Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

Đóng

Điểm danh hàng ngày

Hôm nay +3
Ngày 2 +3
Ngày 3 +3
Ngày 4 +3
Ngày 5 +3
Ngày 6 +3
Ngày 7 +5

Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm! Đăng nhập ngay để nhận điểm

Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169

VnDoc.com

Chuyên đề toán 12 Viết phương trình mặt cầu

Bài tập mặt cầu có lời giải chi tiết

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 12

Môn: Toán

Dạng tài liệu: Chuyên đề

Loại File: Word + PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Các dạng bài viết phương trình mặt cầu lớp 12

A. Cách viết phương trình mặt cầu trong không gian
B. Bài tập mặt cầu có lời giải chi tiết

Trong chương trình Toán lớp 12, chuyên đề Viết phương trình mặt cầu là một phần quan trọng thuộc hình học không gian, thường xuyên xuất hiện trong các đề kiểm tra và đề thi THPT Quốc gia. Để giải tốt các bài toán liên quan đến mặt cầu, học sinh cần nắm vững công thức tổng quát, cách xác định tâm và bán kính, cũng như xử lý các dạng bài liên quan đến mặt phẳng và đường thẳng. Bài viết dưới đây sẽ giúp bạn hệ thống hóa kiến thức và rèn luyện kỹ năng viết phương trình mặt cầu một cách chắc chắn, dễ hiểu và logic.

A. Cách viết phương trình mặt cầu trong không gian

Phương pháp 1:

Bước 1: Xác định tâm I(a; b; c).
Bước 2: Xác định bán kính R của (S).
Bước 3: Mặt cầu (S) có tâm I(a; b; c) và bán kính R.

(S): (x - a)² + (y - b)² + (z - c)² = R²

Phương pháp 2

Gọi phương trình (S): x² + y² + z² - 2ax - 2by + d = 0

Phương trình (S) hoàn toàn xác định nếu biết được a; b; c; d; (a² + b² + c² - d > 0).

Kỹ năng xác định tâm và bán kính của đường tròn trong không gian.

Cho mặt cầu (S) tâm I bán kính R. Mặt phẳng (P) cắt (S) theo một đường tròn (C).

Bước 1: Lập phương trình đường thẳng d qua I và vuông góc với mặt phẳng (P).
Bước 2: Tâm I’ của đường tròn (C) là giao điểm của d và mặt phẳng (P).
Bước 3: Gọi là bán kính của (C):

$\boxed{\ \ r = \sqrt{R^{2} - \left\lbrack d\left( I;(P) \right) \right\rbrack^{2}}\ \ \ }$

B. Bài tập mặt cầu có lời giải chi tiết

Bài tập 1: Viết phương trình mặt cầu (S), trong các trường hợp sau:

a) (S) có tâm I(2; 2; 3) và bán kính R = 3.

b) (S) có tâm I(1; 2; 0) và (S) qua P(2; -2; 1).

c) (S) có đường kính AB với A(1; 3; 1), B(-2; 0; 1)

Hướng dẫn giải

a) Mặt cầu tâm I(2; 2; -3) và bán kính R = 3, có phương trình:

(S): (x - 2)² + (y - 2)² + (z + 3)²= 9

b) Ta có: $\overrightarrow{IP} = (1; - 4;1) \Rightarrow IP = 3\sqrt{2}$ .

Mặt cầu tâm I(1; 2; 0) và bán kính $R = IP = 3\sqrt{2}$ , có phương trình:

(S): (x - 1)² + (y - 2)² + z²= 18

c) Ta có: $\overrightarrow{AB} = ( - 3; - 3;0) \Rightarrow AB = 3\sqrt{2}$ .

Gọi I là trung điểm AB $\Rightarrow I\left( - \frac{1}{2};\frac{3}{2};1 \right)$ .

Mặt cầu tâm $I\left( - \frac{1}{2};\frac{3}{2};1 \right)$ và bán kính $R = \frac{AB}{2} = \frac{3\sqrt{2}}{2}$ , có phương trình:

(S): $\left( x + \frac{1}{2} \right)^{2} + \left( y - \frac{3}{2} \right)^{2} + (z - 1)^{2} = \frac{9}{2}$ .

Bài tập 2: Viết phương trình mặt cầu (S), trong các trường hợp sau:

a) (S) qua A(3;1;0), B(5; 5; 0) và tâm I thuộc trục Ox.

b) (S) có tâm O và tiếp xúc mặt phẳng (α): 16x - 15y - 12z + 75 = 0.

c) (S) có tâm I(-1;2;0) và có một tiếp tuyến là đường thẳng $\Delta:\frac{x + 1}{- 1} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z}{- 3}.$

Hướng dẫn giải

a) Gọi $I(a;0;0) \in Ox$ . Ta có : $\overrightarrow{IA} = (3 - a;1;0),\ \overrightarrow{IB} = (5 - a;5;0)$ .

Do (S) đi qua A, B $\Leftrightarrow IA = IB \Leftrightarrow \sqrt{(3 - a)^{2} + 1} = \sqrt{(5 - a)^{2} + 25} \Leftrightarrow 4a = 40 \Leftrightarrow a = 10$

=> I(10; 0; 0) và $IA=5\sqrt{2}$ .

Mặt cầu tâm I(10; 0; 0) và bán kính $R = 5\sqrt{2}$ , có phương trình (S) : (x - 10)² + y² + z² = 50

b) Do (S) tiếp xúc với $(\alpha) \Leftrightarrow d\left( O,(\alpha) \right) = R \Leftrightarrow R = \frac{75}{25} = 3.$

Mặt cầu tâm O(0; 0; 0) và bán kính R = 3, có phương trình (S) : x²+ y² +z² = 9

c) Chọn $A( - 1;1;0) \in \Delta \Rightarrow \overrightarrow{IA} = (0; - 1;0)$ .

Đường thẳng $\Delta$ có một vectơ chỉ phương là ${\overrightarrow{u}}_{\Delta} = ( - 1;1; - 3)$ . Ta có: $\left\lbrack \overrightarrow{IA},{\overrightarrow{u}}_{\Delta} \right\rbrack = (3;0; - 1)$ .

Do (S) tiếp xúc với $\Delta \Leftrightarrow d(I,\Delta) = R \Leftrightarrow R = \frac{\left| \left\lbrack \overrightarrow{IA},{\overrightarrow{u}}_{\Delta} \right\rbrack \right|}{\left| {\overrightarrow{u}}_{\Delta} \right|} = \frac{\sqrt{10}}{11}$ .

Mặt cầu tâm I(-1; 2; 0) và bán kính $R = \frac{\sqrt{10}}{11}$ , có phương trình (S) : $(x + 1)^{2} + (y - 2)^{2} + z^{2} = \frac{10}{121}.$

Bài tập 3: Viết phương trình mặt cầu (S) biết:

a) (S) qua bốn điểm A(1; 2; -4), B(1; -3; 1), C(2; 2; 3), D(1; 0; 4).

b) (S) qua A(0; 8; 0), B(4; 6; 2), C(0; 12; 4) và có tâm I thuộc mặt phẳng (Oyz).

Hướng dẫn giải

a) Cách 1: Gọi I(x; y; z) là tâm mặt cầu (S) cần tìm.

Theo giả thiết: $\left\{ \begin{matrix} IA = IB \\ IA = IC \\ IA = ID \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} IA^{2} = IB^{2} \\ IA^{2} = IC^{2} \\ IA^{2} = ID^{2} \\ \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} - y + z = - 1 \\ x + 7z = - 2 \\ y - 4z = 1 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = - 2 \\ y = 1 \\ z = 0 \\ \end{matrix} \right.$ .

Do đó: I(-2; 1; 0) và $R = IA = \sqrt{26}$ . Vậy (S): (x + 2)² + (y - 1)² + x² = 26.

Cách 2: Gọi phương trình mặt cầu (S): x² + y² + z² - 2ax - 2by - 2cz + d = 0, (a² + b² + c² > 0).

Do $A(1;2; - 4) \in (S) \Leftrightarrow$ -2a - 4b + 8c + d = -21 (1)

Tương tự: $B(1; - 3;1) \in (S) \Leftrightarrow - 2a + 6b - 2c + d = - 11$ (2)

$C(2;2;3) \in (S) \Leftrightarrow - 4a - 4b - 6c + d = - 17$ (3)

$D(1;0;4) \in (S) \Leftrightarrow - 2a - 8c + d = - 17$ (4)

Giải hệ (1), (2), (3), (4) ta có a; b; c; d, suy ra phương trình mặt cầu (S) :

(x + 2)² + (y - 1)² + z² = 26.

b) Do tâm I của mặt cầu nằm trên mặt phẳng (Oyz) => I(0; b; c).

Ta có: . $IA = IB = IC \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} IA^{2} = IB^{2} \\ IA^{2} = IC^{2} \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} b = 7 \\ c = 5 \\ \end{matrix} \right.$

Vậy I(0; 7; 5) và $R = \sqrt{26}$ .

Vậy (S): x² + (y - 7)² + (z - 5)² = 26.

Bài tập 4: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I thuộc đường thẳng $\Delta:\left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = - 1 \\ z = - t \\ \end{matrix} \right.$ và (S) tiếp xúc với hai mặt phẳng (α): x + 2y + 2z + 3 = 0 và (β): x + 2y + 2z + 7 = 0.

Hướng dẫn giải

Gọi $I(t; - 1; - t) \in \Delta$ là tâm mặt cầu (S) cần tìm.

Theo giả thiết:

$d\left( I,(\alpha)\right) =d\left( I,(\beta) \right)$ $\Leftrightarrow \frac{|1 - t|}{3} = \frac{|5 - t|}{3}$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 1 - t = 5 - t \\ 1 - t = t - 5 \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow t = 3$ .

Suy ra: I(3; -1; -3) và $R = d\left( I,(\alpha) \right) = \frac{2}{3}$ . Vậy (S): $(x - 3)^{2} +(y + 1)^{2} + (z + 3)^2 = \frac{4}{9}$ .

Bài tập 5: Lập phương trình mặt cầu (S) qua 2 điểm A(2; 6; 0), B(4; 0; 8) và có tâm thuộc d: $\frac{x - 1}{- 1} = \frac{y}{2} = \frac{z + 5}{1}$ .

Hướng dẫn giải

Ta có $d:\left\{ \begin{matrix} x = 1 - t \\ y = 2t \\ z = - 5 + t \\ \end{matrix} \right.$ .

Gọi I(1 - t; 2t; -5 + t) ∈ d là tâm của mặt cầu (S) cần tìm.

Ta có: $\overrightarrow{IA} = (1 + t;6 - 2t;5 - t),\ \overrightarrow{IB} = (3 + t; - 2t;13 - t)$ .

Theo giả thiết, do (S) đi qua A, B <=> AI = BI

$\Leftrightarrow \sqrt{(1 + t)^{2} + (6 - 2t)^{2} + (5 - t)^{2}} = \sqrt{(3 + t)^{2} + 4t^{2} + (13 - t)^{2}}$

<=> 62 - 32t = 178 - 20t $\Leftrightarrow 12t = - 116 \Leftrightarrow t = - \frac{29}{3}$

$\Rightarrow I\left( \frac{32}{3}; - \frac{58}{3}; - \frac{44}{3} \right)$ và $R = IA = 2\sqrt{233}$ .

Vậy (S): $\left( x - \frac{32}{3} \right)^{2} + \left( y + \frac{58}{3} \right)^{2} + \left( z + \frac{44}{3} \right)^{2} = 932$ .

Bài tập 6: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I(2; 3; -1) và cắt đường thẳng $\Delta:\frac{x + 1}{1} = \frac{y - 1}{- 4} = \frac{z}{1}$ tại hai điểm A, B với AB = 16.

Hướng dẫn giải

Chọn $M( - 1;1;0) \in \Delta \Rightarrow \overrightarrow{IM} = ( - 3; - 2;1)$ . Đường thẳng $\Delta$ có một vectơ chỉ phương là ${\overrightarrow{u}}_{\Delta} = (1; - 4;1)$ .

Ta có:

$\left\lbrack \overrightarrow{IM},{\overrightarrow{u}}_{\Delta} \right\rbrack = (2;4;14) \Rightarrow d(I,\Delta) = \frac{\left| \left\lbrack \overrightarrow{IM},{\overrightarrow{u}}_{\Delta} \right\rbrack \right|}{\left| {\overrightarrow{u}}_{\Delta} \right|} = 2\sqrt{3}$ .

Gọi R là bán kính mặt cầu (S).

Theo giả thiết: $R = \sqrt{\left\lbrack d(I,\Delta) \right\rbrack^{2} + \frac{AB^{2}}{4}} = 2\sqrt{19}.$

Vậy (S): (x - 2)² + (y - 3)² + (z + 1)² = 76.

Bài tập 7: Cho hai mặt phẳng $(P):\ 5x - 4y + z - 6 = 0,\ (Q):\ 2x - y + z + 7 = 0$ và đường thẳng $\Delta:\frac{x - 1}{7} = \frac{y}{3} = \frac{z - 1}{- 2}$ . Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I là giao điểm của (P) và $\Delta$ sao cho (Q) cắt (S) theo một hình tròn có diện tích là $20\pi$ .

Hướng dẫn giải

Ta có $\Delta:\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 7t \\ y = 3t \\ z = 1 - 2t \end{matrix} \right.$ . Tọa độ I là nghiệm của hệ phương trình: $\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 7t\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1) \\ y = 3t\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2) \\ z = 1 - 2t\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (3) \\ 5x - 4y + z - 6 = 0\ \ \ (4) \end{matrix} \right.$

Thay (1), (2), (3) vào (4) ta có: $5(1 + 7t) - 4(3t) + (1 - 2t) - 6 = 0 \Leftrightarrow t = 0 \Rightarrow I(1;0;1)$ .

Ta có : $d\left( I,(Q) \right) = \frac{5\sqrt{6}}{3}$ .

Gọi r là bán kính đường tròn giao tuyến của (S) và mặt phẳng (Q). Ta có: $20\pi = \pi r^{2} \Leftrightarrow r = 2\sqrt{5}.$

R là bán kính mặt cầu (S) cần tìm.

Theo giả thiết: $R = \sqrt{\left\lbrack d\left( I,(Q) \right) \right\rbrack^{2} + r^{2}} = \frac{\sqrt{330}}{3}.$

Vậy (S) : $(x - 1)^{2} + y^{2} + (z - 1)^{2} = \frac{110}{3}$ .

Bài tập 8: Cho mặt phẳng và đường thẳng $d:\left\{ \begin{matrix} x = - t \\ y = 2t - 1 \\ z = t + 2 \end{matrix} \right.$ .

Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I thuộc và I cách (P) một khoảng bằng 2 và (S) cắt (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 3.

Tài liệu quá dài để hiển thị hết — hãy nhấn Tải về để xem trọn bộ!

-----------------------------------------------------

Hy vọng chuyên đề Viết phương trình mặt cầu lớp 12 đã giúp bạn củng cố kiến thức hình học không gian và hiểu rõ cách xử lý các dạng bài quan trọng. Đây là một phần kiến thức nền tảng, cần thiết cho các bài toán nâng cao và đề thi THPT Quốc gia. Hãy tiếp tục luyện tập và theo dõi thêm nhiều chuyên đề Toán 12 khác để nâng cao tư duy hình học và đạt kết quả cao trong kỳ thi sắp tới!

Tải về

Chọn file muốn tải về: