Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

Đóng

Điểm danh hàng ngày

Hôm nay +3
Ngày 2 +3
Ngày 3 +3
Ngày 4 +3
Ngày 5 +3
Ngày 6 +3
Ngày 7 +5

Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm! Đăng nhập ngay để nhận điểm

Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169

VnDoc.com

Cách tính xác suất A giao B

Xác suất của biến cố

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 11

Môn: Toán

Dạng tài liệu: Chuyên đề

Loại: Tài liệu Lẻ

Mức độ: Trung bình

Loại File: Word + PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Công thức tính xác suất

A. Biến cố giao là gì?
B. Công thức tính xác suất của biến cố giao
C. Ví dụ minh họa tính xác suất giao của hai biến cố
D. Bài tập tự rèn luyện tính xác suất giao có đáp án chi tiết

Bạn đang tìm hiểu cách tính xác suất giao nhau của hai biến cố trong xác suất thống kê? Bài viết này sẽ hướng dẫn bạn cách tính xác suất A giao B (ký hiệu là P(A ∩ B) một cách dễ hiểu và chính xác, kèm theo công thức, ví dụ minh họa thực tế và các lưu ý quan trọng. Dù bạn là học sinh, sinh viên hay người tự học, bài viết này sẽ giúp bạn nắm vững kiến thức nền tảng để áp dụng vào các bài toán xác suất.

A. Biến cố giao là gì?

Biến cố giao (trong xác suất) là biến cố xảy ra khi đồng thời xảy ra cả hai biến cố A và B. Ký hiệu của biến cố giao là: A ∩ B.

Định nghĩa:

Biến cố A ∩ B gồm các kết quả chung của cả hai biến cố A và B. Nói cách khác, chỉ những kết quả thuộc cả A và B mới thuộc A ∩ B.

Ví dụ: Không gian mẫu Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6} (kết quả của một lần gieo xúc xắc).

Gọi:

A: "ra số chẵn" → A = {2; 4; 6}

B: "ra số lớn hơn 3" → B = {4; 5; 6}

→ A ∩ B = {4; 6} vì 4 và 6 là các kết quả nằm trong cả A và B.

B. Công thức tính xác suất của biến cố giao

Công thức tổng quát:

Cho hai biến cố A và B. Khi đó biến cố giao được tính như sau:

P(A ∩ B) = P(A) . P(B|A)

Hoặc

P(A ∩ B) = P(B) . P(A|B)

Trong đó:

P(B|A): Xác suất của B xảy ra khi A đã xảy ra.
P(A|B): Xác suất của A xảy ra khi B đã xảy ra.

Trường hợp đặc biệt

Nếu hai biến cố A và B độc lập với nhau thì:

P(A ∩ B) = P(A) . P(B)

Vì nếu A và B độc lập thì xác suất xảy ra của B không phụ thuộc vào việc A có xảy ra hay không (tức là: P(B|A) = P(B).

Công thức này gọi là công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập.

C. Ví dụ minh họa tính xác suất giao của hai biến cố

Ví dụ: Gieo hai con xúc xắc cân đối. Xét các biến cố

A: "Có ít nhất một con xúc xắc xuất hiện mặt 5 chấm"

B: "Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 7 "

Chứng tỏ rằng A và B không độc lập.

Hướng dẫn giải

* Tính P(A)

Xét biến cố đối $\overline{A}$ : “Cả hai con xúc xắc không xuất hiện mặt 5 chấm”.

$\overline{A} = \left\{ (a,b):a,b \in \left\{ 1;2;3;4;6 \right\} \right\}$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} n(\Omega) = 25 \\ n\left( \overline{A} \right) = 25 \\ \end{matrix} \right.$

$\Rightarrow P\left( \overline{A} \right) = \frac{25}{36}$ $\Rightarrow P(A) = 1 - P\left( \overline{A} \right) = 1 - \frac{25}{36} = \frac{11}{36}$

* Tính P(B)

Ta có: B = {(1, 6); (2, 5); (3; 4), (4, 3); (5, 2); (6, 1)} => n(B) = 6

Xét biến cố đối $\overline{A}$ : “Cả hai con xúc xắc không xuất hiện mặt 5 chấm”.

