VnDoc.com

Toán 11 Bài 1: Giới hạn của dãy số

Lí thuyết và Bài tập Giới hạn của dãy số

Bài trước

Tải về

Bài sau

Giới hạn của dãy số

A. Lí thuyết Giới hạn của dãy số
B.Giải bài tập Toán 11
C. Giải Vở Bài tập Toán 11
D. Bài tập giới hạn của dãy số

Lí thuyết và Bài tập Giới hạn của dãy số được VnDoc biên soạn bao gồm hướng dẫn lý thuyết và đáp án chi tiết cho từng bài tập giúp các bạn học sinh luyện tập và hiểu rõ hơn về phần Giới hạn. Qua đó giúp các bạn học sinh ôn tập, củng cố và rèn luyện thêm kiến thức đã học trong chương trình Toán 11, Mời các bạn học sinh và quý thầy cô cùng tham khảo chi tiết.

Để tiện trao đổi, chia sẻ kinh nghiệm về giảng dạy và học tập các môn học lớp 11, VnDoc mời các thầy cô giáo, các bậc phụ huynh và các bạn học sinh truy cập nhóm riêng dành cho lớp 11 sau: Nhóm Tài liệu học tập lớp 11. Rất mong nhận được sự ủng hộ của các thầy cô và các bạn.

Bản quyền thuộc về VnDoc.
Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép nhằm mục đích thương mại.

A. Lí thuyết Giới hạn của dãy số

I. Giới hạn hữu hạn của dãy số

1. Định nghĩa giới hạn của dãy số

- Dãy số _{$(u_{n})$} được gọi là có giới hạn hữu hạn bằng khi n tiến ra dương vô cực nếu với mỗi số dương nhỏ tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đề có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn số dương đó. Kí hiệu _{$lim_{x \to \infty} u_{n} = 0$}. Hay là _{$lim_{x \to 0} u_{n} = 0$} khi và chỉ khi với mọi _{$ε > 0$} nhỏ tùy, luôn tồn tại số tự nhiên _{$n_{0}$} sao cho _{$| u_{n} | < ε, \forall n > n_{0} .$}

_{$lim_{x \to \infty} u_{n} = a \Leftrightarrow lim_{x \to \infty} (u_{n} - a) = 0$} tức là mọi $\varepsilon >0$ $ε > 0$ nhỏ tùy, luôn tồn tại số tự nhiên _{$n_{0}$} sao cho _{$| u_{n} - a | < ε, \forall n > n_{0}$}

- Dãy số _{$(u_{n})$} có giới hạn là số thực được gọi là dãy số có giới hạn hữu hạn.

2. Một số giới hạn đặc biệt

$\lim \frac{1}{{{n}^{k}}}=0,\forall k\in {{\mathbb{N}}^{*}}$ $lim \frac{1}{n^{k}} = 0, \forall k \in N^{*}$
Nếu _{$| q^{n} | < 1$} thì _{$lim_{n \to \infty} q^{n} = 0$}
Nếu _{$u_{n} = c = c o n s t \Rightarrow lim_{n \to \infty} u_{n} = \underset{n \to \infty}{lim c = c}$}

Chú ý: Cách viết _{$lim u_{n} = a$} thay cho _{$lim_{x \to \infty} u_{n} = a$}

II. Một số định lí về giới hạn

Định lí 1: Nếu dãy số _{$(u_{n})$} thỏa mãn _{$| u_{n} | < v_{n}$} kể từ số hạng nào đó trở đi và _{$lim v_{n} = 0$} thì $\lim {{u}_{n}}=0$ $lim u_{n} = 0$

Định lí 2: Cho _{$lim u_{n} = a, lim v_{n} = b$}. Ta có:

$\lim ({{u}_{n}}+{{v}_{n}})=a+b$ $lim (u_{n} + v_{n}) = a + b$
$\lim ({{u}_{n}}-{{v}_{n}})=a-b$ $lim (u_{n} - v_{n}) = a - b$
Nếu _{$u_{n} \geq 0 \forall n$} thì _{$lim \sqrt{u_{n}} = \sqrt{a}$}
_{$lim (u_{n} . v_{n}) = a . b$}
_{$lim \frac{u_{n}}{v_{n}} = \frac{a}{b}$}

III. Tổng cấp số nhân lùi vô hạn

- Cho cấp số nhân _{$(u_{n})$} có công bôi q thỏa mãn $\left| q \right|<1$ $| q | < 1$ . Khi đó tổng $S={{u}_{1}}+{{u}_{2}}+...+{{u}_{n}}+....$ $S = u_{1} + u_{2} + . . . + u_{n} + . . . .$ được gọi là tổng vô hạn của cấp số nhân và $S=\lim {{S}_{n}}=\lim \frac{{{u}_{1}}\left( 1-{{q}^{n}} \right)}{1-q}=\frac{{{u}_{1}}}{1-q}$ $S = lim S_{n} = lim \frac{u_{1} (1 - q^{n})}{1 - q} = \frac{u_{1}}{1 - q}$

IV. Giới hạn vô cực của dãy số

1. Định nghĩa giới hạn vô cực của dãy số

_{$lim_{n \to \infty} u_{n} = + \infty \Leftrightarrow$}Với mỗi số dương tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều lớn hơn số dương đó.
_{$lim_{n \to \infty} u_{n} = - \infty \Leftrightarrow lim_{n \to \infty} (- u_{n}) = + \infty$}

2. Một số kết quả đặc biệt

$\lim {{n}^{k}}=+\infty ,\forall k>0$ $lim n^{k} = + \infty, \forall k > 0$
$\lim {{q}^{n}}=+\infty ,\forall q>1$ $lim q^{n} = + \infty, \forall q > 1$

3. Một vài quy tắc tìm giới hạn

Quy tắc 1: Nếu _{$lim_{n \to \infty} u_{n} = \pm \infty, lim_{n \to \infty} v_{n} = \pm \infty$} thì $\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,({{u}_{n}}.{{v}_{n}})$ $lim_{n \to \infty} (u_{n} . v_{n})$ được cho như sau:

$\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{u}_{n}}$ $lim_{n \to \infty} u_{n}$	$\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{v}_{n}}$ $lim_{n \to \infty} v_{n}$	$\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,({{u}_{n}}.{{v}_{n}})$ $lim_{n \to \infty} (u_{n} . v_{n})$
$+\infty$ $+ \infty$	$+\infty$ $+ \infty$	$+\infty$ $+ \infty$
$+\infty$ $+ \infty$	$-\infty$ $- \infty$	$-\infty$ $- \infty$
$-\infty$ $- \infty$	$+\infty$ $+ \infty$	$-\infty$ $- \infty$
$-\infty$ $- \infty$	$-\infty$ $- \infty$	$+\infty$ $+ \infty$

Quy tắc 2: Nếu _{$lim_{n \to \infty} u_{n} = \pm \infty, lim_{n \to \infty} v_{n} = 1$} thì _{$lim_{n \to \infty} (u_{n} . v_{n})$} được cho như sau:

$\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{u}_{n}}$ $lim_{n \to \infty} u_{n}$	Dấu của 1	$\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,({{u}_{n}}.{{v}_{n}})$ $lim_{n \to \infty} (u_{n} . v_{n})$
$+\infty$ $+ \infty$	+	$+\infty$ $+ \infty$
$+\infty$ $+ \infty$	-	$-\infty$ $- \infty$
$-\infty$ $- \infty$	+	$-\infty$ $- \infty$
$-\infty$ $- \infty$	-	$+\infty$ $+ \infty$

Quy tắc 3: Nếu _{$lim_{n \to \infty} u_{n} = \pm \infty, lim_{n \to \infty} v_{n} = 1$} và ${{v}_{n}}>0$ $v_{n} > 0$ hoặc _{$v_{n} < 0$} kể từ một số hạng nào đó trở đi thì _{$lim_{n \to \infty} \frac{u_{n}}{v_{n}}$} được coi như sau:

Dấu của 1	Dấu của _{$v_{n}$}	$\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{u}_{n}}}{{{v}_{n}}}$ $lim_{n \to \infty} \frac{u_{n}}{v_{n}}$
$+\infty$ $+ \infty$	+	$+\infty$ $+ \infty$
$+\infty$ $+ \infty$	-	$-\infty$ $- \infty$
$-\infty$ $- \infty$	+	$-\infty$ $- \infty$
$-\infty$ $- \infty$	-	$+\infty$ $+ \infty$

B.Giải bài tập Toán 11

Trong Sách giáo khoa Toán lớp 11, các bạn học sinh chắc hẳn sẽ gặp những bài toán khó, phải tìm cách giải quyết. Hiểu được điều này, VnDoc đã tổng hợp và gửi tới các bạn học sinh lời giải và đáp án chi tiết cho các bài tập trong Sách giáo khoa Toán lớp 11. Mời các bạn học sinh tham khảo:

Giải bài tập Toán 11 bài 1: Giới hạn của dãy số

C. Giải Vở Bài tập Toán 11

Sách bài tập Toán 11 tổng hợp các bài Toán từ cơ bản tới nâng cao, đi kèm với đó là đáp án. Tuy nhiên, nhiều đáp án không được giải chi tiết khiến cho các bạn học sinh gặp nhiều khó khăn khi tiếp xúc với dạng bài mới. VnDoc đã tổng hợp và gửi tới các bạn học sinh lời giải và đáp án chi tiết cho từng dạng bài tập trong Sách bài tập để các bạn có thể nắm vững, hiểu rõ hơn về dạng bài tập này. Mời các bạn học sinh tham khảo:

Giải SBT Toán 11 bài 1: Giới hạn của dãy số

D. Bài tập giới hạn của dãy số

Bên cạnh việc giải bài tập sách giáo khoa và giải bài tập Toán 11 VnDoc biên soạn tài liệu bài tập xác suất của biến cố gồm những bài tập ví dụ minh họa có hướng dẫn chi tiết có nội dung bài tập đa dạng giúp bạn đọc định hướng tư duy logic, cải thiện kĩ năng làm bài tập phục vụ cho các kì thì, kiểm tra sắp tới.

Chuyên đề giới hạn của dãy số

-------------------------------------------------

Trên đây là Toán 11 Bài 1: Giới hạn của dãy số VnDoc.com giới thiệu tới quý thầy cô và bạn đọc. Ngoài ra VnDoc mời độc giả tham khảo thêm tài liệu ôn tập một số môn học: Toán lớp 11, Tiếng anh lớp 11, Vật lí lớp 11, Ngữ văn lớp 11,...

Xem thêm các bài Tìm bài trong mục này khác:

Chia sẻ, đánh giá bài viết

1

722

Bài trước

Bài sau

Chia sẻ bởi:
Nguyễn Thị Huê

Tải về

Chọn file muốn tải về:

Toán 11 Bài 1: Giới hạn của dãy số

407,3 KB

Tải xuống Word
150,2 KB

Đóng Chỉ thành viên VnDoc PRO/PROPLUS tải được nội dung này!

Đóng

79.000 / tháng

Mua ngay

Đặc quyền các gói Thành viên

PRO

Phổ biến nhất

PRO+

Tải tài liệu Cao cấp 1 Lớp

Tải tài liệu Trả phí + Miễn phí

Xem nội dung bài viết

Trải nghiệm Không quảng cáo

Làm bài trắc nghiệm không giới hạn

Tìm hiểu thêm

Mua cả năm Tiết kiệm tới 48%

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!