Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác

Bạn đang gặp khó khăn khi giải các phương trình bậc hai có chứa hàm lượng giác như sin, cos, tan? Đây là một dạng toán quan trọng và thường xuyên xuất hiện trong các đề thi THPT Quốc gia cũng như các kỳ kiểm tra Toán lớp 11 và 12. Trong bài viết này, chúng tôi sẽ hướng dẫn bạn cách nhận dạng và giải phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác một cách chi tiết, dễ hiểu nhất. Bài viết đi kèm ví dụ minh họa và lời giải cụ thể, giúp bạn nắm vững phương pháp giải nhanh, chính xác.

Tài liệu do VnDoc.com biên soạn và đăng tải, nghiêm cấm các hành vi sao chép với mục đích thương mại.

Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác

I. Cách giải phương trình lượng giác bậc hai

Phương trình có dạng: af{{\left( x \right)}^{2}}+bf\left( x \right)+c=0,\left( a\ne 0 \right)af(x)2+bf(x)+c=0,(a0)

f\left( x \right)=\sin m\left( x \right),\cos m\left( x \right),\tan m\left( x \right),\cot m\left( x \right)f(x)=sinm(x),cosm(x),tanm(x),cotm(x)

Phương pháp làm bài: Đặt u=f\left( x \right)u=f(x), chú ý đối với hàmf\left( x \right)=\sin m\left( x \right),\cos m\left( x \right)f(x)=sinm(x),cosm(x)  ta cần thêm điều kiện u \in [-1,1]u[1,1] 

Khi đó phương trình trở thành: a{{u}^{2}}+bu+c=0au2+bu+c=0

Giải phương trình bậc hai ta tìm được u, từ đó tìm được x.

II. Bài tập ví dụ minh họa giải phương trình có đáp án chi tiết

Câu 1: Giải phương trình: \cos 2x+{{\sin }^{2}}x+2\cos x+1=0cos2x+sin2x+2cosx+1=0

Hướng dẫn giải

\cos 2x+{{\sin }^{2}}x+2\cos x+1=0cos2x+sin2x+2cosx+1=0

\Leftrightarrow 2{{\cos }^{2}}x-1+1-{{\cos }^{2}}x+2\cos x+1=02cos2x1+1cos2x+2cosx+1=0

\Leftrightarrow {{\cos }^{2}}x+2\cos x+1=0cos2x+2cosx+1=0

Đặt t=\cos x,t\in \left[ -1,1 \right]t=cosx,t[1,1]. Phương trình trở thành {{t}^{2}}+2t+1=0\Leftrightarrow {{\left( t+1 \right)}^{2}}=0\Leftrightarrow t=-1t2+2t+1=0(t+1)2=0t=1

\Leftrightarrow \cos x=-1\Leftrightarrow x=-\pi +2k\pi ,\left( k\in \mathbb{Z} \right)cosx=1x=π+2kπ,(kZ)

Câu 2: Cho phương trình: 4{{\sin }^{2}}2x+8{{\cos }^{2}}x+3m-5=04sin22x+8cos2x+3m5=0

a. Giải phương trình khi m=-\frac{4}{3}m=43

b. Tìm m nguyên dương để phương trình có nghiệm

Hướng dẫn giải

Biến đổi phương trình:

4{{\sin }^{2}}2x+8{{\cos }^{2}}x+3m-5=04sin22x+8cos2x+3m5=0

\Leftrightarrow 4{{\sin }^{2}}2x+4\left( \cos 2x+1 \right)+3m-5=04sin22x+4(cos2x+1)+3m5=0

\Leftrightarrow 4\left( 1-{{\cos }^{2}}2x \right)+4\left( \cos 2x+1 \right)+3m-5=04(1cos22x)+4(cos2x+1)+3m5=0

\Leftrightarrow -4{{\cos }^{2}}2x+4\cos 2x+3m+3=04cos22x+4cos2x+3m+3=0

a. Với m=-\frac{4}{3}m=43 phương trình trở thành:

\Leftrightarrow -4{{\cos }^{2}}2x+4\cos 2x-1=04cos22x+4cos2x1=0. Đặt t=\cos 2x,t\in \left[ -1,1 \right]t=cos2x,t[1,1]

