Phương pháp giải phương trình lượng giác lớp 11

Giải phương trình lượng giác môn Toán lớp 11

VnDoc.com xin giới thiệu tới quý thầy cô và các bạn học sinh tài liệu tham khảo Phương pháp giải phương trình lượng giác lớp 11. Nội dung tài liệu đi sâu vào hướng dẫn chi tiết cách giải phương trình lượng giác bằng nhiều phương pháp. Tài liệu được VnDoc biên soạn và đăng tải, hi vọng sẽ giúp các bạn ôn tập kiến thức môn Toán hiệu quả, sẵn sàng cho những kì thi sắp tới. Mời các bạn tham khảo và tải về miễn phí tại đây!

• Bất đẳng thức Cosi
• Bài Tập Lượng Giác Lớp 10 cơ bản và nâng cao
• 35 bài tập hệ thức lượng trong tam giác có hướng dẫn

Tài liệu do VnDoc biên soạn và đăng tải, nghiêm cấm các hành vi sao chép với mục đích thương mại

Các phương pháp giải phương trình lượng giác

Dạng 1: Phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác

\(a\sin x+b=0, a\cos x+b=0, a\tan x+b=0, a\cot x+b=0\left( a,b\in \mathbb{R},a\ne 0 \right)\)

Phương pháp: Đưa về dạng phương trình cơ bản như: _{\(\sin x=\frac{-b}{a}, \cos x=\frac{-b}{a}\)}

Ví dụ 1: Giải các phương trình:

\(a.2\sin x+3=0\)	\(b.4\cos x-2=0\)
\(c.\sqrt{3}\tan x-1=0\)	\(c.cot x-1=0\)

Hướng dẫn giải:

\(a. 2\sin x+3=0\Leftrightarrow \sin x=\frac{-3}{2}<-1\)

Do _{\(-1\le \sin x\le 1\)} nên phương trình vô nghiệm.

\(b. 4\cos x-2=0\Leftrightarrow \cos x=\frac{1}{2}\Leftrightarrow x=\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi ,\left( k\in \mathbb{Z} \right)\)

_{\(c. \sqrt{3}\tan x-1=0\)} Điều kiện xác đinh: _{\(\cos x\ne 0\Leftrightarrow x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,\left( k\in \mathbb{Z} \right)\)}

Phương trình trở thành:

\(\tan x=\frac{1}{\sqrt{3}}\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{6}+k\pi ,\left( k\in \mathbb{Z} \right)\)

_{\(d. \cot x-1=0\)} Điều kiện xác đinh: _{\(\sin x\ne 0\Leftrightarrow x\ne k\pi ,\left( k\in \mathbb{Z} \right)\)}

Phương trình trở thành:

\(\cot x=1\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{4}+k\pi ,\left( k\in \mathbb{Z} \right)\)

Ví dụ 2: Giải phương trình:

\(a. \sin \left( 3x-2 \right)=-1\)	\(b. \sin x+\cos x=1\)
\(c. 1+\cos 2x+2\cos x=0\)	\(2{{\sin }^{2}}x=1\)

Hường dẫn giải

\(a. \sin \left( 3x-2 \right)=-1\Leftrightarrow 3x-2=\frac{-\pi }{2}+k\pi\Leftrightarrow x=\frac{2}{3}-\frac{\pi }{6}+\frac{k\pi }{3},\left( k\in \mathbb{Z} \right)\)

Vậy phương trình có nghiệm _{\(x=\frac{2}{3}-\frac{\pi }{6}+\frac{k\pi }{3},\left( k\in \mathbb{Z} \right)\)}

\(b. \sin x+\cos x=1\)

\(\Leftrightarrow \sqrt{2}\sin \left( x+\frac{\pi }{4} \right)=1\Leftrightarrow \sin \left( x+\frac{\pi }{4} \right)=\frac{1}{\sqrt{2}}\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x+\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{4}+k2\pi \\ x+\frac{\pi }{4}=\pi -\frac{\pi }{4}+k2\pi \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x=k2\pi \\ x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \\ \end{matrix} \right.\left( k\in \mathbb{Z} \right)\)

Dạng 2: Phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác

Phương pháp: Đặt ẩn đưa về dạng phương trình bậc hai với t

Ví dụ 1: Giải các phương trình:

\(a. {{\sin }^{2}}x+3\sin x-4=0\)

\(b. {{\cos }^{2}}x-6\cos x+8=0\)

Hướng dẫn giải

\(a.{{\sin }^{2}}x+3\sin x-4=0\)

Đặt _{\(t=\sin x , t\in \left[ -1,1 \right]\)}

Khi đó phương trình trở thành:

\({{t}^{2}}+3t-4=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} t=1\text{ }\left( TM \right) \\ t=-4\text{ }\left( L \right) \\ \end{matrix} \right.\)

\(\Rightarrow t=1\Leftrightarrow \sin x=1\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{2}+k2\pi ,\left( k\in \mathbb{Z} \right)\)

Vậy phương trình có nghiệm _{\(x=\frac{\pi }{2}+k2\pi ,\left( k\in \mathbb{Z} \right)\)}

\(b. {{\cos }^{2}}x-6\cos x+8=0\)

Đặt _{\(t=\cos x , t\in \left[ -1,1 \right]\)}

Khi đó phương trình trở thành:

\({{t}^{2}}-6t+8=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} t=2\text{ }\left( L \right) \\ t=4\text{ }\left( L \right) \\ \end{matrix} \right.\)

Vậy phương trình vô nghiệm

Ví dụ 2: Giải phương trình

\(a. 3{{\sin }^{2}}x+7\cos 2x-3=0\)

\(b. \cos 2x-5\sin x-3=0\)

Hướng dẫn giải

\(a. 3{{\sin }^{2}}x+7\cos 2x+4=0\)

\(\Leftrightarrow 3{{\sin }^{2}}x+7\left( 1-2{{\sin }^{2}}x \right)+4=0\)

\(\Leftrightarrow 3{{\sin }^{2}}x-14{{\sin }^{2}}x+11=0\)

\(\Leftrightarrow -11{{\sin }^{2}}x+11=0\Leftrightarrow {{\sin }^{2}}x=1\Leftrightarrow {{\cos }^{2}}x=0\)

\(\Leftrightarrow \cos x=0\Leftrightarrow x=k2\pi\left( k\in \mathbb{Z} \right)\)

Dạng 3: Phương trình bậc nhất đối với sinx, cosx

Phương trình có dạng: _{\(a\sin x+b\cos x=c,\left( a\ne 0,b\ne 0 \right)\)}

Phương pháp: Chia cả 2 vế cho _{\(\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}\)} ta được:

\(\frac{a}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}\sin x+\frac{b}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}\cos x=\frac{c}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}\)

• Nếu _{\(\left| \frac{b}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}} \right|>1\)} thì phương trình vô nghiệm
• Nếu _{\(\left| \frac{b}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}} \right|\le 1\)} thì đặt _{\(\cos \beta =\frac{a}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}, \sin \beta =\frac{b}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}\)}

Đưa phương trình về dạng: \(\sin \left( x+\beta \right)=\frac{c}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}\)

Chú ý: Phương trình _{\(a\sin x+b\cos x=c,\left( a\ne 0,b\ne 0 \right)\)} có nghiệm khi _{\({{c}^{2}}\le {{a}^{2}}+{{b}^{2}}\)}

\(\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin \left( x+\frac{\pi }{4} \right)=\sqrt{2}\cos \left( x-\frac{\pi }{4} \right)\)

\(\sin x-\cos x=\sqrt{2}\sin \left( x-\frac{\pi }{4} \right)=-\sqrt{2}\cos \left( x+\frac{\pi }{4} \right)\)

Ví dụ: Giải phương trình:

\(a. 4\sin x-3\cos x-5=0\)

\(b. \sin x-\sqrt{3}\cos x=1\)

Hướng dẫn giải

\(a. 4\sin x-3\cos x-5=0\Leftrightarrow 4\sin x-3\cos x=5 (1)\)

Chia cả 2 vế của phương trình với _{\(\sqrt{{{4}^{2}}+{{3}^{2}}}=5\)}

\(PT (1) \Leftrightarrow \frac{4}{5}\sin x-\frac{3}{5}\cos x=1 (2)\)

Đặt _{\(\cos \beta =\frac{4}{5},\sin \beta =\frac{3}{5}\)}

\(PT (2) \Leftrightarrow \sin x\cos \beta -\cos x\sin \beta =1\)

\(\Leftrightarrow \sin \left( x-\beta \right)=1\Leftrightarrow x-\beta =\frac{\pi }{2}+k2\pi \Leftrightarrow x=\beta +\frac{\pi }{2}+k2\pi \left( k\in \mathbb{Z} \right)\)

Với _{\(\cos \beta =\frac{4}{5},\sin \beta =\frac{3}{5}\)}

\(b. \sin x-\sqrt{3}\cos x=1\)

Chia cả 2 vế của phương trình với \(\sqrt{1+3}=2\ \ \ \ \ \ \ \ (1)\)

PT (1) _{\(\Leftrightarrow\frac{1}{2}\sin x-\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x=\frac{1\ }{2\ }\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2)\)}

Đặt _{\(\cos \beta =\frac{1}{2},\sin \beta =\frac{\sqrt{3}}{2}\)}

\(PT (2) \Leftrightarrow \sin x\cos \beta -\cos x\sin \beta =\frac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow \sin \left( x-\beta \right)=\frac{1}{2}\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x-\beta =\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ x-\beta =\pi -\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x=\beta +\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ x=\beta +\frac{5\pi }{6}+k2\pi \\ \end{matrix} \right.\left( k\in \mathbb{Z} \right)\)

IV.Phương trình thuần nhất đối với sinx và cosx

Dạng phương trình: \(a{{\sin }^{2}}x+b\sin x\cos x+c{{\cos }^{2}}x=d\)

Phương pháp:

- Nếu cosx = 0. Thế vào phương trình thử nghiệm.

- Nếu _{\(\cos x\ne 0\)}. Chia cả 2 vế của phương trình cho \({{\cos }^{2}}x\) rồi tiến hành giải phương trình bậc hai đối với tanx: _{\((a-d){{\tan }^{2}}x+b\tan x+c-d=0\)}

Ví dụ: Giải các phương trình sau:

\(a. {{\sin }^{2}}x-2\sin x\cos x-3{{\cos }^{2}}x=0\)
_{\(b.\sin 2x-2{{\sin }^{2}}x=2\cos 2x\)}

Hướng dẫn giải

_{\(TH1: \cos x=0\Leftrightarrow {{\sin }^{2}}x=0\)}(vô lí)

\(TH2: \cos x\ne 0\Leftrightarrow x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,\left( k\in \mathbb{Z} \right)\)

Chia cả 2 vế phương trình cho _{\({{\cos }^{2}}x\)}

\(PT\Leftrightarrow {{\tan }^{2}}x-2\tan x-3=0 \Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} \tan x=-1 \\ \tan x=3 \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x=\dfrac{-\pi }{4}+k\pi \\ x=\arctan 3+k\pi \\ \end{matrix}\left( k\in \mathbb{Z} \right) \right.\)

\(b. \sin 2x-2{{\sin }^{2}}x=2\cos 2x\)

\(\Leftrightarrow 2\sin x\cos x-2{{\sin }^{2}}x=2\left( {{\cos }^{2}}x-{{\sin }^{2}}x \right)\)

\(\Leftrightarrow \sin x\cos x={{\cos }^{2}}x\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} \cos x=0 \\ \sin x=\cos x \\ \end{matrix}\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x=\dfrac{\pi }{2}+k\pi \\ \sin x-\cos x=0 \\ \end{matrix} \right. \right.\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x=\dfrac{\pi }{2}+k\pi \\ \sqrt{2}\sin \left( x-\dfrac{\pi }{4} \right)=0 \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x=\dfrac{\pi }{2}+k\pi \\ x=\dfrac{\pi }{4}+k\pi \\ \end{matrix} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x=\dfrac{\pi }{2}+k\pi \\ x=\dfrac{\pi }{4}+k\pi \\ \end{matrix} \right.\left( k\in \mathbb{Z} \right)\)

V. Phương trình đối xứng đối với sinx, cosx

Dạng phương trình: _{\(a\left( \sin x+\cos x \right)+b\sin x\cos x+c=0,\left( a,b\ne 0 \right)\)}

Phương pháp: Đặt _{\(t=\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin \left( x+\frac{\pi }{4} \right),t\in \left[ -\sqrt{2},\sqrt{2} \right]\)}, khi đó \(\sin x\cos x=\frac{{{t}^{2}}-1}{2}\)

Thay t vào phương trình ta được phương trình bậc 2 theo t.

VI. Bài tập vận dụng

Bài 1: Giải phương trình

\(a. \sin 3 x-\cos 2 x=0\)	\(h. \sin \left(x-\frac{\pi}{12}\right)=1\)
\(b.\sin \left(3 x-\frac{5 \pi}{6}\right)+\cos \left(3 x+\frac{\pi}{4}\right)=0\)	\(n) \sin \left(12 x+\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{2}\)
\(c. \sin \left(x+\frac{2 \pi}{3}\right)=\cos 3 x\)	\(i. \tan (x-6 \pi)=\sqrt{3}\)
\(d.\sin (3 x-b)=\cos 5 x\)	\(k. \cot \left(\frac{5 \pi}{6}+12 x\right)=\sqrt{3}\)
\(e. \cos \frac{x}{2}=-\cos \left(2 x-30^{\circ}\right)\)	\(m. \tan \left(\frac{\pi}{4}-2 x\right)=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
\(f.\cos 2x=\cos x\)	\(l.\sin\left(\frac{\pi}{4}+x\right)=\sin\left(2x-\frac{\pi}{4}\right)\)
\(g. \cos (\pi-5 x)=-1\)	\(o) \cos \left(6 x+\frac{\pi}{2}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}\)

Bài 2: Giải phương trình:

\(a)\sin ^{2} x-2 \sin x \cos x-3 \cos ^{2} x=0\)

\(b) 6 \sin ^{2} x+\sin x \cos x-\cos ^{2} x=2\)

\(c)\sin 2 x-2 \sin ^{2} x=2 \cos 2 x\)

\(d)2 \sin ^{2} 2 x-2 \sin 2 x \cos 2 x+\cos ^{2} 2 x=2\)

Bài 3: Giải phương trình:

\(a) \cot x-\tan x=\sin x+\cos x\)

\(b) 2 \sin x+\cot x=2 \sin 2 x+1\)

\(c) \cos ^{3} x-\sin ^{3} x=-1\)

\(d) |\sin x-\cos x|+4 \sin 2 x=1\)

\(e) 1+\sin ^{3} 2 x+\cos ^{3} 2 x=\frac{3}{2} \sin 4 x\)

\(f) (1+\cos x)(1+\sin x)=2\)

Tải thêm tài liệu tại: Chuyên đề toán 11

Trên đây VnDoc đã chia sẻ đến các bạn học sinh Phương pháp giải phương trình lượng giác lớp 11 nhằm cung cấp cơ sở kiến thức ôn tập cho các bạn học sinh, giúp các bạn tiếp xúc với nhiều dạng bài về hàm số lượng giác. Chúc các bạn ôn tập thật tốt!

Ngoài ra, VnDoc mời bạn đọc tham khảo thêm một số tài liệu liên quan:

• Lí thuyết và bài tập hàm số lượng giác
• Phương trình lượng giác cơ bản
• Bài tập trắc nghiệm: Phương trình lượng giác cơ bản