Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
VnDoc.com Lớp 11 Toán 11

Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác

Giải phương trình lượng giác lớp 11
Tải về

Phương trình bậc hai với một hàm số lượng giác lớp 11

VnDoc.com xin giới thiệu tới quý thầy cô và các bạn học sinh tài liệu tham khảo Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác. Tài liệu được VnDoc biên soạn và đăng tải, hi vọng sẽ giúp các bạn ôn tập kiến thức môn Toán hiệu quả, sẵn sàng cho những kì thi sắp tới. Mời các bạn tham khảo và tải về miễn phí tại đây!

Để tiện trao đổi, chia sẻ kinh nghiệm về giảng dạy và học tập các môn học lớp 11, VnDoc mời các thầy cô giáo, các bậc phụ huynh và các bạn học sinh truy cập nhóm riêng dành cho lớp 11 sau: Nhóm Tài liệu học tập lớp 11. Rất mong nhận được sự ủng hộ của các thầy cô và các bạn.

Tài liệu do VnDoc.com biên soạn và đăng tải, nghiêm cấm các hành vi sao chép với mục đích thương mại.

Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác

I.Phương pháp làm bài

Phương trình có dạng: af{{\left( x \right)}^{2}}+bf\left( x \right)+c=0,\left( a\ne 0 \right)\(af{{\left( x \right)}^{2}}+bf\left( x \right)+c=0,\left( a\ne 0 \right)\)

f\left( x \right)=\sin m\left( x \right),\cos m\left( x \right),\tan m\left( x \right),\cot m\left( x \right)\(f\left( x \right)=\sin m\left( x \right),\cos m\left( x \right),\tan m\left( x \right),\cot m\left( x \right)\)

Phương pháp làm bài: Đặt u=f\left( x \right)\(u=f\left( x \right)\), chú ý đối với hàmf\left( x \right)=\sin m\left( x \right),\cos m\left( x \right)\(f\left( x \right)=\sin m\left( x \right),\cos m\left( x \right)\)  ta cần thêm điều kiện u \in [-1,1]\(u \in [-1,1]\) 

Khi đó phương trình trở thành: a{{u}^{2}}+bu+c=0\(a{{u}^{2}}+bu+c=0\)

Giải phương trình bậc hai ta tìm được u, từ đó tìm được x.

II.Bài tập ví dụ minh họa

Câu 1: Giải phương trình: \cos 2x+{{\sin }^{2}}x+2\cos x+1=0\(\cos 2x+{{\sin }^{2}}x+2\cos x+1=0\)

Hướng dẫn giải

\cos 2x+{{\sin }^{2}}x+2\cos x+1=0\(\cos 2x+{{\sin }^{2}}x+2\cos x+1=0\)

\Leftrightarrow 2{{\cos }^{2}}x-1+1-{{\cos }^{2}}x+2\cos x+1=0\(\Leftrightarrow 2{{\cos }^{2}}x-1+1-{{\cos }^{2}}x+2\cos x+1=0\)

\Leftrightarrow {{\cos }^{2}}x+2\cos x+1=0\(\Leftrightarrow {{\cos }^{2}}x+2\cos x+1=0\)

Đặt t=\cos x,t\in \left[ -1,1 \right]\(t=\cos x,t\in \left[ -1,1 \right]\). Phương trình trở thành {{t}^{2}}+2t+1=0\Leftrightarrow {{\left( t+1 \right)}^{2}}=0\Leftrightarrow t=-1\({{t}^{2}}+2t+1=0\Leftrightarrow {{\left( t+1 \right)}^{2}}=0\Leftrightarrow t=-1\)

\Leftrightarrow \cos x=-1\Leftrightarrow x=-\pi +2k\pi ,\left( k\in \mathbb{Z} \right)\(\Leftrightarrow \cos x=-1\Leftrightarrow x=-\pi +2k\pi ,\left( k\in \mathbb{Z} \right)\)

