Cách giải phương trình mũ chi tiết và dễ hiểu

Phương trình mũ là một phần quan trọng trong chương trình Toán học THPT, đặc biệt là lớp 11. Nếu bạn đang loay hoay không biết bắt đầu từ đâu, bài viết này sẽ hướng dẫn cách giải phương trình mũ chi tiết và dễ hiểu nhất. Với hệ thống ví dụ minh họa rõ ràng, công thức cơ bản và mẹo giải nhanh, bạn sẽ dễ dàng nắm vững kiến thức và tự tin xử lý mọi dạng bài tập. Đừng bỏ lỡ!

A. Cách giải phương trình mũ 

1. Phương trình mũ là gì?

Phương trình mũ cơ bản có dạng

\({a^x} = b{\text{ }}\left( {a > 0,{\text{ }}a \ne 1} \right)\)

Để giải phương trình mũ, ta xét hai trường hợp sau:

Phương trình có một nghiệm duy nhất khi \(b > 0\)

Phương trình vô nghiệm khi \(b \leq 0\)

2. Các cách giải phương trình mũ 

a. Biến đổi, quy về cùng cơ số

b. Đặt ẩn phụ

Ta thường gặp các dạng:

• \(m.{a^{2f\left( x \right)}} + n.{a^{f\left( x \right)}} + p = 0\)
• \(m.{a^{f\left( x \right)}} + n.{b^{f\left( x \right)}} + p = 0\), trong đó \(a.b=1\). Đặt \(t = {a^{f\left( x \right)}},{\text{ }}t > 0\), suy ra \({b^{f\left( x \right)}} = \frac{1}{t}\).
• \(m.{a^{2f\left( x \right)}} + n.{\left( {a.b} \right)^{f\left( x \right)}} + p.{b^{2f\left( x \right)}} = 0\). Chia hai vế cho \({b^{2f\left( x \right)}}\) và đặt \({\left( {\frac{a}{b}} \right)^{f\left( x \right)}} = t > 0\).

c. Giải bằng phương pháp đồ thị

• Giải phương trình: \(a^x = f(x)\) \(\left( {0 < a \ne 1} \right)\). (*)
• Xem phương trình (*) là phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị \(y=a^x\) \(\left( {0 < a \ne 1} \right)\) và \(y=f(x)\). Khi đó ta thực hiện hai bước:

- Bước 1: Vẽ đồ thị các hàm số \(y=a^x\) \(\left( {0 < a \ne 1} \right)\) và \(y=f(x)\).

- Bước 2: Kết luận nghiệm của phương trình đã cho là số giao điểm của hai đồ thị.

d. Sử dụng tính đơn điệu của hàm số

• Tính chất 1:

Nếu hàm số \(y=f(x)\) luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) trên \((a;b)\) thì số nghiệm của phương trình \(f(x)=k\) trên \((a;b)\) không nhiều hơn một và \(f\left( u \right) = f\left( v \right) \Leftrightarrow u = v\), \(\forall u,v \in \left( {a;b} \right)\) .

• Tính chất 2:

Nếu hàm số \(y=f(x)\) liên tục và luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) ; hàm số \(y = g(x)\) liên tục và luôn nghịch biến (hoặc luôn đồng biến) trên D thì số nghiệm trên của phương trình \(f(x)=g(x)\) không nhiều hơn một.

• Tính chất 3:

Nếu hàm số \(y=f(x)\) luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) trên D thì bất phương trình \(f\left( u \right) > f\left( v \right) \Leftrightarrow u > v{\text{ }}\left( {{\text{hoặc }}u < v} \right){\text{, }}\forall u,v \in D\).

e. Sử dụng đánh giá

• Giải phương trình \(f(x)=g(x)\).
• Nếu ta đánh giá được \(\left\{ \begin{gathered} f\left( x \right) \geqslant m \hfill \\ g\left( x \right) \leqslant m \hfill \\ \end{gathered} \right.\) thì \(f\left( x \right) = g\left( x \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} f\left( x \right) = m \hfill \\ g\left( x \right) = m \hfill \\ \end{gathered} \right.\) .

B. Bài tập giải phương trình mũ có đáp án chi tiết

Bài 1. Giải phương trình: \(8^{x} + 1 = 2\ \sqrt[3]{2^{x + 1} - 1}\)

Hướng dẫn giải

Đặt \(2^{x} = u > 0;\sqrt[3]{2^{x + 1} - 1} = v\).

Phương trình ⇔ \(\left\{ \begin{matrix} u^{3} + 1 = 2v \\ v^{3} + 1 = 2u \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} u^{3} + 1 = 2v \\ (u - v)(u^{2} + uv + v^{2} + 2) = 0 \\ \end{matrix} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} u = v > 0 \\ u^{3} - 2u + 1 = 0 \\ \end{matrix} \right.\) ⇔ \(\left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = log_{2}\frac{- 1 + \sqrt{5}}{2} \\ \end{matrix} \right.\)

Bài 2. Giải phương trình: \(3^{x}.2x = 3^{x} + 2x + 1\)

Hướng dẫn giải

Phương trình ⇔ \(3^{x}(2x - 1) = 2x + 1\) (1).

Ta thấy \(x = \frac{1}{2}\) không phải là nghiệm của (1).

Với \(x \neq \frac{1}{2}\), ta có:

(1) ⇔ \(3^{x} = \frac{2x + 1}{2x - 1}\) ⇔ \(3^{x} - \frac{2x + 1}{2x - 1} = 0\)

Đặt \(f(x) = 3^{x} - \frac{2x + 1}{2x - 1} = 3^{x} - 2 - \frac{3}{2x - 1}\).

Ta có: \(f^{'}(x) = 3^{x}ln3 + \frac{6}{(2x - 1)^{2}} > 0,\ \ \forall x \neq \frac{1}{2}\)

Do đó f(x) đồng biến trên các khoảng \(\left( - \infty;\frac{1}{2} \right)\) và \(\ \left( \frac{1}{2}; + \infty \right)\)

⇒ Phương trình f(x) = 0 có nhiều nhất 1 nghiệm trên từng khoảng \(\left( - \infty;\frac{1}{2} \right),\ \ \left( \frac{1}{2}; + \infty \right)\).

Ta thấy \(x = 1,\ \ x = - 1\) là các nghiệm của f(x) = 0.

Vậy phương trình có 2 nghiệm \(x = 1,\ \ x = - 1\).

Bài 3. Giải phương trình: 25^x – 6.5^x + 5 = 0

Hướng dẫn giải

Ta có:

25^x – 6.5^x + 5 = 0 ⇔ \((5^{x})^{2} - 6.5^{x} + 5 = 0\)

⇔ 5^x = 1 hay 5^x = 5

⇔ x = 0 hay x = 1.

Bài 4. Giải phương trình \(4^{x} - 2^{x + 1} + 2\left( 2^{x} - 1 \right)\sin\left( 2^{x} + y - 1 \right) + 2 = 0\)(*)

Hướng dẫn giải

Ta có: (*) ⇔ \(\left( 2^{x} - 1 + \sin\left( 2^{x} + y - 1 \right) \right)^{2} + cos^{2}\left( 2^{x} + y - 1 \right) = 0\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2^{x} - 1 + \sin\left( 2^{x} + y - 1 \right) = 0(1) \\ cos\left( 2^{x} + y - 1 \right) = 0(2) \\ \end{matrix} \right.\)

Từ (2) ⇒ \(\sin\left( 2^{x} + y - 1 \right) = \pm 1\).

Khi \(\sin\left( 2^{x} + y - 1 \right) = 1\), thay vào (1), ta được: 2^x = 0 (VN)

Khi \(\sin\left( 2^{x} + y - 1 \right) = - 1\), thay vào (1), ta được: 2^x = 2 ⇔ x = 1.

Thay x = 1 vào (1) ⇒ sin(y +1) = -1 ⇔ \(y = - 1 - \frac{\pi}{2} + k\pi,k \in Z\).

Phương trình có nghiệm: \(\left( 1; - 1 - \frac{\pi}{2} + k\pi,k \in Z \right)\).

Không thể hiển thị hết nội dung tại đây — bấm Tải về để lấy toàn bộ tài liệu.

--------------------------------

Trên đây là toàn bộ hướng dẫn về cách giải phương trình mũ từ cơ bản đến nâng cao, kèm theo các ví dụ thực tiễn giúp bạn luyện tập hiệu quả. Việc nắm chắc phương pháp giải và công thức mấu chốt sẽ giúp bạn vượt qua mọi dạng bài trong kỳ thi. Hãy luyện tập thường xuyên để ghi nhớ lâu và phản xạ nhanh khi gặp dạng toán này. Nếu bạn thấy bài viết hữu ích, đừng ngần ngại chia sẻ cho bạn bè cùng học nhé!