VnDoc.com

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Bài tập Toán 12 Ứng dụng đạo hàm giải quyết vấn đề thực tiễn – Có đáp án chi tiết

Ứng dụng đạo hàm Toán 12

Bài tập Toán 12 Ứng dụng đạo hàm giải bài toán thực tế - Có đáp án

Việc vận dụng đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tiễn là một trong những nội dung quan trọng trong chương trình Toán lớp 12. Đây không chỉ là phần kiến thức nền tảng giúp học sinh ôn thi THPT Quốc gia hiệu quả mà còn rèn luyện kỹ năng tư duy logic, phân tích và giải quyết vấn đề thực tế. Trong bài viết này, chúng tôi tổng hợp các dạng bài tập Toán 12 ứng dụng đạo hàm thường gặp nhất, có đầy đủ lời giải chi tiết, phương pháp tư duy kèm ví dụ minh họa cụ thể. Tài liệu phù hợp với học sinh lớp 12 ôn thu THPT Quốc gia môn Toán.

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao

Bài kiểm tra này bao gồm 54 câu
Điểm số bài kiểm tra: 54 điểm
Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu

00:00:00

Câu 1: Thông hiểu
Tính vận tốc tức thời của viên đạn
Một viên đạn được bắn lên cao theo phương thẳng đứng có phương trình chuyển động $s(t) = 2 + 196t - 4,9t^{2}$ , trong đó $t \geq 0$ , $t(s)$ là thời gian chuyển động, $s(m)$ là độ cao so với mặt đất. Tính vận tốc tức thời của viên đạn khi viên đạn đạt được độ cao $1962m$ .
- A.
  $2(m/s)$
- B.
  $3(m/s)$
- C.
  $1(m/s)$
- D.
  $0(m/s)$
Hướng dẫn:
Vận tốc tức thời của viên đạn tại thời điểm $t$ là: $v(t) = s'(t) = 196 - 9,8t$

Viên đạn đạt được độ cao $1962m$ vào thời điểm $t = 20(s)$ kể từ lúc bắn, khi đó vận tốc tức thời của viên đạn là:

$v(20) = 196 - 9,8.20 = 0(m/s)$ .
Câu 2: Thông hiểu
Tìm doanh thu biên
Doanh thu $R$ (USD) từ việc cho thuê $x$ căn hộ có thể được mô hình hoá bằng hàm số: $R = 2x\left( 900 + 32x - x^{2} \right).$ Tìm doanh thu biên khi $x = 14$ .
- A.
  1587
- B.
  2416.
- C.
  1201
- D.
  2105
Hướng dẫn:
Hàm doanh thu biên là $R' = 1800 + 128x - 6x^{2}$ .

Ta có doanh thu biên khi $x = 14$ là $R'(14) = 2416$ .
Câu 3: Nhận biết
Tìm vận tốc tức thời của vật tại thời điểm t
Một chuyển động thẳng xác định bởi phương trình $s(t) = - 2t^{2} + 16t + 15$ , trong đó $s$ tính bằng mét và $t$ là thời gian tính bằng giây. Tính vận tốc tức thời tại thời điểm $t = 3$ .
- A.
  4m/s
- B.
  1m/s
- C.
  2m/s
- D.
  3m/s
Hướng dẫn:
Ta có $s'(t) = \left( - 2t^{2} + 16t + 15 \right)^{'} = ( - 2.3t + 16) = - 4t + 16$ .

Vận tốc tức thời tại thời điểm $t = 3$ là $s'(3) = - 1.3 = 16 = 4(m/s)$ .
Câu 4: Nhận biết
Tính tốc độ nhỏ nhất của xe đua
Đồ thị bên dưới là tốc độ của một chiếc xe đua trên đoạn đường đua bằng phẳng dài 3 km.

Tốc độ nhỏ nhất của xe đua trên đoạn đường này bằng
- A.
  $3\ km/h$ .
- B.
  $130\ km/h$ .
- C.
  $160\ km/h$
- D.
  $70\ km/h$ .
Hướng dẫn:
Dựa vào đồ thị ta thấy tốc độ nhỏ nhất bằng $\mathbf{70}\mathbf{km}\mathbf{/}\mathbf{h}$ .
Câu 5: Nhận biết
Tìm vận tốc tức thời của vật
Một vật rơi tự do có phương trình chuyển động là $s(t) = \frac{1}{2}gt^{2}$ , trong đó $g = 9,8m/s^{2}$ . Tìm thời điểm mà vận tốc tức thời của vật tại thời điểm đó bằng $39,2(m/s)$ .
- A.
  $t = 4(s)$
- B.
  $t = 2(s)$
- C.
  $t = 3(s)$
- D.
  $t = 5(s)$
Hướng dẫn:
Thật vậy: $v(t) = s'(t) = 9,8t$ .

Ta có: $v(t) = 9,8t = 39,2 \Leftrightarrow t = 4$ .

Vậy vận tốc tức thời của vật đạt $39,2(m/s)$ tại thời điểm $t = 4(s)$ .
Câu 6: Vận dụng
Tính thời gian theo yêu cầu
Một loại thuốc được dùng cho một bệnh nhân và nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân được giám sát bởi bác sĩ. Biết rằng nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân sau khi tiêm vào cơ thể trong $t$ giờ được tính theo công thức $c(t) = \frac{t}{t^{2} + 1}$ . Sau khi tiêm thuốc bao lâu thì nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân cao nhất?
- A.
  $1$ giờ.
- B.
  $2$ giờ.
- C.
  $4$ giờ.
- D.
  $3$ giờ.
Hướng dẫn:
Với $c(t) = \frac{t}{t^{2} + 1}$ , $t > 0$ ta có $c'(t) = \frac{- t^{2} + 1}{\left( t^{2} + 1 \right)^{2}}$ .

Cho $c'(t) = 0 \Leftrightarrow \frac{- t^{2} + 1}{\left( t^{2} + 1 \right)^{2}} = 0 \Leftrightarrow t = 1$

Bảng biến thiên

Vậy $\max_{(0; + \infty)}c(t) = \frac{1}{2}$ khi $t = 1$ .
Câu 7: Vận dụng cao
Chọn kết quả đúng
Một bể ban đầu chứa $150$ lít nước. Sau đó, cứ mỗi phút người ta bơm thêm $50$ lít nước, đồng thời cho vào bể $20$ gam chất khử trùng. Đặt $f(t)$ gam/lít là nồng độ chất khử trùng trong bể sau $t$ phút , biết rằng sau khi khảo sát sự biến thiên của hàm số $f(t)$ , ta thấy giá trị $f(t)$ tăng theo $t$ nhưng không vượt ngưỡng $p$ gam/lít. Tìm số $p$ .
- A.
  $p = 0,2$ .
- B.
  $p = 0,1$ .
- C.
  $p = 0,4$ .
- D.
  $p = 0,3$ .
Hướng dẫn:
Sau $t$ phút, trong bể chứa $(50t + 150)$ lít nước và $20t$ gam chất khử trùng.

Suy ra nồng độ chất khử trùng trong bể sau $t$ phút là $f(t) = \frac{20t}{50t + 150}$ gam/lít.

Khảo sát sự biến thiên hàm số $f(t) = \frac{20t}{50t + 150}$ , $t \geq 0$ .

Ta có: $f'(t) = \frac{3000}{(50t + 150)^{2}} > 0,\forall t \geq 0$

$\lim_{t \rightarrow + \infty}f(t) = \lim_{t \rightarrow + \infty}\frac{20t}{50t + 150} = \lim_{t \rightarrow + \infty}\frac{20}{50 + \frac{150}{t}} = \frac{2}{5} = 0,4$

Bảng biến thiên

Dựa vào BBT ta thấy giá trị $f(t)$ tăng theo $t$ nhưng không vượt ngưỡng $0,4$ gam/lít.

Vậy $p = 0,4$ .
Câu 8: Thông hiểu
Tính gia tốc tức thời của tàu con thoi
Kính viễn vọng không gian Hubble được triển khai vào ngày 24 tháng 4 năm 1990, bởi tàu con thoi Discovery. Vận tốc của tàu con thoi trong nhiệm vụ này từ khi xuất phát tại $t = 0$ (s) cho đến khi tên lửa đẩy nhiên liệu rắn bị loại bỏ ở $t = 126$ (s) được xác định theo phương trình sau:

$v(t) = 0,001302t^{3} - 0,09029t^{2} + 23,61t - 3,083(f/s).$

(Nguồn: James Stewan, Calculus)

Tính gia tốc tức thời của tàu con thoi trên tại thời điểm $t = 100$ (s) (làm tròn kết quả đến hàng phần nghìn).
- A.
  $44,612\left( ft/s^{2} \right)$
- B.
  $47,238\left( ft/s^{2} \right)$
- C.
  $42,175\left( ft/s^{2} \right)$
- D.
  $40,105\left( ft/s^{2} \right)$
Hướng dẫn:
Gia tốc tức thời của tàu con thoi tại thời điểm $t$ (s) là:

$a(t) = v'(t) = 0,003906t^{2} - 0,18058t + 23,61\left( ft/s^{2} \right).$

Gia tốc tức thời của tàu con thoi tại thời điểm $t = 100$ (s) là:

$a(100) = 0,003906 \cdot 100^{2} - 0,18058 \cdot 100 + 23,61 = 44,612\left( ft/s^{2} \right).$
Câu 9: Nhận biết
Chọn phương án thích hợp
Mực nước biển trung bình tại trường sa từ năm 2013 đến năm 2019 được cho bởi biểu đồ trong hình bên dưới.

Trong khoảng thời gian từ năm 2016 đến năm 2019, năm nào mực nước biển trung bình tại trường sa cao nhất ?
- A.
  $2013$ .
- B.
  $2015$ .
- C.
  $2018$ .
- D.
  $2019$ .
Hướng dẫn:
Nhìn vào biểu đồ ta thấy, tại năm 2018 mực nước biển trung bình tại trường sa cao nhất bằng $242\ mm$ .
Câu 10: Thông hiểu
Chọn kết luận đúng
Để điều chỉnh nhiệt độ trong phòng, một hệ thống điều hòa không khí được phép hoạt động trong 10 phút. Gọi $T$ là nhiệt độ phòng ở phút thứ $t$ được cho bởi công thức $T = - 0,008t^{3} - 0,16t + 28$ với $t \in \lbrack 1;10\rbrack$ . Trong thời gian $10$ phút kể từ khi hệ thống điều hòa không khí bắt đầu hoạt động, nhiệt độ trong phòng tăng hay giảm?
- A.
  Tăng.
- B.
  Giảm.
- C.
  Tăng rồi giảm.
- D.
  Giảm rồi tăng.
Hướng dẫn:
Xét hàm số $T = - 0,008t^{3} - 0,16t + 28$ với $t \in \lbrack 1;10\rbrack$ .

$T' = - 0,024t^{2} - 0,16 < 0,\forall t \in \lbrack 1;10\rbrack$ .

Suy ra hàm số $T$ nghịch biến trên đoạn $\lbrack 1;10\rbrack$ . Vậy trong thời gian $10$ phút kể từ khi hệ thống làm mát bắt đầu hoạt động, nhiệt độ trong phòng giảm.
Câu 11: Vận dụng cao
Tính số lượng vi khuẩn lớn nhất
Trong một thí nghiệm y học, người ta cấy 1000 vi khuẩn vào môi trường dinh dưỡng. Bằng thực nghiệm, người ta xác định được số lượng vi khuẩn thay đổi theo thời gian bởi công thức: $N(t) = 1000 + \frac{100t}{100 + t^{2}}(con),$ trong đó $t$ là thời gian tính bằng giây. Tính số lượng vi khuẩn lớn nhất kể từ khi thực hiện cấy vi khuẩn vào môi trường dinh dưỡng.
- A.
  1005 con
- B.
  1050 con
- C.
  1505 con
- D.
  1500 con
Hướng dẫn:
Xét hàm số $N(t) = 1000 + \frac{100t}{100 + t^{2}}(t > 0)$ .

Ta có: $N^{'}(t) = \frac{100 \cdot \left( 100 + t^{2} \right) - 100t \cdot 2t}{\left( 100 + t^{2} \right)^{2}} = \frac{100 \cdot \left( 100 - t^{2} \right)}{\left( 100 + t^{2} \right)^{2}}$ .

Khi đó, với $t > 0,N^{'}(t) = 0 \Leftrightarrow 100 - t^{2} = 0 \Leftrightarrow t^{2} = 100 \Leftrightarrow t = 10$ .

Bảng biến thiên của hàm số $N(t)$ như sau:

Căn cứ bảng biến thiên, ta thấy: Trên khoảng $(0; + \infty)$ , hàm số $N(t)$ đạt giá trị lớn nhất bằng 1005 tại $t = 10$ .

Vậy số lượng vi khuẩn lớn nhất kể từ khi thực hiện cấy vi khuẩn vào môi trường dinh dưỡng là 1005 con.
Câu 12: Thông hiểu
Xác định vận tốc của vật khi chạm đất
Một vật được phóng theo phương thẳng đứng lên trên từ mặt đất với vận tốc ban đầu là $19,6m/s$ thì độ cao $h$ của nó (tính bằng m) sau $t$ giây được cho bởi công thức $h = 19,6t - 4,9t^{2}$ . Tìm vận tốc của vật khi nó chạm đất.
- A.
  16,8 m/s
- B.
  20,8 m/s
- C.
  18,5 m/s
- D.
  19,6 m/s
Hướng dẫn:
Tại thời điểm mà vật đạt độ cao bằng 0, ta có: $0 = 19,6t - 4,9t^{2} \Leftrightarrow 0 = t(19,6 - 4,9t) \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} t = 0 \\ t = 4 \\ \end{matrix} \right.$

Khi $t = 4$ (thời điểm vật chạm đất), ta có: $19,6 - 9,8(4) = - 19,6$ .

Vậy vận tốc của vật khi nó chạm đất là 19,6 m/s.
Câu 13: Vận dụng
Tính tốc độ chuyển hóa nồng độ cồn trong máu
Sau khi uống đồ uống có cồn, nồng độ cồn trong máu tăng lên rồi giảm dần được xác định bằng hàm số $C(t) = 1,35te^{- 2902t}$ , trong đó $C(mg/ml)$ là nồng độ cồn, $t(\ h)$ là thời điểm đo tính từ ngay sau khi uống $15ml$ đồ uống có cồn.

(Nguồn: P. Wilkinson et al., Pharmacokinetics of Ethanol after Ora' Administration in the Fasting State, 1977)

Giả sử một người uống hết nhanh $15ml$ đồ uống có cồn. Tính tốc độ chuyển hoá nồng độ cồn trong máu của người đó tại thời điểm $t = 3$ (h) (làm tròn kết quả đến hàng phần triệu).
- A.
  $- 0,002352$
- B.
  $- 0,002532$
- C.
  $- 0,002523$
- D.
  $- 0,002235$
Hướng dẫn:
Ta có: $C'(t) = 1,35e^{- 2,802t} - 3,7827te^{- 2,802t}$ .

Vậy tốc độ chuyển hoá nồng độ cồn tức thời trong máu của người đó tại thời điểm $t = 3$ (h) là:

$C'(3) = 1,35e^{- 2,802 \cdot 3} - 3,7827 \cdot 3e^{- 2,802.3} \approx - 0,002235\left( \frac{mg/ml}{h} \right).$
Câu 14: Vận dụng
Chọn công thức thích hợp
Một cửa hàng bán dầu muốn đóng những thùng đựng dầu có thể tích không đổi bằng $V = 30dm^{3}$ , thùng có dạng hình hộp chữ nhật có nắp; đáy là hình vuông cạnh $x\ dm$ ( $x > 0$ ). Trên thị trường, giá nguyên vật liệu làm đáy và nắp thùng là $120\ 000$ đồng $/1\ m^{2}$ , giá nguyên vật liệu làm mặt xung quanh của thùng là $100\ 000$ đồng $/1\ m^{2}$ . Chi phí để cửa hàng làm một thùng đựng dầu được cho bởi công thức?
- A.
  $f(x) = \frac{12}{5}x^{2} + \frac{120}{x}$ .
- B.
  $f(x) = 24x^{2} + \frac{120}{x}$ .
- C.
  $f(x) = 24x^{2} + \frac{1200}{x}$ .
- D.
  $f(x) = 2x^{2} + \frac{120}{x}$ .
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Thể tích của thùng $V = 30\ dm^{3}$ , vì $x$ ( $x > 0$ , đơn vị $dm$ ) là cạnh đáy của thùng nên chiều cao của thùng là: $h = \frac{V}{x^{2}} = \frac{30}{x^{2}}$ .

Giá nguyên vật liệu làm đáy và nắp thùng là $1\ 200$ đồng $/1dm^{2}$ , giá nguyên vật liệu làm mặt xung quanh của thùng là $1\ 000$ đồng $/1\ dm^{2}$ .

Diện tích mặt đáy, nắp thùng và diện tích xung quanh lần lượt là: $x^{2};\ x^{2};4xh$ . Chi phí làm một thùng đựng dầu là:

$f(x) = 2.1,2.x^{2} + 1.4xh = 2,4x^{2} + \frac{120}{x} = \frac{12}{5}x^{2} + \frac{120}{x}$ .
Câu 15: Nhận biết
Tính vận tốc tức thời của vật thả rơi tự do
Trên Mặt Trăng, quãng đường rơi tư do của một vật được cho bởi công thức $h(t) = 0,81t^{2}$ , với $t$ được tính bằng giây và $h$ tính bằng mét. Hãy tính vận tốc tức thời của vật được thả rơi tự do trên Mặt Trăng tại thời điểm $t = 2$ .

(Nguồn: https:/www.britannica.complace/Moon)
- A.
  $3,24(m/s)$
- B.
  $3,64(m/s)$
- C.
  $3,13(m/s)$
- D.
  $3,33(m/s)$
Hướng dẫn:
Vận tốc tức thời của vật là: $v(t) = h'(t) = 1,62t$

Tại thời điểm $t = 2$ thì $v(2) = 1,62.2 = 3,24(m/s)$
Câu 16: Vận dụng
Chọn đáp án đúng
Số dân của một thị trấn sau $t$ năm kể từ đầu năm 2020 được tính bởi công thức $f(t) = t + \frac{9}{t + 1},\ f(t)$ được tính bằng vạn người. Xem $f(t)$ là một hàm số xác định trên nửa khoảng $\lbrack 0; + \infty)$ và đạo hàm của hàm số $f(t)$ biểu thị tốc độ tăng dân số của thị trấn. Trong khoảng thời gian nào dưới đây thì dân số của thị trấn này giảm?
- A.
  từ năm 2022 trở đi.
- B.
  từ năm $2021$ trở đi.
- C.
  Từ đầu năm $2020$ đến hết năm 2021.
- D.
  từ đầu năm $2020$ đến hết năm 2020.
Hướng dẫn:
Tốc độ tăng dân số của thị trấn là $f'(t) = 1 - \frac{9}{(t + 1)^{2}}$

Ta cần tìm $t \geq 0$ sao cho $f'(t) = 1 - \frac{9}{(t + 1)^{2}} \leq 0$ .

Ta có $f'(t) \leq 0 \Leftrightarrow t^{2} + 2t - 8 \leq 0 \Leftrightarrow - 4 \leq t \leq 2$

Kết hợp với điều kiện $t \geq 0$ ta có $0 \leq t \leq 2$ .

Do đó dân số của thị trấn giảm trong khoảng thời gian từ đầu năm 2020 đến hết năm 2021.
Câu 17: Nhận biết
Tính vận tốc tức thời của chất điểm
Một chất điểm chuyển động của phương trình $s(t) = \frac{1}{3}t^{3} - 2t^{2} + 4t + 1$ trong đó $t > 0$ , $t$ tính bằng giây, $s(t)$ tính bằng mét. Tính vận tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm $t = 3(s)$ .
- A.
  $1m/s$
- B.
  $2m/s$
- C.
  $1,5m/s$
- D.
  $2,5m/s$
Hướng dẫn:
Vận tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm $t(s)$ là: $v(t) = s'(t) = t^{2} - 4t + 4$ .

Vậy vận tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm $t = 3(s)$ là: $v(3) = 3^{2} - 4.3 + 4 = 1(m/s)$
Câu 18: Vận dụng

Xét tính đúng sai của các nhận định

Một chủ nhà hàng kinh doanh phần ăn đồng giá có chiến lược kinh doanh như sau:

- Phí cố định được ước tính trong một năm là 50000 nghìn đồng.

- Chi phí một phần ăn ước tính khoảng 22 nghìn đồng.

- Giá niêm yết trên thực đơn là 30 nghìn đồng.

Trong bài này, giả định rằng tất cả các phần ăn chế biến sẵn đều được bán hết và kí hiệu $x$ là số phần ăn phục vụ trong một năm, giả sử $x$ thuộc khoảng $\lbrack 5000;\ 25000\rbrack$

a) Gọi $C(x)$ lả tổng chi phí hằng năm cho $x$ phần ăn này. Khi đó: $C(x) = 22x$ .Sai||Đúng

b) Giá thành của một phần ăn cho bởi biểu thức $D(x) = 22 + \frac{50000}{x}$ ( nghìn đồng)Đúng||Sai

c) Dựa vào đồ thị hàm số $D(x)$ và đường thẳng y = 30, ta thấy điểm hoà vốn của nhà hàng, tức là số lượng phần ăn tối thiểu phải được phục vụ hằng năm để hoạt động của nhà hàng tạo ra lợi nhuận là 6250. Đúng||Sai

d) Tổng lợi nhuận hằng năm cho $x$ phần ăn được biểu thị bởi: $L(x) = 8x - 50000$ (nghìn đồng).Đúng||Sai

Đáp án là:

Một chủ nhà hàng kinh doanh phần ăn đồng giá có chiến lược kinh doanh như sau:

- Phí cố định được ước tính trong một năm là 50000 nghìn đồng.

- Chi phí một phần ăn ước tính khoảng 22 nghìn đồng.

- Giá niêm yết trên thực đơn là 30 nghìn đồng.

Trong bài này, giả định rằng tất cả các phần ăn chế biến sẵn đều được bán hết và kí hiệu $x$ là số phần ăn phục vụ trong một năm, giả sử $x$ thuộc khoảng $\lbrack 5000;\ 25000\rbrack$

a) Gọi $C(x)$ lả tổng chi phí hằng năm cho $x$ phần ăn này. Khi đó: $C(x) = 22x$ .Sai||Đúng

b) Giá thành của một phần ăn cho bởi biểu thức $D(x) = 22 + \frac{50000}{x}$ ( nghìn đồng)Đúng||Sai

c) Dựa vào đồ thị hàm số $D(x)$ và đường thẳng y = 30, ta thấy điểm hoà vốn của nhà hàng, tức là số lượng phần ăn tối thiểu phải được phục vụ hằng năm để hoạt động của nhà hàng tạo ra lợi nhuận là 6250. Đúng||Sai

d) Tổng lợi nhuận hằng năm cho $x$ phần ăn được biểu thị bởi: $L(x) = 8x - 50000$ (nghìn đồng).Đúng||Sai

a) $C(x) = 22x + 50000$

b) $D(x) = \frac{C(x)}{x} = 22 + \frac{50000}{x}$ nghìn đồng.

c) Vẽ đồ thị hàm số $D(x)$ và đường thẳng $y = 30$ trên cùng một hệ trục tọa độ

Quan sát đồ thị của hai hàm số, ta thấy giao điểm của đồ thị hàm số $D(x)$ và đường thẳng $y = 30$ là điểm có tọa độ $(6250;30).$ Nghĩa là khi phục vụ được tối thiểu 6250 phần ăn thì chi phí một phần ăn đúng bằng tiền bán một phần ăn (là 30 nghìn đồng).

d) $L(x) = 30x - (22x + 50000) = 8x - 50000$ .
Câu 19: Vận dụng
Tìm hàm chi phí biên
Giả sử chi phí $C(USD)$ để sản xuất $Q$ máy vô tuyến là $C(Q) = Q^{2} + 80Q + 3500$ .

Ta gọi chi phí biên là chi phí gia tăng để sản xuất thêm 1 sản phẩm từ $Q$ sản phẩm lên $Q + 1$ sản phẩm. Hỏi chi phí gia tăng để sản xuất thêm 1 sản phẩm từ 90 sản phẩm lên 91 sản phẩm bằng bao nhiêu?
- A.
  $260USD$
- B.
  $250USD$
- C.
  $280USD$
- D.
  $290USD$
Hướng dẫn:
Xét $\Delta Q$ là số gia của biến số tại điểm $Q$ .

Ta có:

$\Delta C = C(Q + \Delta Q) - C(Q)$

$= (Q + \Delta Q)^{2} + 80(Q + \Delta Q) + 3500 - Q^{2} - 80Q -3500$

$= 2Q.\Delta Q + (\Delta Q)^{2} + 80\Delta Q$ .

Ta thấy: $\lim_{\Delta Q \rightarrow 0}\frac{\Delta C}{\Delta Q} = \lim_{\Delta Q \rightarrow 0}(2Q + \Delta Q + 80) = 2Q + 80$ .

Vậy hàm chi phí biên là: $C'(Q) = 2Q + 80$ .

Ta có: $C'(90) = 2.90 + 80 = 260$ .

Dựa vào kết quả đó, ta thấy chi phí gia tăng để sản xuất thêm 1 sản phẩm từ 90 sản phẩm lên 91 sản phẩm là $260\ USD$ .
Câu 20: Nhận biết
Chọn kết luận đúng
Hình bên cho biết sự thay đổi của nhiệt độ ở một thành phố trong một ngày. Thời điểm nào trong ngày có nhiệt độ thấp nhất ?
- A. $2$ h.
- B. $0$ h.
- C. $6$ h.
- D. $4$ h.
Hướng dẫn:
Từ đồ thị ta thấy thời điểm có nhiệt độ thấp nhất trong ngày là vào 4h sáng.
Câu 21: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng
Một viên đạn được bắn lên cao theo phương thẳng đứng có phương trình chuyển động $s(t) = 2 + 196t - 4,9t^{2}$ , trong đó $t \geq 0$ , $t(s)$ là thời gian chuyển động, $s(m)$ là độ cao so với mặt đất. Sau bao lâu kể từ khi bắn thì viên đạn đạt được độ cao $1962m$ ?
- A.
  18 giây
- B.
  16 giây
- C.
  20 giây
- D.
  25 giây
Hướng dẫn:
Khi viên đạn đạt được độ cao $1962m$ , ta có phương trình:

$1962 = 2 + 196t - 4,9t^{2} \Leftrightarrow t = 20$

Vậy sau $20s$ kể từ khi bắn thì viên đạn đạt được độ cao $1962m$ .
Câu 22: Nhận biết
Tìm vận tốc tức thời của vật
Một vật rơi tự do có phương trình chuyển động là $s(t) = \frac{1}{2}gt^{2}$ , trong đó $g = 9,8m/s^{2}$ . Tìm vận tốc tức thời của vật tại thời điểm $t = 3(s)$ .
- A.
  $28,5(m/s)$
- B.
  $27,2(m/s)$
- C.
  $27,3(m/s)$
- D.
  $29,4(m/s)$
Hướng dẫn:
Ta có: $v(t) = s'(t) = 9,8t$ .

Vận tốc tức thời của vật tại thời điểm $t = 3(s)$ là: $v(3) = 9,8.3 = 29,4(m/s)$ .
Câu 23: Nhận biết
Tính vận tốc tức thời của chuyển động
Một chuyển động thẳng xác định bởi phương trình $s(t) = 4t^{3} + 6t + 2$ , trong đó $s$ tính bằng mét và $t$ là thời gian tính bằng giây. Tính vận tốc tức thời của chuyển động tại $t = 2$ .
- A.
  60 m/s
- B.
  56m/s
- C.
  54m/s
- D.
  50m/s
Hướng dẫn:
Vận tốc tức thời của chuyển động là: $v(t) = s'(t) = 12t^{2} + 6$

Khi $t = 2,\ v(2) = 12.2^{2} + 6 = 54(m/s)$
Câu 24: Thông hiểu
Viết biểu thức tính L(x) theo x
Một hộ làm nghề dệt vải lụa tơ tằm sản xuất mỗi ngày được $x$ mét vải lụa $1 \leq x \leq 18$ .Tổng chi phí sản xuất $x$ mét vải lụa, tính bằng nghìn đồng, cho bởi hàm chi phí:

$C(x) = x^{3} - 6x^{2} + 20x + 500$

Giả sử hộ làm nghề dệt này bán hết sản phẩm mỗi ngày với giá 320 nghìn đồng/mét. Gọi $L(x)$ là lợi nhuận thu được khi bán $x$ mét vải lụa. Hãy viết biểu thức tính $L(x)$ theo $\ x$ ?
- A.
  $L(x) = x^{3} - 6x^{2} + 340x + 500$ .
- B.
  $L(x) = - x^{3} + 6x^{2} + 300x - 500$ .
- C.
  $L(x) = 320x$ .
- D.
  $L(x) = x^{3} - 6x^{2} - 300x + 500$ .
Hướng dẫn:
Khi bán $x$ mét vải lụa

Số tiền thu được là: $B(x) = 320x$ .

Lợi nhuận thu được là: $L(x) = B(x) - C(x) = - x^{3} + 6x^{2} + 300x - 500$ .
Câu 25: Thông hiểu
Tìm hàm chi phí biên
Giả sử chi phí $C(USD)$ để sản xuất $Q$ máy vô tuyến là $C(Q) = Q^{2} + 80Q + 3500$ .

Ta gọi chi phí biên là chi phí gia tăng để sản xuất thêm 1 sản phẩm từ $Q$ sản phẩm lên $Q + 1$ sản phẩm. Giả sử chi phí biên được xác định bởi hàm số $C'(Q)$ . Tìm hàm chi phí biên.
- A.
  $C'(Q) = 2Q + 80$
- B.
  $C'(Q) = 2Q - 80$
- C.
  $C'(Q) = 2Q + 60$
- D.
  $C'(Q) = 2Q - 60$
Hướng dẫn:
Xét $\Delta Q$ là số gia của biến số tại điểm $Q$ .

Ta có:

$\Delta C = C(Q + \Delta Q) - C(Q)$

$= (Q + \Delta Q)^{2} + 80(Q + \Delta Q) + 3500 - Q^{2} - 80Q -3500$

$= 2Q.\Delta Q + (\Delta Q)^{2} + 80\Delta Q$ .

Ta thấy: $\lim_{\Delta Q \rightarrow 0}\frac{\Delta C}{\Delta Q} = \lim_{\Delta Q \rightarrow 0}(2Q + \Delta Q + 80) = 2Q + 80$ .

Vậy hàm chi phí biên là: $C'(Q) = 2Q + 80$ .
Câu 26: Nhận biết
Tính lợi nhuận cao nhất của doanh nghiệp
Một doanh nghiệp dự kiến lợi nhuận khi sản xuất $x$ sản phẩm ( $0 \leq x \leq 300$ ) được cho bởi hàm số $y = - x^{3} + 300x^{2}$ và được minh họa bằng đồ thị ở hình bên dưới.

Cần sản xuất bao nhiêu sản phẩm để doanh nghiệp thu được lợi nhuận cao nhất?
- A.
  $4000000$ .
- B.
  $150$ .
- C.
  $300$
- D.
  $200$ .
Hướng dẫn:
Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số có giá trị lớn nhất bằng $4000000$ khi $x = 200$

Do đó cần sản suất $200$ sản phẩm thì doanh nghiệp thu được lợi nhuận cao nhất.
Câu 27: Thông hiểu
Tính tốc độ tăng trưởng của dân số
Dân số $P$ (tính theo nghìn người) của một thành phố nhỏ được cho bởi công thức $P(t) = \frac{500t}{t^{2} + 9}$ , trong đó $t$ là thời gian được tính bằng năm. Tìm tốc độ tăng dân số tại thời điểm $t = 12$ .
- A.
  $- 3,54$
- B.
  $2,43$
- C.
  $- 2,88$
- D.
  $1,54$
Hướng dẫn:
Tốc độ tăng trưởng dân số là:

$P'(t) = \frac{(500t)^{'}\left( t^{2} + 9 \right) - 500t\left( t^{2} + 9 \right)^{'}}{\left( t^{2} + 9 \right)^{2}}$

$P'(t) = \frac{500.\left( t^{2} + 9 \right) - 500t.2t}{\left( t^{2} + 9 \right)^{2}}$

$P'(t) = \frac{4500 - 500t^{2}}{\left( t^{2} + 9 \right)^{2}}$

Khi $t\ = 12$ thì

$P'(12) = \frac{4500 - 500.12^{2}}{\left( 12^{2} + 9 \right)^{2}} = - 2,88$
Câu 28: Vận dụng cao
Chọn phương án đúng nhất
Trên mặt phẳng tọa độ (Oxy), cho điểm $A(3;2)$ Một đường thẳng đi qua A cắt trục hoành tại B, cắt trục tung tại C tạo thành một tam giác OBC, với O là gốc tọa độ (tham khảo hình vẽ).

Tìm toạ độ điểm $B$ để diện tích tam giác OBC là nhỏ nhất.
- A.
  (0; 6).
- B.
  (1; 4).
- C.
  (6; 0).
- D.
  (0;24).
Hướng dẫn:
+ Đường thằng qua $A$ và $B$ có phương trinh $\frac{y - 2}{- 2} = \frac{x - 3}{t - 3}$ . Hay $y = 2 - \frac{2}{t - 3}(x - 3)$ .

Vậy điểm $C$ có tung độ là $y_{C} = 2 + \frac{6}{t - 3}$ .

Diện tích tam giác OBC là $S(t) = t \cdot y_{C} = \frac{2t^{2}}{t - 3}$ .

+ Khảo sát sự biến thiên của hàm số $y = S(t)$ .

Tập xác đỉnh: $(3; + \infty)$ .

Sự biến thiên: Ta có $S(t) = 2t + 6 + \frac{18}{t - 3}$ .

- $S'(t) = \frac{2t^{2} - 12t}{(t - 3)^{2}},S^{'}(t) = 0 \Leftrightarrow t = 6$ (do $t > 3$ ).

- Hàm số $S(t)$ nghịch biến trên khoảng (3; 6), đồng biến trên khoảng $(6; + \infty)$ .

- Hàm số đạt cực tiểu tại $t = 6$ với $S_{CT} = 24$ .

- Giới hạn vô cực: $\lim_{t \rightarrow 3^{+}}S(t) = + \infty$ , giới hạn tại vô cực: $\lim_{t \rightarrow + \infty}S(t) = + \infty$ .

- Bảng biến thiên:

Diện tích tam giác OBC nhỏ nhất với điểm $B(6;0)$ .
Câu 29: Vận dụng cao
Chọn đáp án đúng
Một công ty sản xuất dụng cụ thể thao nhận được một đơn đặt hàng sản xuất $8000$ quả bóng tennis. Công ty này sở hữu một số máy móc, mỗi máy có thể sản xuất $30$ quả bóng trong một giờ. Chi phí thiết lập các máy này là $200$ nghìn đồng cho mỗi máy. Khi được thiết lập, hoạt động sản xuất sẽ hoàn toàn diễn ra tự động dưới sự giám sát. Số tiền phải trả cho người giám sát là $192$ nghìn đồng một giờ. Số máy móc công ty nên sử dụng là bao nhiêu để chi phí hoạt động là thấp nhất?
- A.
  18 máy
- B.
  10 máy
- C.
  16 máy
- D.
  14 máy
Hướng dẫn:
ọi số máy móc công ty sử dụng để sản xuất là $x(x \in Ν,\ \ x > 0)$ .

Thời gian cần để sản xuất hết $8000$ quả bóng là: $\frac{8000}{30x}$ .

Tổng chi phí để sản xuất là: $P(x) = 200x + \frac{8000}{30x}.192 = 200x + \frac{51200}{x}$

Ta có: $P'(x) = 200 - \frac{51200}{x^{2}} = 0 \Leftrightarrow x^{2} = 256 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 16 \\ x = - 16(L) \\ \end{matrix} \right.$ .

Vậy công ty nên sử dụng $16$ máy để chi phí hoạt động là thấp nhất.
Câu 30: Thông hiểu
Chọn đáp án chính xác nhất
Giả sử một công ty du lịch bán tour với giá là $x$ /khách thì doanh thu sẽ được biểu diễn qua hàm số $f(x) = - 200x^{2} + 550x$ . Công ty phải bán giá tour cho một khách là bao nhiêu để doanh thu từ tour xuyên Việt là lớn nhất.
- A.
  $1,37$ triệu.
- B.
  $1,38$ triệu.
- C.
  $1,3$ triệu.
- D.
  $1,2$ triệu.
Hướng dẫn:
Doanh thu là $f(x) = - 200x^{2} + 550x$ .

Ta có $f'(x) = - 400x + 550$ , tính được $f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{11}{8}$ .

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy $f(x)$ đạt giá trị lớn nhất khi $x = \frac{11}{8} = 1,375$

Vậy công ty cần bán tour với giá 1,38 triệu đồng/khách thì doanh thu sẽ cao nhất.
Câu 31: Thông hiểu
Chọn phương án thích hợp
Một cửa hàng trà sữa có đồ thị biểu diễn số ly trà sữa bán được trong một tuần như sau. Số ly trà sữa cửa hàng đó bán được nhiều nhất trong một ngày là bao nhiêu
- A. 68 ly.
- B. 62 ly.
- C. 52 ly.
- D. 58 ly.
Hướng dẫn:
Từ đồ thị ta thấy vào thứ 7 cửa hàng bán được nhiều nhất là 58 ly trà sữa.
Câu 32: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng
Một con lắc lò xo dao động điều hòa theo phương ngang trên mặt phẳng không ma sát, có phương trình chuyển động $x = 4cos\left( \pi t - \frac{2\pi}{3} \right) + 3$ , trong đó $\ t$ tính bằng giây và $x$ tính bằng centimet. Tìm thời điểm mà vận tốc của con lắc bẳng $0$ .
- A.
  $t = \frac{\pi}{3}$
- B.
  $t = \frac{3\pi}{5}$
- C.
  $t = \frac{2\pi}{3}$
- D.
  $t = \frac{\pi}{2}$
Hướng dẫn:
Ta có: $v = x' = - 4\pi\sin\left( \pi t - \frac{2\pi}{3} \right)$

Vận tốc của con lắc bẳng $0$

=> $v = - 4\pi\sin\left( \pi t - \frac{2\pi}{3} \right) = 0 = > t = \frac{2\pi}{3}(s)$
Câu 33: Vận dụng
Tính giá trị của biểu thức
Giả sử chi phí $C$ (USD) để sản xuất $Q$ máy vô tuyến là $C(Q) = Q^{2} + 80Q + 3500$ .

Ta gọi chi phí biên là chi phí gia tăng để sản xuất thêm 1 sản phẩm từ $Q$ sản phẩm lên $Q + 1$ sản phẩm. Giả sử chi phí biên được xác định bởi hàm số $C'(Q)$ . Tìm $C'(90)$ ?
- A.
  $258USD$
- B.
  $250USD$
- C.
  $240USD$
- D.
  $260USD$
Hướng dẫn:
Chi phí biên là chi phí gia tăng để sản xuất thêm 1 sản phẩm từ $Q$ sản phẩm lên $Q + 1$ sản phẩm. Chi phí biên được xác định bởi hàm số $C'(Q)$

$= > C'(Q) = \lim_{Q \rightarrow Q + 1}\frac{\left( Q^{2} + 80Q + 3500 \right) - \left( (Q + 1)^{2} + 80(Q + 1) + 3500 \right)}{Q - Q - 1}$

$C'(Q) = \lim_{Q \rightarrow Q + 1}\frac{\left( Q^{2} + 80Q + 3500 \right) - \left( Q^{2} + 2Q + 1 + 80Q + 80 + 3500 \right)}{- 1}$

$C'(Q) = \lim_{Q \rightarrow Q + 1}(2Q + 80)$

$C'(90) = 2.90 + 80 = 260(USD)$

=> Ý nghĩa: Chi phí gia tăng để sản xuất thêm 1 sản phẩm từ 89 sản phẩm lên 90 sản phẩm là 260 (USD)
Câu 34: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng
Một viên đạn được bắn lên cao theo phương thẳng đứng có phương trình chuyển động $s(t) = 2 + 196t - 4,9t^{2}$ , trong đó $t \geq 0$ , $t(s)$ là thời gian chuyển động, $s(m)$ là độ cao so với mặt đất. Tại thời điểm viên đạn đạt vận tốc tức thời bằng $98\ m/s$ thì viên đạn đang ở độ cao bao nhiêu mét so với mặt đất?
- A.
  $1152(m)$
- B.
  $1647(m)$
- C.
  $1384(m)$
- D.
  $1472(m)$
Hướng dẫn:
Viên đạn đạt vận tốc tức thời bằng $98\ m/s$ ta có phương trình:

$v(t) = 196 - 9,8t = 98 \Leftrightarrow t = 10$

Khi đó viên đạn đang ở độ cao là:

$s(10) = 2 + 196.10 - 4,9.10^{2} = 1472(m)$ .
Câu 35: Thông hiểu
Xác định hàm doanh thu của công ty
Một công ty sản xuất một sản phẩm. Bộ phận tài chính của công ty đưa ra hàm giá bán là $p(x) = 1000 - 25x$ , trong đó $p(x)$ là giá bán của mỗi sản phẩm mà tại giá bán này có $x$ sản phẩm được bán ra. Khi đó hàm doanh thu của công ty là
- A.
  $f(x) = 1000 - 25x^{2}$ .
- B.
  $f(x) = 25x^{2} - 1000x$ .
- C.
  $f(x) = 1000x + 25x^{2}$ .
- D.
  $f(x) = 1000x - 25x^{2}$ .
Hướng dẫn:
Ta có khi có $x$ sản phẩm được bán ra thì giá bán là $p(x) = 1000 - 25x$ , do đó doanh thu của cửu hàng khi bán ra $x$ sản phẩm là $f(x) = x.p(x) = 1000x - 25x^{2}$ .
Câu 36: Thông hiểu
Tìm vận tốc tức
Một con lắc lò xo dao động điều hòa theo phương ngang trên mặt phẳng không ma sát, có phương trình chuyển động $x = 4cos\left( \pi t - \frac{2\pi}{3} \right) + 3$ , trong đó $\ t$ tính bằng giây và $x$ tính bằng centimet. Vận tốc tức thời và gia tốc tức thời của con xắc lò xo tại thời điểm $t = 3\ \ (s)$ lần lượt là:
- A.
  $2\pi(cm/s);2\sqrt{3}\pi^{2}\left( cm/s^{2} \right)$
- B.
  $- 2\sqrt{3}\pi(cm/s); - 2\pi^{2}\left( cm/s^{2} \right)$
- C.
  $2\sqrt{3}\pi(cm/s);2\pi^{2}\left( cm/s^{2} \right)$
- D.
  $- 2\pi(cm/s); - 2\sqrt{3}\pi^{2}\left( cm/s^{2} \right)$
Hướng dẫn:
Ta có:

$v = x' = - 4\pi\sin\left( \pi t - \frac{2\pi}{3} \right)$

$a = v' = - 4\pi^{2}\cos\left( \pi t - \frac{2\pi}{3} \right)$

a) Vận tốc tức thời của con xắc lò xo tại thời điểm $t = 3\ \ (s)$ là:

$v = - 4\pi\sin\left( \pi.3 - \frac{2\pi}{3} \right) = - 2\sqrt{3}\pi(cm/s)$

Gia tốc tức thời của con xắc lò xo tại thời điểm $t = 3\ \ (s)$ là:

$a = - 4\pi^{2}\cos\left( 3\pi - \frac{2\pi}{3} \right) = - 2\pi^{2}\left( cm/s^{2} \right)$
Câu 37: Vận dụng
Tính khoảng cách theo yêu cầu
Một viên đạn được bắn lên từ mặt đất theo phương thẳng đứng với tốc độ ban đầu $v_{0} = 196\ m/s$ (bỏ qua sức cản của không khí). Tìm thời điểm tại đó tốc độ của viên đạn bằng 0. Khi đó viên đạn cách mặt đất bao nhiêu mét (lấy $g = 9,8\ m/s^{2}$ )?
- A.
  1750m
- B.
  1864m
- C.
  1954m
- D.
  1960m
Hướng dẫn:
Phương trình của viên đạn đi theo phương thẳng đứng được cho bởi:

$y = - \frac{1}{2}gt^{2} - v_{o}t < = > y = - 4,9t^{2} + 196t$

Vận tốc viên đạn tại thời điểm t là:

$v = y' = - 9,8t + 196$

Từ đó, ta nhận thấy:

Thời điểm tại đó tốc độ của viên đạn bằng 0 được cho bởi:

$- 9,8t + 196 = 0 \Leftrightarrow t = 20s$

Khi đó viên đạn cách mặt đất một khoảng cho bởi:

$y = - 4,9.20^{2} + 196.20 = 1960m$
Câu 38: Vận dụng cao
Tính chi phí sản xuất máy vô tuyến
Giả sử chi phí $C$ (USD) để sản xuất $Q$ máy vô tuyến là $C(Q) = Q^{2} + 80Q + 3500$ .

Ta gọi chi phí biên là chi phí gia tăng để sản xuất thêm 1 sản phẩm từ $Q$ sản phẩm lên $Q + 1$ sản phẩm. Giả sử chi phí biên được xác định bởi hàm số $C'(Q)$ . Hãy tính chi phí sản xuất máy vô tuyến thứ 100.
- A.
  $275USD$
- B.
  $206USD$
- C.
  $268USD$
- D.
  $281USD$
Hướng dẫn:
Chi phí biên là chi phí gia tăng để sản xuất thêm 1 sản phẩm từ $Q$ sản phẩm lên $Q + 1$ sản phẩm. Chi phí biên được xác định bởi hàm số $C'(Q)$

$= > C'(Q) = \lim_{Q \rightarrow Q + 1}\frac{\left( Q^{2} + 80Q + 3500 \right) - \left( (Q + 1)^{2} + 80(Q + 1) + 3500 \right)}{Q - Q - 1}$

$C'(Q) = \lim_{Q \rightarrow Q + 1}\frac{\left( Q^{2} + 80Q + 3500 \right) - \left( Q^{2} + 2Q + 1 + 80Q + 80 + 3500 \right)}{- 1}$

$C'(Q) = \lim_{Q \rightarrow Q + 1}(2Q + 80)$

Chi phí sản xuất 101 máy vô tuyến là:

$C(101) = 101^{2} + 80.101 + 3500 = 21781(USD)$

Chi phí sản xuất 100 máy vô tuyến là:

$C(100) = 100^{2} + 80.100 + 3500 = 21500(USD)$

Chi phí sản xuất máy vô tuyến thứ 100 là

$C(101) - C(100) = 281(USD)$
Câu 39: Thông hiểu
Xác định tốc độ thay đổi dân số
Người ta ước tính rằng sau $x$ tháng tính từ bây giờ, dân số của một huyện nào đó sẽ là $P(x) = x^{2} + 20x + 8000$ người. Dân số sẽ thay đổi với tốc độ bao nhiêu sau 12 tháng?
- A.
  $44$ người/ tháng.
- B.
  $24$ người/ tháng.
- C.
  $34$ người/tháng.
- D.
  $50$ người/ tháng.
Hướng dẫn:
Tốc độ thay đổi dân số tương ứng với thời gian là đạo hàm của hàm dân số. Tức là:

Tốc độ thay đổi: $P'(x) = 2x + 20$

Tốc độ thay đổi dân số sau 12 tháng sẽ là: $P'(12) = 2.12 + 20 = 44$ người/tháng.
Câu 40: Thông hiểu
Tính vận tốc cực đại
Chuyển động của một hạt trên một dây rung được cho bởi $s(t) = 12 + 0,5sin(4\pi t)$ , trong đó $s$ tính bằng centimét và $t$ tính bằng giây. Tính vận tốc của hạt sau $t$ giây. Vận tốc cực đại của hạt là bao nhiêu?
- A.
  $1\pi cm/s$
- B.
  $2\pi cm/s$
- C.
  $3\pi cm/s$
- D.
  $4\pi cm/s$
Hướng dẫn:
Đạo hàm của hàm $s(t)$ theo thời gian $t$ :

$v(t) = \frac{ds}{dt} = 2\pi cos(4\pi t)4$

Ta thấy rằng hàm $v(t)$ là một hàm cosin với biên độ bằng $2\pi$ , do đó giá trị lớn nhất của hàm này là $2\pi$ .

Vậy vận tốc cực đại của hạt là $2\pi cm/s$ .
Câu 41: Thông hiểu
Xác định hàm chi phí biên
Giả sử chi phí để sản xuất $x$ đơn vị hàng hóa nào đó là $C(x) = 27900 + 100x - 1,5x^{2} + 0,025x^{3}$ . Khi đó hàm chi phí biên tương ứng là
- A.
  $C'(x) = 100 + 3x + 0,075x^{2}$ .
- B.
  $C'(x) = 28000 + 3x + 0,075x^{2}$ .
- C.
  $C'(x) = 28000 - 3x + 0,075x^{2}$ .
- D.
  $C'(x) = 100 - 3x + 0,075x^{2}$ .
Hướng dẫn:
Hàm chi phí biên tương ứng là: $C'(x) = 100 - 3x + 0,075x^{2}$ .
Câu 42: Nhận biết
Chọn kết luận đúng nhất
Hình vẽ cho biết nhiệt độ trung bình các tháng năm 2020 tại Thành phố Hồ Chí Minh đo bằng đơn vị $\ ^{0}C$ . Hãy cho biết trong năm 2020 tại Thành phố Hồ Chí Minh thì nhiệt độ trung bình của tháng nào cao nhất, nhiệt độ trung bình của tháng nào thấp nhất?

Nhiệt độ trung bình các tháng năm 2020 tại TPHCM
- A.
  Nhiệt độ trung bình của tháng 4 cao nhất và tháng 2 thấp nhất.
- B.
  Nhiệt độ trung bình của tháng 6 cao nhất và tháng 12 thấp nhất.
- C.
  Nhiệt độ trung bình của tháng 5 cao nhất và tháng 12 thấp nhất.
- D.
  Nhiệt độ trung bình của tháng 4 cao nhất và tháng 12 thấp nhất.
Hướng dẫn:
Từ hình vẽ ta thấy nhiệt độ trung bình của tháng cao nhất là tháng 4. Nhiệt độ trung bình của tháng thấp nhất là tháng 12.
Câu 43: Thông hiểu
Tính vận tốc cực đại của hại
Chuyển động của một hạt trên một dây rung được cho bởi công thức $s(t) = 10 + \sqrt{2}\sin\left( 4\pi t + \frac{\pi}{6} \right)$ , trong đó $s$ tính bằng centimét và $t$ tính bằng giây. Vận tốc của hạt sau $t$ giây là $v(t)$ . Vận tốc cực đại của hạt là bao nhiêu (làm tròn kết quả đến chữ số thập thứ nhất)?
- A.
  $v_{\max} \approx 15,7m/s$
- B.
  $v_{\max} \approx 16,3m/s$
- C.
  $v_{\max} \approx 17,8m/s$
- D.
  $v_{\max} \approx 16,2m/s$
Hướng dẫn:
Vận tốc của hạt sau $t$ giây là: $v(t) = s'(t) = 4\pi\sqrt{2}\cos\left( 4\pi t + \frac{\pi}{6} \right)$ .

Vận tốc cực đại của hạt là: $v_{\max} = 4\pi\sqrt{2} \approx 17,8m/s$ , đạt được khi

$\left| \cos\left( 4\pi t + \frac{\pi}{6} \right) \right| = 1$ hay $t = \frac{5}{24} + \frac{k}{4},k\mathbb{\in N}$ .
Câu 44: Nhận biết
Chọn đáp án đúng
Hình bên cho biết lượng mưa trung bình các tháng năm 2019 tại Thành phố Hồ Chí Minh đo theo đơn vị milimet. Hãy cho biết vào tháng nào trong năm 2019 thì lượng mưa là cao nhất ?
- A.
  Tháng 6.
- B.
  Tháng 9.
- C.
  Tháng 10.
- D.
  Tháng 8.
Hướng dẫn:
Từ đồ thị ta thấy vào Tháng 9 thì lượng mưa ở Thành phố Hồ Chí Minh cao nhất trong năm 2019
Câu 45: Vận dụng
Chọn kết luận đúng
Một tàu đổ bộ tiếp cận Mặt Trăng theo cách tiếp cận thẳng đứng và đốt cháy các tên lửa hãm ở độ cao $250\ km$ so với bể mặt của Mặt Trăng. Trong khoảng 50 giây đầu tiên kể từ khi đốt cháy các tên lửa hãm, độ cao $h$ của con tàu so với bề mặt của Mặt Trăng được tính (gẩn đúng) bởi hàm $h(t) = - 0,01t^{3} + 1,1t^{2} - 30t + 250,$ trong đó $t$ là thời gian tính bằng giây và $h$ là độ cao tính bằng kilômét. Gọi $v(t)$ là vận tốc tức thời của con tàu ở thời điểm $t$ (giây) kể từ khi đốt cháy các tên lửa hãm với $0 \leq t \leq 50$ . Tại thời điểm $t = 25$ (giây), vận tốc tức thời của con tàu vẫn giảm hay đang tăng trở lại?
- A.
  Vẫn giảm
- B.
  Vẫn tăng
Hướng dẫn:
Vận tốc tức thời của con tàu ở thời điểm $t$ , $v(t)$ , là đạo hàm của hàm số $h(t)$ theo thời gian $t$ . Hàm số $h(t)$ đã cho là: $h(t) = - 0,01t^{3} + 1,1t^{2} - 30t + 250$

Để tìm $v(t)$ , ta lấy đạo hàm của $h(t)$ : $v(t) = h^{'}(t) = - 0,03t^{2} + 2,2t - 30$

Vậy hàm số $v(t)$ biểu diễn vận tốc tức thời của con tàu ở thời điểm $t$ là:

$v(t) = - 0,03t^{2} + 2,2t - 30$

Để xác định liệu vận tốc của con tàu tại thời điểm t = 25 giây có đang tăng hay giảm, chúng ta cần xem xét đạo hàm bậc hai của hàm số $h(t)$ , tức là gia tốc của con tàu.

Gia tốc $a(t)$ là đạo hàm của vận tốc $v(t),$ tức là đạo hàm bậc hai của $h(t):$

$a(t) = v^{'}(t) = - 0,06t + 2,2$

Tại thời điểm $t = 25$ giây, gia tốc của con tàu là: $a(25) = - 0,06.25 + 2,2 = - 1,3\ km/s^{2}$

Vi gia tốc $a(25) < 0$ , nên vận tốc của con tàu tại thời điểm $t = 25$ giây đang giảm
Câu 46: Thông hiểu
Xác định hàm số v(t)
Một tàu đổ bộ tiếp cận Mặt Trăng theo cách tiếp cận thẳng đứng và đốt cháy các tên lửa hãm ở độ cao $250\ km$ so với bể mặt của Mặt Trăng. Trong khoảng 50 giây đầu tiên kể từ khi đốt cháy các tên lửa hãm, độ cao $h$ của con tàu so với bề mặt của Mặt Trăng được tính (gẩn đúng) bởi hàm $h(t) = - 0,01t^{3} + 1,1t^{2} - 30t + 250,$ trong đó $t$ là thời gian tính bằng giây và $h$ là độ cao tính bằng kilômét. Gọi $v(t)$ là vận tốc tức thời của con tàu ở thời điểm $t$ (giây) kể từ khi đốt cháy các tên lửa hãm với $0 \leq t \leq 50$ . Xác định hàm số $v(t)$ .
- A.
  $v(t) = 0,03t^{2} - 2,2t - 30$
- B.
  $v(t) = 0,1t^{2} + 2t - 15$
- C.
  $v(t) = - 0,03t^{2} + 2,2t - 30$
- D.
  $v(t) = + 0,1t^{2} - 2t + 15$
Hướng dẫn:
Vận tốc tức thời của con tàu ở thời điểm $t$ , $v(t)$ , là đạo hàm của hàm số $h(t)$ theo thời gian $t$ . Hàm số $h(t)$ đã cho là: $h(t) = - 0,01t^{3} + 1,1t^{2} - 30t + 250$

Để tìm $v(t)$ , ta lấy đạo hàm của $h(t)$ : $v(t) = h^{'}(t) = - 0,03t^{2} + 2,2t - 30$

Vậy hàm số $v(t)$ biểu diễn vận tốc tức thời của con tàu ở thời điểm $t$ là:

$v(t) = - 0,03t^{2} + 2,2t - 30$
Câu 47: Nhận biết
Tìm vận tốc tức thời của chuyển động
Một vật chuyển động có quãng đường được xác định bởi phương trình $s(t) = 2t^{2} + 5t + 2$ , trong đó $s$ tính bằng mét và $t$ là thời gian tính bằng giây. Tính vận tốc tức thời tại thời điểm $t = 4$ .
- A.
  21m/s
- B.
  18m/s
- C.
  25m/s
- D.
  23m/s
Hướng dẫn:
Ta có $s'(t) = 4t + 5,s'(4) = 21m/s$
Câu 48: Thông hiểu
Tính thời gian số vi khuẩn đạt max
Một loại vi khuẩn được tiêm một loại thuốc kích thích sự sinh sản. Sau t phút, số vi khuẩn được xác định theo công thức $N(t) = 1000 + 30t^{2} - t^{3}\ (0 \leq t \leq 30)$ . Hỏi sau bao giây thì số vi khuẩn lớn nhất?
- A.
  $20$ .
- B.
  $1000$ .
- C.
  $1200$ .
- D.
  $10$ .
Hướng dẫn:
Xét hàm số $N(t) = 1000 + 30t^{2} - t^{3}\ (0 \leq t \leq 30)$ .

$N'(t) = 60t - 3t^{2}$ .

$N'(t) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} t = 0 \\ t = 20 \\ \end{matrix} \right.$ .

Với $t = 20$ giây thì số vi khuẩn lớn nhất.
Câu 49: Vận dụng
Chọn kết quả đúng
Một công ty chuyên sản xuất thùng phi nhận được đơn đặt hàng với yêu cầu là thùng phi phải có dạng hình trụ và chứa được $16\pi\left( m^{3} \right)$ mỗi chiếc. Hỏi chiếc thùng phải có chiều cao $h$ và bán kính đáy $R$ bằng bao nhiêu để sản xuất ít tốn vật liệu nhất?
- A.
  $R = 2(m),h = 2(m)$ .
- B.
  $R = 4(m),h = 2(m)$ .
- C.
  $R = 4(m),h = 4(m)$ .
- D.
  $R = 2(m),h = 4(m)$ .
Hướng dẫn:
Do thùng phi có dạng hình trụ nên:

$V_{tru} = \pi R^{2}h = 16\pi \Leftrightarrow h = \frac{16}{R^{2}}\ \ \ \ \ \ \ (1)$

Diện tích toàn phần của thùng phi là:

$S_{Tp} = 2\pi R^{2} + 2\pi Rh = 2\pi R(h + R)\ \ \ \ \ \ \ (2)$

Thay vào ta được:

$S_{Tp} = 2\pi\left( \frac{16}{R} + R^{2} \right)$

$\Rightarrow S'_{Tp} = 2\pi\left( - \frac{16}{R^{2}} + 2R \right) = \frac{4\pi}{R^{2}}\left( R^{3} - 8 \right)$

$\Rightarrow S'_{Tp} = 0 \Leftrightarrow R = 2$

Bảng biến thiên

Vậy để sản xuất thùng phi ít tốn vật liệu nhất thì $R = 2(m)$ và chiều cao là $h = 4(m)$ .
Câu 50: Vận dụng
Xác định hàm số v(t)
Một tàu đổ bộ tiếp cận Mặt Trăng theo cách tiếp cận thẳng đứng và đốt cháy các tên lửa hãm ở độ cao $250\ km$ so với bể mặt của Mặt Trăng. Trong khoảng 50 giây đầu tiên kể từ khi đốt cháy các tên lửa hãm, độ cao $h$ của con tàu so với bề mặt của Mặt Trăng được tính (gẩn đúng) bởi hàm $h(t) = - 0,01t^{3} + 1,1t^{2} - 30t + 250,$ trong đó $t$ là thời gian tính bằng giây và $h$ là độ cao tính bằng kilômét. Gọi $v(t)$ là vận tốc tức thời của con tàu ở thời điểm $t$ (giây) kể từ khi đốt cháy các tên lửa hãm với $0 \leq t \leq 50$ . Vận tốc tức thời của con tàu lúc bắt đầu hãm phanh là bao nhiêu?
- A.
  $30km/h$
- B.
  $- 30km/h$
- C.
  $35km/h$
- D.
  $- 35km/h$
Hướng dẫn:
Vận tốc tức thời của con tàu ở thời điểm $t$ , $v(t)$ , là đạo hàm của hàm số $h(t)$ theo thời gian $t$ . Hàm số $h(t)$ đã cho là: $h(t) = - 0,01t^{3} + 1,1t^{2} - 30t + 250$

Để tìm $v(t)$ , ta lấy đạo hàm của $h(t)$ : $v(t) = h^{'}(t) = - 0,03t^{2} + 2,2t - 30$

Vậy hàm số $v(t)$ biểu diễn vận tốc tức thời của con tàu ở thời điểm $t$ là:

$v(t) = - 0,03t^{2} + 2,2t - 30$

Tại thời điểm bắt đầu hãm phanh $(t = 0)$ , vận tốc của con tàu là:

$v(0) = - 0,030^{2} + 2,20 - 30 = - 30\ km/s$
Câu 51: Thông hiểu
Tính vận tốc tức thời của chất điểm
Một chất điểm chuyển động của phương trình $s(t) = 6sin\left( 3t + \frac{\pi}{4} \right)$ trong đó $t > 0$ , $t$ tính bằng giây, $s(t)$ tính bằng centimét. Tính vận tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm $t = \frac{\pi}{6}(s)$ .
- A.
  $- 9\sqrt{2}(cm/s)$
- B.
  $7\sqrt{2}(cm/s)$
- C.
  $- 7\sqrt{2}(cm/s)$
- D.
  $9\sqrt{2}(cm/s)$
Hướng dẫn:
Vận tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm $t(s)$ là: $v(t) = s'(t) = 18cos\left( 3t + \frac{\pi}{4} \right)$ .

Vậy vận tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm $t = \frac{\pi}{6}(s)$ là: $v\left( \frac{\pi}{6} \right) = 18cos\left( 3.\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{4} \right) = - 9\sqrt{2}(cm/s)$
Câu 52: Vận dụng
Định số lượng sản phẩm theo yêu cầu
Giả sử chi phí để sản xuất $x$ sản phẩm của một nhà máy được cho bởi $C(x) = 0,2x^{2} + 10x + 5$ (triệu đồng). Khi đó chi phí trung bình để sản xuất một đơn vị sản phẩm là $f(x) = \frac{C(x)}{x}$ . Số lượng sản phẩm cần sản xuất là bao nhiêu để chi phí trung bình là thấp nhất?
- A.
  5.
- B.
  14 .
- C.
  6 .
- D.
  12.
Hướng dẫn:
Khảo sát sự biến thiên của hàm số $y = f(x) = \frac{C(x)}{x} = \frac{0,2x^{2} + 10x + 5}{x}$ .

Tập xác định: $\lbrack 1; + \infty)$ .

Sự biến thiên: Ta có $f(x) = 0,2x + 10 + \frac{5}{x}$ .

- $f'(x) = \frac{0,2x^{2} - 5}{x^{2}},f^{'}(x) = 0 \Leftrightarrow x = 5$ (do $x \geq 1$ ).

- Hàm số $f(x)$ đồng biến trên khoảng $(5; + \infty)$ , nghịch biến trên khoàng $(1;5)$ .

- Hàm số $f(x)$ đạt cực tiều tại $x = 5$ với $f_{CT} = 12$ .

- Giới hạn tại vô cực: $\lim_{x \rightarrow + \infty}f(x) = + \infty$ .

Bảng biến thiên:

Số lượng sản phẩm cần sản xuất là $x = 5$ để chi phí trung bình là thấp nhất
Câu 53: Thông hiểu
Tìm số dân cao nhát của thị trấn
Số dân của một thị trấn sau $t$ năm kể từ năm $2022$ được ước tính bởi công thức $f(t) = \frac{26t + 10}{t + 5}$ $(f(t)$ được tính bằng nghìn người).

Hỏi trong khoảng thời gian từ năm $2022$ đến năm $2032$ dân số của thị trấn đạt giá trị lớn nhất bằng bao nhiêu?
- A.
  $18,5$ nghìn người.
- B.
  $6$ nghìn người.
- C.
  $18$ nghìn người.
- D.
  $2$ nghìn người.
Hướng dẫn:
Xét hàm số $f(t) = \frac{26t + 10}{t + 5}$ với $t \in \lbrack 0;10\rbrack$ suy ra $f'(t) = \frac{120}{(t + 5)^{2}} > 0,\ \ \ \forall t \in \lbrack 0;10\rbrack$ .

Suy ra hàm số $f(t)$ đồng biến trên đoạn $\lbrack 1;10\rbrack$ .

Vậy dân số đạt giá trị lớn nhất bằng $f(10) = 18$ .
Câu 54: Vận dụng

Xét tính đúng sai của các nhận định

Một máy bay loại nhỏ bắt đầu hạ cánh, đường bay của nó khi gắn với hệ trục toạ độ $Oxy$ được mô phỏng ở hình. Biết đường bay của nó có dạng đồ thị hàm số bậc ba; vị trí bắt đầu hạ cánh có toạ độ $( - 4;1)$ là điểm cực đại của đồ thị hàm số và máy bay tiếp đất tại vị trí gốc toạ độ là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số.

a) Hàm số mô phỏng đường bay của máy bay trên đoạn $\lbrack - 4;0\rbrack$ là hàm số bậc 3 có hệ số a âm. Sai|Đúng

b) Công thức xác định hàm số mô phỏng đường bay của máy bay trên đoạn $\lbrack - 4;0\rbrack$ là $y = \frac{1}{32}x^{3} + \frac{3}{16}x^{2}$ . Đúng||Sai

c) Khi máy bay cách vị trí hạ cánh theo phương ngang 3 dặm thì máy bay cách mặt đất là $\frac{81}{32}$ dặm? (Biết đơn vị trên hệ trục toạ độ là dặm). Sai|Đúng

d) Khi ở độ cao 0,5 dặm, máy bay cách vị trí hạ cánh theo phương ngang 2 dặm. Đúng||Sai

Đáp án là:

Một máy bay loại nhỏ bắt đầu hạ cánh, đường bay của nó khi gắn với hệ trục toạ độ $Oxy$ được mô phỏng ở hình. Biết đường bay của nó có dạng đồ thị hàm số bậc ba; vị trí bắt đầu hạ cánh có toạ độ $( - 4;1)$ là điểm cực đại của đồ thị hàm số và máy bay tiếp đất tại vị trí gốc toạ độ là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số.

a) Hàm số mô phỏng đường bay của máy bay trên đoạn $\lbrack - 4;0\rbrack$ là hàm số bậc 3 có hệ số a âm. Sai|Đúng

b) Công thức xác định hàm số mô phỏng đường bay của máy bay trên đoạn $\lbrack - 4;0\rbrack$ là $y = \frac{1}{32}x^{3} + \frac{3}{16}x^{2}$ . Đúng||Sai

c) Khi máy bay cách vị trí hạ cánh theo phương ngang 3 dặm thì máy bay cách mặt đất là $\frac{81}{32}$ dặm? (Biết đơn vị trên hệ trục toạ độ là dặm). Sai|Đúng

d) Khi ở độ cao 0,5 dặm, máy bay cách vị trí hạ cánh theo phương ngang 2 dặm. Đúng||Sai

a. Sai

b) $y = \frac{1}{32}x^{3} + \frac{3}{16}x^{2}$ .

c) Thay $x = - 3$ , ta được $y = \frac{27}{32}$ .

Vậy khi máy bay cách vị trí hạ cánh theo phương ngang 3 dặm thì máy bay cách mặt đất $\frac{27}{32} = 0,84375$ (dặm).

d) Thay $y = 0,5$ ta được $x = - 2,x = - 2 \pm 2\sqrt{3}$ . Do $x \in \lbrack - 4;0\rbrack$ nên $x = - 2$ .

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:

Nhận biết (24%):

2/3
Thông hiểu (43%):

2/3
Vận dụng (24%):

2/3
Vận dụng cao (9%):

2/3

Thời gian làm bài: 00:00:00
Số câu làm đúng: 0
Số câu làm sai: 0
Điểm số: 0
Điểm thưởng: 0

Làm lại

Chia sẻ bởi:
Thiên Bình

128

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Bài tập Toán 12 Ứng dụng đạo hàm giải quyết vấn đề thực tiễn – Có đáp án chi tiết

Bài tập Toán 12 Ứng dụng đạo hàm giải bài toán thực tế - Có đáp án

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

A. CHUYÊN ĐỀ TRỌNG TÂM

B. CHUYÊN ĐỀ TRẮC NGHIỆM

Lớp 12

Toán 12

Chuyên đề Toán 12

Chuyên đề Toán 12

Tổng hợp công thức phương trình đường thẳng trong không gian

Tìm m để hàm số có tiệm cận đứng

Câu hỏi trắc nghiệm môn Toán lớp 12: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

Một số hàm trong kinh tế học

Tự ôn luyện thi môn Toán

Bài toán quy hoạch tuyến tính hai biến