Chuyên đề toán 12 Viết phương trình mặt cầu
Các dạng bài viết phương trình mặt cầu lớp 12
Trong chương trình Toán lớp 12, chuyên đề Viết phương trình mặt cầu là một phần quan trọng thuộc hình học không gian, thường xuyên xuất hiện trong các đề kiểm tra và đề thi THPT Quốc gia. Để giải tốt các bài toán liên quan đến mặt cầu, học sinh cần nắm vững công thức tổng quát, cách xác định tâm và bán kính, cũng như xử lý các dạng bài liên quan đến mặt phẳng và đường thẳng. Bài viết dưới đây sẽ giúp bạn hệ thống hóa kiến thức và rèn luyện kỹ năng viết phương trình mặt cầu một cách chắc chắn, dễ hiểu và logic.
A. Cách viết phương trình mặt cầu trong không gian
Phương pháp 1:
- Bước 1: Xác định tâm
\(I(a;b;c)\). - Bước 2: Xác định bán kính \(R\) của (S).
- Bước 3: Mặt cầu (S) có tâm \(I(a;b;c)\) và bán kính\(R\).
\(\ \ \ (S):\ \ \ (x - a)^{2} + (y -
b)^{2} + (z - c)^{2} = R^{2}\\)
Phương pháp 2
Gọi phương trình \((S):\ \ x^{2} + y^{2} +
z^{2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\\)
Phương trình (S) hoàn toàn xác định nếu biết được \(a,\ b,\ c,\ d.\) (\(a^{2} + b^{2} + c^{2} - d > 0\))
Kỹ năng xác định tâm và bán kính của đường tròn trong không gian.
Cho mặt cầu (S) tâm I bán kính R. Mặt phẳng (P) cắt (S) theo một đường tròn (C).
- Bước 1: Lập phương trình đường thẳng d qua I và vuông góc với mặt phẳng (P).
- Bước 2: Tâm I’ của đường tròn (C) là giao điểm của d và mặt phẳng (P).
- Bước 3: Gọi \(r\) là bán kính của (C):
\(\boxed{\ \ r = \sqrt{R^{2} -
\left\lbrack d\left( I;(P) \right) \right\rbrack^{2}}\ \ \
}\)
B. Bài tập mặt cầu có lời giải chi tiết
Bài tập 1: Viết phương trình mặt cầu (S), trong các trường hợp sau:
a) \((S)\) có tâm \(I(2;2; - 3)\) và bán kính \(R = 3\).
b) \((S)\) có tâm \(I(1;2;0)\) và (S) qua \(P(2; - 2;1)\).
c) \((S)\) có đường kính AB với \(A(1;3;1),\ B( - 2;0;1)\)
Hướng dẫn giải
a) Mặt cầu tâm \(I(2;2; - 3)\) và bán kính \(R = 3\), có phương trình:
(S): \((x - 2)^{2} + (y - 2)^{2} + (z +
3)^{2} = 9\)
b) Ta có: \(\overrightarrow{IP} = (1; -
4;1) \Rightarrow IP = 3\sqrt{2}\).
Mặt cầu tâm \(I(1;2;0)\) và bán kính \(R = IP = 3\sqrt{2}\), có phương trình:
(S): \((x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + z^{2} =
18\)
c) Ta có: \(\overrightarrow{AB} = ( - 3; -
3;0) \Rightarrow AB = 3\sqrt{2}\).
Gọi I là trung điểm AB\(\Rightarrow I\left(
- \frac{1}{2};\frac{3}{2};1 \right)\).
Mặt cầu tâm \(I\left( -
\frac{1}{2};\frac{3}{2};1 \right)\) và bán kính \(R = \frac{AB}{2} = \frac{3\sqrt{2}}{2}\), có phương trình:
(S): \(\left( x + \frac{1}{2} \right)^{2} +
\left( y - \frac{3}{2} \right)^{2} + (z - 1)^{2} =
\frac{9}{2}\).
Bài tập 2: Viết phương trình mặt cầu (S), trong các trường hợp sau:
a) (S) qua \(A(3;1;0),\ B(5;5;0)\) và tâm I thuộc trục \(Ox\).
b) (S) có tâm O và tiếp xúc mặt phẳng \((\alpha):\ 16x - 15y - 12z + 75 = 0\).
c) (S) có tâm \(I( - 1;2;0)\)và có một tiếp tuyến là đường thẳng \(\Delta:\frac{x
+ 1}{- 1} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z}{- 3}.\)
Hướng dẫn giải
a) Gọi \(I(a;0;0) \in Ox\). Ta có : \(\overrightarrow{IA} = (3 - a;1;0),\
\overrightarrow{IB} = (5 - a;5;0)\).
Do (S) đi qua A, B\(\Leftrightarrow IA = IB
\Leftrightarrow \sqrt{(3 - a)^{2} + 1} = \sqrt{(5 - a)^{2} + 25}
\Leftrightarrow 4a = 40 \Leftrightarrow a = 10\)
\(\Rightarrow I(10;0;0)\) và \(IA=5\sqrt{2}\).
Mặt cầu tâm \(I(10;0;0)\) và bán kính \(R = 5\sqrt{2}\), có phương trình (S) : \((x - 10)^{2} + y^{2} + z^{2} =
50\)
b) Do (S) tiếp xúc với \((\alpha)
\Leftrightarrow d\left( O,(\alpha) \right) = R \Leftrightarrow R =
\frac{75}{25} = 3.\)
Mặt cầu tâm \(O(0;0;0)\) và bán kính \(R = 3\), có phương trình (S) : \(x^{2} + y^{2} + z^{2} = 9\)
c) Chọn \(A( - 1;1;0) \in \Delta
\Rightarrow \overrightarrow{IA} = (0; - 1;0)\).
Đường thẳng \(\Delta\) có một vectơ chỉ phương là \({\overrightarrow{u}}_{\Delta}
= ( - 1;1; - 3)\). Ta có: \(\left\lbrack
\overrightarrow{IA},{\overrightarrow{u}}_{\Delta} \right\rbrack = (3;0;
- 1)\).
Do (S) tiếp xúc với \(\Delta
\Leftrightarrow d(I,\Delta) = R \Leftrightarrow R = \frac{\left|
\left\lbrack \overrightarrow{IA},{\overrightarrow{u}}_{\Delta}
\right\rbrack \right|}{\left| {\overrightarrow{u}}_{\Delta} \right|} =
\frac{\sqrt{10}}{11}\).
Mặt cầu tâm \(I( - 1;2;0)\) và bán kính \(R = \frac{\sqrt{10}}{11}\), có phương trình (S) : \((x + 1)^{2} + (y - 2)^{2}
+ z^{2} = \frac{10}{121}.\)
Bài tập 3: Viết phương trình mặt cầu (S) biết:
a) (S) qua bốn điểm \(A(1;2; - 4),\ B(1; -
3;1),\ C(2;2;3),\ D(1;0;4)\).
b) (S) qua \(A(0;8;0),\ B(4;6;2),\
C(0;12;4)\) và có tâm I thuộc mặt phẳng (Oyz).
Hướng dẫn giải
a) Cách 1: Gọi \(I(x;y;z)\) là tâm mặt cầu (S) cần tìm.
Theo giả thiết: \(\left\{ \begin{matrix}
IA = IB \\
IA = IC \\
IA = ID \\
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
IA^{2} = IB^{2} \\
IA^{2} = IC^{2} \\
IA^{2} = ID^{2} \\
\end{matrix} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
- y + z = - 1 \\
x + 7z = - 2 \\
y - 4z = 1 \\
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x = - 2 \\
y = 1 \\
z = 0 \\
\end{matrix} \right.\).
Do đó: \(I( - 2;1;0)\) và \(R = IA = \sqrt{26}\). Vậy (S): \((x + 2)^{2} + (y - 1)^{2} + z^{2} =
26\).
Cách 2: Gọi phương trình mặt cầu (S): \(x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2ax - 2by - 2cz + d =
0\), \(\left( a^{2} + b^{2} + c^{2} - d
> 0 \right)\).
Do \(A(1;2; - 4) \in (S)
\Leftrightarrow\) \(- 2a - 4b + 8c + d
= - 21\) (1)
Tương tự: \(B(1; - 3;1) \in (S)
\Leftrightarrow - 2a + 6b - 2c + d = - 11\) (2)
\(C(2;2;3) \in (S) \Leftrightarrow - 4a -
4b - 6c + d = - 17\) (3)
\(D(1;0;4) \in (S) \Leftrightarrow - 2a -
8c + d = - 17\) (4)
Giải hệ (1), (2), (3), (4) ta có \(a,\ b,\
c,\ d\), suy ra phương trình mặt cầu (S) :
\((x + 2)^{2} + (y - 1)^{2} + z^{2} =
26\).
b) Do tâm I của mặt cầu nằm trên mặt phẳng (Oyz)\(\Rightarrow I(0;b;c)\).
Ta có: \(IA = IB = IC \Leftrightarrow
\left\{ \begin{matrix}
IA^{2} = IB^{2} \\
IA^{2} = IC^{2} \\
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
b = 7 \\
c = 5 \\
\end{matrix} \right.\).
Vậy \(I(0;7;5)\) và \(R = \sqrt{26}\).
Vậy (S): \(x^{2} + (y - 7)^{2} + (z -
5)^{2} = 26.\)
Bài tập 4: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I thuộc đường thẳng \(\Delta:\left\{ \begin{matrix}
x = t \\
y = - 1 \\
z = - t \\
\end{matrix} \right.\) và (S) tiếp xúc với hai mặt phẳng \((\alpha):\ x + 2y + 2z + 3 = 0\) và \((\beta):\ \ x + 2y + 2z + 7 = 0\).
Hướng dẫn giải
Gọi \(I(t; - 1; - t) \in \Delta\) là tâm mặt cầu (S) cần tìm.
Theo giả thiết: \(d\left( I,(\alpha)
\right) = d\left( I,(\beta) \right)\)
\(\Leftrightarrow \frac{|1 - t|}{3} =
\frac{|5 - t|}{3}\)
\(\Leftrightarrow \left\lbrack
\begin{matrix}
1 - t = 5 - t \\
1 - t = t - 5 \\
\end{matrix} \right.\ \Rightarrow t = 3\).
Suy ra: \(I(3; - 1; - 3)\) và \(R = d\left( I,(\alpha) \right) =
\frac{2}{3}\). Vậy (S): \((x - 3)^{2} +
(y + 1)^{2} + (z + 3)^{2} = \frac{4}{9}\).
Bài tập 5: Lập phương trình mặt cầu (S) qua 2 điểm \(A(2;6;0),\ B(4;0;8)\) và có tâm thuộc d: \(\frac{x - 1}{- 1} = \frac{y}{2} = \frac{z +
5}{1}\).
Hướng dẫn giải
Ta có \(d:\left\{ \begin{matrix}
x = 1 - t \\
y = 2t \\
z = - 5 + t \\
\end{matrix} \right.\). Gọi \(I(1 -
t;2t; - 5 + t) \in d\) là tâm của mặt cầu (S) cần tìm.
Ta có: \(\overrightarrow{IA} = (1 + t;6 -
2t;5 - t),\ \overrightarrow{IB} = (3 + t; - 2t;13 - t)\).
Theo giả thiết, do (S) đi qua A, B\(\Leftrightarrow AI = BI\)
\(\Leftrightarrow \sqrt{(1 + t)^{2} + (6 -
2t)^{2} + (5 - t)^{2}} = \sqrt{(3 + t)^{2} + 4t^{2} + (13 -
t)^{2}}\)
\(\Leftrightarrow 62 - 32t = 178 -
20t\)
\(\Leftrightarrow 12t = - 116
\Leftrightarrow t = - \frac{29}{3}\)
\(\Rightarrow I\left( \frac{32}{3}; -
\frac{58}{3}; - \frac{44}{3} \right)\) và \(R = IA = 2\sqrt{233}\).
Vậy (S): \(\left( x - \frac{32}{3}
\right)^{2} + \left( y + \frac{58}{3} \right)^{2} + \left( z +
\frac{44}{3} \right)^{2} = 932\).
Bài tập 6: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm \(I(2;3; - 1)\) và cắt đường thẳng \(\Delta:\frac{x + 1}{1} = \frac{y - 1}{- 4} =
\frac{z}{1}\) tại hai điểm A, B với \(AB = 16\).
Hướng dẫn giải
Chọn \(M( - 1;1;0) \in \Delta \Rightarrow
\overrightarrow{IM} = ( - 3; - 2;1)\). Đường thẳng \(\Delta\) có một vectơ chỉ phương là \({\overrightarrow{u}}_{\Delta} = (1; -
4;1)\).
Ta có: \(\left\lbrack
\overrightarrow{IM},{\overrightarrow{u}}_{\Delta} \right\rbrack =
(2;4;14) \Rightarrow d(I,\Delta) = \frac{\left| \left\lbrack
\overrightarrow{IM},{\overrightarrow{u}}_{\Delta} \right\rbrack
\right|}{\left| {\overrightarrow{u}}_{\Delta} \right|} =
2\sqrt{3}\).
Gọi R là bán kính mặt cầu (S).
Theo giả thiết: \(R = \sqrt{\left\lbrack
d(I,\Delta) \right\rbrack^{2} + \frac{AB^{2}}{4}} =
2\sqrt{19}.\)
Vậy (S): \((x - 2)^{2} + (y - 3)^{2} + (z +
1)^{2} = 76\).
Tài liệu quá dài để hiển thị hết — hãy nhấn Tải về để xem trọn bộ!
-----------------------------------------------------
Hy vọng chuyên đề Viết phương trình mặt cầu lớp 12 đã giúp bạn củng cố kiến thức hình học không gian và hiểu rõ cách xử lý các dạng bài quan trọng. Đây là một phần kiến thức nền tảng, cần thiết cho các bài toán nâng cao và đề thi THPT Quốc gia. Hãy tiếp tục luyện tập và theo dõi thêm nhiều chuyên đề Toán 12 khác để nâng cao tư duy hình học và đạt kết quả cao trong kỳ thi sắp tới!
