} \right.$}
_{$f\left( x+T \right)=f\left( x \right)$}

Số dương T nhỏ nhất thỏa mãn các tính chất trên được gọi là chu kì của hàm số tuần hoàn đó. Người ta chứng minh được:

_{$y=\sin x$} tuần hoàn với chu kì _$T=2\pi$
_{$y=\cos x$} tuần hoàn với chu kì _$T=2\pi$
_{$y=\tan x$} tuần hoàn với chu kì _$T=\pi$
_{$y=\cot x$} tuần hoàn với chu kì _$T=\pi$

Chú ý:

Hàm số _{$y=\sin \left( ax+b \right)$} tuần hoàn với chu kì _{$T=\frac{2\pi }{\left| a \right|}$}

Hàm số _{$y=\cos \left( ax+b \right)$} tuần hoàn với chu kì _{$T=\frac{2\pi }{\left| a \right|}$}

Hàm số _{$y=\tan \left( ax+b \right)$} tuần hoàn với chu kì _{$T=\frac{\pi }{\left| a \right|}$}

Hàm số _{$y=\cot \left( ax+b \right)$} tuần hoàn với chu kì $T=\frac{\pi }{\left| a \right|}$ $T=\frac{\pi }{\left| a \right|}$

Đặc biệt:

i. Hàm số _{$y=a\sin mx+b\cos nx+c,\left( m,n\in \mathbb{Z} \right)$} là hàm số tuần hoàn với chu kì _{$T=\frac{2\pi }{\left( m,n \right)}$} với (m,n) là ước chung lớn nhất

ii. Hàm số _{$y=a\tan mx+b\cot nx+c,\left( m,n\in \mathbb{Z} \right)$} là hàm số tuần hoàn với chu kì _{$T=\frac{\pi }{\left( m,n \right)}$} với (m,n) là ước chung lớn nhất

2.Hàm số chẵn lẻ

Hàm số _{$y=f\left( x \right)$} có tập xác định D ta có:

$\Rightarrow$ $\Rightarrow$ Hàm số được gọi là hàm số chẵn

Hàm số _{$y=f\left( x \right)$} có tập xác định D ta có: _{$\forall x,-x\in D,f\left( x \right)=-f\left( -x \right)$}

$\Rightarrow$ $\Rightarrow$ Hàm số được gọi là hàm số lẻ

II.Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Xét tính tuần hoàn và chu kì cơ sở của các hàm số sau:

$a. y=\sin \left( 2x+1 \right)$ $a. y=\sin \left( 2x+1 \right)$
$b. y=\cos \left( \frac{1}{2}-3x \right)$ $b. y=\cos \left( \frac{1}{2}-3x \right)$

Hướng dẫn giải

a.Hàm số _{$y=\sin \left( 2x+1 \right)$} tuần hoàn với chu kì _{$T=\frac{2\pi }{2}=\pi$}

b.Hàm số _{$y=\cos \left( \frac{1}{2}-3x \right)$} tuần hoàn với chu kì _{$T=\frac{2\pi }{\left| -3 \right|}=\frac{2\pi }{3}$}

Ví dụ 2: Xét tính tuần hoàn và tìm chu kì cơ sở của hàm số:

$a. y=1+{{\sin }^{2}}2x$ $a. y=1+{{\sin }^{2}}2x$

$b. y=\frac{1}{\sin 2x}$ $b. y=\frac{1}{\sin 2x}$

Hướng dẫn giải

a.Ta có:

$y=1+\sin ^{2}(2 x)=1+\frac{1-\cos 4 x}{2}=\frac{3}{2}-\frac{\cos 4 x}{2}$ $y=1+\sin ^{2}(2 x)=1+\frac{1-\cos 4 x}{2}=\frac{3}{2}-\frac{\cos 4 x}{2}$

Giả sử hàm số trên tuần hoàn với chu kì T _{$\Rightarrow f(x+T)=f(x)$}

$\Leftrightarrow \frac{3}{2}-\frac{\cos 4x}{2}=\frac{3}{2}-\frac{\cos 4(x+T)}{2}$ $\Leftrightarrow \frac{3}{2}-\frac{\cos 4x}{2}=\frac{3}{2}-\frac{\cos 4(x+T)}{2}$

