Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Lớp 11 Toán 11 Lý thuyết Toán 11

Tính chẵn lẻ và chu kì tuần hoàn của hàm số lượng giác

Chuyên đề hàm số lượng giác lớp 11
Tải về
Lớp: Lớp 11
Môn: Toán
Dạng tài liệu: Chuyên đề
Mức độ: Khó
Loại File: Word + PDF
Phân loại: Tài liệu Tính phí

Tính chẵn lẻ và chu kì tuần hoàn của hàm số lượng giác Toán 11

VnDoc.com xin giới thiệu tới quý thầy cô và các bạn học sinh tài liệu tham khảo Tính chẵn lẻ và chu kì tuần hoàn của hàm số lượng giác. Tài liệu này giúp các bạn cách xác định hàm số tuần hoàn, cách tính chu kì cơ sở và cách xác định hàm số chẵn, hàm số lẻ. Tài liệu được VnDoc biên soạn và đăng tải, hi vọng sẽ giúp các bạn ôn tập kiến thức môn Toán hiệu quả, sẵn sàng cho những kì thi sắp tới. Mời các bạn tham khảo và tải về miễn phí tại đây!

Tài liệu do VnDoc.com biên soạn và đăng tải, nghiêm cấm các hành vi sao chép với mục đích thương mại.

Tính chẵn lẻ của hàm số lượng giác

A. Cách tìm chu kì tuần hoàn của hàm số lượng giác

Định nghĩa: Hàm số y = f(x) có tập xác định được gọi là hàm số tuần hoàn, nếu tồn tại một số T ≠ 0 sao cho với mọi x ∈ D ta có:

  • \left\{ \begin{matrix} x-T\in D \\ x+T\in D \\ \end{matrix} \right.
  • f\left( x+T \right)=f\left( x \right)

Số dương T nhỏ nhất thỏa mãn các tính chất trên được gọi là chu kì của hàm số tuần hoàn đó. Người ta chứng minh được:

  • y = sinx tuần hoàn với chu kì T = 2π
  • y = ccsx tuần hoàn với chu kì T = 2π
  • y = tanx tuần hoàn với chu kì T = π
  • y = cotx tuần hoàn với chu kì T =2π

Chú ý:

Hàm số y = sin(ax + b) tuần hoàn với chu kì T=\frac{2\pi }{\left| a \right|}

Hàm số y = cos(ax + b) tuần hoàn với chu kì T=\frac{2\pi }{\left| a \right|}

Hàm số y = tan(ax + b) tuần hoàn với chu kì T=\frac{\pi }{\left| a \right|}

Hàm số y = cot(ax + b) tuần hoàn với chu kì T=\frac{\pi }{\left| a \right|}

Đặc biệt:

i. Hàm số y=a\sin mx+b\cos nx+c,\left( m,n\in \mathbb{Z} \right) là hàm số tuần hoàn với chu kì T=\frac{2\pi }{\left( m,n \right)} với (m,n) là ước chung lớn nhất

ii. Hàm số y=a\tan mx+b\cot nx+c,\left( m,n\in \mathbb{Z} \right) là hàm số tuần hoàn với chu kì T=\frac{\pi }{\left( m,n \right)} với (m,n) là ước chung lớn nhất

B. Cách xét tính chẵn lẻ của hàm số lượng giác

Hàm số y = f(x) có tập xác định D ta có:

\Rightarrow Hàm số được gọi là hàm số chẵn

Hàm số y = f(x) có tập xác định D ta có: \forall x,-x\in D,f\left( x \right)=-f\left( -x \right)

\Rightarrow Hàm số được gọi là hàm số lẻ

C. Bài tập minh họa xét tình chẵn lẻ và chu kì tuần hoàn

Ví dụ 1: Xét tính tuần hoàn và chu kì cơ sở của các hàm số sau:

a. y = sin(2x + 1)
b. y=\cos \left( \frac{1}{2}-3x \right)

Hướng dẫn giải

a.Hàm số y = sin(2x + 1) tuần hoàn với chu kì T=\frac{2\pi }{2}=\pi

b. Hàm số y=\cos \left( \frac{1}{2}-3x \right) tuần hoàn với chu kì T=\frac{2\pi }{\left| -3 \right|}=\frac{2\pi }{3}

Ví dụ 2: Xét tính tuần hoàn và tìm chu kì cơ sở của hàm số:

a. y=1+{{\sin }^{2}}2x. b. y=\frac{1}{\sin 2x}.

Hướng dẫn giải

a.Ta có:

y=1+\sin ^{2}(2 x)=1+\frac{1-\cos 4 x}{2}=\frac{3}{2}-\frac{\cos 4 x}{2}

Giả sử hàm số trên tuần hoàn với chu kì T => f(x + T) = f(x)

\Leftrightarrow \frac{3}{2}-\frac{\cos 4x}{2}=\frac{3}{2}-\frac{\cos 4(x+T)}{2}

⇔ cox4 = cos4(x + T) chọn x = 0

\Rightarrow \cos 4\text{T}=1\Leftrightarrow \text{T}=\frac{\text{k}\pi }{2}

Chọn \mathrm{k}=1 \rightarrow \mathrm{T}=\frac{\pi}{2} vậy chu kì là \mathrm{T}=\frac{\pi}{2}

b. Giả sử hàm số trên tuần hoàn với chu kì T => f(x + T) = f(x)

\Leftrightarrow \frac{1}{\sin 2\left( x+T \right)}=\frac{1}{\sin 2x}\Leftrightarrow \sin 2\left( x+T \right)=\sin 2x

Chọn x=0\Rightarrow \sin T=0\Rightarrow T=k\pi

Chọn k=1\Rightarrow T=\pi

Vậy hàm số tuần hoàn với chu kì T=\pi

Ví dụ 3: Xét tính tuần hoàn và tìm chu kì cơ sở của hàm số y = sin2x

Hướng dẫn giải

Giả sử hàm số đã cho là hàm số tuần hoàn

\exists T>0:f\left( x+T \right)=f\left( x \right)\Leftrightarrow \sin {{\left( x+T \right)}^{2}}=\sin {{x}^{2}},\forall x\in \mathbb{R}

x=0\Leftrightarrow \sin {{T}^{2}}=0\Leftrightarrow {{T}^{2}}=k\pi \Leftrightarrow T=\sqrt{k\pi }

\Leftrightarrow f\left( x+\sqrt{k\pi } \right)=f\left( x \right),\forall x\in \mathbb{R}

Cho x=\sqrt{2k\pi } . Ta có: f\left( \sqrt{2k\pi } \right)=\sin {{\left( \sqrt{2k\pi } \right)}^{2}}=0

f\left( x+\sqrt{k\pi } \right)=\sin {{\left( x+\sqrt{k\pi } \right)}^{2}}=\sin \left( 3k\pi +2k\pi \sqrt{2} \right)=\pm \sin \left( 2k\pi \sqrt{2} \right)

\Rightarrow f\left( x+\sqrt{k\pi } \right)\ne 0

Vậy hàm số đã không phải là hàm số tuần hoàn

Ví dụ 4: Xét tính chẵn lẻ của hàm số: y = cosx.

Hướng dẫn giải:

Tập xác định: D=\mathbb{R}

\forall x,-x\in D ta xét: f(x); f(-x)

f(-x) = cos(-x) = cosx = f(x)

Vậy hàm số là hàm số chẵn

Ví dụ 5: Cho a, b, c, d là các số thực khác 0. Chứng minh rằng hàm số f(x)= asincx + bcosdx là hàm số tuần hoàn khi \frac{c}{d} là số hữu tỉ.

Hướng dẫn giải

Giả sử f(x) là hàm số tuần hoàn => f(x + T) = f(x); ∀x

Cho x = 0, x = -T \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a\sin cT+b\cos dT=b \\ -a\sin cT+b\cos dT=b \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \cos dT=1 \\ \sin cT=0 \\ \end{matrix} \right.

\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} dT=2n\pi \\ cT=2m\pi \\ \end{matrix} \right.\Rightarrow \frac{c}{d}=\frac{m}{2n}\in \mathbb{Q}

Giả sử \frac{c}{d}\in \mathbb{Q}\Rightarrow \exists k,l\in \mathbb{Z}:\frac{c}{d}=\frac{k}{l}

Đặt T=\frac{2k\pi }{c}=\frac{2l\pi }{d}

Ta có: f(x + T) = f(x); ∀x ∈ \mathbb{R}. Vậy hàm số tuần hoàn với chu kì T=\frac{2k\pi }{c}=\frac{2l\pi }{d}.

Ví dụ 6. Cho hai hàm số f(x) = \frac{cos2x}{1 + sin^{2}3x} và g(x) = \frac{|sin2x| - cos3x}{2 + tan^{2}x}. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. f(x) lẻ và g(x) chẵn. B. f(x) và g(x) chẵn.

C. f(x) chẵn, g(x) lẻ. D. f(x) và g(x) lẻ.

Hướng dẫn giải:

Xét hàm số f(x) = \frac{cos2x}{1 + sin^{2}3x}.

TXĐ: D\mathbb{= R}. Do đó \forall x \in D \Rightarrow - x \in D.

Ta có f( - x) = \frac{\cos( - 2x)}{1 + sin^{2}( - 3x)} = \frac{cos2x}{1 + sin^{2}3x} = f(x)\overset{}{\rightarrow}f(x) là hàm số chẵn.

Xét hàm số g(x) = \frac{|sin2x| - cos3x}{2 + tan^{2}x}.

TXĐ: D\mathbb{= R}\backslash\left\{ \frac{\pi}{2} + k\pi\ \left( k\mathbb{\in Z} \right) \right\}. Do đó \forall x \in D \Rightarrow - x \in D.

Ta có g( - x) = \frac{\left| \sin( - 2x) \right| - \cos( - 3x)}{2 + tan^{2}( - x)} = \frac{|sin2x| - cos3x}{2 + tan^{2}x} = g(x)\overset{}{\rightarrow}g(x) là hàm số chẵn.

Vậy f(x) và g(x) chẵn.

Ví dụ 7. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn?

A. y = -sinx B. y = cosx - sinx.

C. y = cosx + sin2x. D. y = cosx.sinx.

Gợi ý:

Áp dụng tính chẵn lẻ của hàm số và xét biểu thức f(-x).

Hướng dẫn giải:

Tất các các hàm số đều có TXĐ: D\mathbb{= R}. Do đó \forall x \in D \Rightarrow - x \in D.

Bây giờ ta kiểm tra f(-x) = f(x) hoặc f(-x) = - f(x)

Với y = f(x) = -sinx. Ta có f(-x) = -sin(-x) = sinx = -(-sinx)

=> f(-x) = -f(x). Suy ra hàm số y = -sinx là hàm số lẻ.

Với y = f(x) = cosx - sinx

Ta có: f(-x) = cos(-x) - sin(-x) = cosx + sinx

=> f(-x) ≠ (-f(x); f(x)). Suy ra hàm số y = cosx - sinx không chẵn không lẻ.

Với y = cosx + sin2x . Ta có:

f(-x) = cos(-x) + sin2(-x)

= cos(-x) + [sin(-x)]2 = cosx + [-sinx]2 = cosx + sin2x

=> f(-x) = f(x). Suy ra hàm số y = cosx + sin2x là hàm số chẵn.

Chọn C

Với y = f(x) = cosx.sinx

Ta có: f(-x) = cos(-x).sin(-x) = -cosx.sinx

=> f(-x) = -f(x). Suy ra hàm số y = cosx.sinx là hàm số lẻ.

D. Bài tập tự rèn luyện xét tính chẵn lẻ và chu kì tuần hoàn của hàm số lượng giác

Bài tập 1: Xét tính tuần hoàn và tìm chu kì của các hàm số sau:

a. y = x2.cosx

b. y = cos(x2)

c. y=\tan \sqrt{x}

Bài tập 2: Xét tính tuần hoàn và tìm chu kì của hàm số (nếu có):

a.. y = 2sin2x - cosx + 1

b. y = 2cos2x + 5

c. y = sinx + 2sin2x + 3sin3x.

-----------------------------------------------------------

❓ FAQ – Tính chẵn lẻ và chu kì của hàm số lượng giác

1. Hàm số chẵn là gì?

Hàm số chẵn là hàm thỏa mãn: f(−x)=f(x)

2. Hàm số lẻ là gì?

Hàm số lẻ là hàm thỏa mãn: f(−x)=−f(x)

3. Hàm số y=cos⁡x là hàm chẵn hay lẻ?

Hàm số: y=cos⁡x là hàm chẵn.

4. Hàm số y=sin⁡x là hàm chẵn hay lẻ?

Hàm số: y=sin⁡x là hàm lẻ.

5. Chu kì của hàm số lượng giác là gì?

Chu kì là: 👉 Khoảng lặp lại giá trị của hàm số sau một khoảng xác định.

6. Chu kì của hàm số y=sin⁡x và y=cos⁡x là bao nhiêu?

T=2π

7. Chu kì của hàm số y=tanx là bao nhiêu?

T=π

8. Những dạng bài tập thường gặp trong chuyên đề này là gì?

  • Xét tính chẵn lẻ của hàm số
  • Tìm chu kì hàm lượng giác
  • Vẽ đồ thị hàm số
  • Biến đổi biểu thức lượng giác

9. Sai lầm phổ biến khi học hàm số lượng giác là gì?

  • Nhầm giữa hàm chẵn và hàm lẻ
  • Xác định sai chu kì
  • Không chú ý điều kiện xác định

10. Có mẹo nào nhớ nhanh chu kì lượng giác không?

  • Sin và cos có chu kì 2π
  • Tan và cot có chu kì π
  • Học kết hợp với đồ thị hàm số

--------------------------------------------

Trên đây VnDoc đã chia sẻ đến các bạn học sinh Tính chẵn lẻ và chu kì tuần hoàn của hàm số lượng giác nhằm cung cấp cơ sở kiến thức ôn tập cho các bạn học sinh. Chắc hẳn qua bài viết bạn đọc đã nắm được những ý chính cũng như trau dồi được nội dung kiến thức của bài viết rồi đúng không ạ? Bài viết giúp các bạn tiếp xúc với nhiều dạng bài về hàm số lượng giác. Mong rằng qua bài viết này bạn đọc có thêm nhiều tài liệu để học tập tốt hơn nhé.

Chọn file muốn tải về:

Tính chẵn lẻ và chu kì tuần hoàn của hàm số lượng giác

372,5 KB

  • Tải xuống Word

    257,5 KB
Đóng Chỉ thành viên VnDoc PRO/PROPLUS tải được nội dung này!
Đóng
79.000 / tháng
Mua ngay
Đặc quyền các gói Thành viên
PRO
Phổ biến nhất
PRO+
Tải tài liệu Cao cấp 1 Lớp
30 lượt tải tài liệu
Xem nội dung bài viết
Trải nghiệm Không quảng cáo
Làm bài trắc nghiệm không giới hạn
Mua cả năm Tiết kiệm tới 48%
5
19.867 Bài viết đã được lưu
Mục lục

Có thể bạn quan tâm

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Tìm bài trong mục này