Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

Đóng

Điểm danh hàng ngày

Hôm nay +3
Ngày 2 +3
Ngày 3 +3
Ngày 4 +3
Ngày 5 +3
Ngày 6 +3
Ngày 7 +5

Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm! Đăng nhập ngay để nhận điểm

Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169

VnDoc.com

Bộ Bài Tập Thực Tế Tìm GTLN – GTNN (Có Đáp Án & Giải Thích Chi Tiết)

Chuyên đề Toán 12 có đáp án chi tiết

Bài trước

Tải về

Bài sau

Dạng tài liệu: Chuyên đề Lớp 12

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Bài tập ứng dụng thực tế Toán 12

Việc giải quyết các bài toán thực tế về giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất (GTLN – GTNN) là kỹ năng quan trọng trong chương trình Toán 12 và xuất hiện thường xuyên trong đề thi tốt nghiệp THPT. Bài viết này tổng hợp bộ bài tập ứng dụng thực tiễn kèm đáp án và lời giải chi tiết, giúp học sinh hiểu bản chất, nắm vững phương pháp và rèn luyện tư duy tối ưu hóa. Đây sẽ là tài liệu hữu ích để bạn tăng tốc ôn luyện và chinh phục trọn vẹn dạng toán GTLN – GTNN.

A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

Bài toán:

Bài toán thực tế tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất đã xây dựng mô hình hàm.

Phương pháp:

Xác định mối quan hệ các đại lượng (đại lượng đề bài cho và đại lượng cần tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất).

Lưu ý:

Vận tốc tức thời: $v\left( {{t_0}} \right) = s$ $v\left( {{t_0}} \right) = s'\left( {{t_0}} \right)$; Gia tốc: $a\left( {{t_0}} \right) = v$ $a\left( {{t_0}} \right) = v'\left( {{t_0}} \right) = s''\left( {{t_0}} \right)$

Cường độ tức thời: $I\left( {{t_0}} \right) = Q$ $I\left( {{t_0}} \right) = Q'\left( {{t_0}} \right)$

Quy bài toán thực tế vê bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số.

Lập bảng biến thiên tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của đại lượng cần xét.

B. BÀI TẬP VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1. Vi khuẩn HP (Helicobacter pylori) gây đau dạ dày tại ngày thứ m với số lượng là $F\left( m \right)$ $F\left( m \right)$, biết nếu phát hiện sớm khi số lượng vi khuẩn không vượt quá 4000 con thì bệnh nhân sẽ được cứu chữa. Biết $F(m)=\frac{{1000}}{{2t + 1}}$ $F(m)=\frac{{1000}}{{2t + 1}}$ và ban đầu bệnh nhân có 2000 con vi khuẩn. Sau 15 ngày bệnh nhân phát hiện ra bị bệnh. Hỏi khi đó có bao nhiêu con vi khuẩn trong dạ dày (lấy xấp xỉ hàng thập phân thứ hai) và bệnh nhân đó có cứu chữa được không ?

Hướng dẫn giải

Ta có: $F\left( m \right) = 500.ln\left( {2t{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right) + C$ $F\left( m \right) = 500.ln\left( {2t{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right) + C$

Với $t = 0 \Rightarrow c = 2000$ $t = 0 \Rightarrow c = 2000$

Với $t = 15500ln\left( {2.15{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right) + 2000 = 3716,99 < 4000 \Rightarrow$ $t = 15500ln\left( {2.15{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right) + 2000 = 3716,99 < 4000 \Rightarrow$ cứu được

Ví dụ 2. Các chuyên gia y tế ước tính số người nhiễm virus corona kể từ ngày xuất hiện bệnh nhân đầu tiên đến ngày thứ t là $f\left( t \right) = 45{t^2} - {t^3}$ $f\left( t \right) = 45{t^2} - {t^3}$ với $\left( {0 \le t \le 25} \right)$ $\left( {0 \le t \le 25} \right)$. Nếu coi f(t) là một hàm xác định trên đoạn [0; 25] thì hàm f’(t) được xem là tốc độ truyền bệnh tại thời điểm t. Xác định ngày mà tốc độ truyền bệnh là lớn nhất.

Hướng dẫn giải

Từ giả thiết suy ra tốc độ truyền bệnh tại thời điểm t là: $f'\left( t \right) = 90t - 3{t^2}$.

Xét hàm $f'\left( t \right) = 90t - 3{t^2}$ với ${0 \le t \le 25}$ ${0 \le t \le 25}$.

Ta có: $f''\left( t \right) = 90 - 6t = 0 \Leftrightarrow t = 15$.

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta có ngày mà tốc độ truyền bệnh là lớn nhất là ngày thứ 15.

Ví dụ 3. Người ta tiêm một loại thuốc vào mạch máu ở cách tay phải của một bệnh nhân. Sau thời gian là t giờ, nồng độ thuốc ở mạch máu của bệnh nhân đó được cho bởi công thức $C\left( t \right) = \frac{{0,28t}}{{{t^2} + 4}};\left( {0 < t < 24} \right)$ $C\left( t \right) = \frac{{0,28t}}{{{t^2} + 4}};\left( {0 < t < 24} \right)$. Hỏi sau bao nhiêu giờ thì nồng độ thuộc ở mạch máu của bệnh nhân là lớn nhất?