_{$\Leftrightarrow \cos 4x=\cos 4(x+T)$} chọn _$x=0$

$\Rightarrow \cos 4\text{T}=1\Leftrightarrow \text{T}=\frac{\text{k}\pi }{2}$ $\Rightarrow \cos 4\text{T}=1\Leftrightarrow \text{T}=\frac{\text{k}\pi }{2}$

Chọn $\mathrm{k}=1 \rightarrow \mathrm{T}=\frac{\pi}{2}$ $\mathrm{k}=1 \rightarrow \mathrm{T}=\frac{\pi}{2}$ vậy chu kì là $\mathrm{T}=\frac{\pi}{2}$ $\mathrm{T}=\frac{\pi}{2}$

b.Giả sử hàm số trên tuần hoàn với chu kì T _{$\Rightarrow f(x+T)=f(x)$}

$\Leftrightarrow \frac{1}{\sin 2\left( x+T \right)}=\frac{1}{\sin 2x}\Leftrightarrow \sin 2\left( x+T \right)=\sin 2x$ $\Leftrightarrow \frac{1}{\sin 2\left( x+T \right)}=\frac{1}{\sin 2x}\Leftrightarrow \sin 2\left( x+T \right)=\sin 2x$

Chọn _{$x=0\Rightarrow \sin T=0\Rightarrow T=k\pi$}

Chọn _{$k=1\Rightarrow T=\pi$}

Vậy hàm số tuần hoàn với chu kì _$T=\pi$

Ví dụ 3: Xét tính tuần hoàn và tìm chu kì cơ sở của hàm số _{$y={{\sin }^{2}}x$}

Hướng dẫn giải

Giả sử hàm số đã cho là hàm số tuần hoàn

$\exists T>0:f\left( x+T \right)=f\left( x \right)\Leftrightarrow \sin {{\left( x+T \right)}^{2}}=\sin {{x}^{2}},\forall x\in \mathbb{R}$ $\exists T>0:f\left( x+T \right)=f\left( x \right)\Leftrightarrow \sin {{\left( x+T \right)}^{2}}=\sin {{x}^{2}},\forall x\in \mathbb{R}$

$x=0\Leftrightarrow \sin {{T}^{2}}=0\Leftrightarrow {{T}^{2}}=k\pi \Leftrightarrow T=\sqrt{k\pi }$ $x=0\Leftrightarrow \sin {{T}^{2}}=0\Leftrightarrow {{T}^{2}}=k\pi \Leftrightarrow T=\sqrt{k\pi }$

$\Leftrightarrow f\left( x+\sqrt{k\pi } \right)=f\left( x \right),\forall x\in \mathbb{R}$ $\Leftrightarrow f\left( x+\sqrt{k\pi } \right)=f\left( x \right),\forall x\in \mathbb{R}$

Cho _{$x=\sqrt{2k\pi }$} . Ta có: _{$f\left( \sqrt{2k\pi } \right)=\sin {{\left( \sqrt{2k\pi } \right)}^{2}}=0$}

$f\left( x+\sqrt{k\pi } \right)=\sin {{\left( x+\sqrt{k\pi } \right)}^{2}}=\sin \left( 3k\pi +2k\pi \sqrt{2} \right)=\pm \sin \left( 2k\pi \sqrt{2} \right)$ $f\left( x+\sqrt{k\pi } \right)=\sin {{\left( x+\sqrt{k\pi } \right)}^{2}}=\sin \left( 3k\pi +2k\pi \sqrt{2} \right)=\pm \sin \left( 2k\pi \sqrt{2} \right)$

$\Rightarrow f\left( x+\sqrt{k\pi } \right)\ne 0$ $\Rightarrow f\left( x+\sqrt{k\pi } \right)\ne 0$

Vậy hàm số đã không phải là hàm số tuần hoàn

Ví dụ 4: Xét tính chẵn lẻ của hàm số: _{$y=\cos x$}

Hướng dẫn giải:

Tập xác định: $D=\mathbb{R}$ $D=\mathbb{R}$

_{$\forall x,-x\in D$} ta xét: _{$f\left( x \right),f\left( -x \right)$}

$f\left( -x \right)=\cos \left( -x \right)=\cos x=f\left( x \right)$ $f\left( -x \right)=\cos \left( -x \right)=\cos x=f\left( x \right)$

Vậy hàm số là hàm số chẵn

Ví dụ 5: Cho a, b, c, d là các số thực khác 0. Chứng minh rằng hàm số _{$f\left( x \right)=a\sin cx+b\cos dx$} là hàm số tuần hoàn khi _{$\frac{c}{d}$} là số hữu tỉ.

Hướng dẫn giải

Giả sử $f\left( x \right)$ $f\left( x \right)$ là hàm số tuần hoàn _{$\Rightarrow f(x+T)=f(x),\forall x$}

Cho _{$x = 0, x = -T \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a\sin cT+b\cos dT=b \\ -a\sin cT+b\cos dT=b \\ \end{matrix} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \cos dT=1 \\ \sin cT=0 \\ \end{matrix} \right.$}

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} dT=2n\pi \\ cT=2m\pi \\ \end{matrix} \right.$ $\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} dT=2n\pi \\ cT=2m\pi \\ \end{matrix} \right.$ $\Rightarrow \frac{c}{d}=\frac{m}{2n}\in \mathbb{Q}$ $\Rightarrow \frac{c}{d}=\frac{m}{2n}\in \mathbb{Q}$

Giả sử _{$\frac{c}{d}\in \mathbb{Q}\Rightarrow \exists k,l\in \mathbb{Z}:\frac{c}{d}=\frac{k}{l}$}

Đặt _{$T=\frac{2k\pi }{c}=\frac{2l\pi }{d}$}

Ta có: _{$f\left( x+T \right)=f\left( x \right),\forall x\in \mathbb{R}$}. Vậy hàm số tuần hoàn với chu kì _{$T=\frac{2k\pi }{c}=\frac{2l\pi }{d}$}

III.Bài tập vận dụng

Bài tập 1: Xét tính tuần hoàn và tìm chu kì của các hàm số sau:

$a. y={{x}^{2}}\cos x$ $a. y={{x}^{2}}\cos x$

$b. y=\cos \left( {{x}^{2}} \right)$ $b. y=\cos \left( {{x}^{2}} \right)$

$c. y=\tan \sqrt{x}$ $c. y=\tan \sqrt{x}$

Bài tập 2: Xét tính tuần hoàn và tìm chu kì của hàm số (nếu có):

$a. y=2{{\sin }^{2}}x-\cos x+1$ $a. y=2{{\sin }^{2}}x-\cos x+1$

$b. y=2\cos 2x+5$ $b. y=2\cos 2x+5$

$c. y=\sin x+2\sin 2x+3\sin 3x$ $c. y=\sin x+2\sin 2x+3\sin 3x$

Tải thêm tài liệu tại: Chuyên đề toán 11

Trên đây VnDoc đã chia sẻ đến các bạn học sinh Tính chẵn lẻ và chu kì tuần hoàn của hàm số lượng giác nhằm cung cấp cơ sở kiến thức ôn tập cho các bạn học sinh. Chắc hẳn qua bài viết bạn đọc đã nắm được những ý chính cũng như trau dồi được nội dung kiến thức của bài viết rồi đúng không ạ? Bài viết giúp các bạn tiếp xúc với nhiều dạng bài về hàm số lượng giác. Mong rằng qua bài viết này bạn đọc có thêm nhiều tài liệu để học tập tốt hơn nhé. Mời các bạn cùng tham khảo thêm tài liệu học tập các môn được chúng tôi biên soạn và tổng hợp tại các mục Ngữ văn lớp 11, Tiếng Anh lớp 11... Chúc các bạn ôn tập thật tốt!

Ngoài ra, VnDoc mời bạn đọc tham khảo thêm một số tài liệu liên quan:

Chia sẻ, đánh giá bài viết

5

19.545

Bài trước

Bài sau