Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác
Phương trình bậc hai với một hàm số lượng giác lớp 11
Bạn đang gặp khó khăn khi giải các phương trình bậc hai có chứa hàm lượng giác như sin, cos, tan? Đây là một dạng toán quan trọng và thường xuyên xuất hiện trong các đề thi THPT Quốc gia cũng như các kỳ kiểm tra Toán lớp 11 và 12. Trong bài viết này, chúng tôi sẽ hướng dẫn bạn cách nhận dạng và giải phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác một cách chi tiết, dễ hiểu nhất. Bài viết đi kèm ví dụ minh họa và lời giải cụ thể, giúp bạn nắm vững phương pháp giải nhanh, chính xác.
Tài liệu do VnDoc.com biên soạn và đăng tải, nghiêm cấm các hành vi sao chép với mục đích thương mại.
Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác
I. Cách giải phương trình lượng giác bậc hai
Phương trình có dạng: 
\(af{{\left( x \right)}^{2}}+bf\left( x \right)+c=0,\left( a\ne 0 \right)\)
\(f\left( x \right)=\sin m\left( x \right),\cos m\left( x \right),\tan m\left( x \right),\cot m\left( x \right)\)
Phương pháp làm bài: Đặt \(u=f\left( x \right)\), chú ý đối với hàm\(f\left( x \right)=\sin m\left( x \right),\cos m\left( x \right)\) ta cần thêm điều kiện \(u \in [-1,1]\)
Khi đó phương trình trở thành: \(a{{u}^{2}}+bu+c=0\)
Giải phương trình bậc hai ta tìm được u, từ đó tìm được x.
II. Bài tập ví dụ minh họa giải phương trình có đáp án chi tiết
Câu 1: Giải phương trình: \(\cos 2x+{{\sin }^{2}}x+2\cos x+1=0\)
Hướng dẫn giải
\(\cos 2x+{{\sin }^{2}}x+2\cos x+1=0\)
\(\Leftrightarrow 2{{\cos }^{2}}x-1+1-{{\cos }^{2}}x+2\cos x+1=0\)
\(\Leftrightarrow {{\cos }^{2}}x+2\cos x+1=0\)
Đặt \(t=\cos x,t\in \left[ -1,1 \right]\). Phương trình trở thành \({{t}^{2}}+2t+1=0\Leftrightarrow {{\left( t+1 \right)}^{2}}=0\Leftrightarrow t=-1\)
\(\Leftrightarrow \cos x=-1\Leftrightarrow x=-\pi +2k\pi ,\left( k\in \mathbb{Z} \right)\)
Câu 2: Cho phương trình: \(4{{\sin }^{2}}2x+8{{\cos }^{2}}x+3m-5=0\)
a. Giải phương trình khi \(m=-\frac{4}{3}\)
b. Tìm m nguyên dương để phương trình có nghiệm
Hướng dẫn giải
Biến đổi phương trình:
\(4{{\sin }^{2}}2x+8{{\cos }^{2}}x+3m-5=0\)
\(\Leftrightarrow 4{{\sin }^{2}}2x+4\left( \cos 2x+1 \right)+3m-5=0\)
\(\Leftrightarrow 4\left( 1-{{\cos }^{2}}2x \right)+4\left( \cos 2x+1 \right)+3m-5=0\)
\(\Leftrightarrow -4{{\cos }^{2}}2x+4\cos 2x+3m+3=0\)
a. Với \(m=-\frac{4}{3}\) phương trình trở thành:
\(\Leftrightarrow -4{{\cos }^{2}}2x+4\cos 2x-1=0\). Đặt \(t=\cos 2x,t\in \left[ -1,1 \right]\)
Phương trình trở thành \(-4{{t}^{2}}+4t-1=0\Leftrightarrow t=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow \cos 2x=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow 2x=\pm \dfrac{\pi }{3}+k2\pi \Leftrightarrow x=\pm \dfrac{\pi }{6}+k\pi ,\left( k\in \mathbb{Z} \right)\)
b. Đặt \(t=\cos 2x,t\in \left[ -1,1 \right]\), phương trình trở thành:
\(-4{{t}^{2}}+4t+3m+3=0(*)\)
Để phương trình ban đầu có nghiệm thì phương trình (*) có nghiệm thuộc \(\left[ -1,1 \right]\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
f\left( 1 \right)f\left( -1 \right)\le 0 \\
\left\{ \begin{matrix}
\Delta '\ge 0 \\
af(-1)\ge 0 \\
af\left( 1 \right)\ge 0 \\
-1\le \frac{S}{2}\le 1 \\
\end{matrix} \right. \\
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
\left( 5-3m \right)\left( -3-3m \right)\le 0 \\
\left\{ \begin{matrix}
16+12m\ge 0 \\
5-3m\ge 0 \\
3-3m\ge 0 \\
-1\le \frac{1}{2}\le 1 \\
\end{matrix} \right. \\
\end{matrix} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
\dfrac{-4}{5}\le m\le \dfrac{5}{3} \\
m\in {{\mathbb{Z}}^{+}} \\
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow m=\left\{ -1,0,1 \right\}\)
Câu 3: Giải phương trình: \(\sqrt{3}{{\cot }^{2}}x-4\cot x+\sqrt{3}=0\)
Hướng dẫn giải
Đặt \(t={{\cot }^{2}}x\), phương trình trở thành:
\(\sqrt{3}{{t}^{2}}-4t+\sqrt{3}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
t=\sqrt{3} \\
t=\dfrac{\sqrt{3}}{3} \\
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
\cot x=\sqrt{3} \\
\cot x=\dfrac{\sqrt{3}}{3} \\
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
x=\dfrac{\pi }{6}+k\pi \\
x=\dfrac{\pi }{3}+k\pi \\
\end{matrix} \right.\left( k\in \mathbb{Z} \right)\)
Câu 4: Cho phương trình: \(\dfrac{{{m}^{2}}-1}{{{\cos }^{2}}x}-2m\tan x+2-{{m}^{2}}=0\)
a. Giải phương trình với m = 2
b. Tìm m để phương trình có đúng 3 nghiệm thuộc khoảng \(\left( -\pi ,\dfrac{\pi }{2} \right)\)
Hướng dẫn giải
Điều kiện: \(\cos x\ne 0\Leftrightarrow x\ne \dfrac{\pi }{2}+k\pi ,\left( k\in \mathbb{Z} \right)\)
Biến đổi phương trình ta có:
\(\left( {{m}^{2}}-1 \right)\left( {{\tan }^{2}}x+1 \right)-2m\tan x+2-{{m}^{2}}=0\)
\(\Leftrightarrow \left( {{m}^{2}}-1 \right){{\tan }^{2}}x-2m\tan x+1=0(*)\)
a. Thay m = 2 vào phương trình: \(3{{\tan }^{2}}x-4\tan x+1=0\)
Đặt \(t=\tan x\Rightarrow 3{{t}^{2}}-4t+1=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
t=1 \\
t=\dfrac{1}{3} \\
\end{matrix} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
x=\dfrac{\pi }{4}+k\pi \\
x=\arctan \dfrac{1}{3}+k\pi \\
\end{matrix} \right.\left( k\in \mathbb{Z} \right)\)
b. Để phương trình có đúng 3 nghiệm thì phương trình (*) có 2 nghiệm trái dấu
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
m\ne \pm 1 \\
\dfrac{1}{m-1}.\dfrac{1}{m+1}<0 \\
\end{matrix}\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
m\ne \pm 1 \\
{{m}^{2}}-1<0 \\
\end{matrix}\Leftrightarrow \left| m \right|<1 \right. \right.\)
Câu 5: Cho phương trình: \({{\cos }^{2}}x-\left( 2m+1 \right)\cos x+m+1=0\) Tìm m để phương trình có nghiệm thuộc \(\left[ \frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2} \right]\)
Hướng dẫn giải
Với x thuộc khoảng \(\left[ \dfrac{\pi }{2},\dfrac{3\pi }{2} \right]\Leftrightarrow -1\le \cos x\le 0\) nên để phương trình có nghiệm thì \(-1\le m\le 0\).
Câu 6. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để phương trình \(cos2x - (2m + 1)\cos x + m + 1 = 0\) có nghiệm trên khoảng \(\left( \frac{\pi}{2}\ \
;\frac{3\pi}{2} \right)\).
A. \(- 1 \leq m \leq 0\). B. \(- 1 \leq m < 0\).
C. \(- 1 < m < 0\). D. \(- 1 \leq m < \frac{1}{2}\).
Gợi ý:
Dùng công thức nhân đôi để đưa bài về phương trình bậc hai đối với 1 hàm số lượng giác.
Hướng dẫn giải:
Phương trình \(\Leftrightarrow 2cos^{2}x -
(2m + 1)\cos x + m = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
\cos x = \frac{1}{2} \\
\cos x = m \\
\end{matrix} \right.\ .\)
Nhận thấy phương trình \(\cos x =
\frac{1}{2}\) không có nghiệm trên khoảng \(\left( \frac{\pi}{2}\ \ ;\frac{3\pi}{2}
\right)\)
Do đó yêu cầu bài toán \(\Leftrightarrow
\cos x = m\) có nghiệm thuộc khoảng \(\left( \frac{\pi}{2}\ \ ;\frac{3\pi}{2} \right)
\Leftrightarrow - 1 \leq m < 0\).
Chọn B
Bài tập nâng cao
Câu 7. Biết rằng khi \(m = m_{0}\) thì phương trình \(2sin^{2}x - (5m + 1)\sin x
+ 2m^{2} + 2m = 0\) có đúng \(5\) nghiệm phân biệt thuộc khoảng \(\left( - \frac{\pi}{2};3\pi \right)\). Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. \(m = - 3\) B. \(m = \frac{1}{2}\)
C. \(m_{0} \in \left(
\frac{3}{5};\frac{7}{10} \right\rbrack\) D. \(m_{0} \in \left( - \frac{3}{5}; - \frac{2}{5}
\right)\)
Gợi ý:
Đặt \(t = \sin x\ ( - 1 \leq t \leq
1)\).
Áp dụng giải phương trình bậc hai đối với 1 hàm số lượng giác.
Hướng dẫn giải:
Đặt \(t = \sin x\ ( - 1 \leq t \leq
1)\).
Phương trình trở thành \(2t^{2} - (5m + 1)
+ 2m^{2} + 2m = 0.\) \((*)\)
Yêu cầu bài toán tương đương với:
TH1: Phương trình \((*)\) có một nghiệm \(t_{1} = - 1\) (có một nghiệm \(x\)) và một nghiệm \(0 < t_{2} < 1\) (có bốn nghiệm \(x\))
Do \(t_{1} = - 1 \Rightarrow t_{2} = -
\frac{c}{a} = - m^{2} - m\).
Thay \(t_{1} = - 1\) vào phương trình \((*)\), ta được \(\left\lbrack \begin{matrix}
m = - 3 \rightarrow t_{2} = - 6 \notin (0;1)\ \ \ \ \ \ \ \ (L) \\
m = - \frac{1}{2} \rightarrow t_{2} = \frac{1}{4} \in (0;1)\ \ \ \ \ \ \
\ (TM) \\
\end{matrix} \right.\)
TH2: Phương trình \((*)\) có một nghiệm \(t_{1} = 1\) (có hai nghiệm \(x\)) và một nghiệm \(- 1 < t_{2} \leq 0\) (có ba nghiệm \(x\))
Do \(t_{1} = 1 \Rightarrow t_{2} =
\frac{c}{a} = m^{2} + m\).
Thay \(t_{1} = 1\) vào phương trình \((*)\), ta được \(\left\lbrack \begin{matrix}
m = 1 \rightarrow t_{2} = 2 \notin ( - 1;0\rbrack\ \ \ \ \ \ \ (L) \\
m = \frac{1}{2} \rightarrow t_{2} = \frac{3}{4} \notin ( - 1;0\rbrack\ \
\ \ \ \ \ (L) \\
\end{matrix} \right.\)
Vậy \(m = - \frac{1}{2}\) thỏa mãn yêu cầu bài toán. Do \(m = - \frac{1}{2} \in
\left( - \frac{3}{5}; - \frac{2}{5} \right).\)
Chọn D
Câu 8. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để phương trình \(2cos^{2}3x + (3 - 2m)cos3x + m - 2 = 0\) có đúng \(3\) nghiệm thuộc khoảng \(\left( - \frac{\pi}{6};\frac{\pi}{3}
\right).\)
A. \(- 1 \leq m \leq 1.\) B. \(1 < m \leq 2.\)
C. \(1 \leq m \leq 2.\) D. \(1 \leq m < 2.\)
Gợi ý:
Đặt \(t = \cos x\ ( - 1 \leq t \leq
1)\).
Áp dụng giải phương trình bậc hai đối với 1 hàm số lượng giác.
Hướng dẫn giải:
Đặt \(t = \cos x\ ( - 1 \leq t \leq
1)\). Phương trình trở thành \(2t^{2} +
(3 - 2m)t + m - 2 = 0.\)
Ta có \(\Delta = (2m - 5)^{2}\). Suy ra phương trình có hai nghiệm \(\left\lbrack
\begin{matrix}
t_{1} = \frac{1}{2} \\
t_{2} = m - 2 \\
\end{matrix} \right.\ .\)
Ta thấy ứng với một nghiệm \(t_{1} =
\frac{1}{2}\) thì cho ta hai nghiệm \(x\) thuộc khoảng \(\left( - \frac{\pi}{6};\frac{\pi}{3}
\right).\) Do đó yêu cầu bài toán \(- 1
< t_{2} \leq 0 \Leftrightarrow - 1 < m - 2 \leq 0 \Leftrightarrow
1 < m \leq 2.\)
Chọn B
Cách 2. Yêu cầu bài toán tương đương với phương trình \(2t^{2} + (3 - 2m)t + m - 2 = 0\) có hai nghiệm \(t_{1},\ t_{2}\) thỏa mãn \(- 1 < t_{2} \leq 0 < t_{1} < 1
\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
P \leq 0 \\
a.f(1) > 0 \\
a.f( - 1) > 0 \\
\end{matrix} \right.\ .\)
Câu 9. Cho \(x\) thỏa mãn \(2sin2x - 3\sqrt{6}\left| \sin x + \cos x \right| +
8 = 0\). Tính \(sin2x.\)
A. \(sin2x = - \frac{1}{2}.\) B. \(sin2x = - \frac{\sqrt{2}}{2}.\)
C. \(sin2x = \frac{1}{2}.\) D. \(sin2x = \frac{\sqrt{2}}{2}.\)
Gợi ý:
Đặt \(t = \left| \sin x + \cos x
\right|\) và dùng công tức lượng giác biến đổi \(sin2x\).
Áp dụng giải phương trình bậc nhất đối với 1 hàm số lượng giác.
Hướng dẫn giải:
Đặt \(t = \left| \sin x + \cos x \right| =
\sqrt{2}\left| \sin\left( x + \frac{\pi}{4} \right) \right|\). Vì \(\sin\left( x + \frac{\pi}{4} \right) \in
\lbrack - \ 1;1\rbrack \Rightarrow t \in \left\lbrack 0;\sqrt{2}
\right\rbrack\).
Ta có \(t^{2} = \left( \sin x + \cos x
\right)^{2} = sin^{2}x + cos^{2}x + 2sinx\cos x \Rightarrow sin2x =
t^{2} - 1.\)
Phương trình đã cho trở thành \(2\left(
t^{2} - 1 \right) - 3\sqrt{6}\ t + 8 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack
\begin{matrix}
t = \frac{\sqrt{6}}{2}\ \ \ \ \ \ (TM) \\
t = \sqrt{6}\ \ \ \ \ \ \ \ (L) \\
\end{matrix} \right.\)
\(sin2x = t^{2} - 1 =
\frac{1}{2}.\)
III. Bài tập tự luyện giải phương trình lượng giác
Bài 1: Giải các phương trình sau:
| \(a. 6{{\cos }^{2}}x+5\sin x-7=0\) |
\(b. \cos 2x+\cos x+1=0\) |
| \(c. 4{{\sin }^{4}}x+12{{\cos }^{2}}x=7\) |
\(d. \cos 2x-5\sin x-3=0\) |
| \(e. 6{{\sin }^{2}}3x+\cos 12x=14\) |
\(f. 8{{\sin }^{2}}x-\cos x=5\) |
Bài 2: Cho phương trình: \({{\cos }^{2}}x+2\left( 1-m \right)\cos x+2m-1=0\). Tìm m để phương trình có 4 nghiệm thuộc \(\left[ 0,2m \right]\)
Bài 3: Xác định m để phương trình: \(m\cos 2x-4\left( m-2 \right)\cos x+3\left( m-2 \right)=0\) có đúng 2 nghiệm thuộc \(\left( -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2} \right)\).
--------------------------------------------------
Việc thành thạo cách giải phương trình bậc hai chứa một hàm số lượng giác không chỉ giúp bạn làm tốt các bài kiểm tra, mà còn là nền tảng vững chắc để chinh phục các dạng toán lượng giác nâng cao hơn. Hy vọng với hướng dẫn chi tiết và ví dụ minh họa trong bài viết, bạn đã có thể tự tin giải quyết dạng bài này một cách hiệu quả. Đừng quên luyện tập thêm nhiều bài tập khác để ghi nhớ kiến thức lâu hơn. Chúc bạn học tốt!
