Bài tập Toán 12 Ứng dụng đạo hàm giải quyết vấn đề thực tiễn – Có đáp án chi tiết

Trên Mặt Trăng, quãng đường rơi tư do của một vật được cho bởi công thức , với được tính bằng giây và tính bằng mét. Hãy tính vận tốc tức thời của vật được thả rơi tự do trên Mặt Trăng tại thời điểm .

(Nguồn: https:/www.britannica.complace/Moon)

Đồ thị bên dưới là tốc độ của một chiếc xe đua trên đoạn đường đua bằng phẳng dài 3 km.

Tốc độ nhỏ nhất của xe đua trên đoạn đường này bằng

Một vật được phóng theo phương thẳng đứng lên trên từ mặt đất với vận tốc ban đầu là thì độ cao của nó (tính bằng m) sau giây được cho bởi công thức . Tìm vận tốc của vật khi nó chạm đất.

Một tàu đổ bộ tiếp cận Mặt Trăng theo cách tiếp cận thẳng đứng và đốt cháy các tên lửa hãm ở độ cao so với bể mặt của Mặt Trăng. Trong khoảng 50 giây đầu tiên kể từ khi đốt cháy các tên lửa hãm, độ cao của con tàu so với bề mặt của Mặt Trăng được tính (gẩn đúng) bởi hàm trong đó là thời gian tính bằng giây và là độ cao tính bằng kilômét. Gọi là vận tốc tức thời của con tàu ở thời điểm (giây) kể từ khi đốt cháy các tên lửa hãm với . Tại thời điểm (giây), vận tốc tức thời của con tàu vẫn giảm hay đang tăng trở lại?

Trên mặt phẳng tọa độ (Oxy), cho điểm Một đường thẳng đi qua A cắt trục hoành tại B, cắt trục tung tại C tạo thành một tam giác OBC, với O là gốc tọa độ (tham khảo hình vẽ).

Tìm toạ độ điểm để diện tích tam giác OBC là nhỏ nhất.

Một tàu đổ bộ tiếp cận Mặt Trăng theo cách tiếp cận thẳng đứng và đốt cháy các tên lửa hãm ở độ cao so với bể mặt của Mặt Trăng. Trong khoảng 50 giây đầu tiên kể từ khi đốt cháy các tên lửa hãm, độ cao của con tàu so với bề mặt của Mặt Trăng được tính (gẩn đúng) bởi hàm trong đó là thời gian tính bằng giây và là độ cao tính bằng kilômét. Gọi là vận tốc tức thời của con tàu ở thời điểm (giây) kể từ khi đốt cháy các tên lửa hãm với . Xác định hàm số .

Một chất điểm chuyển động của phương trình trong đó , tính bằng giây, tính bằng mét. Tính vận tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm .

Một chuyển động thẳng xác định bởi phương trình , trong đó tính bằng mét và là thời gian tính bằng giây. Tính vận tốc tức thời tại thời điểm .

Hình bên cho biết sự thay đổi của nhiệt độ ở một thành phố trong một ngày. Thời điểm nào trong ngày có nhiệt độ thấp nhất ?

Giả sử chi phí để sản xuất sản phẩm của một nhà máy được cho bởi (triệu đồng). Khi đó chi phí trung bình để sản xuất một đơn vị sản phẩm là . Số lượng sản phẩm cần sản xuất là bao nhiêu để chi phí trung bình là thấp nhất?

Số dân của một thị trấn sau năm kể từ năm được ước tính bởi công thức được tính bằng nghìn người).

Hỏi trong khoảng thời gian từ năm đến năm dân số của thị trấn đạt giá trị lớn nhất bằng bao nhiêu?

Chuyển động của một hạt trên một dây rung được cho bởi công thức , trong đó tính bằng centimét và tính bằng giây. Vận tốc của hạt sau giây là . Vận tốc cực đại của hạt là bao nhiêu (làm tròn kết quả đến chữ số thập thứ nhất)?

Một con lắc lò xo dao động điều hòa theo phương ngang trên mặt phẳng không ma sát, có phương trình chuyển động , trong đó tính bằng giây và tính bằng centimet. Tìm thời điểm mà vận tốc của con lắc bẳng .

Giả sử chi phí để sản xuất đơn vị hàng hóa nào đó là . Khi đó hàm chi phí biên tương ứng là

Để điều chỉnh nhiệt độ trong phòng, một hệ thống điều hòa không khí được phép hoạt động trong 10 phút. Gọi là nhiệt độ phòng ở phút thứ được cho bởi công thức với . Trong thời gian phút kể từ khi hệ thống điều hòa không khí bắt đầu hoạt động, nhiệt độ trong phòng tăng hay giảm?

Một vật rơi tự do có phương trình chuyển động là , trong đó . Tìm vận tốc tức thời của vật tại thời điểm .

Một viên đạn được bắn lên từ mặt đất theo phương thẳng đứng với tốc độ ban đầu (bỏ qua sức cản của không khí). Tìm thời điểm tại đó tốc độ của viên đạn bằng 0. Khi đó viên đạn cách mặt đất bao nhiêu mét (lấy )?

Giả sử một công ty du lịch bán tour với giá là /khách thì doanh thu sẽ được biểu diễn qua hàm số . Công ty phải bán giá tour cho một khách là bao nhiêu để doanh thu từ tour xuyên Việt là lớn nhất.

Một loại thuốc được dùng cho một bệnh nhân và nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân được giám sát bởi bác sĩ. Biết rằng nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân sau khi tiêm vào cơ thể trong giờ được tính theo công thức . Sau khi tiêm thuốc bao lâu thì nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân cao nhất?

Một doanh nghiệp dự kiến lợi nhuận khi sản xuất sản phẩm () được cho bởi hàm số và được minh họa bằng đồ thị ở hình bên dưới.

Cần sản xuất bao nhiêu sản phẩm để doanh nghiệp thu được lợi nhuận cao nhất?

Mực nước biển trung bình tại trường sa từ năm 2013 đến năm 2019 được cho bởi biểu đồ trong hình bên dưới.

Trong khoảng thời gian từ năm 2016 đến năm 2019, năm nào mực nước biển trung bình tại trường sa cao nhất ?

Một vật chuyển động có quãng đường được xác định bởi phương trình , trong đó tính bằng mét và là thời gian tính bằng giây. Tính vận tốc tức thời tại thời điểm .

Hình bên cho biết lượng mưa trung bình các tháng năm 2019 tại Thành phố Hồ Chí Minh đo theo đơn vị milimet. Hãy cho biết vào tháng nào trong năm 2019 thì lượng mưa là cao nhất ?

Giả sử chi phí (USD) để sản xuất máy vô tuyến là .

Ta gọi chi phí biên là chi phí gia tăng để sản xuất thêm 1 sản phẩm từ sản phẩm lên sản phẩm. Giả sử chi phí biên được xác định bởi hàm số . Tìm ?

Một công ty sản xuất một sản phẩm. Bộ phận tài chính của công ty đưa ra hàm giá bán là , trong đó là giá bán của mỗi sản phẩm mà tại giá bán này có sản phẩm được bán ra. Khi đó hàm doanh thu của công ty là

Chuyển động của một hạt trên một dây rung được cho bởi , trong đó tính bằng centimét và tính bằng giây. Tính vận tốc của hạt sau giây. Vận tốc cực đại của hạt là bao nhiêu?

Giả sử chi phí để sản xuất máy vô tuyến là .

Ta gọi chi phí biên là chi phí gia tăng để sản xuất thêm 1 sản phẩm từ sản phẩm lên sản phẩm. Giả sử chi phí biên được xác định bởi hàm số . Tìm hàm chi phí biên.

Dân số (tính theo nghìn người) của một thành phố nhỏ được cho bởi công thức , trong đó là thời gian được tính bằng năm. Tìm tốc độ tăng dân số tại thời điểm .

Một công ty chuyên sản xuất thùng phi nhận được đơn đặt hàng với yêu cầu là thùng phi phải có dạng hình trụ và chứa được mỗi chiếc. Hỏi chiếc thùng phải có chiều cao và bán kính đáy bằng bao nhiêu để sản xuất ít tốn vật liệu nhất?

Một bể ban đầu chứa lít nước. Sau đó, cứ mỗi phút người ta bơm thêm lít nước, đồng thời cho vào bể gam chất khử trùng. Đặt gam/lít là nồng độ chất khử trùng trong bể sau phút , biết rằng sau khi khảo sát sự biến thiên của hàm số , ta thấy giá trị tăng theo nhưng không vượt ngưỡng gam/lít. Tìm số .

Trong một thí nghiệm y học, người ta cấy 1000 vi khuẩn vào môi trường dinh dưỡng. Bằng thực nghiệm, người ta xác định được số lượng vi khuẩn thay đổi theo thời gian bởi công thức: trong đó là thời gian tính bằng giây. Tính số lượng vi khuẩn lớn nhất kể từ khi thực hiện cấy vi khuẩn vào môi trường dinh dưỡng.

Kính viễn vọng không gian Hubble được triển khai vào ngày 24 tháng 4 năm 1990, bởi tàu con thoi Discovery. Vận tốc của tàu con thoi trong nhiệm vụ này từ khi xuất phát tại (s) cho đến khi tên lửa đẩy nhiên liệu rắn bị loại bỏ ở (s) được xác định theo phương trình sau:

(Nguồn: James Stewan, Calculus)

Tính gia tốc tức thời của tàu con thoi trên tại thời điểm (s) (làm tròn kết quả đến hàng phần nghìn).

Một cửa hàng trà sữa có đồ thị biểu diễn số ly trà sữa bán được trong một tuần như sau. Số ly trà sữa cửa hàng đó bán được nhiều nhất trong một ngày là bao nhiêu

Một chuyển động thẳng xác định bởi phương trình , trong đó tính bằng mét và là thời gian tính bằng giây. Tính vận tốc tức thời của chuyển động tại .

Một cửa hàng bán dầu muốn đóng những thùng đựng dầu có thể tích không đổi bằng , thùng có dạng hình hộp chữ nhật có nắp; đáy là hình vuông cạnh (). Trên thị trường, giá nguyên vật liệu làm đáy và nắp thùng là đồng, giá nguyên vật liệu làm mặt xung quanh của thùng là đồng. Chi phí để cửa hàng làm một thùng đựng dầu được cho bởi công thức?

Người ta ước tính rằng sau tháng tính từ bây giờ, dân số của một huyện nào đó sẽ là người. Dân số sẽ thay đổi với tốc độ bao nhiêu sau 12 tháng?

Sau khi uống đồ uống có cồn, nồng độ cồn trong máu tăng lên rồi giảm dần được xác định bằng hàm số , trong đó là nồng độ cồn, là thời điểm đo tính từ ngay sau khi uống đồ uống có cồn.

(Nguồn: P. Wilkinson et al., Pharmacokinetics of Ethanol after Ora' Administration in the Fasting State, 1977)

Giả sử một người uống hết nhanh đồ uống có cồn. Tính tốc độ chuyển hoá nồng độ cồn trong máu của người đó tại thời điểm (h) (làm tròn kết quả đến hàng phần triệu).

Hình vẽ cho biết nhiệt độ trung bình các tháng năm 2020 tại Thành phố Hồ Chí Minh đo bằng đơn vị . Hãy cho biết trong năm 2020 tại Thành phố Hồ Chí Minh thì nhiệt độ trung bình của tháng nào cao nhất, nhiệt độ trung bình của tháng nào thấp nhất?

Nhiệt độ trung bình các tháng năm 2020 tại TPHCM

Một hộ làm nghề dệt vải lụa tơ tằm sản xuất mỗi ngày được mét vải lụa .Tổng chi phí sản xuất mét vải lụa, tính bằng nghìn đồng, cho bởi hàm chi phí:

Giả sử hộ làm nghề dệt này bán hết sản phẩm mỗi ngày với giá 320 nghìn đồng/mét. Gọi là lợi nhuận thu được khi bán mét vải lụa. Hãy viết biểu thức tính theo?

Một loại vi khuẩn được tiêm một loại thuốc kích thích sự sinh sản. Sau t phút, số vi khuẩn được xác định theo công thức . Hỏi sau bao giây thì số vi khuẩn lớn nhất?

Một tàu đổ bộ tiếp cận Mặt Trăng theo cách tiếp cận thẳng đứng và đốt cháy các tên lửa hãm ở độ cao so với bể mặt của Mặt Trăng. Trong khoảng 50 giây đầu tiên kể từ khi đốt cháy các tên lửa hãm, độ cao của con tàu so với bề mặt của Mặt Trăng được tính (gẩn đúng) bởi hàm trong đó là thời gian tính bằng giây và là độ cao tính bằng kilômét. Gọi là vận tốc tức thời của con tàu ở thời điểm (giây) kể từ khi đốt cháy các tên lửa hãm với . Vận tốc tức thời của con tàu lúc bắt đầu hãm phanh là bao nhiêu?

Một vật rơi tự do có phương trình chuyển động là , trong đó . Tìm thời điểm mà vận tốc tức thời của vật tại thời điểm đó bằng .

Doanh thu (USD) từ việc cho thuê căn hộ có thể được mô hình hoá bằng hàm số: Tìm doanh thu biên khi .

Một chất điểm chuyển động của phương trình trong đó , tính bằng giây, tính bằng centimét. Tính vận tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm .

Một viên đạn được bắn lên cao theo phương thẳng đứng có phương trình chuyển động , trong đó , là thời gian chuyển động, là độ cao so với mặt đất. Tại thời điểm viên đạn đạt vận tốc tức thời bằng thì viên đạn đang ở độ cao bao nhiêu mét so với mặt đất?

Một con lắc lò xo dao động điều hòa theo phương ngang trên mặt phẳng không ma sát, có phương trình chuyển động , trong đó tính bằng giây và tính bằng centimet. Vận tốc tức thời và gia tốc tức thời của con xắc lò xo tại thời điểm lần lượt là:

Số dân của một thị trấn sau năm kể từ đầu năm 2020 được tính bởi công thức được tính bằng vạn người. Xem là một hàm số xác định trên nửa khoảng và đạo hàm của hàm số biểu thị tốc độ tăng dân số của thị trấn. Trong khoảng thời gian nào dưới đây thì dân số của thị trấn này giảm?

Một viên đạn được bắn lên cao theo phương thẳng đứng có phương trình chuyển động , trong đó , là thời gian chuyển động, là độ cao so với mặt đất. Tính vận tốc tức thời của viên đạn khi viên đạn đạt được độ cao .

Một viên đạn được bắn lên cao theo phương thẳng đứng có phương trình chuyển động , trong đó , là thời gian chuyển động, là độ cao so với mặt đất. Sau bao lâu kể từ khi bắn thì viên đạn đạt được độ cao ?

Giả sử chi phí để sản xuất máy vô tuyến là .

Ta gọi chi phí biên là chi phí gia tăng để sản xuất thêm 1 sản phẩm từ sản phẩm lên sản phẩm. Hỏi chi phí gia tăng để sản xuất thêm 1 sản phẩm từ 90 sản phẩm lên 91 sản phẩm bằng bao nhiêu?

Giả sử chi phí (USD) để sản xuất máy vô tuyến là .

Ta gọi chi phí biên là chi phí gia tăng để sản xuất thêm 1 sản phẩm từ sản phẩm lên sản phẩm. Giả sử chi phí biên được xác định bởi hàm số . Hãy tính chi phí sản xuất máy vô tuyến thứ 100.