Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác
Phương trình bậc hai với một hàm số lượng giác lớp 11
Bạn đang gặp khó khăn khi giải các phương trình bậc hai có chứa hàm lượng giác như sin, cos, tan? Đây là một dạng toán quan trọng và thường xuyên xuất hiện trong các đề thi THPT Quốc gia cũng như các kỳ kiểm tra Toán lớp 11 và 12. Trong bài viết này, chúng tôi sẽ hướng dẫn bạn cách nhận dạng và giải phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác một cách chi tiết, dễ hiểu nhất. Bài viết đi kèm ví dụ minh họa và lời giải cụ thể, giúp bạn nắm vững phương pháp giải nhanh, chính xác.
Tài liệu do VnDoc.com biên soạn và đăng tải, nghiêm cấm các hành vi sao chép với mục đích thương mại.
Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác
I. Cách giải phương trình lượng giác bậc hai
Phương trình có dạng:
Phương pháp làm bài: Đặt
Khi đó phương trình trở thành:
Giải phương trình bậc hai ta tìm được u, từ đó tìm được x.
II. Bài tập ví dụ minh họa giải phương trình có đáp án chi tiết
Câu 1: Giải phương trình:
Hướng dẫn giải
Đặt
Câu 2: Cho phương trình:
a. Giải phương trình khi
b. Tìm m nguyên dương để phương trình có nghiệm
Hướng dẫn giải
Biến đổi phương trình:
a. Với
Phương trình trở thành
b. Đặt
Để phương trình ban đầu có nghiệm thì phương trình (*) có nghiệm thuộc
Câu 3: Giải phương trình:
Hướng dẫn giải
Đặt
Câu 4: Cho phương trình:
a. Giải phương trình với m = 2
b. Tìm m để phương trình có đúng 3 nghiệm thuộc khoảng
Hướng dẫn giải
Điều kiện:
Biến đổi phương trình ta có:
a. Thay m = 2 vào phương trình:
Đặt
b. Để phương trình có đúng 3 nghiệm thì phương trình (*) có 2 nghiệm trái dấu
Câu 5: Cho phương trình:
Hướng dẫn giải
Với x thuộc khoảng
Câu 6. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
A.
C.
Gợi ý:
Dùng công thức nhân đôi để đưa bài về phương trình bậc hai đối với 1 hàm số lượng giác.
Hướng dẫn giải:
Phương trình
Nhận thấy phương trình
Do đó yêu cầu bài toán
Chọn B
Bài tập nâng cao
Câu 7. Biết rằng khi
A.
C.
Gợi ý:
Đặt
Áp dụng giải phương trình bậc hai đối với 1 hàm số lượng giác.
Hướng dẫn giải:
Đặt
Phương trình trở thành
Yêu cầu bài toán tương đương với:
TH1: Phương trình
Do
Thay
TH2: Phương trình
Do
Thay
Vậy
Chọn D
Câu 8. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
A.
C.
Gợi ý:
Đặt
Áp dụng giải phương trình bậc hai đối với 1 hàm số lượng giác.
Hướng dẫn giải:
Đặt
Ta có
Ta thấy ứng với một nghiệm
Chọn B
Cách 2. Yêu cầu bài toán tương đương với phương trình
Câu 9. Cho
A.
C.
Gợi ý:
Đặt
Áp dụng giải phương trình bậc nhất đối với 1 hàm số lượng giác.
Hướng dẫn giải:
Đặt
Ta có
Phương trình đã cho trở thành
III. Bài tập tự luyện giải phương trình lượng giác
Bài 1: Giải các phương trình sau:
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
Bài 2: Cho phương trình:
Bài 3: Xác định m để phương trình:
--------------------------------------------------
Việc thành thạo cách giải phương trình bậc hai chứa một hàm số lượng giác không chỉ giúp bạn làm tốt các bài kiểm tra, mà còn là nền tảng vững chắc để chinh phục các dạng toán lượng giác nâng cao hơn. Hy vọng với hướng dẫn chi tiết và ví dụ minh họa trong bài viết, bạn đã có thể tự tin giải quyết dạng bài này một cách hiệu quả. Đừng quên luyện tập thêm nhiều bài tập khác để ghi nhớ kiến thức lâu hơn. Chúc bạn học tốt!
- Một số phương trình lượng giác thường gặp
- Bài 1: Quy tắc đếm
- Quy tắc đếm
- Trắc nghiệm Quy tắc đếm
- Giải bài tập trang 46 SGK Giải tích 11: Quy tắc đếm
- Bài 2: Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp
- Bài tập trắc nghiệm Hoán vị, Chỉnh hợp, Tổ hợp (Có đáp án)
- Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp môn Toán lớp 11
- Giải bài tập trang 54, 55 SGK Giải tích 11: Hoán vị - chỉnh hợp - tổ hợp
- Bài 3: Nhị thức Niu-tơn
- Bài tập trắc nghiệm Nhị thức Newton (Có đáp án)
- Nhị thức Newton Toán 11
- Giải bài tập trang 57, 58 SGK Giải tích 11: Nhị thức Niu - tơn
- Bài 4: Phép thử và biến cố
- Toán 11 Bài 4: Phép thử và biến cố
- Bài tập trắc nghiệm Phép thử và Biến cố (Có đáp án)
- Giải bài tập trang 63, 64 SGK Giải tích 11: Phép thử và biến cố
- Bài 5: Xác suất của biến cố
- Toán 11 Bài 5: Xác suất của biến cố
- Xác suất của biến cố Toán 11
- Giải bài tập trang 74, 75 SGK Giải tích 11: Xác suất và biến cố
- Bài tập trắc nghiệm Xác xuất (Có đáp án)
- Ôn tập chương 2
- Giải bài tập Toán 11 ôn tập chương 2: Tổ hợp - xác suất