$\Rightarrow P(B) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$

* Tính P(AB)

Ta có: AB = A ∩ B = {(2, 5); (5, 2)} => n(AB) = 2 $\Rightarrow P(AB) = \frac{2}{36} = \frac{1}{18}$ (*)

Mặt khác $P(A).P(B) = \frac{11}{36}.\frac{1}{6} = \frac{11}{216}$ (**)

Từ (*) và (**) suy ra P(AB) ≠ P(A) . P(B)

Vậy hai biến cố A và B không độc lập.

Ví dụ. Một lớp có 60 học sinh, trong đó 40 học sinh mặc áo có màu xanh, 10 học sinh mặc áo có cả xanh lẫn trắng. Chọn ngẫu nhiên 1 học sinh. Tính xác suất để học sinh đó áo có màu trắng với điều kiện áo em đó đã có màu xanh?

Hướng dẫn giải

Minh họa bài toán

Gọi A là biến cố “học sinh được chọn mặc áo trắng”

Gọi B là biến cố “học sinh được chọn mặc áo xanh”

A.B là biến cố “học sinh được chọn mặc áo trắng lẫn xanh” Xác suất để học sinh đó áo có màu trắng với điều kiện áo em đó đã có màu xanh:

$P\left( A|B \right) = \dfrac{P(AB)}{P(B)}= \dfrac{\dfrac{10}{60}}{\dfrac{40}{60}} = 0,25 = 25\%$ .

D. Bài tập tự rèn luyện tính xác suất giao có đáp án chi tiết

Bài tập 1. Một hộp đựng 70 tấm thẻ, đánh số từ 1 đến 70. Rút ngẫu nhiên một tấm thẻ. Kí hiệu a là số ghi trên thẻ. Gọi A là biến cố: "a là ước của 28 ", B là biến cố: "a là ước của 70". Xét biến cố C: "a là ước của 14". Chứng tỏ C là biến cố giao của A và B.

Bài tập 2. Trong một hộp có 8 viên bi xanh và 6 viên bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên 2 viên bi trong hộp. Gọi A là biến cố: "Cả hai viên bi có màu xanh"; B là biến cố: "Có một viên bi màu xanh và một viên bi màu đỏ”.

a) Tính P(A) và P(B).

b) Tính xác suất để trong hai viên bi lấy ra có ít nhất một viên bi màu xanh.

Bài tập 3. Gieo ba xúc xắc cân đối và đồng chất. Xét các biến cố sau:

: "Số chấm xuất hiện trên mặt của ba xúc xắc khác nhau".

: "Có ít nhất một xúc xắc xuất hiện mặt 6 chấm".

Chứng minh rằng hai biến cố A và B không độc lập.

Bài tập 4. Gieo hai đồng xu cân đối. Xét các biến cố A: "Cả hai đồng xu đều ra mặt sâp",

B: "Có ít nhất một đồng xu ra mặt sấp". Hỏi A và B có độc lập hay không?

Bài tập 5. Gieo hai con xúc xắc cân đối. Xét các biến cố : "Có ít nhất một con xúc xắc xuất hiện mặt 5 chấm",

: "Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 7. Chứng tỏ rằng và không độc lập.

Bài tập 6. Chọn ngẫu nhiên hai người từ một nhóm 9 nhà toán học tham dự hội thảo, trong nhóm có 5 nhà toán học nam và 4 nhà toán học nữ. Tính xác suất để hai người được chọn có cùng giới tính.

Bài tập 7. Hộp thứ nhất chứa 4 viên bi xanh và 1 viên bi đỏ. Hộp thứ 2 chứa 1 viên bi xanh và 3 viên bi đỏ. Các viên bi cùng kích thước và khối lượng. Lấy ra ngẫu nhiên từ mỗi hộp 2 viên bi.

Gọi A là biến cố “Cả 2 viên bi lấy ra từ hộp thứ nhất có cùng màu”; B là biến cố “Cả 2 viên bi lấy ra từ hộp thứ hai có cùng màu”.

a) Minh nói AB là biến cố “Trong 4 viên bi lấy ra có 2 viên bi xanh, 2 viên bi đỏ”. Minh nói đúng hay sai? Tại sao?

b) So sánh P(AB) với P(A)P(B).

c) Hãy tìm một biến cố khác rỗng, xung khắc với cả biến cố A và biến cố B.

Đáp án chi tiết bài tập từ rèn luyện

Bài tập 1.

Ta có:

A = {1; 2; 4; 7; 14; 28}

B = {1; 2; 5; 7; 10; 14; 35; 70}

C = {1; 2; 7; 14}

Ta có A ∩ B = {1; 2; 7; 14}.

Vậy C là biến cố giao của A và B.

Bài tập 2

a) Ta có: $n\left( {\rm{\Omega }} \right) = C_{14}^2 = 91;n\left( A \right) = C_8^2 = 28,n\left( B \right) = 8 \cdot 6 = 48$ $n\left( {\rm{\Omega }} \right) = C_{14}^2 = 91;n\left( A \right) = C_8^2 = 28,n\left( B \right) = 8 \cdot 6 = 48$

Vậy $P\left( A \right) = \frac{{28}}{{91}},P\left( B \right) = \frac{{48}}{{91}}$ $P\left( A \right) = \frac{{28}}{{91}},P\left( B \right) = \frac{{48}}{{91}}$.

b) Cách 1:Xét biến cố C: "Trong hai viên bi lấy ra có ít nhất một viên bi màu xanh", nên Clà biến cố hợp của A và B. Do A và B là hai biến cố xung khắc nên $P\left( C \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) = \frac{{28}}{{91}} + \frac{{48}}{{91}} = \frac{{76}}{{91}}$ $P\left( C \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) = \frac{{28}}{{91}} + \frac{{48}}{{91}} = \frac{{76}}{{91}}$.

Cách 2: Xét biên cố đối $\overline C$ $\overline C$: "Cả hai viên bi lấy ra đều có màu đỏ". Khi đó $n\left( {\overline C } \right) = C_6^2 = 15$ $n\left( {\overline C } \right) = C_6^2 = 15$. Suy ra $P\left( {\overline C } \right) = \frac{{15}}{{91}}$ $P\left( {\overline C } \right) = \frac{{15}}{{91}}$

Vậy $P\left( C \right) = 1 - P\left( {\overline C } \right) = 1 - \frac{{15}}{{91}} = \frac{{76}}{{91}}$ $P\left( C \right) = 1 - P\left( {\overline C } \right) = 1 - \frac{{15}}{{91}} = \frac{{76}}{{91}}$.

Bài tập 3.

Ta cần chứng minh $P\left( {AB} \right) \ne P\left( A \right)P\left( B \right)$ $P\left( {AB} \right) \ne P\left( A \right)P\left( B \right)$.

Tính P(A):

Ta có ${\rm{\Omega }} = \left\{ {\left( {a,b,c} \right);1 \le a,b,c \le 6} \right\},n\left( {\rm{\Omega }} \right) = 6 \cdot 6 \cdot 6 = 216$ ${\rm{\Omega }} = \left\{ {\left( {a,b,c} \right);1 \le a,b,c \le 6} \right\},n\left( {\rm{\Omega }} \right) = 6 \cdot 6 \cdot 6 = 216$.

$A = \left\{ {\left( {a,b,c} \right);1 \le a,b,c \le 6} \right\}$ $A = \left\{ {\left( {a,b,c} \right);1 \le a,b,c \le 6} \right\}$ và a;b;c là các số nguyên dương phân biệt. Mỗi bộ (a;b;c) là một chỉnh hợp chập 3 của 6 phần tử {1;2;3;4;5;6}. Ta có $n\left( A \right) = A_6^3 = 120$ $n\left( A \right) = A_6^3 = 120$.

Vậy $P\left( A \right) = \frac{{120}}{{216}}$ $P\left( A \right) = \frac{{120}}{{216}}$.

Tính P(B):

Xét biến cố đối $\overline B$ $\overline B$: "Số chấm xuất hiện trên mỗi xúc xắc đều khác 6 ". Mỗi kết quả thuận lợi cho $\overline B$ $\overline B$ là một bộ ba số (a;b;c) trong đ $1 \le a,b,c \le 6$ $1 \le a,b,c \le 6$ó . Do đó theo quy tắc nhân, số kết quả thuận lợi cho $\overline B$ $\overline B$ là $5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$ $5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$.

Vậy $P\left( {\overline B } \right) = \frac{{125}}{{216}}$ $P\left( {\overline B } \right) = \frac{{125}}{{216}}$. Suy ra $P\left( B \right) = 1 - P\left( {\overline B } \right) = \frac{{91}}{{216}}$ $P\left( B \right) = 1 - P\left( {\overline B } \right) = \frac{{91}}{{216}}$.

Tính P(AB):

Mỗi kết quả thuận lợi cho AB là một bộ ba số (a;b;c) trong đó $1 \le a,b,c \le 6$ $1 \le a,b,c \le 6$ và a;b;c là các số nguyên dương khác nhau và có đúng một số bằng 6. Có 3 cách chọn một số bằng 6 và $A_5^2 = 20$ cách chọn hai số còn lại trong 5 số {1;2;3;4;5}. Theo quy tắc nhân, ta có 3.20=60 kết quả thuận lợi.

Do đó $P\left( {AB} \right) = \frac{{60}}{{216}} \ne P\left( A \right)P\left( B \right) = \frac{{120}}{{216}},\frac{{91}}{{216}}$ $P\left( {AB} \right) = \frac{{60}}{{216}} \ne P\left( A \right)P\left( B \right) = \frac{{120}}{{216}},\frac{{91}}{{216}}$.

Vậy A;B không độc lập.

Tài liệu quá dài để hiển thị hết — hãy nhấn Tải về để xem trọn bộ!

-------------------------------------------------

FAQ

Biến cố độc lập là gì?

Hai biến cố được gọi là độc lập khi việc xảy ra của biến cố này không ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố còn lại.

Đây là dạng bài thường gặp trong các bài toán xác suất lớp 11.

Làm thế nào để nhận biết bài toán cần tính A giao B?

Thông thường đề bài xuất hiện các từ khóa:

Đồng thời xảy ra.
Cùng xảy ra.
Vừa ... vừa ...
Thỏa mãn cả hai điều kiện.

Khi đó cần xét đến biến cố giao.

Xác suất A giao B có luôn nhỏ hơn xác suất A không?

Có.

Luôn tồn tại: $P(A ∩ B) ≤ P(A)$ và $P(A ∩ B) ≤ P(B)$

vì giao của hai biến cố chỉ là một phần của mỗi biến cố.

A giao B bằng 0 khi nào?

Khi A và B là hai biến cố xung khắc.

Khi đó: $A ∩ B = ∅$ và: $P(A ∩ B) = 0$

Biến cố xung khắc là gì?

Hai biến cố xung khắc là hai biến cố không thể xảy ra cùng lúc trong một phép thử.

Ví dụ:

Gieo một con xúc xắc.
Biến cố A: xuất hiện số chẵn.
Biến cố B: xuất hiện số lẻ.

Hai biến cố này xung khắc với nhau.

-----------------------------

Hy vọng qua bài viết này, bạn đã hiểu rõ về cách tính xác suất A giao B và cách áp dụng công thức xác suất trong các tình huống thực tế. Việc tính toán xác suất là một kỹ năng quan trọng trong nhiều lĩnh vực như thống kê, tài chính, và các nghiên cứu khoa học. Việc nắm vững xác suất của biến cố giúp bạn đưa ra các dự đoán chính xác hơn và có thể giải quyết nhiều vấn đề trong cuộc sống và công việc.

Nếu bạn có bất kỳ câu hỏi nào về xác suất giao của hai biến cố hoặc các khái niệm liên quan, đừng ngần ngại để lại bình luận dưới bài viết này. Chúng tôi sẽ giải đáp và giúp bạn hiểu sâu hơn về lý thuyết xác suất cũng như cách áp dụng vào thực tế. Đừng quên theo dõi trang web của chúng tôi để cập nhật thêm nhiều kiến thức bổ ích về xác suất, lý thuyết xác suất, và các kỹ thuật thống kê khác. Chúc bạn thành công trong việc học và áp dụng lý thuyết xác suất!

Tải về

Chọn file muốn tải về: