VnDoc.com

Cách đếm số nghiệm phương trình lượng giác trong khoảng đơn giản và chính xác

Giải phương trình lượng giác Toán 11

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 11

Môn: Toán

Dạng tài liệu: Chuyên đề

Mức độ: Trung bình

Loại File: Word + PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Đếm số nghiệm phương trình lượng giác

Phương trình lượng giác là một trong những phần quan trọng trong chương trình Toán 11, giúp học sinh làm quen với việc áp dụng các công thức lượng giác để giải quyết các bài toán trong khoảng. Một trong những kỹ năng quan trọng cần có là đếm số nghiệm phương trình lượng giác trong một khoảng. Việc hiểu và áp dụng đúng các phương pháp đếm nghiệm giúp học sinh không chỉ giải quyết các bài tập trong sách giáo khoa mà còn tự tin hơn trong các bài kiểm tra và kỳ thi.

A. Bài tập minh họa đếm số nghiệm phương trình lượng giác trong khoảng

Ví dụ 1. Tìm tổng tất cả các nghiệm thuộc đoạn $\lbrack 0;10\pi\rbrack$ $\lbrack 0;10\pi\rbrack$ của phương trình $sin^{2}2x + 3sin2x + 2 = 0$ $sin^{2}2x + 3sin2x + 2 = 0$.

Hướng dẫn giải

Ta có: $sin^{2}2x + 3sin2x + 2 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} sin2x = - 1 \\ sin2x = - 2(L) \end{matrix} \right.$ $sin^{2}2x + 3sin2x + 2 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} sin2x = - 1 \\ sin2x = - 2(L) \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow sin2x = - 1 \Leftrightarrow x = - \frac{\pi}{4} + k\pi$ $\Leftrightarrow sin2x = - 1 \Leftrightarrow x = - \frac{\pi}{4} + k\pi$, $k\mathbb{\in Z}$ $k\mathbb{\in Z}$.

Theo đề bài: $0 \leq - \frac{\pi}{4} + k\pi \leq 10\pi \Leftrightarrow \frac{1}{4} \leq k \leq \frac{41}{4} \Rightarrow k = 1,2,...,10$ $0 \leq - \frac{\pi}{4} + k\pi \leq 10\pi \Leftrightarrow \frac{1}{4} \leq k \leq \frac{41}{4} \Rightarrow k = 1,2,...,10$.

Vậy tổng các nghiệm là:

$S = \frac{3\pi}{4} + \left( \frac{3\pi}{4} + \pi \right) + ... + \left( \frac{3\pi}{4} + 9\pi \right) = \frac{105\pi}{2}$ $S = \frac{3\pi}{4} + \left( \frac{3\pi}{4} + \pi \right) + ... + \left( \frac{3\pi}{4} + 9\pi \right) = \frac{105\pi}{2}$.

Ví dụ 2: Phương trình $cos2x + 4sinx + 5 = 0$ có bao nhiêu nghiệm trên khoảng $(0;10\pi)$ $(0;10\pi)$?

Hướng dẫn giải

Phương trình đã cho $\Leftrightarrow - 2sin^{2}x + 4sinx + 6 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \sin x = - 1 \\ \sin x = 3(ptvn) \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow x = - \frac{\pi}{2} + k2\pi,\left( k\mathbb{\in Z} \right)$ $\Leftrightarrow - 2sin^{2}x + 4sinx + 6 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \sin x = - 1 \\ \sin x = 3(ptvn) \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow x = - \frac{\pi}{2} + k2\pi,\left( k\mathbb{\in Z} \right)$.

Theo đề: $x \in (0;10\pi) \Rightarrow 0 < - \frac{\pi}{2} + k2\pi < 10\pi \Leftrightarrow \frac{1}{4} < k < \frac{21}{4}$ $x \in (0;10\pi) \Rightarrow 0 < - \frac{\pi}{2} + k2\pi < 10\pi \Leftrightarrow \frac{1}{4} < k < \frac{21}{4}$.

Vì $k\mathbb{\in Z}$ $k\mathbb{\in Z}$ nên $k \in \left\{ 1;2;3;4;5 \right\}$ $k \in \left\{ 1;2;3;4;5 \right\}$.

Vậy phương trình đã cho có 5 nghiệm trên khoảng $(0;10\pi)$ $(0;10\pi)$.

Ví dụ 3. Phương trình $cos2x + 2cosx - 3 = 0$có bao nhiêu nghiệm trong khoảng $(0\ ;\ 2019)$ $(0\ ;\ 2019)$?

Hướng dẫn giải

Ta có:

$cos2x + 2cosx - 3 = 0 \Leftrightarrow 2cos^{2}x + 2cosx - 4 = 0$ $cos2x + 2cosx - 3 = 0 \Leftrightarrow 2cos^{2}x + 2cosx - 4 = 0$

$\Leftrightarrow \cos x = 1$ $\Leftrightarrow \cos x = 1$ hay $\cos x = - 2$ $\cos x = - 2$(loại)

Với $\cos x = 1 \Leftrightarrow x = k2\pi ;k\mathbb{\in Z}$ $\cos x = 1 \Leftrightarrow x = k2\pi ;k\mathbb{\in Z}$.

Với $0 < x < 2019 \Leftrightarrow 0 < k2\pi < 2019 \Leftrightarrow 0 < k < 321.49$ $0 < x < 2019 \Leftrightarrow 0 < k2\pi < 2019 \Leftrightarrow 0 < k < 321.49$.

Vậy có tổng cộng 321 nghiệm.

Ví dụ 4. Tìm tổng tất cả các nghiệm thuộc đoạn $\lbrack 0;10\pi\rbrack$ $\lbrack 0;10\pi\rbrack$ của phương trình $\sin^{2}2x + 3\sin2x + 2 = 0$ $\sin^{2}2x + 3\sin2x + 2 = 0$.

Hướng dẫn giải

Ta có: $sin^{2}2x + 3sin2x + 2 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} sin2x = - 1 \\ sin2x = - 2\ (L) \end{matrix} \right.$ $sin^{2}2x + 3sin2x + 2 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} sin2x = - 1 \\ sin2x = - 2\ (L) \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow sin2x = - 1 \Leftrightarrow x = - \frac{\pi}{4} + k\pi$ $\Leftrightarrow sin2x = - 1 \Leftrightarrow x = - \frac{\pi}{4} + k\pi$, $k\mathbb{\in Z}$ $k\mathbb{\in Z}$.

Theo đề bài: $0 \leq - \frac{\pi}{4} + k\pi \leq 10\pi \Leftrightarrow \frac{1}{4} \leq k \leq \frac{41}{4} \Rightarrow k = 1,2,...,10$ $0 \leq - \frac{\pi}{4} + k\pi \leq 10\pi \Leftrightarrow \frac{1}{4} \leq k \leq \frac{41}{4} \Rightarrow k = 1,2,...,10$.

Vậy tổng các nghiệm là:

$S = \frac{3\pi}{4} + \left( \frac{3\pi}{4} + \pi \right) + ... + \left( \frac{3\pi}{4} + 9\pi \right) = \frac{105\pi}{2}$ $S = \frac{3\pi}{4} + \left( \frac{3\pi}{4} + \pi \right) + ... + \left( \frac{3\pi}{4} + 9\pi \right) = \frac{105\pi}{2}$.

B. Bài tập tự rèn luyện có hướng dẫn giải chi tiết

Bài tập 1. Phương trình $cos2x + 4sinx + 5 = 0$ có bao nhiêu nghiệm trên khoảng $(0;10\pi)$ $(0;10\pi)$ ?

Bài tập 2. Tính tổng $S$ các nghiệm của phương trình

$(2cos2x + 5)\left( sin^{4}x - cos^{4}x \right) + 3 = 0$ $(2cos2x + 5)\left( sin^{4}x - cos^{4}x \right) + 3 = 0$ trong khoảng $(0;2\pi)$ $(0;2\pi)$.

Bài tập 3. Tìm nghiệm của phương trình lượng giác $cos^{2}x - \cos x = 0$ $cos^{2}x - \cos x = 0$ thỏa mãn điều kiện $0 < x < \pi$ $0 < x < \pi$.

Bài tập 4. Phương trình $cos2x + \cos x = 0$ $cos2x + \cos x = 0$ có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng $( - \pi;\pi)$ $( - \pi;\pi)$?

Bài tập 5. Xác định số nghiệm của phương trình $\sin\left( 2x + \frac{9\pi}{2} \right) - 3cos\left( x - \frac{15\pi}{2} \right) = 1 + 2sinx$ $\sin\left( 2x + \frac{9\pi}{2} \right) - 3cos\left( x - \frac{15\pi}{2} \right) = 1 + 2sinx$ với $x \in \lbrack 0;2\pi\rbrack$ $x \in \lbrack 0;2\pi\rbrack$?

Bài tập 6. Phương trình $4tan^{2}x - 5tanx + 1 = 0$ $4tan^{2}x - 5tanx + 1 = 0$ có $m$ nghiệm trong khoảng $\left( - \frac{2017\pi}{2};\frac{2017\pi}{2} \right)$ $\left( - \frac{2017\pi}{2};\frac{2017\pi}{2} \right)$, giá trị của m bằng bao nhiêu?

------------------------------------------------------------

Việc đếm số nghiệm phương trình lượng giác trong khoảng không phải là một kỹ năng khó, nhưng cần sự kiên nhẫn và nắm vững các công thức lượng giác cơ bản. Sau khi áp dụng các phương pháp được trình bày trong bài viết này, bạn sẽ có thể giải quyết nhanh chóng các bài toán Toán 11 liên quan đến phương trình lượng giác.

Hy vọng rằng bài viết đã giúp bạn nắm vững cách đếm số nghiệm phương trình lượng giác và áp dụng thành thạo trong các bài tập. Đừng quên luyện tập thường xuyên để củng cố và nâng cao khả năng giải bài toán. Nếu bạn có bất kỳ câu hỏi nào, đừng ngần ngại để lại bình luận dưới bài viết. Chúng tôi luôn sẵn sàng hỗ trợ bạn!

Tải về

Chọn file muốn tải về: