VnDoc.com

Cách tính xác suất A giao B

Xác suất của biến cố

Bài trước

Tải về

Bài sau

Công thức tính xác suất

A. Biến cố giao là gì?
B. Công thức tính xác suất của biến cố giao

Bạn đang tìm hiểu cách tính xác suất giao nhau của hai biến cố trong xác suất thống kê? Bài viết này sẽ hướng dẫn bạn cách tính xác suất A giao B (ký hiệu là P(A ∩ B) một cách dễ hiểu và chính xác, kèm theo công thức, ví dụ minh họa thực tế và các lưu ý quan trọng. Dù bạn là học sinh, sinh viên hay người tự học, bài viết này sẽ giúp bạn nắm vững kiến thức nền tảng để áp dụng vào các bài toán xác suất.

A. Biến cố giao là gì?

Biến cố giao (trong xác suất) là biến cố xảy ra khi đồng thời xảy ra cả hai biến cố A và B. Ký hiệu của biến cố giao là: $A \cap B$ $A \cap B$ .

Định nghĩa:

Biến cố $A \cap B$ $A \cap B$ gồm các kết quả chung của cả hai biến cố A và B. Nói cách khác, chỉ những kết quả thuộc cả A và B mới thuộc $A \cap B$ $A \cap B$ .

Ví dụ: Không gian mẫu $\Omega = \{ 1,2,3,4,5,6\}$ $Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}$ (kết quả của một lần gieo xúc xắc).

Gọi:

A: "ra số chẵn" → $A = \left\{ 2,4,6 \right\}$ $A = {2, 4, 6}$

B: "ra số lớn hơn 3" → $B = \left\{ 4,5,6 \right\}$ $B = {4, 5, 6}$

→ $A \cap B = \{ 4,6\}$ $A \cap B = {4, 6}$ vì 4 và 6 là các kết quả nằm trong cả A và B.

B. Công thức tính xác suất của biến cố giao

Công thức tổng quát:

Cho hai biến cố A và B. Khi đó biến cố giao được tính như sau:

$P(A \cap B) = P(A).P\left( B|A \right)$ $P (A \cap B) = P (A) . P (B | A)$

Hoặc

$P(A \cap B) = P(B).P\left( A|B \right)$ $P (A \cap B) = P (B) . P (A | B)$

Trong đó:

$P\left( B|A \right)$ $P (B | A)$ : Xác suất của B xảy ra khi A đã xảy ra.
$P\left( A|B \right)$ $P (A | B)$ : Xác suất của A xảy ra khi B đã xảy ra.

Trường hợp đặc biệt

Nếu hai biến cố A và B độc lập với nhau thì:

$P(A \cap B) = P(A).P(B)$ $P (A \cap B) = P (A) . P (B)$

Vì nếu A và B độc lập thì xác suất xảy ra của B không phụ thuộc vào việc A có xảy ra hay không (tức là: $P\left( B|A \right) = P(B)$ $P (B | A) = P (B)$ .

Công thức này gọi là công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập.

Ví dụ: Gieo hai con xúc xắc cân đối. Xét các biến cố

A: "Có ít nhất một con xúc xắc xuất hiện mặt 5 chấm"

B: "Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 7 "

Chứng tỏ rằng A và B không độc lập.

Hướng dẫn giải

* Tính P(A)

Xét biến cố đối $\overline{A}$ $\overset{―}{A}$ : “Cả hai con xúc xắc không xuất hiện mặt 5 chấm”.

$\overline{A} = \left\{ (a,b):a,b \in \left\{ 1;2;3;4;6 \right\} \right\}$ $\overset{―}{A} = {(a, b) : a, b \in {1; 2; 3; 4; 6}}$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} n(\Omega) = 25 \\ n\left( \overline{A} \right) = 25 \\ \end{matrix} \right.$ ${\begin{matrix} n (Ω) = 25 \\ n (\overset{―}{A}) = 25 \end{matrix}$

$\Rightarrow P\left( \overline{A} \right) = \frac{25}{36}$ $\Rightarrow P (\overset{―}{A}) = \frac{25}{36}$

$\Rightarrow P(A) = 1 - P\left( \overline{A} \right) = 1 - \frac{25}{36} = \frac{11}{36}$ $\Rightarrow P (A) = 1 - P (\overset{―}{A}) = 1 - \frac{25}{36} = \frac{11}{36}$

* Tính P(B)

Ta có: $B = \left\{ (1,6);(2,5);(3,4);(4,3);(5,2);(6,1) \right\}$ $B = {(1, 6); (2, 5); (3, 4); (4, 3); (5, 2); (6, 1)}$

$\Rightarrow n(B) = 6$ $\Rightarrow n (B) = 6$

Xét biến cố đối $\overline{A}$ $\overset{―}{A}$ : “Cả hai con xúc xắc không xuất hiện mặt 5 chấm”.

$\Rightarrow P(B) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$ $\Rightarrow P (B) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$

* Tính P(AB)

Ta có: $AB = A \cap B = \left\{ (2,5);(5,2) \right\}$ $A B = A \cap B = {(2, 5); (5, 2)}$

$\Rightarrow n(AB) = 2$ $\Rightarrow n (A B) = 2$ $\Rightarrow P(AB) = \frac{2}{36} = \frac{1}{18}$ $\Rightarrow P (A B) = \frac{2}{36} = \frac{1}{18}$ (*)

Mặt khác $P(A).P(B) = \frac{11}{36}.\frac{1}{6} = \frac{11}{216}$ $P (A) . P (B) = \frac{11}{36} . \frac{1}{6} = \frac{11}{216}$ (**)

Từ (*) và (**) suy ra $P(A).P(B) \neq P(AB)$ $P (A) . P (B) \neq P (A B)$

Vậy hai biến cố A và B không độc lập.

Ví dụ. Một lớp có 60 học sinh, trong đó 40 học sinh mặc áo có màu xanh, 10 học sinh mặc áo có cả xanh lẫn trắng. Chọn ngẫu nhiên 1 học sinh. Tính xác suất để học sinh đó áo có màu trắng với điều kiện áo em đó đã có màu xanh?

Hướng dẫn giải

Minh họa bài toán

Gọi A là biến cố “học sinh được chọn mặc áo trắng”

Gọi B là biến cố “học sinh được chọn mặc áo xanh”

A.B là biến cố “học sinh được chọn mặc áo trắng lẫn xanh” Xác suất để học sinh đó áo có màu trắng với điều kiện áo em đó đã có màu xanh:

$P\left( A|B \right) = \dfrac{P(AB)}{P(B)}= \dfrac{\dfrac{10}{60}}{\dfrac{40}{60}} = 0,25 = 25\%$ $P (A | B) = \frac{P (A B)}{P (B)} = \frac{\frac{10}{60}}{\frac{40}{60}} = 0, 25 = 25 %$ .

Chia sẻ, đánh giá bài viết

1

144

Bài trước

Bài sau

Chia sẻ bởi:
Bon

Đóng Chỉ thành viên VnDoc PRO/PROPLUS tải được nội dung này!

Đóng

79.000 / tháng

Mua ngay

Đặc quyền các gói Thành viên

PRO

Phổ biến nhất

PRO+

Tải tài liệu Cao cấp 1 Lớp

Tải tài liệu Trả phí + Miễn phí

Xem nội dung bài viết

Trải nghiệm Không quảng cáo

Làm bài trắc nghiệm không giới hạn

Tìm hiểu thêm

Mua cả năm Tiết kiệm tới 48%

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!