Chuyên đề Tìm tiệm cận của đồ thị hàm số thông qua bảng biến thiên
Bài tập Toán 12: Tiệm cận của đồ thị hàm số Có đáp án
Trong quá trình ôn luyện môn Toán THPT Quốc gia, một trong những chuyên đề trọng tâm và dễ gặp trong đề thi là tìm tiệm cận của đồ thị hàm số. Bài viết này sẽ hướng dẫn bạn cách xác định tiệm cận ngang, tiệm cận đứng và tiệm cận xiên thông qua bảng biến thiên – một công cụ mạnh mẽ giúp giải nhanh và chính xác các bài toán khảo sát hàm số. Hãy cùng khám phá phương pháp hiệu quả này để tăng tốc độ giải đề và đạt điểm cao môn Toán!
A. Bài tập tìm tiệm cận của đồ thị hàm số
Câu 1: Cho hàm số 
\(y = f(x)\) có bảng biến thiên như sau
Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho có phương trình là:
A. \(x = - 1\) B. \(x = - 3\) C. \(x = 3\) D. \(x = 1\)
Câu 2: Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định và liên tục trên \(\mathbb{R}\backslash\left\{ - 1 \right\}\), có bảng biến thiên như sau:
Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng \(y = -
1\) và tiệm cận ngang \(x = -
2.\)
B. Đồ thị hàm số có duy nhất một tiệm cận.
C. Đồ thị hàm số có ba tiệm cận.
D. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng \(x = -
1\) và tiệm cận ngang \(y = -
2.\)
Câu 3: Cho hàm số \(f(x)\) xác định và liên tục trên \(\mathbb{R}\backslash\left\{
- 1 \right\},\) có bảng biến thiên như sau:
Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. Đồ thị hàm số có một đường tiệm cận.
B. Đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận.
C. Đồ thị hàm số có hai TCN \(y =
2,\) \(y = 5\) và một TCĐ \(x = - 1.\)
D. Đồ thị hàm số có bốn đường tiệm cận.
Câu 4: Cho hàm số \(y = f(x)\) có bảng biến thiên như sau:
Kết luận nào sau đây đầy đủ về đường tiệm cận của đồ thị hàm số \(y = f(x)\)?
A. Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang \(y = \pm 1\).
B. Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang \(y = 1\).
C. Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang \(y = \pm 1\), tiệm cận đứng \(x = - 1.\)
D. Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang \(y = 1\), tiệm cận đứng \(x = - 1.\)
Câu 5: Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định trên \(\mathbb{R}\backslash\left\{ 0
\right\}\), liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như sau:
Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. Đồ thị hàm số có một đường tiệm cận đứng.
B. Hàm số đạt cực tiểu tại \(x =
0.\)
C. Giá trị lớn nhất của hàm số là \(2.\)
D. Hàm số không có cực trị.
Câu 6: Cho hàm số \(y = f(x)\) có bảng biến thiên như sau:
Mệnh đề nào sau đây là sai?
A. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là \(x =
- 3.\)
B. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là \(x =
3.\)
C. Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là \(y =
0.\)
D. Đồ thị hàm số có tất cả hai đường tiệm cận.
Câu 7: Cho hàm số \(y = f(x)\) có bảng biến thiên như sau:
Hỏi đồ thị hàm số đã cho có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận?
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
Câu 8: Cho hàm số \(y = f(x)\) có bảng biến thiên như sau:
Hỏi đồ thị hàm số đã cho có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận?
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
Câu 9: Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y
= \frac{2x + 1}{x - 1}\) là:
A. \(y = \frac{1}{2}\) B. \(y = - 1\) C. \(y = 1\) D. \(y = 2\)
Câu 10: Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(AC\) là:
A. \(y = \frac{1}{3}\) B. \(y = 3\) C. \(y = - 1\) D. \(y = 1\)
Câu 11: Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y
= \frac{2x + 2}{x - 1}\) là:
A. \(x = 2\) B. \(x = - 2\) C. \(x = 1.\) D. \(x = - 1\)
Câu 12: Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y
= \frac{x - 1}{x - 3}\) là:
A. \(x = - 3\) B. \(x = - 1\) C. \(x = 1\) D. \(x = 3\)
Câu 13: Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y
= \frac{2x - 2}{x + 1}\) là:
A. \(x = - 2\) B. \(x = 1\) C. \(x = - 1\) D. \(x = 2\)
Câu 14: Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y
= \frac{x + 1}{x + 3}\) là:
A. \(x = - 1\) B. \(x = 1\) C. \(x = - 3\) D. \(x = 3\)
Câu 15: Cho hàm số \(y = f(x)\)có báng biến thiên như sau:
Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là:
A. 2 B. 3 C. 4 D. 1
Câu 16: Cho hàm số \(f(x)\) có bảng biến thiên như sau
Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là :
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
Câu 17: Cho hàm số \(y = f(x)\) có bảng biến thiên như sau:
Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là:
A. 4 B. 1 C. 3 D. 2
Câu 18: Cho hàm số \(y = f(x)\) có bảng biến thiên như sau
Tổng số đường tiệm cận ngang và đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là:
A. 3 B. 2 C. 4 D. 1
Câu 19: Cho hàm số có bảng biến thiên như hình sau
Tổng số đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(0\) là;
A. 3 B. 2 C. 4 D. 1
Câu 20: Cho hàm số \(y = f(x)\) có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây. Hỏi đồ thị của hàm số đã cho có bao nhiêu đường tiệm cận?
A. 3 B. 2 C. 4 D. 1
B. Đáp án tổng quan chuyên đề
|
1 - D |
2 - D |
3 - C |
4 - A |
5 - A |
6 - D |
|
7 - C |
8 – B |
9 - D |
10 - B |
11 - C |
12 - D |
|
13 - C |
14 - C |
15 - B |
16 – B |
17 - D |
18 - A |
|
19 - C |
20 - A |
21 - B |
22 - D |
23 - B |
24 – A |
|
25 - C |
26 - B |
27 - D |
28 - D |
29 - A |
30 - C |
C. Hướng dẫn giải chi tiết bài tập
Câu 1:
Quan sát bảng biến thiên ta thấy \(\lim_{x
\rightarrow 1^{+}}f(x) = - \infty\); \(\lim_{x \rightarrow 1^{-}}f(x) = +
\infty\).
Do đó đường thẳng \(x = 1\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y =
f(x)\).
Câu 2:
Từ bảng biến thiên, ta có:
\(\left\{ \begin{matrix}
\lim_{x \rightarrow ( - 1)^{-}}f(x) = + \infty \\
\lim_{x \rightarrow ( - 1)^{+}}f(x) = - \infty
\end{matrix} \right.\ \rightarrow x = - 1\) là TCĐ.
\(\left\{ \begin{matrix}
\lim_{x \rightarrow - \infty}y = - 2 \\
\lim_{x \rightarrow + \infty}y = - 2
\end{matrix} \right.\ \rightarrow y = - 2\) là TCN.
Vậy đồ thị hàm số có tiệm cận đứng \(x = -
1\) và tiệm cận ngang \(y = -
2.\).
Câu 3:
Từ bảng biến thiên, ta có:
\(\left\{ \begin{matrix}
\lim_{x \rightarrow \ ( - 1)^{+}}f(x) = + \infty \\
\lim_{x \rightarrow \ ( - 1)^{-}}f(x) = - \infty
\end{matrix} \right.\ \rightarrow x = - 1\) là TCĐ.
\(\lim_{x \rightarrow - \infty}f(x) = 5
\rightarrow y = 5\) là TCN và \(\lim_{x
\rightarrow + \infty}f(x) = 2 \rightarrow y = 2\) là TCN.
Vậy câu đúng là: “Đồ thị hàm số có hai TCN \(y = 2,\) \(y =
5\) và một TCĐ \(x = - 1.\)”
Câu 4:
Ta có \(\lim_{x \rightarrow - 1}f(x) =
\sqrt{2} \neq \pm \infty\) nên đồ thị hàm số không có TCĐ.
Ta có \(\lim_{x \rightarrow - \infty}f(x) =
- 1 \rightarrow y = - 1\) là TCN; \(\lim_{x \rightarrow + \infty}f(x) = 1 \rightarrow
y = 1\) là TCN.
Vậy câu đúng là: “Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang \(y = \pm 1\)”.
Câu 5:
Dựa vào bảng biến thiên, ta có nhận xét như sau:
“Đồ thị hàm số có một đường tiệm cận đứng” đúng vì \(\lim_{x \rightarrow 0^{+}}f(x) = \lim_{x
\rightarrow 0^{-}}f(x) = - \infty \rightarrow x = 0\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
“Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 0.\)” sai vì tại \(x = 0\) hàm số không xác định.
“Giá trị lớn nhất của hàm số là 2” sai vì hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng \(1\) trên khoảng \((0\ ; + \infty)\) mà không đạt giá trị lớn nhất trên khoảng \(( - \infty\ ;\
0)\).
“Hàm số không có cực trị” sai vì đạo hàm \(y'\) đổi dấu từ sang khi đi qua điểm \(x = 1\ \ \overset{}{\rightarrow}\ \ x = 1\) là điểm cực đại của hàm số.
Câu 6:
Từ bảng biến thiên, ta có:
\(\lim_{x \rightarrow \pm \infty}y = 0
\rightarrow y = 0\) là TCN;
\(\left\{ \begin{matrix}
\lim_{x \rightarrow \ ( - 3)^{+}}y = - \infty \\
\lim_{x \rightarrow \ ( - 3)^{-}}y = + \infty
\end{matrix} \right.\ \rightarrow x = - 3\) là TCĐ;
\(\left\{ \begin{matrix}
\lim_{x \rightarrow \ 3^{+}}y = - \infty \\
\lim_{x \rightarrow \ 3^{-}}y = + \infty
\end{matrix} \right.\ \rightarrow x = 3\) là TCĐ.
Vậy đồ thị hàm số có tất cả ba đường tiệm cận. Do đó “Đồ thị hàm số có tất cả hai đường tiệm cận” sai.
Câu 7:
Từ bảng biến thiên, ta có:
\(\lim_{x \rightarrow + \infty}y = 0
\rightarrow y = 0\) là TCN;
\(\lim_{x \rightarrow \ ( - 2)^{+}}y = -
\infty \rightarrow x = - 2\) là TCĐ;
\(\lim_{x \rightarrow 0^{-}}y = + \infty
\rightarrow x = 0\) là TCĐ.
Vậy đồ thị hàm số đã cho có đúng ba đường tiệm cận
Câu 8:
Từ bảng biến thiên, ta có:
\(\lim_{x \rightarrow + \infty}y = + \infty
\rightarrow\) đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang;
\(\lim_{x \rightarrow \ ( - 2)^{+}}y = +
\infty \rightarrow x = - 2\) là TCĐ;
\(\lim_{x \rightarrow \ 1^{+}}y = - \infty
\rightarrow x = 1\) là TCĐ.
Vậy đồ thị hàm số đã cho có đúng hai đường tiệm cận.
Hướng dẫn giải:
Tập xác định
------------------------------------------------
Việc nắm vững phương pháp tìm tiệm cận bằng bảng biến thiên không chỉ giúp bạn hiểu sâu bản chất của đồ thị hàm số mà còn tiết kiệm thời gian làm bài trong kỳ thi THPT Quốc gia. Để đạt kết quả tốt nhất, hãy luyện tập thêm các bài tập trắc nghiệm, tự luận và kết hợp với các chuyên đề liên quan như đạo hàm, giới hạn, khảo sát hàm số. Đừng quên lưu lại bài viết và chia sẻ cho bạn bè để cùng nhau ôn tập hiệu quả! Chúc bạn tự tin, làm bài tốt và chinh phục điểm 9, 10 môn Toán trong kỳ thi sắp tới!
