Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

Đóng

Điểm danh hàng ngày

Hôm nay +3
Ngày 2 +3
Ngày 3 +3
Ngày 4 +3
Ngày 5 +3
Ngày 6 +3
Ngày 7 +5

Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm! Đăng nhập ngay để nhận điểm

Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169

VnDoc.com

Cách đếm số nghiệm phương trình lượng giác trong khoảng đơn giản và chính xác

Giải phương trình lượng giác Toán 11

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 11

Môn: Toán

Dạng tài liệu: Chuyên đề

Mức độ: Trung bình

Loại File: Word + PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Đếm số nghiệm phương trình lượng giác

A. Bài tập minh họa đếm số nghiệm phương trình lượng giác trong khoảng
B. Bài tập tự rèn luyện có hướng dẫn giải chi tiết

Phương trình lượng giác là một trong những phần quan trọng trong chương trình Toán 11, giúp học sinh làm quen với việc áp dụng các công thức lượng giác để giải quyết các bài toán trong khoảng. Một trong những kỹ năng quan trọng cần có là đếm số nghiệm phương trình lượng giác trong một khoảng. Việc hiểu và áp dụng đúng các phương pháp đếm nghiệm giúp học sinh không chỉ giải quyết các bài tập trong sách giáo khoa mà còn tự tin hơn trong các bài kiểm tra và kỳ thi.

A. Bài tập minh họa đếm số nghiệm phương trình lượng giác trong khoảng

Ví dụ 1. Tìm tổng tất cả các nghiệm thuộc đoạn [0; 10π] của phương trình sin²2x + 3sin2x + 2 = 0.

Hướng dẫn giải

Ta có:

$sin^{2}2x + 3sin2x + 2 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} sin2x = - 1 \\ sin2x = - 2(L) \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow sin2x = - 1 \Leftrightarrow x = - \frac{\pi}{4} + k\pi$ , $k\mathbb{\in Z}$ .

Theo đề bài: $0 \leq - \frac{\pi}{4} + k\pi \leq 10\pi \Leftrightarrow \frac{1}{4} \leq k \leq \frac{41}{4} \Rightarrow k = 1,2,...,10$ .

Vậy tổng các nghiệm là:

$S = \frac{3\pi}{4} + \left( \frac{3\pi}{4} + \pi \right) + ... + \left( \frac{3\pi}{4} + 9\pi \right) = \frac{105\pi}{2}$ .

Ví dụ 2: Phương trình cos2x + 4sinx + 5 = 0 có bao nhiêu nghiệm trên khoảng (0; 10π)?

Hướng dẫn giải

Phương trình đã cho $\Leftrightarrow - 2sin^{2}x + 4sinx + 6 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \sin x = - 1 \\ \sin x = 3(ptvn) \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow x = - \frac{\pi}{2} + k2\pi,\left( k\mathbb{\in Z} \right)$ .

Theo đề: $x \in (0;10\pi) \Rightarrow 0 < - \frac{\pi}{2} + k2\pi < 10\pi \Leftrightarrow \frac{1}{4} < k < \frac{21}{4}$ .

Vì $k\mathbb{\in Z}$ nên k ∈ {1; 2; 3; 4; 5}.

Vậy phương trình đã cho có 5 nghiệm trên khoảng (0; 10π).

Ví dụ 3. Phương trình cos2x + 2cosx - 3 = 0 có bao nhiêu nghiệm trong khoảng (0; 2019)?

Hướng dẫn giải

Ta có:

cos2x + 3cosx - 3 = 0 ⇔ 2cos²x + 2cosx - 4 = 0

⇔ cosx = 1 hay cosx = -2 (loại)

Với $\cos x = 1 \Leftrightarrow x = k2\pi ;k\mathbb{\in Z}$ .

Với 0 < x < 2019 ⇔ 0 < k2π < 2019 ⇔ 0 < k < 321,49.

Vậy có tổng cộng 321 nghiệm thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Ví dụ 4. Tìm tổng tất cả các nghiệm thuộc đoạn [0; 10π] của phương trình sin²2x + 3sin2x + 2 = 0.

Hướng dẫn giải

Ta có: $sin^{2}2x + 3sin2x + 2 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} sin2x = - 1 \\ sin2x = - 2\ (L) \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow sin2x = - 1 \Leftrightarrow x = - \frac{\pi}{4} + k\pi$ , $k\mathbb{\in Z}$ .

Theo đề bài: $0 \leq - \frac{\pi}{4} + k\pi \leq 10\pi \Leftrightarrow \frac{1}{4} \leq k \leq \frac{41}{4} \Rightarrow k = 1,2,...,10$ .

Vậy tổng các nghiệm là:

$S = \frac{3\pi}{4} + \left( \frac{3\pi}{4} + \pi \right) + ... + \left( \frac{3\pi}{4} + 9\pi \right) = \frac{105\pi}{2}$ .

B. Bài tập tự rèn luyện có hướng dẫn giải chi tiết

Bài tập 1. Phương trình cos2x + 4sinx + 5 = 0 có bao nhiêu nghiệm trên khoảng (0; 10π) ?

Bài tập 2. Tính tổng S các nghiệm của phương trình (2cos2x + 5)(sin⁴x - cos⁴x) + 3 = 0 trong khoảng (0; 2π).

Bài tập 3. Tìm nghiệm của phương trình lượng giác cos²x - cosx = 0 thỏa mãn điều kiện 0<x < π.

Bài tập 4. Phương trình cos2x + cosx = 0 có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng (-π; π)?

Bài tập 5. Xác định số nghiệm của phương trình $\sin\left( 2x + \frac{9\pi}{2} \right) - 3cos\left( x - \frac{15\pi}{2} \right) = 1 + 2sinx$ với $x \in \lbrack 0;2\pi\rbrack$ ?

Bài tập 6. Phương trình 4tan²x - 5tanx + 1 = 0 có nghiệm trong khoảng $\left( - \frac{2017\pi}{2};\frac{2017\pi}{2} \right)$ , giá trị của m bằng bao nhiêu?

Gợi ý tài liệu tham khảo:

------------------------------------------------------------

FAQ – Cách Đếm Số Nghiệm Phương Trình Lượng Giác Trong Khoảng

1. Đếm số nghiệm phương trình lượng giác là gì?

Đây là dạng toán yêu cầu xác định có bao nhiêu nghiệm của phương trình lượng giác nằm trong một khoảng hoặc đoạn xác định thay vì liệt kê toàn bộ nghiệm.

2. Vì sao dạng toán đếm nghiệm lượng giác quan trọng?

Đây là dạng bài thường xuất hiện trong đề thi THPT Quốc gia và các đề đánh giá năng lực, giúp kiểm tra khả năng vận dụng công thức nghiệm và tư duy xử lý khoảng nghiệm.

3. Muốn đếm số nghiệm chính xác cần thực hiện những bước nào?

Thông thường cần:

Tìm công thức nghiệm tổng quát.
Xác định khoảng cần xét.
Giải bất phương trình chứa tham số nguyên.
Đếm số giá trị nguyên thỏa mãn.

4. Những phương trình lượng giác nào thường xuất hiện trong bài toán đếm nghiệm?

Các dạng phổ biến gồm:

Phương trình sin.
Phương trình cos.
Phương trình tan.
Phương trình cot.
Phương trình lượng giác bậc cao.

5. Làm thế nào để tránh bỏ sót nghiệm?

Học sinh cần:

Viết đầy đủ nghiệm tổng quát.
Kiểm tra cẩn thận biên của khoảng.
Chú ý nghiệm trùng.
Kiểm tra điều kiện xác định của phương trình.

6. Đếm nghiệm trên đoạn và trên khoảng có gì khác nhau?

Khi xét đoạn, các giá trị ở hai đầu mút có thể được tính nếu thỏa mãn điều kiện. Đối với khoảng mở, các đầu mút không được tính vào số nghiệm.

7. Vai trò của tham số nguyên k trong bài toán đếm nghiệm là gì?

Tham số nguyên k giúp biểu diễn toàn bộ nghiệm của phương trình lượng giác. Việc đếm số nghiệm thực chất là xác định số giá trị nguyên của k thỏa mãn điều kiện.

8. Có thể sử dụng đường tròn lượng giác để đếm nghiệm không?

Có. Đường tròn lượng giác giúp học sinh hình dung vị trí nghiệm và kiểm tra nhanh số nghiệm trong một chu kỳ.

---------------------------------------

Việc đếm số nghiệm phương trình lượng giác trong khoảng không phải là một kỹ năng khó, nhưng cần sự kiên nhẫn và nắm vững các công thức lượng giác cơ bản. Sau khi áp dụng các phương pháp được trình bày trong bài viết này, bạn sẽ có thể giải quyết nhanh chóng các bài toán Toán 11 liên quan đến phương trình lượng giác.

Hy vọng rằng bài viết đã giúp bạn nắm vững cách đếm số nghiệm phương trình lượng giác và áp dụng thành thạo trong các bài tập. Đừng quên luyện tập thường xuyên để củng cố và nâng cao khả năng giải bài toán. Nếu bạn có bất kỳ câu hỏi nào, đừng ngần ngại để lại bình luận dưới bài viết. Chúng tôi luôn sẵn sàng hỗ trợ bạn!

Tải về

Chọn file muốn tải về: