Công thức lãi kép

Công cụ tính lãi suất ngân hàng được VnDoc.com sưu tầm và xin gửi tới bạn đọc cùng tham khảo. Hi vọng tài liệu này sẽ giúp các bạn ôn thi THPT Quốc gia môn Toán hiệu quả.

A. Lãi kép là gì?

B. Công thức tính lãi kép

Chú ý: Từ công thức (2) ta có thể tính được:

$\boxed{{\displaystyle n=lo{g}_{(1+r)}\left(\frac{S_n}{A}\right)}}$

$\boxed{{\displaystyle r\mathrm{\%}=\sqrt[n]{\frac{S_n}{A}}-1}}$

$\boxed{{\displaystyle A=\frac{S_n}{(1+r{)}^n}}}$

C. Bài tập tính lãi kép ngân hàng

Ví dụ 1: Chú Việt gửi vào ngân hàng 10 triệu đồng với lãi kép 5%/năm.

a) Tính số tiền cả gốc lẫn lãi chú Việt nhận được sau khi gửi ngân hàng 10 năm.

b) Với số tiền 10 triệu đó, nếu chú Việt gửi ngân hàng với lãi kép $\frac{5}{12}\mathrm{\%}$/tháng thì sau 10 năm chú Việt nhận được số tiền cả gốc lẫn lãi nhiều hơn hay ít hơn?

Hướng dẫn giải

a) Số tiền cả gốc lẫn lãi nhận được sau 10 năm với lãi kép 5%/năm là

$S_{10}=10.{(1+\frac{5}{100})}^{10}\approx 16,28894627$triệu đồng.

b) Số tiền cả gốc lẫn lãi nhận được sau 10 năm với lãi kép $\frac{5}{12}\mathrm{\%}$/tháng là

$S_{120}=10.{(1+\frac{5}{12\times 100})}^{120}\approx 16,47009498$ triệu đồng.

Vậy số tiền nhận được với lãi suất $\frac{5}{12}\mathrm{\%}$/tháng nhiều hơn.

Ví dụ 2:

a. Bạn An gửi tiết kiệm một số tiền ban đầu là 1000000 đồng với lãi suất 0,58%/tháng (không kỳ hạn). Hỏi bạn An phải gửi bao nhiêu tháng thì được cả vốn lẫn lãi bằng hoặc vượt quá 1300000 đồng?

b. Với cùng số tiền ban đầu và cùng số tháng đó, nếu bạn An gửi tiết kiệm có kỳ hạn 3 tháng với lãi suất 0,68%/tháng, thì bạn An sẽ nhận được số tiền cả vốn lẫn lãi là bao nhiêu? Biết rằng trong các tháng của kỳ hạn, chỉ cộng thêm lãi chứ không cộng vốn và lãi tháng trước để tình lãi tháng sau. Hết một kỳ hạn, lãi sẽ được cộng vào vốn để tính lãi trong kỳ hạn tiếp theo (nếu còn gửi tiếp), nếu chưa đến kỳ hạn mà rút tiền thì số tháng dư so với kỳ hạn sẽ được tính theo lãi suất không kỳ hạn.

Hướng dẫn giải

a.Ta có

$n={\log }_{1,0058}\left(\frac{1300000}{1000000}\right)\approx 45,3662737$ nên để nhận được số tiền cả vốn lẫn lãi bằng hoặc vượt quá 1300000 đồng thì bạn An phải gửi ít nhất là 46 tháng.

b. Ta thấy 46 tháng là 15 kỳ hạn và thêm 1 tháng nên số tiền nhận được là:

$S={10}^6.1,{0068}^{15}.1,0058\approx 1361659,061$.

Ví dụ 3: Lãi suất của tiền gửi tiết kiệm của một số ngân hàng thời gian vừa qua liên tục thay đổi. Bạn Châu gửi số tiền ban đầu là 5 triệu đồng với lãi suất 0,7% tháng chưa đầy một năm, thì lãi suất tăng lên 1,15% tháng trong nửa năm tiếp theo và bạn Châu tiếp tục gửi; sau nửa năm đó lãi suất giảm xuống còn 0,9% tháng, bạn Châu tiếp tục gửi thêm một số tháng tròn nữa, khi rút tiền bạn Châu được cả vốn lẫn lãi là 5 747 478,359 đồng (chưa làm tròn). Hỏi bạn Châu đã gửi tiền tiết kiệm trong bao nhiêu tháng?

Hướng dẫn giải

Gọi $X,Y$ $(X,Y\in {\mathbb{Z}}^{+}:X,Y\le 12)$ lần lượt là số tháng bạn Châu đã gửi với lãi suất 0,7%/tháng và 0,9%/tháng thì ta có

${5.10}^6.1,{007}^X.1,{0115}^6.1,{009}^Y=5747478,359$

$\iff 1,{009}^Y=\frac{5747478,359}{{5.10}^6.1,{007}^X.1,{0115}^6}$

$\iff Y=lo{g}_{1,009}\frac{5747478,359}{{5.10}^6.1,{007}^X.1,{0115}^6}$

Nhập vào máy tính $\boxed{{\displaystyle Mode}}\boxed{{\displaystyle 7}}$ nhập hàm số $f(X)=$ $lo{g}_{1,009}\frac{5747478,359}{{5.10}^6.1,{007}^X.1,{0115}^6}$, cho giá trị $X$ chạy từ 1 đến 10 với STEP 1. Nhìn vào bảng kết quả ta được cặp số nguyên là $X=5;Y=4$.

Vậy bạn Châu đã gửi tiền tiết kiệm trong $5+6+4=15$ tháng.

D. Lãi kép liên tục

Khi tăng số kì hạn của mỗi năm lên vô cực, tức là $m\to +\mathrm{\infty }$ , gọi là hình thức lãi kép tiên tục thì người ta chứng minh được số tiền nhận được cả gốc lẫn lãi là:

$\boxed{{\displaystyle S=A{e}^{n.r}}}$

Công thức (3.1) còn gọi là công thức tăng trưởng mũ

Ví dụ. Bà Tư gửi tiết kiệm $75$ triệu đồng vào ngân hàng Agribank theo kỳ hạn $3$ tháng và lãi suất $0,59\mathrm{\%}$ một tháng. Nếu bà không rút lãi ở tất cả các định kỳ thì sau $3$ năm bà ấy nhận được số tiền cả vốn lẫn lãi là bao nhiêu (làm tròn tới hàng nghìn)? Biết rằng trong các tháng của kỳ hạn, chỉ cộng thêm lãi chứ không cộng vốn và lãi tháng trước để tính lãi tháng sau; hết một kỳ hạn lãi sẽ được cộng vào vốn để tính lãi trong đủ một kỳ hạn tiếp theo.

Hướng dẫn giải

Đây là bài toán lãi kép, chu kỳ một quý, với lãi suất $3.0,59\mathrm{\%}=1,77\mathrm{\%}$ một quý.

Sau $3$ năm là $12$ quý, số tiền thu được cả gốc và lãi là $75(1+0,0177{)}^{12}\approx 92576000$ (đồng).

--------------------------------------------------------------------

Trên đây VnDoc.com đã giới thiệu tới bạn đọc tài liệu: Cách tính lãi kép ngân hàng. Bài viết cho chúng ta thấy được phương pháp tính lãi suất ngân hàng chính xác với các bài tập tự luyện. Hi vọng qua bài viết bạn đọc có thêm nhiều tài liệu để học tập tốt hơn môn Toán lớp 12 nhé. Chúc các bạn ôn tập thật tốt!