Chuyên đề Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm hợp, hàm ẩn
Sự đồng biến nghịch biến của hàm hợp, hàm ẩn - Toán 12
Trong chương trình Giải tích và đặc biệt là ôn thi THPT Quốc gia môn Toán, dạng bài xét sự đồng biến – nghịch biến của hàm hợp và hàm ẩn luôn chiếm vị trí quan trọng. Đây là dạng toán yêu cầu học sinh nắm chắc kiến thức về đạo hàm, quy tắc hàm hợp, dấu của đạo hàm và cách suy luận tính đơn điệu từ các hàm thành phần.
Trong chuyên đề này, chúng ta sẽ tổng hợp đầy đủ lý thuyết trọng tâm, phương pháp giải nhanh, mẹo nhận biết dạng bài, cùng hệ thống ví dụ minh họa bám sát đề thi. Bài viết được tối ưu SEO giúp người học dễ dàng tra cứu, đồng thời hỗ trợ luyện thi hiệu quả, nâng cao kỹ năng giải quyết các bài toán đơn điệu trong mọi tình huống.
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
Kí hiệu K là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng.
1. Định nghĩa hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến
-
Hàm số
\(y = f(x)\) đồng biến (tăng) trên K \(\Leftrightarrow \forall
x_{1,\ }x_{2\ } \in K,\ x_{1\ } < \ x_{2\ }\) thì \(f\left( x_{1} \right)\ < \ f\left( x_{2}
\right).\) -
Hàm số
\(y = f(x)\) nghịch biến (giảm) trên K ⇔ \(\Leftrightarrow \forall
x_{1,\ }x_{2\ } \in K,\ x_{1\ } < \ x_{2\ }\) thì \(f\left( x_{1} \right)\ > \ f\left( x_{2}
\right).\) -
Hàm số đồng biến (hay nghịch biến) trên tập K gọi chung là đơn điệu trên tập K.
2. Điều kiện cần để hàm số đơn điệu
Cho hàm số \(f\)có đạo hàm trên K.
-
Nếu
\(f\) đồng biến trên K thì \(f'(x)\ \geq \ 0\) với mọi\(x\ \in K\) . -
Nếu
\(f\) đồng biến trên K thì \(f'(x)\ \leq \ 0\) với mọi\(x\ \in K\) .
3. Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu
Cho hàm số \(f\)có đạo hàm trên K.
-
Nếu
\(f'(x)\ \geq \ 0\) với mọi \(x\ \in K\)và \(f'(x)\ = \ 0\) chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc K thì \(f\)đồng biến trên K. -
Nếu
\(f'(x)\ \leq \ 0\) với mọi \(x\ \in K\)và \(f'(x)\ = \ 0\) chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc K thì \(f\)nghịch biến trên K. -
Nếu
\(f'(x)\ = \ 0\)với mọi \(x\ \in K\)thì \(f\) là hàm hằng trên K.
4. Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số
Tổng quát các bước xét tính đơn điệu của hàm số:
- Bước 1. Tìm tập xác định
- Bước 2. Tính đạo hàm \(f'(x)\)Tìm các điểm \(x_{i\ }(i = \ 1\ ,\ 2\
,...,\ n)\) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.
- Bước 3. Sắp xếp các điểm \(x_{i}\) theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.
- Bước 4. Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP XÉT SỰ ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM HỢP, HÀM ẨN
DẠNG 1. Cho hàm\(y = f(x)\) hoặc hàm \(y = f'(x)\) xét sự biến thiên của hàm \(g(x) = f(u(x))\).
DẠNG 2. Cho hàm \(y = f(x)\)hoặc \(y = f'(x)\) xét sự biến thiên của hàm \(g(x) = f(u(x)) + h(x)\).
DẠNG 3. Cho hàm \(y = f(u(x))\) hoặc hàm \(y = f'(u(x))\) xét sự biến thiên của hàm \(y = f(x)\).
C. BÀI TẬP VẬN DỤNG CÓ ĐÁP ÁN
Bài 1. Cho hàm số \(y = f(x)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\). Đồ thị hàm số \(y = f'(3x + 5)\) như hình vẽ.
Hàm số \(y = f(x)\) nghịch trên khoảng nào?
A. \(( - \infty;8)\). B. \(\left( - \frac{7}{3}; + \infty \right)\). C. \(\left( \frac{4}{3}; + \infty
\right)\). D. \(( -
\infty;10)\).
Bài 2. Cho hàm số \(y = f(x)\) có đồ thị hàm số \(y = f'(2 - x)\) như hình vẽ bên.
Hỏi hàm số \(y = f(x)\) đồng biến trên khoảng nào sau đây?
A. \(( - 2;4)\). B. \(( - 1;3)\). C. \(( - 2;0)\). D. \((0;1)\).
Bài 3. Cho hàm số \(y = f(x)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\). Đồ thị hàm số \(y = f'(x)\) như hình vẽ bên dưới.
Hàm số \(g(x) = f(x) - \frac{x^{3}}{3} +
x^{2} - x + 2\) đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?
A. \(( - 1;0)\). B. \((0;2)\). C. \((1;2)\). D. \((0;1)\).
Tài liệu dài, tải về để xem chi tiết và đầy đủ nhé!
------------------------------------------
Chuyên đề đã giúp bạn nắm vững cách xét sự đồng biến – nghịch biến của hàm hợp và hàm ẩn, từ cơ bản đến nâng cao. Khi hiểu rõ bản chất dấu đạo hàm và quan hệ giữa các hàm thành phần, bạn hoàn toàn có thể tự tin chinh phục mọi bài toán đơn điệu trong kỳ thi THPT Quốc gia.