Phương trình trở thành -4{{t}^{2}}+4t-1=0\Leftrightarrow t=\frac{1}{2}4t2+4t1=0t=12

\Rightarrow \cos 2x=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow 2x=\pm \dfrac{\pi }{3}+k2\pi \Leftrightarrow x=\pm \dfrac{\pi }{6}+k\pi ,\left( k\in \mathbb{Z} \right)cos2x=122x=±π3+k2πx=±π6+kπ,(kZ)

b. Đặt t=\cos 2x,t\in \left[ -1,1 \right]t=cos2x,t[1,1], phương trình trở thành:

-4{{t}^{2}}+4t+3m+3=0(*)4t2+4t+3m+3=0()

Để phương trình ban đầu có nghiệm thì phương trình (*) có nghiệm thuộc \left[ -1,1 \right][1,1]

\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}

f\left( 1 \right)f\left( -1 \right)\le 0 \\

\left\{ \begin{matrix}

\Delta [f(1)f(1)0{Δ0af(1)0af(1)01S21[(53m)(33m)0{16+12m053m033m01121

\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}

\dfrac{-4}{5}\le m\le \dfrac{5}{3} \\

m\in {{\mathbb{Z}}^{+}} \\

\end{matrix} \right.\Leftrightarrow m=\left\{ -1,0,1 \right\}{45m53mZ+m={1,0,1}

Câu 3: Giải phương trình: \sqrt{3}{{\cot }^{2}}x-4\cot x+\sqrt{3}=03cot2x4cotx+3=0

Hướng dẫn giải

Đặt t={{\cot }^{2}}xt=cot2x, phương trình trở thành:

\sqrt{3}{{t}^{2}}-4t+\sqrt{3}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}

t=\sqrt{3} \\

t=\dfrac{\sqrt{3}}{3} \\

\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}

\cot x=\sqrt{3} \\

\cot x=\dfrac{\sqrt{3}}{3} \\

\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}

x=\dfrac{\pi }{6}+k\pi \\

x=\dfrac{\pi }{3}+k\pi \\

\end{matrix} \right.\left( k\in \mathbb{Z} \right)3t24t+3=0[t=3t=33[cotx=3cotx=33[x=π6+kπx=π3+kπ(kZ)

Câu 4: Cho phương trình: \dfrac{{{m}^{2}}-1}{{{\cos }^{2}}x}-2m\tan x+2-{{m}^{2}}=0m21cos2x2mtanx+2m2=0

a. Giải phương trình với m = 2

b. Tìm m để phương trình có đúng 3 nghiệm thuộc khoảng \left( -\pi ,\dfrac{\pi }{2} \right)(π,π2)

Hướng dẫn giải

Điều kiện: \cos x\ne 0\Leftrightarrow x\ne \dfrac{\pi }{2}+k\pi ,\left( k\in \mathbb{Z} \right)cosx0xπ2+kπ,(kZ)

Biến đổi phương trình ta có:

\left( {{m}^{2}}-1 \right)\left( {{\tan }^{2}}x+1 \right)-2m\tan x+2-{{m}^{2}}=0(m21)(tan2x+1)2mtanx+2m2=0

\Leftrightarrow \left( {{m}^{2}}-1 \right){{\tan }^{2}}x-2m\tan x+1=0(*)(m21)tan2x2mtanx+1=0()

a. Thay m = 2 vào phương trình: 3{{\tan }^{2}}x-4\tan x+1=03tan2x4tanx+1=0

Đặt t=\tan x\Rightarrow 3{{t}^{2}}-4t+1=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}

t=1 \\

t=\dfrac{1}{3} \\

\end{matrix} \right.t=tanx3t24t+1=0[t=1t=13

\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}

x=\dfrac{\pi }{4}+k\pi \\

x=\arctan \dfrac{1}{3}+k\pi \\

\end{matrix} \right.\left( k\in \mathbb{Z} \right)[x=π4+kπx=arctan13+kπ(kZ)

b. Để phương trình có đúng 3 nghiệm thì phương trình (*) có 2 nghiệm trái dấu

\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}

m\ne \pm 1 \\

\dfrac{1}{m-1}.\dfrac{1}{m+1}<0 \\

\end{matrix}\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}

m\ne \pm 1 \\

{{m}^{2}}-1<0 \\

\end{matrix}\Leftrightarrow \left| m \right|<1 \right. \right.{m±11m1.1m+1<0{m±1m21<0|m|<1

Câu 5: Cho phương trình: {{\cos }^{2}}x-\left( 2m+1 \right)\cos x+m+1=0cos2x(2m+1)cosx+m+1=0 Tìm m để phương trình có nghiệm thuộc \left[ \frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2} \right][π2,3π2]

Hướng dẫn giải

Với x thuộc khoảng \left[ \dfrac{\pi }{2},\dfrac{3\pi }{2} \right]\Leftrightarrow -1\le \cos x\le 0[π2,3π2]1cosx0 nên để phương trình có nghiệm thì -1\le m\le 01m0.

Câu 6. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số mm để phương trình cos2x - (2m + 1)\cos x + m + 1 = 0cos2x(2m+1)cosx+m+1=0 có nghiệm trên khoảng \left( \frac{\pi}{2}\ \
;\frac{3\pi}{2} \right)(π2  ;3π2).

A. - 1 \leq m \leq 01m0.                              B. - 1 \leq m < 01m<0.

C. - 1 < m < 01<m<0.                                D. - 1 \leq m < \frac{1}{2}1m<12.

Gợi ý:

Dùng công thức nhân đôi để đưa bài về phương trình bậc hai đối với 1 hàm số lượng giác.

Hướng dẫn giải:

Phương trình \Leftrightarrow 2cos^{2}x -
(2m + 1)\cos x + m = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
\cos x = \frac{1}{2} \\
\cos x = m \\
\end{matrix} \right.\ .2cos2x(2m+1)cosx+m=0[cosx=12cosx=m .

Nhận thấy phương trình \cos x =
\frac{1}{2}cosx=12 không có nghiệm trên khoảng \left( \frac{\pi}{2}\ \ ;\frac{3\pi}{2}
\right)(π2  ;3π2)

Do đó yêu cầu bài toán \Leftrightarrow
\cos x = mcosx=m có nghiệm thuộc khoảng \left( \frac{\pi}{2}\ \ ;\frac{3\pi}{2} \right)
\Leftrightarrow - 1 \leq m < 0(π2  ;3π2)1m<0.

Chọn B

Bài tập nâng cao

Câu 7. Biết rằng khi m = m_{0}m=m0 thì phương trình 2sin^{2}x - (5m + 1)\sin x
+ 2m^{2} + 2m = 02sin2x(5m+1)sinx+2m2+2m=0 có đúng 55 nghiệm phân biệt thuộc khoảng \left( - \frac{\pi}{2};3\pi \right)(π2;3π). Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. m = - 3m=3                                    B. m = \frac{1}{2}m=12

C. m_{0} \in \left(
\frac{3}{5};\frac{7}{10} \right\rbrackm0(35;710]                       D. m_{0} \in \left( - \frac{3}{5}; - \frac{2}{5}
\right)m0(35;25)

Gợi ý:

Đặt t = \sin x\ ( - 1 \leq t \leq
1)t=sinx (1t1).

Áp dụng giải phương trình bậc hai đối với 1 hàm số lượng giác.

Hướng dẫn giải:

Đặt t = \sin x\ ( - 1 \leq t \leq
1)t=sinx (1t1).

Phương trình trở thành 2t^{2} - (5m + 1)
+ 2m^{2} + 2m = 0.2t2(5m+1)+2m2+2m=0. (*)()

Yêu cầu bài toán tương đương với:

TH1: Phương trình (*)() có một nghiệm t_{1} = - 1t1=1 (có một nghiệm xx) và một nghiệm 0 < t_{2} < 10<t2<1 (có bốn nghiệm xx)

Do t_{1} = - 1 \Rightarrow t_{2} = -
\frac{c}{a} = - m^{2} - mt1=1t2=ca=m2m.

