Cách tính xác suất A giao B
Công thức tính xác suất
Bạn đang tìm hiểu cách tính xác suất giao nhau của hai biến cố trong xác suất thống kê? Bài viết này sẽ hướng dẫn bạn cách tính xác suất A giao B (ký hiệu là P(A ∩ B) một cách dễ hiểu và chính xác, kèm theo công thức, ví dụ minh họa thực tế và các lưu ý quan trọng. Dù bạn là học sinh, sinh viên hay người tự học, bài viết này sẽ giúp bạn nắm vững kiến thức nền tảng để áp dụng vào các bài toán xác suất.
A. Biến cố giao là gì?
Biến cố giao (trong xác suất) là biến cố xảy ra khi đồng thời xảy ra cả hai biến cố A và B. Ký hiệu của biến cố giao là: 
\(A \cap B\).
Định nghĩa:
Biến cố \(A \cap B\) gồm các kết quả chung của cả hai biến cố A và B. Nói cách khác, chỉ những kết quả thuộc cả A và B mới thuộc \(A \cap B\).
Ví dụ: Không gian mẫu \(\Omega = \{
1,2,3,4,5,6\}\) (kết quả của một lần gieo xúc xắc).
Gọi:
A: "ra số chẵn" → \(A = \left\{ 2,4,6
\right\}\)
B: "ra số lớn hơn 3" → \(B = \left\{ 4,5,6
\right\}\)
→ \(A \cap B = \{ 4,6\}\) vì 4 và 6 là các kết quả nằm trong cả A và B.
B. Công thức tính xác suất của biến cố giao
Công thức tổng quát:
Cho hai biến cố A và B. Khi đó biến cố giao được tính như sau:
\(P(A \cap B) = P(A).P\left( B|A
\right)\)
Hoặc
\(P(A \cap B) = P(B).P\left( A|B
\right)\)
Trong đó:
- \(P\left( B|A \right)\): Xác suất của B xảy ra khi A đã xảy ra.
- \(P\left( A|B \right)\): Xác suất của A xảy ra khi B đã xảy ra.
Trường hợp đặc biệt
Nếu hai biến cố A và B độc lập với nhau thì:
\(P(A \cap B) = P(A).P(B)\)
Vì nếu A và B độc lập thì xác suất xảy ra của B không phụ thuộc vào việc A có xảy ra hay không (tức là: \(P\left(
B|A \right) = P(B)\).
Công thức này gọi là công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập.
C. Ví dụ minh họa tính xác suất giao của hai biến cố
Ví dụ: Gieo hai con xúc xắc cân đối. Xét các biến cố
A: "Có ít nhất một con xúc xắc xuất hiện mặt 5 chấm"
B: "Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 7 "
Chứng tỏ rằng A và B không độc lập.
Hướng dẫn giải
* Tính P(A)
Xét biến cố đối \(\overline{A}\): “Cả hai con xúc xắc không xuất hiện mặt 5 chấm”.
\(\overline{A} = \left\{ (a,b):a,b \in
\left\{ 1;2;3;4;6 \right\} \right\}\)
Ta có: \(\left\{ \begin{matrix}
n(\Omega) = 25 \\
n\left( \overline{A} \right) = 25 \\
\end{matrix} \right.\)
\(\Rightarrow P\left( \overline{A} \right)
= \frac{25}{36}\)
\(\Rightarrow P(A) = 1 - P\left(
\overline{A} \right) = 1 - \frac{25}{36} = \frac{11}{36}\)
* Tính P(B)
Ta có: \(B = \left\{
(1,6);(2,5);(3,4);(4,3);(5,2);(6,1) \right\}\)
\(\Rightarrow n(B) = 6\)
Xét biến cố đối \(\overline{A}\): “Cả hai con xúc xắc không xuất hiện mặt 5 chấm”.
\(\Rightarrow P(B) = \frac{6}{36} =
\frac{1}{6}\)
* Tính P(AB)
Ta có: \(AB = A \cap B = \left\{
(2,5);(5,2) \right\}\)
\(\Rightarrow n(AB) = 2\) \(\Rightarrow P(AB) = \frac{2}{36} =
\frac{1}{18}\)(*)
Mặt khác \(P(A).P(B) =
\frac{11}{36}.\frac{1}{6} = \frac{11}{216}\)(**)
Từ (*) và (**) suy ra \(P(A).P(B) \neq
P(AB)\)
Vậy hai biến cố A và B không độc lập.
Ví dụ. Một lớp có 60 học sinh, trong đó 40 học sinh mặc áo có màu xanh, 10 học sinh mặc áo có cả xanh lẫn trắng. Chọn ngẫu nhiên 1 học sinh. Tính xác suất để học sinh đó áo có màu trắng với điều kiện áo em đó đã có màu xanh?
Hướng dẫn giải
Minh họa bài toán
Gọi A là biến cố “học sinh được chọn mặc áo trắng”
Gọi B là biến cố “học sinh được chọn mặc áo xanh”
A.B là biến cố “học sinh được chọn mặc áo trắng lẫn xanh” Xác suất để học sinh đó áo có màu trắng với điều kiện áo em đó đã có màu xanh:
\(P\left( A|B \right) = \dfrac{P(AB)}{P(B)}= \dfrac{\dfrac{10}{60}}{\dfrac{40}{60}} = 0,25 = 25\%\).
D. Bài tập tự rèn luyện tính xác suất giao có đáp án chi tiết
Bài tập 1. Một hộp đựng 70 tấm thẻ, đánh số từ 1 đến 70. Rút ngẫu nhiên một tấm thẻ. Kí hiệu a là số ghi trên thẻ. Gọi \(A\) là biến cố: "a là ước của 28 ", \(B\) là biến cố: "a là ước của 70". Xét biến cố \(C\): "a là ước của 14". Chứng tỏ \(C\) là biến cố giao của \(A\) và \(B\).
Bài tập 2. Trong một hộp có 8 viên bi xanh và 6 viên bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên 2 viên bi trong hộp. Gọi \(A\) là biến cố: "Cả hai viên bi có màu xanh"; \(B\) là biến cố: "Có một viên bi màu xanh và một viên bi màu đỏ”.
a) Tính \(P(A)\) và \(P(B)\).
b) Tính xác suất để trong hai viên bi lấy ra có ít nhất một viên bi màu xanh.
Bài tập 3. Gieo ba xúc xắc cân đối và đồng chất. Xét các biến cố sau:
\(A\): "Số chấm xuất hiện trên mặt của ba xúc xắc khác nhau".
\(B\): "Có ít nhất một xúc xắc xuất hiện mặt 6 chấm".
Chứng minh rằng hai biến cố \(A\) và \(B\) không độc lập.
Bài tập 4. Gieo hai đồng xu cân đối. Xét các biến cố \(A\): "Cả hai đồng xu đều ra mặt sâp",
\(B\): "Có ít nhất một đồng xu ra mặt sấp". Hỏi \(A\) và \(B\) có độc lập hay không?
Tài liệu quá dài để hiển thị hết — hãy nhấn Tải về để xem trọn bộ!
-------------------------------------------------
Hy vọng qua bài viết này, bạn đã hiểu rõ về cách tính xác suất A giao B và cách áp dụng công thức xác suất trong các tình huống thực tế. Việc tính toán xác suất là một kỹ năng quan trọng trong nhiều lĩnh vực như thống kê, tài chính, và các nghiên cứu khoa học. Việc nắm vững xác suất của biến cố giúp bạn đưa ra các dự đoán chính xác hơn và có thể giải quyết nhiều vấn đề trong cuộc sống và công việc.
Nếu bạn có bất kỳ câu hỏi nào về xác suất giao của hai biến cố hoặc các khái niệm liên quan, đừng ngần ngại để lại bình luận dưới bài viết này. Chúng tôi sẽ giải đáp và giúp bạn hiểu sâu hơn về lý thuyết xác suất cũng như cách áp dụng vào thực tế.
Đừng quên theo dõi trang web của chúng tôi để cập nhật thêm nhiều kiến thức bổ ích về xác suất, lý thuyết xác suất, và các kỹ thuật thống kê khác. Chúc bạn thành công trong việc học và áp dụng lý thuyết xác suất!