Câu 2: Cho phương trình: 4{{\sin }^{2}}2x+8{{\cos }^{2}}x+3m-5=0\(4{{\sin }^{2}}2x+8{{\cos }^{2}}x+3m-5=0\)

a. Giải phương trình khi m=-\frac{4}{3}\(m=-\frac{4}{3}\)

b. Tìm m nguyên dương để phương trình có nghiệm

Hướng dẫn giải

Biến đổi phương trình:

4{{\sin }^{2}}2x+8{{\cos }^{2}}x+3m-5=0\(4{{\sin }^{2}}2x+8{{\cos }^{2}}x+3m-5=0\)

\Leftrightarrow 4{{\sin }^{2}}2x+4\left( \cos 2x+1 \right)+3m-5=0\(\Leftrightarrow 4{{\sin }^{2}}2x+4\left( \cos 2x+1 \right)+3m-5=0\)

\Leftrightarrow 4\left( 1-{{\cos }^{2}}2x \right)+4\left( \cos 2x+1 \right)+3m-5=0\(\Leftrightarrow 4\left( 1-{{\cos }^{2}}2x \right)+4\left( \cos 2x+1 \right)+3m-5=0\)

\Leftrightarrow -4{{\cos }^{2}}2x+4\cos 2x+3m+3=0\(\Leftrightarrow -4{{\cos }^{2}}2x+4\cos 2x+3m+3=0\)

a. Với m=-\frac{4}{3}\(m=-\frac{4}{3}\) phương trình trở thành:

\Leftrightarrow -4{{\cos }^{2}}2x+4\cos 2x-1=0\(\Leftrightarrow -4{{\cos }^{2}}2x+4\cos 2x-1=0\). Đặt t=\cos 2x,t\in \left[ -1,1 \right]\(t=\cos 2x,t\in \left[ -1,1 \right]\)

Phương trình trở thành -4{{t}^{2}}+4t-1=0\Leftrightarrow t=\frac{1}{2}\(-4{{t}^{2}}+4t-1=0\Leftrightarrow t=\frac{1}{2}\)

\Rightarrow \cos 2x=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow 2x=\pm \dfrac{\pi }{3}+k2\pi \Leftrightarrow x=\pm \dfrac{\pi }{6}+k\pi ,\left( k\in \mathbb{Z} \right)\(\Rightarrow \cos 2x=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow 2x=\pm \dfrac{\pi }{3}+k2\pi \Leftrightarrow x=\pm \dfrac{\pi }{6}+k\pi ,\left( k\in \mathbb{Z} \right)\)

b. Đặt t=\cos 2x,t\in \left[ -1,1 \right]\(t=\cos 2x,t\in \left[ -1,1 \right]\), phương trình trở thành:

-4{{t}^{2}}+4t+3m+3=0(*)\(-4{{t}^{2}}+4t+3m+3=0(*)\)

Để phương trình ban đầu có nghiệm thì phương trình (*) có nghiệm thuộc \left[ -1,1 \right]\(\left[ -1,1 \right]\)

\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} f\left( 1 \right)f\left( -1 \right)\le 0 \\ \left\{ \begin{matrix} \Delta \(\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} f\left( 1 \right)f\left( -1 \right)\le 0 \\ \left\{ \begin{matrix} \Delta '\ge 0 \\ af(-1)\ge 0 \\ af\left( 1 \right)\ge 0 \\ -1\le \frac{S}{2}\le 1 \\ \end{matrix} \right. \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} \left( 5-3m \right)\left( -3-3m \right)\le 0 \\ \left\{ \begin{matrix} 16+12m\ge 0 \\ 5-3m\ge 0 \\ 3-3m\ge 0 \\ -1\le \frac{1}{2}\le 1 \\ \end{matrix} \right. \\ \end{matrix} \right.\)

\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \dfrac{-4}{5}\le m\le \dfrac{5}{3} \\ m\in {{\mathbb{Z}}^{+}} \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow m=\left\{ -1,0,1 \right\}\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \dfrac{-4}{5}\le m\le \dfrac{5}{3} \\ m\in {{\mathbb{Z}}^{+}} \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow m=\left\{ -1,0,1 \right\}\)

Câu 3: Giải phương trình: \sqrt{3}{{\cot }^{2}}x-4\cot x+\sqrt{3}=0\(\sqrt{3}{{\cot }^{2}}x-4\cot x+\sqrt{3}=0\)

Hướng dẫn giải

Đặt t={{\cot }^{2}}x\(t={{\cot }^{2}}x\), phương trình trở thành:

\sqrt{3}{{t}^{2}}-4t+\sqrt{3}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} t=\sqrt{3} \\ t=\dfrac{\sqrt{3}}{3} \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} \cot x=\sqrt{3} \\ \cot x=\dfrac{\sqrt{3}}{3} \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x=\dfrac{\pi }{6}+k\pi \\ x=\dfrac{\pi }{3}+k\pi \\ \end{matrix} \right.\left( k\in \mathbb{Z} \right)\(\sqrt{3}{{t}^{2}}-4t+\sqrt{3}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} t=\sqrt{3} \\ t=\dfrac{\sqrt{3}}{3} \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} \cot x=\sqrt{3} \\ \cot x=\dfrac{\sqrt{3}}{3} \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x=\dfrac{\pi }{6}+k\pi \\ x=\dfrac{\pi }{3}+k\pi \\ \end{matrix} \right.\left( k\in \mathbb{Z} \right)\)

Câu 4: Cho phương trình: \dfrac{{{m}^{2}}-1}{{{\cos }^{2}}x}-2m\tan x+2-{{m}^{2}}=0\(\dfrac{{{m}^{2}}-1}{{{\cos }^{2}}x}-2m\tan x+2-{{m}^{2}}=0\)

a. Giải phương trình với m = 2

b. Tìm m để phương trình có đúng 3 nghiệm thuộc khoảng \left( -\pi ,\dfrac{\pi }{2} \right)\(\left( -\pi ,\dfrac{\pi }{2} \right)\)

Hướng dẫn giải

Điều kiện: \cos x\ne 0\Leftrightarrow x\ne \dfrac{\pi }{2}+k\pi ,\left( k\in \mathbb{Z} \right)\(\cos x\ne 0\Leftrightarrow x\ne \dfrac{\pi }{2}+k\pi ,\left( k\in \mathbb{Z} \right)\)

Biến đổi phương trình ta có:

\left( {{m}^{2}}-1 \right)\left( {{\tan }^{2}}x+1 \right)-2m\tan x+2-{{m}^{2}}=0\(\left( {{m}^{2}}-1 \right)\left( {{\tan }^{2}}x+1 \right)-2m\tan x+2-{{m}^{2}}=0\)

\Leftrightarrow \left( {{m}^{2}}-1 \right){{\tan }^{2}}x-2m\tan x+1=0(*)\(\Leftrightarrow \left( {{m}^{2}}-1 \right){{\tan }^{2}}x-2m\tan x+1=0(*)\)

a. Thay m = 2 vào phương trình: 3{{\tan }^{2}}x-4\tan x+1=0\(3{{\tan }^{2}}x-4\tan x+1=0\)

Đặt t=\tan x\Rightarrow 3{{t}^{2}}-4t+1=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} t=1 \\ t=\dfrac{1}{3} \\ \end{matrix} \right.\(t=\tan x\Rightarrow 3{{t}^{2}}-4t+1=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} t=1 \\ t=\dfrac{1}{3} \\ \end{matrix} \right.\)

\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x=\dfrac{\pi }{4}+k\pi \\ x=\arctan \dfrac{1}{3}+k\pi \\ \end{matrix} \right.\left( k\in \mathbb{Z} \right)\(\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x=\dfrac{\pi }{4}+k\pi \\ x=\arctan \dfrac{1}{3}+k\pi \\ \end{matrix} \right.\left( k\in \mathbb{Z} \right)\)

b. Để phương trình có đúng 3 nghiệm thì phương trình (*) có 2 nghiệm trái dấu

\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m\ne \pm 1 \\ \dfrac{1}{m-1}.\dfrac{1}{m+1}<0 \\ \end{matrix}\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m\ne \pm 1 \\ {{m}^{2}}-1<0 \\ \end{matrix}\Leftrightarrow \left| m \right|<1 \right. \right.\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m\ne \pm 1 \\ \dfrac{1}{m-1}.\dfrac{1}{m+1}<0 \\ \end{matrix}\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m\ne \pm 1 \\ {{m}^{2}}-1<0 \\ \end{matrix}\Leftrightarrow \left| m \right|<1 \right. \right.\)

Câu 5: Cho phương trình: {{\cos }^{2}}x-\left( 2m+1 \right)\cos x+m+1=0\({{\cos }^{2}}x-\left( 2m+1 \right)\cos x+m+1=0\) Tìm m để phương trình có nghiệm thuộc \left[ \frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2} \right]\(\left[ \frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2} \right]\)

Hướng dẫn giải

Với x thuộc khoảng \left[ \dfrac{\pi }{2},\dfrac{3\pi }{2} \right]\Leftrightarrow -1\le \cos x\le 0\(\left[ \dfrac{\pi }{2},\dfrac{3\pi }{2} \right]\Leftrightarrow -1\le \cos x\le 0\) nên để phương trình có nghiệm thì -1\le m\le 0\(-1\le m\le 0\)

II.Bài tập tự luyện

Bài 1: Giải các phương trình sau:

a. 6{{\cos }^{2}}x+5\sin x-7=0\(a. 6{{\cos }^{2}}x+5\sin x-7=0\) b. \cos 2x+\cos x+1=0\(b. \cos 2x+\cos x+1=0\)
c. 4{{\sin }^{4}}x+12{{\cos }^{2}}x=7\(c. 4{{\sin }^{4}}x+12{{\cos }^{2}}x=7\) d. \cos 2x-5\sin x-3=0\(d. \cos 2x-5\sin x-3=0\)
e. 6{{\sin }^{2}}3x+\cos 12x=14\(e. 6{{\sin }^{2}}3x+\cos 12x=14\) f. 8{{\sin }^{2}}x-\cos x=5\(f. 8{{\sin }^{2}}x-\cos x=5\)

Bài 2: Cho phương trình: {{\cos }^{2}}x+2\left( 1-m \right)\cos x+2m-1=0\({{\cos }^{2}}x+2\left( 1-m \right)\cos x+2m-1=0\). Tìm m để phương trình có 4 nghiệm thuộc \left[ 0,2m \right]\(\left[ 0,2m \right]\)

Bài 3: Xác định m để phương trình: m\cos 2x-4\left( m-2 \right)\cos x+3\left( m-2 \right)=0\(m\cos 2x-4\left( m-2 \right)\cos x+3\left( m-2 \right)=0\) có đúng 2 nghiệm thuộc \left( -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2} \right)\(\left( -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2} \right)\)

Trên đây VnDoc đã chia sẻ đến các bạn học sinh Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác nhằm cung cấp cơ sở kiến thức ôn tập cho các bạn học sinh, giúp các bạn tiếp xúc với nhiều dạng bài về hàm số lượng giác. Bài viết đã cho chúng ta thấy được phương pháp làm bài và một số bài tập vận dụng về phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác. Hi vọng qua bài viết này bạn đọc có thêm nhiều tài liệu học tập hơn nữa. Chúc các bạn ôn tập thật tốt!

Ngoài ra, VnDoc mời bạn đọc cùng tham khảo thêm một số tài liệu liên quan:

Chia sẻ, đánh giá bài viết
1
18.737 Bài viết đã được lưu
Mục lục
Tìm thêm: phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác lượng giác phương trình lượng giác
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Toán 11
Tải xuống

Tham khảo thêm

🖼️

Gợi ý cho bạn
Xem thêm
🖼️

Toán 11
Xem thêm