Hướng dẫn giải

Ta có: $C\left( t \right) = \frac{{0,28t}}{{{t^2} + 4}} \Rightarrow C$ $C\left( t \right) = \frac{{0,28t}}{{{t^2} + 4}} \Rightarrow C'\left( t \right) = \frac{{0,28.\left( {4 - {t^2}} \right)}}{{{{\left( {{t^2} + 4} \right)}^2}}}$. Khi đó $C'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = 2$

Lập bảng biến thiên ta suy ra $\mathop {\max }\limits_{t \in \left( {0;24} \right)} C\left( t \right) = 2$ $\mathop {\max }\limits_{t \in \left( {0;24} \right)} C\left( t \right) = 2$

Ví dụ 4. Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân được cho bởi công thức $G\left( x \right) = 0,025{x^2}\left( {30 - x} \right)$ $G\left( x \right) = 0,025{x^2}\left( {30 - x} \right)$. Trong đó là liều lượng thuốc được tiêm cho bệnh nhân (đơn vị miligam). Tính liều lượng thuốc cần tiêm cho bệnh nhân để huyết áp giảm nhiều nhất.

Hướng dẫn giải

Cách 1 :

Ta có: $G\left( x \right) = - 0,025{x^3} + 0,75{x^2}$ $G\left( x \right) = - 0,025{x^3} + 0,75{x^2}$. Đạo hàm: $G'\left( x \right) = - 0,075{x^2} + 1,5x$.

Xét $G'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow - 0,075{x^2} + 1,5x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 20\\ x = 0 \end{array} \right.$.

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực đại tại x = 20.

Vậy cần tiêm 20mg thuốc cho bệnh nhân để huyết áp giảm nhiều nhất.

Cách 2.

Ta có:

$f\left( x \right) = 0,025{x^2}\left( {30 - x} \right)$ $f\left( x \right) = 0,025{x^2}\left( {30 - x} \right)$ $= 0,0125x.x.\left( {60 - 2x} \right)$ $= 0,0125x.x.\left( {60 - 2x} \right)$ $\le 0,0125.{\left( {\frac{{x + x + 60 - 2x}}{3}} \right)^3} = 100$ $\le 0,0125.{\left( {\frac{{x + x + 60 - 2x}}{3}} \right)^3} = 100$

Dấu “=” xảy ra khi $x = 60 - 2x \Leftrightarrow x = 20$ $x = 60 - 2x \Leftrightarrow x = 20$ miligam.

Cách 3.

Ta có: $F'\left( x \right) = \frac{1}{{40}}\left( {60x - 3{x^2}} \right),\,\,x \in \left[ {0;30} \right]$.

Khảo sát hàm $F'(x)$, ta có $F'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = 20 \end{array} \right.$.

Vậy liều lượng thuốc cần tiêm cho bệnh nhân để giảm huyết áp nhiều nhất là 20mg.

C. BÀI TẬP VẬN DỤNG

Bài 1. Nhiệt độ T của một người trong cơn bệnh được cho bởi công thức $T\left( t \right) = - 0,1{t^2} + 1,2t + 98,6\,\,\,\left( {0 \le t \le 11} \right)$ $T\left( t \right) = - 0,1{t^2} + 1,2t + 98,6\,\,\,\left( {0 \le t \le 11} \right)$, trong đó T là nhiệt độ $\left( {^oF - Fahrenheit} \right)$ $\left( {^oF - Fahrenheit} \right)$ theo thời gian t trong ngày. Biết rằng $^oC = \frac{{^oF - 32}}{{1,8}}$ $^oC = \frac{{^oF - 32}}{{1,8}}$, độ chênh lệch (theo độ ⁰C) giữa nhiệt độ lớn nhất và nhiệt độ thấp nhất trong một ngày là

A. 3,6⁰C. B. 2⁰C. C. 2,6⁰C. D. 2,5⁰C.

Bài 2. Sau khi phát hiện một bệnh dịch, các chuyên gia y tế ước tính số người nhiễm bệnh kể từ ngày xuất hiện bệnh nhân đầu tiên đến ngày thứ t là $f\left( t \right) = 4{t^3} - \frac{{{t^4}}}{2}$ $f\left( t \right) = 4{t^3} - \frac{{{t^4}}}{2}$ (người). Nếu xem f’(t) là tốc độ truyền bệnh (người/ ngày) tại thời điểm t với $t \in \left[ {0;6} \right]$ $t \in \left[ {0;6} \right]$. Tốc độ truyền bệnh lớn nhất sẽ lớn nhất vào ngày thứ mấy?

A. 6. B.3. C.4 D. 5.

Bài 3. Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân được cho bởi công thức $G\left( x \right) = 0,035{x^2}\left( {15 - x} \right)$ $G\left( x \right) = 0,035{x^2}\left( {15 - x} \right)$, trong đó x là liều lượng thuốc được tiêm cho bệnh nhân (x được tính bằng miligam). Tính liều lượng thuốc cần tiêm (đơn vị miligam) cho bệnh nhân để huyết áp giảm nhiều nhất.

A. x = 8. B. x = 10. C. x = 15. D. x = 7.

Tài liệu quá dài để hiển thị hết — hãy nhấn Tải về để xem trọn bộ

---------------------------------------------

Hy vọng bộ bài tập thực tế tìm GTLN – GTNN kèm lời giải chi tiết đã giúp bạn củng cố phương pháp và mở rộng cách tiếp cận trong các bài toán tối ưu. Hãy thường xuyên luyện tập thêm những dạng câu hỏi nâng cao để tăng độ nhạy toán học và tự tin hơn trong các bài kiểm tra và kỳ thi quan trọng. Chúc bạn học tốt và đạt kết quả cao trong chương trình Toán 12.

Luyện tập mở rộng

Xem thử Tải về

Chọn file muốn tải về: