VnDoc.com

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Bài tập Toán 12 Tích phân hàm phân thức

Ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán

Khám phá bài tập Toán 12 – Tích phân hàm phân thức giúp bạn nắm vững kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải nhanh! Tài liệu tổng hợp các dạng bài tích phân chứa hàm phân thức thường gặp trong chương trình lớp 12, bám sát cấu trúc đề thi THPT Quốc gia. Mỗi bài tập đều có lời giải hoặc đáp án, hỗ trợ học sinh dễ dàng ôn tập và nâng cao hiệu quả học tập.

Thông hiểu Vận dụng

Bài kiểm tra này bao gồm 22 câu
Điểm số bài kiểm tra: 22 điểm
Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu

Bắt đầu!!

00:00:00

Câu 1: Thông hiểu
Xác định giá trị của a
Cho tích phân $I = \int_{0}^{\frac{1}{2}}{\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}dx} = a\pi$ $I = \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x = a π$ ,a và b là các số hữu tỉ.. Giá trị của a là:
- A.
  $\frac{1}{3}$ $\frac{1}{3}$
- B.
  $\frac{1}{2}$ $\frac{1}{2}$
- C.
  $\frac{1}{6}$ $\frac{1}{6}$
- D.
  $\frac{1}{4}$ $\frac{1}{4}$
Hướng dẫn:
Ta có:

Đặt $x = \sin t,t \in \left\lbrack - \frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2} ightbrack \Rightarrow dx = \cos tdt$ .

Đổi cận $\left\{ \begin{matrix}x = 0 \Rightarrow t = 0 \\x = \dfrac{1}{2} \Rightarrow t = \dfrac{\pi}{6} \\\end{matrix} ight.$ .

$I = \int_{0}^{\frac{\pi}{6}}{dt} = \frac{\pi}{6} \Rightarrow a = \frac{1}{6}$ .
Câu 2: Thông hiểu
Tìm giá trị tích phân I
Tích phân $I = \int_{0}^{3}{\frac{1}{\sqrt{x^{2} + 9}}dx}$ $I = \int_{0}^{3} \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 9}} d x$ có giá trị là:
- A.
  $I = \ln\frac{- 3 + 2\sqrt{3}}{3}$ $I = \ln \frac{- 3 + 2 \sqrt{3}}{3}$
- B.
  $I = \ln\frac{3 + 2\sqrt{3}}{3}$ $I = \ln \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}$
- C.
  $I = - \ln\frac{- 3 + 2\sqrt{3}}{3}$ $I = - \ln \frac{- 3 + 2 \sqrt{3}}{3}$
- D.
  $I = - \ln\frac{3 +2\sqrt{3}}{3}$ $I = - \ln \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}$
Hướng dẫn:
Tích phân $I = \int_{0}^{3}{\frac{1}{\sqrt{x^{2} + 9}}dx}$ có giá trị là:

Đặt $u = x + \sqrt{x^{2} + 9} \Rightarrow du = \left( 1 + \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 9}} ight)dx$

$= \frac{x + \sqrt{x^{2} + 9}}{\sqrt{x^{2} + 9}}dx = \frac{udx}{\sqrt{x^{2} + 9}}$ $\Rightarrow \frac{du}{u} = \frac{dx}{\sqrt{x^{2} +9}}$

Đổi cận $\left\{ \begin{matrix} x = 0 \Rightarrow u = 3 \\ x = 3 \Rightarrow u = 3 + 3\sqrt{2} \\ \end{matrix} ight.$ .

$\Rightarrow I = \int_{3}^{3 + 3\sqrt{2}}\frac{du}{u} = \left. \ \left( \ln|u| ight) ight|_{3}^{3 + 3\sqrt{2}} = \ln\left( 1 + \sqrt{2} ight)$ .
Câu 3: Thông hiểu
Tính giá trị của tham số a
Biết $I = \int_{0}^{1}{\frac{\sqrt{ln^{3}x + 3x}\left( ln^{2}x + \frac{1}{3}x \right)}{x}dx} = \frac{2}{9}\left( \sqrt{1 + ae + 27e^{2} + 27e^{3}} - 3\sqrt{3} \right)$ $I = \int_{0}^{1} \frac{\sqrt{l n^{3} x + 3 x} (l n^{2} x + \frac{1}{3} x)}{x} d x = \frac{2}{9} (\sqrt{1 + a e + 27 e^{2} + 27 e^{3}} - 3 \sqrt{3})$ , a là các số hữu tỉ. Giá trị của a là:
- A.
  – 6
- B.
  6
- C.
  – 9
- D.
  9
Hướng dẫn:
Ta có:

$I = \int_{1}^{e}{\frac{\sqrt{ln^{3}x + 3x}\left( ln^{2}x + \frac{1}{3}x ight)}{x}dx}$

$= \frac{1}{3}\int_{1}^{e}{\frac{\sqrt{ln^{3}x + 3x}\left( 3ln^{2}x + x ight)}{x}dx}$

Đặt $t = ln^{3}x + 3x \Rightarrow dt = \frac{3}{x}ln^{2}x + 1$

Đổi cận $\left\{ \begin{matrix} x = 1 \Rightarrow t = 3 \\ x = e \Rightarrow t = 1 + 3e \\ \end{matrix} ight.$ .

$\Rightarrow I = \int_{3}^{1 + 3e}\sqrt{t}dt = \frac{2}{3}\left. \ \left( \sqrt{t^{3}} ight) ight|_{3}^{1 + 3e} = \frac{2}{3}\left( \sqrt{(1 + 3e)^{3}} - 3\sqrt{3} ight)$ .

$= \frac{2}{9}\left( \sqrt{1 + 9e + 27e^{2} + 27e^{3}} - 3\sqrt{3} ight) \Rightarrow a = 9$
Câu 4: Thông hiểu
Tìm tổng a và b
Cho $I = \int_{0}^{1}\frac{1}{3 + 2x - x^{2}}dx = (a - b)ln2 + bln3$ $I = \int_{0}^{1} \frac{1}{3 + 2 x - x^{2}} d x = (a - b) l n 2 + b l n 3$ . Giá trị a + b là:
- A.
  $\frac{1}{4}$ $\frac{1}{4}$
- B.
  $\frac{1}{2}$ $\frac{1}{2}$
- C.
  $\frac{1}{3}$ $\frac{1}{3}$
- D.
  $\frac{1}{6}$ $\frac{1}{6}$
Hướng dẫn:
Ta có:

$I = \int_{0}^{1}\frac{1}{3 + 2x -x^{2}}dx = \int_{0}^{1}\left( \frac{\frac{1}{4}}{x + 1} +\frac{\frac{1}{4}}{3 - x} ight)$

$= \frac{1}{4}\left. \ \left( \ln|x + 1| - \ln|x - 3| ight) ight|_{0}^{1} = \frac{1}{4}ln3$

$\Rightarrow a = b = \frac{1}{4} \Rightarrow a + b = \frac{1}{2}$
Câu 5: Thông hiểu
Tìm giá trị gần nhất với đáp án đúng
Giá trị của tích phân $I = \int_{- 1}^{0}{\frac{x^{3} - 3x^{2} + 2}{x^{2} + x - 2}dx}$ $I = \int_{- 1}^{0} \frac{x^{3} - 3 x^{2} + 2}{x^{2} + x - 2} d x$ gần nhất với gái trị nào sau đây?
- A.
  $- \frac{ln3}{3}$ $- \frac{l n 3}{3}$
- B.
  $- \frac{ln2}{2}$ $- \frac{l n 2}{2}$
- C.
  $l n 2 - 1$
- D.
  $\frac{3}{2} - ln4$ $\frac{3}{2} - l n 4$
Hướng dẫn:
Ta có:

$I = \int_{- 1}^{0}{\frac{x^{3} - 3x^{2} + 2}{x^{2} + x - 2}dx}$

$= \int_{- 1}^{0}{\frac{(x - 1)\left( x^{2} - 2x - 2 ight)}{(x - 1)(x + 2)}dx}$

$= \int_{- 1}^{0}{\frac{x^{2} - 2x - 2}{x + 2}dx} = \int_{- 1}^{0}{\left( x - 4 + \frac{6}{x + 2} ight)dx}$

$= \left. \ \left( \frac{x^{2}}{2} - 4x + 6ln|x + 2| ight) ight|_{- 1}^{0} = 6ln2 - \frac{9}{2}$
Câu 6: Thông hiểu
Tính tích phân I
Tích phân $I = \int_{- 1}^{0}{\frac{ax}{ax^{2} + 2}dx}$ $I = \int_{- 1}^{0} \frac{a x}{a x^{2} + 2} d x$ ,với $a e q - 2$ có giá trị là:
- A.
  $I = \frac{ln2 - \ln|a + 2|}{2}$ $I = \frac{l n 2 - \ln | a + 2 |}{2}$
- B.
  $I = \frac{- ln2 - \ln|a + 2|}{2}$ $I = \frac{- l n 2 - \ln | a + 2 |}{2}$
- C.
  $I = \frac{- ln2 + \ln|a + 2|}{2}$ $I = \frac{- l n 2 + \ln | a + 2 |}{2}$
- D.
  $I = \frac{ln2 + \ln|a + 2|}{2}$ $I = \frac{l n 2 + \ln | a + 2 |}{2}$
Hướng dẫn:
Xét tích phân $I = \int_{- 1}^{0}{\frac{ax}{ax^{2} + 2}dx}$ , với $a eq - 2$

Ta nhận thấy: $\left( ax^{2} + 2 ight)' = 2ax$ .

Ta dùng đổi biến số.

Đặt $t = ax^{2} + 2 \Rightarrow dt = 2axdx$ .

Đổi cận $\left\{ \begin{matrix} x = 0 \Rightarrow t = 2 \\ x = - 1 \Rightarrow t = a + 2 \\ \end{matrix} ight.$ .

Ta có:

$I = \int_{a + 2}^{2}{\frac{1}{2t}dt =}\frac{1}{2}\left. \ \left( \ln|t| ight) ight|_{a + 2}^{2} = \frac{1}{2}\left( ln2 - \ln|a + 2| ight)$ .
Câu 7: Thông hiểu
Xác định giá trị nguyên của tham số a
Tích phân $I = \int_{1}^{2}\frac{ax - 2}{\sqrt{ax^{2} - 4x}}dx = 2\sqrt{3} - 1$ $I = \int_{1}^{2} \frac{a x - 2}{\sqrt{a x^{2} - 4 x}} d x = 2 \sqrt{3} - 1$ . Giá trị nguyên của a là:
- A.
  $a = 7$
- B.
  $a = 8$
- C.
  $a = 6$
- D.
  $a = 5$
Hướng dẫn:
Ta có: $\left( ax^{2} - 4x ight)' = 2ax - 4 = 2(ax - 2)$ .

$\Rightarrow I = \frac{1}{2}\int_{1}^{2}\frac{2ax - 4}{\sqrt{ax^{2} - 4x}}dx$ .

Đặt $t = ax^{2} - 4x \Rightarrow dt = (2ax - 4)dx$ .

Đổi cận $\left\{ \begin{matrix} x = 2 \Rightarrow t = 4a - 8 \\ x = 1 \Rightarrow t = a - 4 \\ \end{matrix} ight.$ .

Ta có:

$I = \frac{1}{2}\int_{a - 4}^{4a - 8}\frac{1}{\sqrt{t}}dt = \left. \ \left( \sqrt{t} ight) ight|_{a - 4}^{4a - 8} = \sqrt{4a - 8} - \sqrt{a - 4}$

Theo đề bài:

$I = 2\sqrt{3} - 1 \Leftrightarrow \sqrt{4a - 8} - \sqrt{a - 4} = 2\sqrt{3} - 1$

$\Leftrightarrow ..... \Leftrightarrow a = 5$ .
Câu 8: Thông hiểu
Tính tích ab
Cho $I = \int_{0}^{1}{\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}dx} = a\sqrt{2} + b$ $I = \int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} d x = a \sqrt{2} + b$ . Giá trị a.b là:
- A.
  – 1
- B.
  1
- C.
  – 2
- D.
  2
Hướng dẫn:
Ta có:

Đặt $t = x^{2} + 1 \Rightarrow dt = 2xdx$ .

Đổi cận $\left\{ \begin{matrix} x = 0 \Rightarrow t = 1 \\ x = 1 \Rightarrow t = 2 \\ \end{matrix} ight.$ .

$\Rightarrow I = \frac{1}{2}\int_{1}^{2}{\frac{1}{\sqrt{t}}dt} = \sqrt{2} - 1$

$\Rightarrow a = 1,b = - 1 \Rightarrow a.b = - 1$ .
Câu 9: Vận dụng
Chọn đáp án đúng
Tích phân $I = \int_{1}^{2}\frac{ax + 1}{x^{2} + 3x + 2}dx = \frac{3}{5}\ln\frac{4}{3} + \frac{3}{5}\ln\frac{2}{3}$ $I = \int_{1}^{2} \frac{a x + 1}{x^{2} + 3 x + 2} d x = \frac{3}{5} \ln \frac{4}{3} + \frac{3}{5} \ln \frac{2}{3}$ . Giá trị của a là:
- A.
  $a = \frac{1}{5}$ $a = \frac{1}{5}$
- B.
  $a = \frac{3}{5}$ $a = \frac{3}{5}$
- C.
  $a = \frac{2}{5}$ $a = \frac{2}{5}$
- D.
  $a = \frac{4}{5}$ $a = \frac{4}{5}$
Hướng dẫn:
Ta có:

$I = \int_{1}^{2}\frac{ax + 1}{x^{2} + 3x + 2}dx = a\int_{1}^{2}\frac{x}{x^{2} + 3x + 2}dx + \int_{1}^{2}\frac{1}{x^{2} + 3x + 2}dx$ .

Xét $I_{1} = a\int_{1}^{2}\frac{x}{x^{2} + 3x + 2}dx = a\int_{1}^{2}\left( \frac{2}{x + 2} - \frac{1}{x + 1} ight)dx$

$= a\left. \ \left( 2ln|x + 2| - \ln|x + 1| ight) ight|_{1}^{2}$

$= a(2ln4 - 3ln3 + ln2) = 2a\ln\frac{4}{3} + a\ln\frac{2}{3}$

Xét $I_{2} = \int_{1}^{2}\frac{1}{x^{2} + 3x + 2}dx = \left. \ \left( \ln|x + 1| - \ln|x + 2| ight) ight|_{1}^{2} = - \ln\frac{4}{3} - \ln\frac{2}{3}$ .

$\Rightarrow I = I_{1} + I_{2}^{\ }\ = (2a - 1)\ln\frac{4}{3} + (a - 1)\ln\frac{2}{3}$

Theo đề bài: $I = \frac{3}{5}\ln\frac{4}{3} + \frac{3}{5}\ln\frac{2}{3} \Rightarrow a = \frac{4}{5}$ .
Câu 10: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng
Cho $\int_{1}^{2}{\frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1}}dx} = \ln\frac{2 + \sqrt{a}}{1 + \sqrt{b}}$ $\int_{1}^{2} \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1}} d x = \ln \frac{2 + \sqrt{a}}{1 + \sqrt{b}}$ ,a và b là các số hữu tỉ.. Giá trị $\frac{a}{b}$ $\frac{a}{b}$ là:
- A.
  $\frac{2}{3}$ $\frac{2}{3}$
- B.
  $\frac{2}{5}$ $\frac{2}{5}$
- C.
  $\frac{3}{2}$ $\frac{3}{2}$
- D.
  $\frac{5}{2}$ $\frac{5}{2}$
Hướng dẫn:
Ta đặt: $t = x + \sqrt{x^{2} + 1}\Rightarrow \frac{dt}{t} = \frac{dx}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ .

Đổi cận $\left\{ \begin{matrix} x = 1 \Rightarrow t = 1 + \sqrt{2} \\ x = 2 \Rightarrow t = 2 + \sqrt{5} \\ \end{matrix} ight.$ .

Ta có:

$\int_{1 + \sqrt{2}}^{2 + \sqrt{5}}\frac{dt}{t} = \left. \ \left( \ln|t| ight) ight|_{1 + \sqrt{2}}^{2 + \sqrt{5}}\ln\frac{2 + \sqrt{5}}{1 + \sqrt{2}}$ .
Câu 11: Thông hiểu
Tính giá trị tham số a
Tích phân $I = \int_{1}^{a}\frac{x^{2} + 1}{x^{3} + 3x}dx = \frac{1}{3}\ln\frac{7}{2}$ $I = \int_{1}^{a} \frac{x^{2} + 1}{x^{3} + 3 x} d x = \frac{1}{3} \ln \frac{7}{2}$ . Giá trị của a là:
- A.
  $a = 4$
- B.
  $a = 1$
- C.
  $a = 2$
- D.
  $a = 3$
Hướng dẫn:
Ta có:

$I = \int_{1}^{a}\frac{x^{2} + 1}{x^{3} + 3x}dx$ , với $t = x^{3} + 3x$

$\Rightarrow \frac{1}{3}\int_{4}^{a^{3} + 3a}{\frac{1}{t}dt} = \frac{1}{3}\left. \ \left( \ln|t| ight) ight|_{4}^{a^{3} + 3a} = \frac{1}{3}\ln\frac{a^{3} + 3a}{4}$

Theo đề bài:

$\frac{1}{3}\ln\frac{a^{3} + 3a}{4} =\frac{1}{3}\ln\frac{7}{2} \Leftrightarrow a^{3} + 3a - 14 = 0$

$\Leftrightarrow (a - 2)\left( a^{2} + 2a + 7 ight) = 0 \Leftrightarrow a = 2$
Câu 12: Thông hiểu
Xác định giá trị tích phân
Tích phân $I = \int_{- 1}^{\frac{1}{2}}{\frac{4x - 3}{\sqrt{5 + 4x - x^{2}}}dx}$ $I = \int_{- 1}^{\frac{1}{2}} \frac{4 x - 3}{\sqrt{5 + 4 x - x^{2}}} d x$ có giá trị là:
- A.
  $I = - \frac{5\pi}{6}$ $I = - \frac{5 π}{6}$
- B.
  $I = \frac{5\pi}{6}$ $I = \frac{5 π}{6}$
- C.
  $I = - \frac{5\pi}{3}$ $I = - \frac{5 π}{3}$
- D.
  $I = \frac{5\pi}{3}$ $I = \frac{5 π}{3}$
Hướng dẫn:
Thực hiện tính tích phân I theo hai cách như sau:

Cách 1:

Ta có: $\left( 5 + 4x - x^{2} ight)' = 4 - 2x$ và $4x - 3 = 5 - 2(4 - 2x)$ .

$I = \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{7}{2}}{\frac{4x - 3}{\sqrt{5 + 4x - x^{2}}}dx}$

$= \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{7}{2}}{\frac{5}{\sqrt{5 + 4x - x^{2}}}dx} - \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{7}{2}}{\frac{2(4 - 2x)}{\sqrt{5 + 4x - x^{2}}}dx}$ .

Xét $I_{1} = \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{7}{2}}{\frac{5}{\sqrt{5 + 4x - x^{2}}}dx} = \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{7}{2}}{\frac{5}{\sqrt{9 - (x - 2)^{2}}}dx}$ .

Đặt $x - 2 = 3sint,t \in \left\lbrack - \frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2} ightbrack \Rightarrow dx = 3costdt$ .

Đổi cận $\left\{ \begin{matrix} x = \frac{7}{2} \Rightarrow t = \frac{\pi}{6} \\ x = \frac{1}{2} \Rightarrow t = - \frac{\pi}{6} \\ \end{matrix} ight.$ .

$\Rightarrow I_{1} = \int_{- \frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{6}}{\frac{5.3cost}{\sqrt{9 - 9sin^{2}t}}dt} = \frac{5\pi}{3}$ .

Xét $I_{2} = \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{7}{2}}{\frac{2(4 - 2x)}{\sqrt{5 + 4x - x^{2}}}dx}$ .

Đặt $t = 5 + 4x - x^{2} \Rightarrow dt = 4 - 2x$ .

Đổi cận $\left\{ \begin{matrix} x = \dfrac{1}{2} \Rightarrow t = \dfrac{27}{4} \\ x = \dfrac{7}{2} \Rightarrow t = \dfrac{27}{4} \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow I_{2} = 0$ .

$\Rightarrow I = \frac{5\pi}{3}$ .

Cách 2: Dùng máy tính cầm tay.
Câu 13: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng
Tích phân $I =\int_{1}^{e}{\frac{2\ln x\sqrt{ln^{2}x + 1}}{x}dx}$ $I = \int_{1}^{e} \frac{2 \ln x \sqrt{l n^{2} x + 1}}{x} d x$ có gái trị là:
- A.
  $I = \frac{2\sqrt{2} - 2}{3}$ $I = \frac{2 \sqrt{2} - 2}{3}$
- B.
  $I = \frac{4\sqrt{2} + 2}{3}$ $I = \frac{4 \sqrt{2} + 2}{3}$
- C.
  $I = \frac{2\sqrt{2} + 2}{3}$ $I = \frac{2 \sqrt{2} + 2}{3}$
- D.
  $I = \frac{4\sqrt{2} - 2}{3}$ $I = \frac{4 \sqrt{2} - 2}{3}$
Hướng dẫn:
Xét tích phân $I = \int_{1}^{e}{\frac{2lnx\sqrt{ln^{2}x + 1}}{x}dx}$

Ta nhận thấy: $\left( ln^{2}x + 1 ight)' = \frac{2lnx}{x}$ .

Ta dùng đổi biến số.

Đặt $t = ln^{2}x + 1 \Rightarrow dt = \frac{2lnx}{x}dx$ .

Đổi cận $\left\{ \begin{matrix} x = 1 \Rightarrow t = 1 \\ x = e \Rightarrow t = 2 \\ \end{matrix} ight.$ .

$I = \int_{1}^{2}{\sqrt{t}dx} = \left. \ \left( \frac{2}{3}t^{\frac{3}{2}} ight) ight|_{1}^{2} = \frac{4\sqrt{2} - 2}{3}$ .

Đáp án đúng là $I = \frac{4\sqrt{2} - 2}{3}$ .
Câu 14: Thông hiểu
Tính tích phân I
Tích phân $I = \int_{- 2}^{- 1}\frac{\left| x^{3} - 3x + 2 \right|}{x - 1}dx$ $I = \int_{- 2}^{- 1} \frac{| x^{3} - 3 x + 2 |}{x - 1} d x$ có giá trị là:
- A.
  $I = - \frac{7}{6}$ $I = - \frac{7}{6}$
- B.
  $I = \frac{17}{6}$ $I = \frac{17}{6}$
- C.
  $I = \frac{7}{6}$ $I = \frac{7}{6}$
- D.
  $I = - \frac{17}{6}$ $I = - \frac{17}{6}$
Hướng dẫn:
Tích phân $I = \int_{- 2}^{- 1}\frac{\left| x^{3} - 3x + 2 ight|}{x - 1}dx$ có giá trị là:

Ta có: $\underset{f(x)}{\overset{x^{3} - 3x + 2}{︸}} = 0 \Leftrightarrow (x - 1)^{2}(x + 2) = 0 \Leftrightarrow x = 1 \vee x = - 2$ .

Bảng xét dấu:

Ta có

: $I = \int_{- 2}^{- 1}\frac{x^{3} - 3x + 2}{x - 1}dx = \int_{- 2}^{- 1}\left( x^{2} + x - 2 ight)dx$

$= \left. \ \left( \frac{1}{3}x^{3} + \frac{1}{2}x^{2} - 2x ight) ight|_{- 2}^{- 1} = \frac{7}{6}$ .

Đáp án đúng là $I = \frac{7}{6}$ .
Câu 15: Vận dụng
Tìm giá trị của tích phân I
Tích phân $I = \int_{- 2}^{2}\left| \frac{x^{2} - x - 2}{x - 1} \right|dx$ $I = \int_{- 2}^{2} | \frac{x^{2} - x - 2}{x - 1} | d x$ có giá trị là:
- A.
  $I = 3 + 2 l n 3$
- B.
  $I = 3 - 3 l n 2$
- C.
  $I = - 2\ln3$ $I = - 2 \ln 3$
- D.
  $I = 3 - 2 l n 3$
Hướng dẫn:
Tích phân $I = \int_{- 2}^{0}\left| \frac{x^{2} - x - 2}{x - 1} ight|dx$ có giá trị là:

Ta có:

$f(x) = \frac{x^{2} - x - 2}{x - 1} \Rightarrow f(x) = 0$

$\Leftrightarrow x = - 1 \vee x = 2 \land x eq 1$

Bảng xét dấu:

Ta có:

$I = \int_{- 2}^{0}\left| \frac{x^{2} - x - 2}{x - 1} ight|dx = - \int_{- 2}^{- 1}\left( \frac{x^{2} - x - 2}{x - 1} ight)dx + \int_{- 1}^{0}\frac{x^{2} - x - 2}{x - 1}dx$ .

$I_{1} = - \int_{- 2}^{- 1}\left( \frac{x^{2} - x - 2}{x - 1} ight)dx = - - \int_{- 2}^{- 1}\left( x - \frac{2}{x - 1} ight)dx$

$= - \left. \ \left( \frac{x^{2}}{2} - 2ln|x - 1| ight) ight|_{- 2}^{- 1} = \frac{5}{2} + 2ln2 - 2ln3$ .

$I_{2} = \int_{- 1}^{0}\left( \frac{x^{2} - x - 2}{x - 1} ight)dx = ... = \left. \ \left( \frac{x^{2}}{2} - 2ln|x - 1| ight) ight|_{- 1}^{0} = \frac{1}{2} - 2ln2$ .

$\Rightarrow I = I_{1} + I_{2} = 3 - 2ln3$ .
Câu 16: Thông hiểu
Tìm giá trị của tích phân I
Tích phân $I = \int_{0}^{\sqrt[3]{7}}{\frac{3x^{5}}{\sqrt[3]{8 - x^{3}}}dx}$ $I = \int_{0}^{\sqrt[3]{7}} \frac{3 x^{5}}{\sqrt[3]{8 - x^{3}}} d x$ có giá trị là:
- A.
  $I = \frac{57}{5}$ $I = \frac{57}{5}$
- B.
  $I = \frac{87}{5}$ $I = \frac{87}{5}$
- C.
  $I = \frac{77}{5}$ $I = \frac{77}{5}$
- D.
  $I = \frac{67}{5}$ $I = \frac{67}{5}$
Hướng dẫn:
Thực hiện tích phân $I = \int_{0}^{\sqrt[3]{7}}{\frac{3x^{5}}{\sqrt[3]{8 - x^{3}}}dx}$ theo hai cách như sau:

Cách 1: Ta nhận thấy: $\left( 8 - x^{3}ight)' = - 3x^{2}$ .

Ta dùng đổi biến số.

Đặt $t = 8 - x^{3} \Rightarrow dt = - 3x^{2}dx$ .

Đổi cận $\left\{ \begin{matrix} x = 0 \Rightarrow t = 8 \\ x = \sqrt[3]{7} \Rightarrow t = 1 \\ \end{matrix} ight.$ .

Ta có:

$I = \int_{0}^{\sqrt[3]{7}}{\frac{3x^{5}}{\sqrt[3]{8 - x^{3}}}dx} = - \int_{0}^{\sqrt[3]{7}}{\frac{- 3x^{2}.x^{3}}{\sqrt[3]{8 - x^{3}}}dx}$

$= - \int_{0}^{\sqrt[3]{7}}{\frac{- 3x^{2}(8 - t)}{\sqrt[3]{8 - x^{3}}}dx}$

$\Rightarrow I = \int_{8}^{1}\frac{t - 8}{\sqrt[3]{t}}dt = \int_{8}^{1}\left( t^{\frac{2}{3}} - 8.t^{- \frac{1}{3}} ight)dt$ $= \left. \ \left( \frac{3}{5}t^{\frac{5}{3}} - 12t^{\frac{2}{3}} ight) ight|_{8}^{1} = \frac{87}{5}$ .

Cách 2: Dùng máy tính cầm tay, tuy nhiên chờ máy giải cũng khá mất thời gian.
Câu 17: Thông hiểu
Tìm giá trị tham số a thỏa mãn điều kiện
Cho $\int_{0}^{1}{\frac{x^{2}}{x^{3} + 1}dx} = \frac{1}{3}\ln a$ $\int_{0}^{1} \frac{x^{2}}{x^{3} + 1} d x = \frac{1}{3} \ln a$ ,a là các số hữu tỉ. Giá trị của a là:
- A.
  5
- B.
  3
- C.
  4
- D.
  2
Hướng dẫn:
Ta có:

$\int_{0}^{1}{\frac{x^{2}}{x^{3} + 1}dx} = ... = \int_{1}^{2}{\frac{1}{3t}dt} = \frac{1}{3}\left. \ \left( \ln|t| ight) ight|_{1}^{2} = \frac{1}{3}ln2 \Rightarrow a = 2$ .
Câu 18: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng
Tích phân $I = \int_{- 1}^{1}{\frac{x}{\sqrt{x + 1} - 1}dx}$ $I = \int_{- 1}^{1} \frac{x}{\sqrt{x + 1} - 1} d x$ có giá trị là:
- A.
  $I = \frac{4\sqrt{2}}{3} - 1$ $I = \frac{4 \sqrt{2}}{3} - 1$
- B.
  $I = \frac{4\sqrt{2}}{3} - 2$ $I = \frac{4 \sqrt{2}}{3} - 2$
- C.
  $I = \frac{4\sqrt{2}}{3} + 1$ $I = \frac{4 \sqrt{2}}{3} + 1$
- D.
  $I = \frac{4\sqrt{2}}{3} + 2$ $I = \frac{4 \sqrt{2}}{3} + 2$
Hướng dẫn:
Ta có:

$\frac{x}{\sqrt{x + 1} - 1} = \sqrt{x + 1} + 1$

$\Rightarrow I = \int_{- 1}^{1}\frac{x}{\sqrt{x + 1} - 1}dx = \int_{- 1}^{1}\left( \sqrt{x + 1} + 1 ight)dx$

$= \left. \ \left\lbrack \frac{2}{3}(x + 1)^{\frac{3}{2}} + x ightbrack ight|_{- 1}^{1} = \frac{4\sqrt{2}}{3} + 2$

Đáp án đúng là $I = \frac{4\sqrt{2}}{3} + 2$ .
Câu 19: Vận dụng
Chọn phương án đúng
Tích phân $I = \int_{0}^{1}{\frac{3 + 4x}{\sqrt{3 + 2x - x^{2}}}dx}$ $I = \int_{0}^{1} \frac{3 + 4 x}{\sqrt{3 + 2 x - x^{2}}} d x$ có giá trị là:
- A.
  $I = \frac{7\pi}{6} - 4\sqrt{3} + 8$ $I = \frac{7 π}{6} - 4 \sqrt{3} + 8$
- B.
  $I = \frac{7\pi}{6} - 4\sqrt{3} - 8$ $I = \frac{7 π}{6} - 4 \sqrt{3} - 8$
- C.
  $I = \frac{7\pi}{6} + 4\sqrt{3} - 8$ $I = \frac{7 π}{6} + 4 \sqrt{3} - 8$
- D.
  $I = \frac{7\pi}{6} + 4\sqrt{3} + 8$ $I = \frac{7 π}{6} + 4 \sqrt{3} + 8$
Hướng dẫn:
Ta có: $\left( 3 + 3x - x^{2} ight)' = 3 - 2x$ và $3 + 4x = 9 - 2(3 - 2x)$

$\Rightarrow I = \int_{0}^{1}{\frac{3 + 4x}{\sqrt{3 + 2x - x^{2}}}dx} = \int_{0}^{1}{\frac{7 - 2(2 - 2x)}{\sqrt{3 + 2x - x^{2}}}dx}$

$= \int_{0}^{1}{\frac{7}{\sqrt{3 + 2x - x^{2}}}dx} - \int_{0}^{1}{\frac{2(2 - 2x)}{\sqrt{3 + 2x - x^{2}}}dx}$ .

Xét $I_{1} = \int_{0}^{1}{\frac{7}{\sqrt{3 + 2x - x^{2}}}dx} = \int_{0}^{1}{\frac{7}{\sqrt{4 - (x - 1)^{2}}}dx}$ .

Đặt $x - 1 = 2sint,t \in \left\lbrack - \frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2} ightbrack \Rightarrow dx = 2costdt$ .

Đổi cận $\left\{ \begin{matrix} x = 0 \Rightarrow t = - \frac{\pi}{6} \\ x = 1 \Rightarrow t = 0 \\ \end{matrix} ight.$ .

$\Rightarrow I_{1} = \int_{-\frac{\pi}{6}}^{0}{\frac{14cost}{\sqrt{4 - 4\sin^{2}t}}dt} =\frac{7\pi}{6}$ .

Xét $I_{2} = \int_{0}^{1}{\frac{2(2 - 2x)}{\sqrt{3 + 2x - x^{2}}}dx}$ .

Đặt $t = 3 + 2x - x^{2} \Rightarrow dt = (2 - 2x)dx$ .

Đổi cận $\left\{ \begin{matrix} x = 0 \Rightarrow t = 3 \\ x = 1 \Rightarrow t = 4 \\ \end{matrix} ight.$ .

$\Rightarrow I_{2} = \int_{3}^{4}{\frac{2}{\sqrt{t}}dt} = 4\left. \ \left( t^{\frac{1}{2}} ight) ight|_{3}^{4} = 4\left( 2 - \sqrt{3} ight)$ .

$I = I_{1} - I_{2} = \frac{7\pi}{6} + 4\sqrt{3} - 8$ .
Câu 20: Thông hiểu
Tìm đáp án đúng
Tích phân $I = \int_{0}^{1}{\frac{a^{2}x^{3} + ax}{\sqrt{ax^{2} + 1}}dx}$ $I = \int_{0}^{1} \frac{a^{2} x^{3} + a x}{\sqrt{a x^{2} + 1}} d x$ , với $a \geq 0$ $a \geq 0$ có giá trị là:
- A.
  $I = \frac{a(a + 2)}{2}$ $I = \frac{a (a + 2)}{2}$
- B.
  $I = \frac{a(a - 2)}{4}$ $I = \frac{a (a - 2)}{4}$
- C.
  $I = \frac{a(a - 2)}{2}$ $I = \frac{a (a - 2)}{2}$
- D.
  $I = \frac{a(a + 2)}{4}$ $I = \frac{a (a + 2)}{4}$
Hướng dẫn:
Xét tích phân $I = \int_{0}^{1}{\frac{a^{2}x^{3} + ax}{\sqrt{ax^{2} + 1}}dx}$ , với $a \geq 0$

Ta biến đổi:

$I = \int_{0}^{1}{\frac{a^{2}x^{3} + ax}{\sqrt{ax^{2} + 1}}dx} = \int_{0}^{1}{\frac{ax\left( ax^{2} + 1 ight)}{\sqrt{ax^{2} + 1}}dx} = \int_{0}^{1}{\left( ax\sqrt{ax^{2} + 1} ight)dx}$ .

Ta nhận thấy: $\left( ax^{2} + 1 ight)' = 2ax$ . Ta dùng đổi biến số.

Đặt $t = ax^{2} + 1 \Rightarrow dt = 2axdx$ .

Đổi cận $\left\{ \begin{matrix} x = 0 \Rightarrow t = 1 \\ x = 1 \Rightarrow t = a + 1 \\ \end{matrix} ight.$ .

Ta có:

$I = {\int_{1}^{a + 1}{\frac{1}{2}tdt = \left. \ \left( \frac{1}{4}t^{2} ight) ight|}}_{1}^{a + 1} = \frac{1}{4}a(a + 2)$ .
Câu 21: Thông hiểu
Xác định thương số giữa a và b
Biết rằng $I_{1} = \int_{- \frac{\pi}{4}}^{0}{\frac{1}{1 + cos2x}dx} = a$ $I_{1} = \int_{- \frac{π}{4}}^{0} \frac{1}{1 + c o s 2 x} d x = a$ và $I = \int_{- 1}^{0}\sqrt[3]{x + 2}dx = b\sqrt[3]{2} - \frac{3}{4}$ $I = \int_{- 1}^{0} \sqrt[3]{x + 2} d x = b \sqrt[3]{2} - \frac{3}{4}$ , a và b là các số hữu tỉ. Thương số giữa a và b có giá trị là:
- A.
  $\frac{3}{4}$ $\frac{3}{4}$
- B.
  $\frac{1}{2}$ $\frac{1}{2}$
- C.
  $\frac{2}{3}$ $\frac{2}{3}$
- D.
  $\frac{1}{3}$ $\frac{1}{3}$
Hướng dẫn:
Ta có:

$I_{1} = \int_{- \frac{\pi}{4}}^{0}{\frac{1}{1 + cos2x}dx} = \frac{1}{2}\int_{- \frac{\pi}{4}}^{0}{\frac{1}{cos^{2}x}dx} = ... = \frac{1}{2}\int_{- 1}^{0}{tdt} = \frac{1}{2}$ , với $t = \tan x$ .

$I = \int_{- 1}^{0}\sqrt[3]{x + 2}dx = \frac{3}{4}\left. \ \left\lbrack \sqrt[3]{(x + 2)^{4}} ightbrack ight|_{- 1}^{0} = \frac{3}{2}\sqrt[3]{2} - \frac{3}{4}$ .

$\Rightarrow a = \frac{1}{2},b = \frac{3}{2} \Rightarrow \frac{a}{b} = \frac{1}{3}$ .
Câu 22: Thông hiểu
Tìm giá trị của biểu thức I
Tích phân $I = \int_{0}^{1}\frac{a}{\sqrt{3x^{2} + 12}}dx$ $I = \int_{0}^{1} \frac{a}{\sqrt{3 x^{2} + 12}} d x$ có giá trị là:
- A.
  $I = \frac{a}{\sqrt{3}}\ln\left| \frac{1 + \sqrt{5}}{2} ight|$ $Extra \left or missing \right$
- B.
  $I = - \frac{a}{\sqrt{3}}\ln\left| \frac{1 - \sqrt{5}}{2} ight|$ $Extra \left or missing \right$
- C.
  $I = - \frac{a}{\sqrt{3}}\ln\left| \frac{1 + \sqrt{5}}{2} ight|$ $Extra \left or missing \right$
- D.
  $I = \frac{a}{\sqrt{3}}\ln\left| \frac{1 - \sqrt{5}}{2} ight|$ $Extra \left or missing \right$
Hướng dẫn:
Ta có:

$I = \int_{0}^{1}\frac{a}{\sqrt{3x^{2} + 12}}dx = \frac{a}{\sqrt{3}}\int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{x^{2} + 4}}dx$ .

Đặt $u = x + \sqrt{x^{2} + 4} \Rightarrow du = \frac{x + \sqrt{x^{2} + 4}}{\sqrt{x^{2} + 4}}dx \Rightarrow \frac{du}{u} = \frac{dx}{\sqrt{x^{2} + 4}}$ .

$I = \frac{a}{\sqrt{3}}\int_{2}^{1 +\sqrt{5}}{\frac{1}{u}du}$ $= \left. \ \frac{a}{\sqrt{3}}\left( \ln uight) ight|_{2}^{1 + \sqrt{5}}$ $= \frac{a}{\sqrt{3}}\ln\left| \frac{1+ \sqrt{5}}{2} ight|$ .

Xem thêm các bài Tìm bài trong mục này khác:

Chia sẻ, đánh giá bài viết

1

5

Chia sẻ bởi:
Bon

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Nhiều người đang xem

Chuyên đề Toán 12

Xem thêm

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Giáo án STEAM

Dạy con học

Giáo án

Trường mầm non

Danh mục Trường Tiểu học

Sáng kiến kinh nghiệm

Chuyên mục HOT

Thư viện Đề thi

Bài tập cuối tuần

Trắc nghiệm

Sách Cánh diều

Sách Chân trời sáng tạo

Sách Kết nối tri thức

Tài liệu Giáo viên

Chuyên mục HOT

Thư viện Đề thi

Bài tập Hàng ngày

Bài tập Cuối tuần

Trắc nghiệm

Môn Toán lớp 2

Môn Tiếng Việt lớp 2

Chuyên đề - Văn mẫu

Môn Tiếng Anh

Tài liệu Giáo viên

Chuyên mục HOT

Thư viện Đề thi

Bài tập Hàng ngày

Bài tập Cuối tuần

Trắc nghiệm

Môn Toán lớp 3

Môn Tiếng Việt lớp 3

Chuyên đề - Văn mẫu

Tiếng Anh lớp 3

Tài liệu Giáo viên

Chuyên mục HOT

Thư viện Đề thi

Bài tập Hàng ngày

Trắc nghiệm

Bài tập Cuối tuần

Môn Toán lớp 4

Môn Tiếng Việt lớp 4

Tiếng Anh lớp 4

Tài liệu Giáo viên

Chuyên mục HOT

Thư viện Đề thi

Bài tập Hàng ngày

Bài tập Cuối tuần

Trắc nghiệm

Môn Toán lớp 5

Môn Tiếng Việt lớp 5

Môn Tiếng Anh 5

Thi vào lớp 6

Ôn thi