Thay t_{1} = - 1t1=1 vào phương trình (*)(), ta được \left\lbrack \begin{matrix}
m = - 3 \rightarrow t_{2} = - 6 \notin (0;1)\ \ \ \ \ \ \ \ (L) \\
m = - \frac{1}{2} \rightarrow t_{2} = \frac{1}{4} \in (0;1)\ \ \ \ \ \ \
\ (TM) \\
\end{matrix} \right.[m=3t2=6(0;1)        (L)m=12t2=14(0;1)        (TM)

TH2: Phương trình (*)() có một nghiệm t_{1} = 1t1=1 (có hai nghiệm xx) và một nghiệm - 1 < t_{2} \leq 01<t20 (có ba nghiệm xx)

Do t_{1} = 1 \Rightarrow t_{2} =
\frac{c}{a} = m^{2} + mt1=1t2=ca=m2+m.

Thay t_{1} = 1t1=1 vào phương trình (*)(), ta được \left\lbrack \begin{matrix}
m = 1 \rightarrow t_{2} = 2 \notin ( - 1;0\rbrack\ \ \ \ \ \ \ (L) \\
m = \frac{1}{2} \rightarrow t_{2} = \frac{3}{4} \notin ( - 1;0\rbrack\ \
\ \ \ \ \ (L) \\
\end{matrix} \right.[m=1t2=2(1;0]       (L)m=12t2=34(1;0]       (L)

Vậy m = - \frac{1}{2}m=12 thỏa mãn yêu cầu bài toán. Do m = - \frac{1}{2} \in
\left( - \frac{3}{5}; - \frac{2}{5} \right).m=12(35;25).

Chọn D

Câu 8. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số mm để phương trình 2cos^{2}3x + (3 - 2m)cos3x + m - 2 = 02cos23x+(32m)cos3x+m2=0 có đúng 33 nghiệm thuộc khoảng \left( - \frac{\pi}{6};\frac{\pi}{3}
\right).(π6;π3).

A. - 1 \leq m \leq 1.1m1.                     B. 1 < m \leq 2.1<m2.

C. 1 \leq m \leq 2.1m2.                        D. 1 \leq m < 2.1m<2.

Gợi ý:

Đặt t = \cos x\ ( - 1 \leq t \leq
1)t=cosx (1t1).

Áp dụng giải phương trình bậc hai đối với 1 hàm số lượng giác.

Hướng dẫn giải:

Đặt t = \cos x\ ( - 1 \leq t \leq
1)t=cosx (1t1). Phương trình trở thành 2t^{2} +
(3 - 2m)t + m - 2 = 0.2t2+(32m)t+m2=0.

Ta có \Delta = (2m - 5)^{2}Δ=(2m5)2. Suy ra phương trình có hai nghiệm \left\lbrack
\begin{matrix}
t_{1} = \frac{1}{2} \\
t_{2} = m - 2 \\
\end{matrix} \right.\ .[t1=12t2=m2 .

Ta thấy ứng với một nghiệm t_{1} =
\frac{1}{2}t1=12 thì cho ta hai nghiệm xx thuộc khoảng \left( - \frac{\pi}{6};\frac{\pi}{3}
\right).(π6;π3). Do đó yêu cầu bài toán - 1
< t_{2} \leq 0 \Leftrightarrow - 1 < m - 2 \leq 0 \Leftrightarrow
1 < m \leq 2.1<t201<m201<m2.

Chọn B

Cách 2. Yêu cầu bài toán tương đương với phương trình 2t^{2} + (3 - 2m)t + m - 2 = 02t2+(32m)t+m2=0 có hai nghiệm t_{1},\ t_{2}t1, t2 thỏa mãn - 1 < t_{2} \leq 0 < t_{1} < 1
\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
P \leq 0 \\
a.f(1) > 0 \\
a.f( - 1) > 0 \\
\end{matrix} \right.\ .1<t20<t1<1{P0a.f(1)>0a.f(1)>0 .

Câu 9. Cho xx thỏa mãn 2sin2x - 3\sqrt{6}\left| \sin x + \cos x \right| +
8 = 02sin2x36|sinx+cosx|+8=0. Tính sin2x.sin2x.

A. sin2x = - \frac{1}{2}.sin2x=12.                           B. sin2x = - \frac{\sqrt{2}}{2}.sin2x=22.

C. sin2x = \frac{1}{2}.sin2x=12.                             D. sin2x = \frac{\sqrt{2}}{2}.sin2x=22.

Gợi ý:

Đặt t = \left| \sin x + \cos x
\right|t=|sinx+cosx| và dùng công tức lượng giác biến đổi sin2xsin2x.

Áp dụng giải phương trình bậc nhất đối với 1 hàm số lượng giác.

Hướng dẫn giải:

Đặt t = \left| \sin x + \cos x \right| =
\sqrt{2}\left| \sin\left( x + \frac{\pi}{4} \right) \right|t=|sinx+cosx|=2|sin(x+π4)|. Vì \sin\left( x + \frac{\pi}{4} \right) \in
\lbrack - \ 1;1\rbrack \Rightarrow t \in \left\lbrack 0;\sqrt{2}
\right\rbracksin(x+π4)[ 1;1]t[0;2].

Ta có t^{2} = \left( \sin x + \cos x
\right)^{2} = sin^{2}x + cos^{2}x + 2sinx\cos x \Rightarrow sin2x =
t^{2} - 1.t2=(sinx+cosx)2=sin2x+cos2x+2sinxcosxsin2x=t21.

Phương trình đã cho trở thành 2\left(
t^{2} - 1 \right) - 3\sqrt{6}\ t + 8 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack
\begin{matrix}
t = \frac{\sqrt{6}}{2}\ \ \ \ \ \ (TM) \\
t = \sqrt{6}\ \ \ \ \ \ \ \ (L) \\
\end{matrix} \right.2(t21)36 t+8=0[t=62      (TM)t=6        (L)

sin2x = t^{2} - 1 =
\frac{1}{2}.sin2x=t21=12.

III. Bài tập tự luyện giải phương trình lượng giác 

Bài 1: Giải các phương trình sau:

a. 6{{\cos }^{2}}x+5\sin x-7=0a.6cos2x+5sinx7=0 b. \cos 2x+\cos x+1=0b.cos2x+cosx+1=0
c. 4{{\sin }^{4}}x+12{{\cos }^{2}}x=7c.4sin4x+12cos2x=7 d. \cos 2x-5\sin x-3=0d.cos2x5sinx3=0
e. 6{{\sin }^{2}}3x+\cos 12x=14e.6sin23x+cos12x=14 f. 8{{\sin }^{2}}x-\cos x=5f.8sin2xcosx=5

Bài 2: Cho phương trình: {{\cos }^{2}}x+2\left( 1-m \right)\cos x+2m-1=0cos2x+2(1m)cosx+2m1=0. Tìm m để phương trình có 4 nghiệm thuộc \left[ 0,2m \right][0,2m]

Bài 3: Xác định m để phương trình: m\cos 2x-4\left( m-2 \right)\cos x+3\left( m-2 \right)=0mcos2x4(m2)cosx+3(m2)=0 có đúng 2 nghiệm thuộc \left( -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2} \right)(π2,π2).

--------------------------------------------------

Việc thành thạo cách giải phương trình bậc hai chứa một hàm số lượng giác không chỉ giúp bạn làm tốt các bài kiểm tra, mà còn là nền tảng vững chắc để chinh phục các dạng toán lượng giác nâng cao hơn. Hy vọng với hướng dẫn chi tiết và ví dụ minh họa trong bài viết, bạn đã có thể tự tin giải quyết dạng bài này một cách hiệu quả. Đừng quên luyện tập thêm nhiều bài tập khác để ghi nhớ kiến thức lâu hơn. Chúc bạn học tốt!

Xem thêm các bài Tìm bài trong mục này khác:
Chia sẻ, đánh giá bài viết
1
Chọn file muốn tải về:
Đóng Chỉ thành viên VnDoc PRO/PROPLUS tải được nội dung này!
Đóng
79.000 / tháng
Đặc quyền các gói Thành viên
PRO
Phổ biến nhất
PRO+
Tải tài liệu Cao cấp 1 Lớp
Tải tài liệu Trả phí + Miễn phí
Xem nội dung bài viết
Trải nghiệm Không quảng cáo
Làm bài trắc nghiệm không giới hạn
Mua cả năm Tiết kiệm tới 48%
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
🖼️

Gợi ý cho bạn

Xem thêm
🖼️

Lý thuyết Toán 11

Xem thêm
Chia sẻ
Chia sẻ FacebookChia sẻ TwitterSao chép liên kếtQuét bằng QR Code
Mã QR Code
Đóng