Bài toán gửi tiết kiệm hàng tháng

Gửi tiết kiệm ngân hàng

VnDoc.com xin giới thiệu tới quý thầy cô và các bạn học sinh tài liệu tham khảo Tính cả vốn và lãi sau n tháng gửi để bạn đọc cùng tham khảo và có thêm tài liệu học tập nhé.

A. Công thức tính lãi suất tiết kiệm và cách hưởng lãi kép

- Tiền gửi hàng tháng: Mỗi tháng gửi đúng cùng một số tiền vào 1 thời gian cố định.

- Ý tưởng hình thành công thức:

Cuối tháng thứ nhất, khi ngân hàng đã tính lãi thì số tiền có được là

$S_1=A(1+r)=\frac{A}{r}[(1+r{)}^1-1](1+r)$

Đầu tháng thứ hai, khi đã gửi thêm số tiền $A$ đồng thì số tiền là

$T_1=A(1+r)+A=A[(1+r)+1]$$=A\frac{[(1+r{)}^2-1]}{(1+r)-1}=\frac{A}{r}[(1+r{)}^2-1]$

Cuối tháng thứ hai, khi ngân hàng đã tính lãi thì số tiền có được là

$S_2=\frac{A}{r}[(1+r{)}^2-1](1+r)$

Từ đó ta có công thức tổng quát

$\boxed{{\displaystyle S_n=\frac{A}{r}[(1+r{)}^n-1](1+r)}}$

Chú ý: Từ công thức (1.6) ta có thể tính được:

$\boxed{{\displaystyle n=lo{g}_{(1+r)}(\frac{S_n.r}{A(1+r)}+1)}}$

$\boxed{{\displaystyle A=\frac{S_n.r}{(1+r)[(1+r{)}^n-1]}}}$

B. Bài tập tính cả vốn lẫn lãi sau n tháng

Ví dụ 1: Đầu mỗi tháng ông Mạnh gửi ngân hàng 580000 đồng với lãi suất 0,7%/tháng. Sau 10 tháng thì số tiền ông Mạnh nhận được cả gốc lẫn lãi (sau khi ngân hàng đã tính lãi tháng cuối cùng) là bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

$S_{10}=\frac{580000}{0,007}[(1,007{)}^{10}-1].1,007\approx 6028005,598$ đồng

Ví dụ 2: Ông Nghĩa muốn có ít nhất 100 triệu đồng sau 10 tháng kể từ khi gửi ngân hàng với lãi 0,7%/tháng thì mỗi tháng ông Nghĩa phải gửi số tiền ít nhất bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

$A=\frac{100.0,007}{1,007[(1,007{)}^{10}-1]}\approx 9,621676353$ đồng

Ví dụ 3: Đầu mỗi tháng anh Thắng gửi vào ngân hàng số tiền 3 triệu đồng với lãi suất 0,6%/tháng. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu tháng (khi ngân hàng đã tính lãi) thì anh Thắng được số tiền cả gốc lẫn lãi từ 100 triệu trở lên?

Hướng dẫn giải

$n=lo{g}_{1,006}(\frac{100.0,006}{3.1,006}+1)\approx 30,31174423$

Vậy anh Thắng phải gửi ít nhất là 31 tháng mới được số tiền cả gốc lẫn lãi từ 100 triệu trở lên.

Ví dụ 4: Đầu mỗi tháng bác Dinh gửi vào ngân hàng số tiền 3 triệu đồng sau 1 năm bác Dinh nhận được số tiền cả gốc lẫn lãi là 40 triệu. Hỏi lãi suất ngân hàng là bao nhiêu phần trăm mỗi tháng?

Hướng dẫn giải

Ta có $40=\frac{3}{r}[(1+r{)}^{12}-1](1+r)$ nên nhập vào máy tính phương trình

$\frac{3}{X}[(1+X{)}^{12}-1](1+X)-40$ nhấn $\boxed{{\displaystyle SHIFT}}\boxed{{\displaystyle CALC}}$ với $X=0$ ta được $X=0,016103725$

Vậy lãi suất hàng tháng vào khoảng $1,61$%/tháng

Ví dụ 5. Một người hàng tháng gửi vào ngân hàng một số tiền là $A$ đồng, với lãi suất $m\mathrm{\%}$ một tháng. Nếu người này không rút tiền lãi ra thì cuối $N$ tháng số tiền nhận được cả gốc và lãi được tính theo công thức nào?

Hướng dẫn giải

Đầu tháng thứ nhất gửi $A$ (đồng) thì cuối tháng thứ $N$ nhận được số tiền cả vốn lẫn lãi là $A(1+m{)}^N$ (đồng).

Đầu tháng thứ hai gửi $A$ (đồng) thì cuối tháng thứ $N$ nhận được số tiền cả vốn lẫn lãi là $A(1+m{)}^{N-1}$ (đồng).

Đầu tháng thứ $N$ gửi $A$ (đồng) thì cuối tháng thứ $N$ nhận được số tiền cả vốn lẫn lãi là $A(1+m)$ (đồng).

Hàng tháng gửi $A$ đồng thì cuối $N$ tháng nhận được số tiền cả vốn lẫn lãi là:

$A(1+m{)}^N+A(1+m{)}^{N-1}+...+A(1+m)$

$=A[(1+m{)}^N+(1+m{)}^{N-1}+...+(1+m)]$

$=A\frac{(1+m{)}^{N+1}-(1+m)}{m}.$

Ví dụ 6. Một người hàng tháng gửi vào ngân hàng số tiền là $1000000$ đồng, với lãi suất $0,8\mathrm{\%}$ một tháng. Sau một năm người ấy rút cả vốn và lãi để mua vàng thì số chỉ vàng mua được là bao nhiêu? Biết giá vàng là $3575000/$chỉ.

Hướng dẫn giải

Đây là bài toán gửi tiết kiệm hàng tháng một số tiền như nhau.

Sau một năm số tiền nhận được cả vốn lẫn lãi là $B={10}^6.\frac{1,{008}^{13}-1,008}{0,008}$ (đồng).

Ta có: $B:3575000\approx 3,5$ nên số chỉ vàng có thể mua được là $3.$