Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
VnDoc.com Lớp 11 Toán 11

Toán 11 Bài 1: Giới hạn của dãy số

Lí thuyết và Bài tập Giới hạn của dãy số
Tải về

Giới hạn của dãy số

Lí thuyết và Bài tập Giới hạn của dãy số được VnDoc biên soạn bao gồm hướng dẫn lý thuyết và đáp án chi tiết cho từng bài tập giúp các bạn học sinh luyện tập và hiểu rõ hơn về phần Giới hạn. Qua đó giúp các bạn học sinh ôn tập, củng cố và rèn luyện thêm kiến thức đã học trong chương trình Toán 11, Mời các bạn học sinh và quý thầy cô cùng tham khảo chi tiết.

Để tiện trao đổi, chia sẻ kinh nghiệm về giảng dạy và học tập các môn học lớp 11, VnDoc mời các thầy cô giáo, các bậc phụ huynh và các bạn học sinh truy cập nhóm riêng dành cho lớp 11 sau: Nhóm Tài liệu học tập lớp 11. Rất mong nhận được sự ủng hộ của các thầy cô và các bạn.

Bản quyền thuộc về VnDoc.
Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép nhằm mục đích thương mại.

A. Lí thuyết Giới hạn của dãy số

I. Giới hạn hữu hạn của dãy số

1. Định nghĩa giới hạn của dãy số

- Dãy số \left( {{u}_{n}} \right)\(\left( {{u}_{n}} \right)\) được gọi là có giới hạn hữu hạn bằng khi n tiến ra dương vô cực nếu với mỗi số dương nhỏ tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đề có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn số dương đó. Kí hiệu \underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{u}_{n}}=0\(\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{u}_{n}}=0\). Hay là \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,{{u}_{n}}=0\(\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,{{u}_{n}}=0\) khi và chỉ khi với mọi \varepsilon >0\(\varepsilon >0\) nhỏ tùy, luôn tồn tại số tự nhiên {{n}_{0}}\({{n}_{0}}\) sao cho \left| {{u}_{n}} \right|<\varepsilon , \forall n>{{n}_{0}}.\(\left| {{u}_{n}} \right|<\varepsilon , \forall n>{{n}_{0}}.\)

  • \underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{u}_{n}}=a\Leftrightarrow \underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left( {{u}_{n}}-a \right)=0\(\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{u}_{n}}=a\Leftrightarrow \underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left( {{u}_{n}}-a \right)=0\) tức là mọi \varepsilon >0\(\varepsilon >0\) nhỏ tùy, luôn tồn tại số tự nhiên {{n}_{0}}\({{n}_{0}}\) sao cho \left| {{u}_{n}}-a \right|<\varepsilon ,\forall n>{{n}_{0}}\(\left| {{u}_{n}}-a \right|<\varepsilon ,\forall n>{{n}_{0}}\)

- Dãy số \left( {{u}_{n}} \right)\(\left( {{u}_{n}} \right)\) có giới hạn là số thực được gọi là dãy số có giới hạn hữu hạn.

2. Một số giới hạn đặc biệt

  • \lim \frac{1}{{{n}^{k}}}=0,\forall k\in {{\mathbb{N}}^{*}}\(\lim \frac{1}{{{n}^{k}}}=0,\forall k\in {{\mathbb{N}}^{*}}\)
  • Nếu \left| {{q}^{n}} \right|<1\(\left| {{q}^{n}} \right|<1\) thì \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{q}^{n}}=0\(\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{q}^{n}}=0\)
  • Nếu {{u}_{n}}=c=const\Rightarrow \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{u}_{n}}=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim c=c}}\,\({{u}_{n}}=c=const\Rightarrow \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{u}_{n}}=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim c=c}}\,\)

Chú ý: Cách viết \lim {{u}_{n}}=a\(\lim {{u}_{n}}=a\) thay cho \underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{u}_{n}}=a\(\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{u}_{n}}=a\)

II. Một số định lí về giới hạn

Định lí 1: Nếu dãy số \left( {{u}_{n}} \right)\(\left( {{u}_{n}} \right)\) thỏa mãn \left| {{u}_{n}} \right|<{{v}_{n}}\(\left| {{u}_{n}} \right|<{{v}_{n}}\) kể từ số hạng nào đó trở đi và \lim {{v}_{n}}=0\(\lim {{v}_{n}}=0\) thì \lim {{u}_{n}}=0\(\lim {{u}_{n}}=0\)

Định lí 2: Cho \lim {{u}_{n}}=a, \lim {{v}_{n}}=b\(\lim {{u}_{n}}=a, \lim {{v}_{n}}=b\). Ta có:

  • \lim ({{u}_{n}}+{{v}_{n}})=a+b\(\lim ({{u}_{n}}+{{v}_{n}})=a+b\)
  • \lim ({{u}_{n}}-{{v}_{n}})=a-b\(\lim ({{u}_{n}}-{{v}_{n}})=a-b\)
  • Nếu {{u}_{n}}\ge 0\forall n\({{u}_{n}}\ge 0\forall n\) thì \lim \sqrt{{{u}_{n}}}=\sqrt{a}\(\lim \sqrt{{{u}_{n}}}=\sqrt{a}\)
  • \lim ({{u}_{n}}.{{v}_{n}})=a.b\(\lim ({{u}_{n}}.{{v}_{n}})=a.b\)
  • \lim \frac{{{u}_{n}}}{{{v}_{n}}}=\frac{a}{b}\(\lim \frac{{{u}_{n}}}{{{v}_{n}}}=\frac{a}{b}\)

III. Tổng cấp số nhân lùi vô hạn

- Cho cấp số nhân \left( {{u}_{n}} \right)\(\left( {{u}_{n}} \right)\) có công bôi q thỏa mãn \left| q \right|<1\(\left| q \right|<1\). Khi đó tổng S={{u}_{1}}+{{u}_{2}}+...+{{u}_{n}}+....\(S={{u}_{1}}+{{u}_{2}}+...+{{u}_{n}}+....\) được gọi là tổng vô hạn của cấp số nhân và S=\lim {{S}_{n}}=\lim \frac{{{u}_{1}}\left( 1-{{q}^{n}} \right)}{1-q}=\frac{{{u}_{1}}}{1-q}\(S=\lim {{S}_{n}}=\lim \frac{{{u}_{1}}\left( 1-{{q}^{n}} \right)}{1-q}=\frac{{{u}_{1}}}{1-q}\)

IV. Giới hạn vô cực của dãy số

1. Định nghĩa giới hạn vô cực của dãy số 

  • \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{u}_{n}}=+\infty \Leftrightarrow\(\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{u}_{n}}=+\infty \Leftrightarrow\)Với mỗi số dương tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều lớn hơn số dương đó.
  • \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{u}_{n}}=-\infty \Leftrightarrow \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,(-{{u}_{n}})=+\infty\(\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{u}_{n}}=-\infty \Leftrightarrow \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,(-{{u}_{n}})=+\infty\)

2. Một số kết quả đặc biệt

  • \lim {{n}^{k}}=+\infty ,\forall k>0\(\lim {{n}^{k}}=+\infty ,\forall k>0\)
  • \lim {{q}^{n}}=+\infty ,\forall q>1\(\lim {{q}^{n}}=+\infty ,\forall q>1\)

3. Một vài quy tắc tìm giới hạn

Quy tắc 1: Nếu \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{u}_{n}}=\pm \infty ,\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{v}_{n}}=\pm \infty\(\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{u}_{n}}=\pm \infty ,\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{v}_{n}}=\pm \infty\) thì \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,({{u}_{n}}.{{v}_{n}})\(\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,({{u}_{n}}.{{v}_{n}})\) được cho như sau:

\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{u}_{n}}\(\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{u}_{n}}\)\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{v}_{n}}\(\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{v}_{n}}\)\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,({{u}_{n}}.{{v}_{n}})\(\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,({{u}_{n}}.{{v}_{n}})\)
+\infty\(+\infty\)+\infty\(+\infty\)+\infty\(+\infty\)
+\infty\(+\infty\)-\infty\(-\infty\)-\infty\(-\infty\)
-\infty\(-\infty\)+\infty\(+\infty\)-\infty\(-\infty\)
-\infty\(-\infty\)-\infty\(-\infty\)+\infty\(+\infty\)

Quy tắc 2: Nếu \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{u}_{n}}=\pm \infty ,\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{v}_{n}}=1\(\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{u}_{n}}=\pm \infty ,\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{v}_{n}}=1\) thì \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,({{u}_{n}}.{{v}_{n}})\(\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,({{u}_{n}}.{{v}_{n}})\) được cho như sau:

\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{u}_{n}}\(\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{u}_{n}}\)Dấu của 1\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,({{u}_{n}}.{{v}_{n}})\(\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,({{u}_{n}}.{{v}_{n}})\)
+\infty\(+\infty\)++\infty\(+\infty\)
+\infty\(+\infty\)--\infty\(-\infty\)
-\infty\(-\infty\)+-\infty\(-\infty\)
-\infty\(-\infty\)-+\infty\(+\infty\)

Quy tắc 3: Nếu \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{u}_{n}}=\pm \infty ,\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{v}_{n}}=1\(\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{u}_{n}}=\pm \infty ,\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{v}_{n}}=1\) và {{v}_{n}}>0\({{v}_{n}}>0\) hoặc {{v}_{n}}<0\({{v}_{n}}<0\) kể từ một số hạng nào đó trở đi thì \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{u}_{n}}}{{{v}_{n}}}\(\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{u}_{n}}}{{{v}_{n}}}\) được coi như sau:

Dấu của 1

Dấu của {{v}_{n}}\({{v}_{n}}\)\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{u}_{n}}}{{{v}_{n}}}\(\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{u}_{n}}}{{{v}_{n}}}\)
+\infty\(+\infty\)++\infty\(+\infty\)
+\infty\(+\infty\)--\infty\(-\infty\)
-\infty\(-\infty\)+-\infty\(-\infty\)
-\infty\(-\infty\)-+\infty\(+\infty\)

B.Giải bài tập Toán 11

Trong Sách giáo khoa Toán lớp 11, các bạn học sinh chắc hẳn sẽ gặp những bài toán khó, phải tìm cách giải quyết. Hiểu được điều này, VnDoc đã tổng hợp và gửi tới các bạn học sinh lời giải và đáp án chi tiết cho các bài tập trong Sách giáo khoa Toán lớp 11. Mời các bạn học sinh tham khảo:

C. Giải Vở Bài tập Toán 11

Sách bài tập Toán 11 tổng hợp các bài Toán từ cơ bản tới nâng cao, đi kèm với đó là đáp án. Tuy nhiên, nhiều đáp án không được giải chi tiết khiến cho các bạn học sinh gặp nhiều khó khăn khi tiếp xúc với dạng bài mới. VnDoc đã tổng hợp và gửi tới các bạn học sinh lời giải và đáp án chi tiết cho từng dạng bài tập trong Sách bài tập để các bạn có thể nắm vững, hiểu rõ hơn về dạng bài tập này. Mời các bạn học sinh tham khảo:

D. Bài tập giới hạn của dãy số

Bên cạnh việc giải bài tập sách giáo khoa và giải bài tập Toán 11 VnDoc biên soạn tài liệu bài tập xác suất của biến cố gồm những bài tập ví dụ minh họa có hướng dẫn chi tiết có nội dung bài tập đa dạng giúp bạn đọc định hướng tư duy logic, cải thiện kĩ năng làm bài tập phục vụ cho các kì thì, kiểm tra sắp tới.

-------------------------------------------------

Trên đây là Toán 11 Bài 1: Giới hạn của dãy số VnDoc.com giới thiệu tới quý thầy cô và bạn đọc. Ngoài ra VnDoc mời độc giả tham khảo thêm tài liệu ôn tập một số môn học: Toán lớp 11, Tiếng anh lớp 11, Vật lí lớp 11, Ngữ văn lớp 11,...

Chia sẻ, đánh giá bài viết
1
717 Bài viết đã được lưu
Mục lục
Tìm thêm: giới hạn của dãy số dãy số bài tập giới hạn dãy số
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
    Lý thuyết Toán 11
    Tải xuống

    Tham khảo thêm

    🖼️

    Gợi ý cho bạn

    Xem thêm
    🖼️

    Toán 11

    Xem thêm