Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Lớp 12 Toán 12 Chuyên đề Toán 12
Đóng
Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm
Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Tổng hợp câu hỏi trắc nghiệm Đường tiệm cận của hàm ẩn, hàm hợp Phần 5

Luyện thi THPT Quốc gia môn Toán

Đường tiệm cận hàm ẩn, hàm hợp vận dụng cao có đáp án chi tiết - Phần 5

Ở phần này, chuyên đề trắc nghiệm Đường tiệm cận của hàm ẩn, hàm hợp tiếp tục khai thác các dạng bài vận dụng cao trong Toán 12. Đây là nội dung thường xuất hiện trong đề luyện thi THPT Quốc gia môn Toán, yêu cầu học sinh kết hợp linh hoạt đạo hàm và kỹ năng biến đổi hàm ẩn. Bài viết giúp bạn luyện tập chuyên sâu và nâng cao độ chính xác khi làm bài.

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao
  • Bài kiểm tra này bao gồm 19 câu
  • Điểm số bài kiểm tra: 19 điểm
  • Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
  • Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu
Bắt đầu!!
00:00:00
  • Câu 1: Vận dụng cao
    Chọn đáp án thích hợp

    Cho hàm số y = f(x) là hàm đa thức liên tục trên \mathbb{R} thỏa mãn 3f(1) - 2 < 0 và 3f(a) - a^{3} + 3a > 0;\forall a > 2. Đồ thị hàm số y = f'(x) như hình vẽ.

    Đồ thị hàm số g(x) = \frac{x + 1}{3f(x + 2) - x^{3} + 3x} có có số tiệm cận đứng là

    Hướng dẫn:

    Phương trình f(x) = 20 có một nghiệm x = a > 3 vì f( - 1) < 20.

    Từ đồ thị f'(x) suy ra f(x) là đa thức bậc 6 và\lim_{x \rightarrow \pm \infty}f(x) = + \infty.

    ĐK: h(x) = 3f(x + 2) - x^{3} + 3x \neq 0.

    Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm g(x) bằng số nghiệm của h(x) khác -1.

    Ta đi tìm số nghiệm của phương trình h(x) = 0

    h'(x) = 3f'(x + 2) - 3x^{2} + 3.

    Đặt t = x + 2 \Rightarrow h'(x) = k(t) = 3\left\lbrack f'(t) - t^{2} + 4t - 3 \right\rbrack.

    Khi đó k(t) = 3\left( f'(t) - t^{2} + 4t + 3 \right) = 0 \Leftrightarrow f'(t) = t^{2} - 4t + 3\ \ (*)

    Sử dụng đồ thị nhận thấy (*) có 3 nghiệm làt = 1;t = 3;t = a > 4 \Rightarrow x = - 1;x = 1;x = a - 2 = b > 2.

    Ta có bảng biến thiên của h(x) như sau:

    Description: geogebra-export

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} h( - 1) = 3.f(1) - 2 < 0 \\ h(b) = 3.f(a) - a^{3} + 3a > 0;a > 2 \end{matrix} \right..

    Dựa vào bảng biến thiên của h(x)ta thấy h(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác -1.

    Vậy g(x) có 2 tiệm cận đứng.

  • Câu 2: Vận dụng cao
    Tìm các giá trị nguyên của m thỏa mãn điều kiện

    Cho hàm số f(x) liên tục trên \mathbb{R} và \lim_{x\ \rightarrow \ - \infty}f(x) = 1; \lim_{x\ \rightarrow \ + \infty}f(x) = + \infty. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc \lbrack - 2020\ ;\ 2020\rbrack để đồ thị hàm số g(x) = \frac{\sqrt{x^{2} + 3x\ } + x}{\sqrt{2f(x) - f^{2}(x)} + m} có tiệm cận ngang nằm bên dưới đường thẳng y = - 1.

    Hướng dẫn:

    Do \lim_{x\ \rightarrow \ + \infty}f(x) = + \infty nên khi x\ \rightarrow \ + \infty thì 2f(x) - f^{2}(x) \rightarrow - \infty vì vậy \sqrt{2f(x) - f^{2}(x)} không có nghĩa nên không tồn tại \ \lim_{x\ \rightarrow \ + \infty}g(x).

    Xét \lim_{x\ \rightarrow \ - \infty}g(x)

    Trước hết \lim_{x\ \rightarrow \ - \infty}f(x) = 1 nên \lim_{x\ \rightarrow \ - \infty}\sqrt{2f(x) - f^{2}(x)} = \sqrt{\lim_{x\ \rightarrow \ - \infty}\left\lbrack 2f(x) - f^{2}(x) \right\rbrack} = 1

    \lim_{x\ \rightarrow \ - \infty}\left( \sqrt{x^{2} + 3x\ } + x \right) = \lim_{x\ \rightarrow \ - \infty}\frac{\left( \sqrt{x^{2} + 3x\ } + x \right)\left( \sqrt{x^{2} + 3x\ } - x \right)}{\sqrt{x^{2} + 3x\ } - x}

    = \lim_{x\ \rightarrow \ - \infty}\frac{3x}{- x\left( \sqrt{1 - \frac{3}{x}\ } + 1 \right)} = - \frac{3}{2}

    Từ đó có \lim_{x\ \rightarrow \ - \infty}g(x) = \frac{- 3}{2m + 2} nên đồ thị hàm số g(x) có tiệm cận ngang là đường thẳng y = \frac{- 3}{2m + 2}.

    Để tiệm cận ngang tìm được ở trên nằm dưới đường thẳng y = - 1 thì điều kiện cần và đủ là \frac{- 3}{2m + 2} < - 1 \Leftrightarrow \frac{3}{2m + 2} > 1

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 3 > 2m + 2 \\ 2m + 2 > 0 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow - 1 < m < \frac{1}{2} Tức có duy nhất giá trị nguyên m = 0 thỏa mãn bài toán.

  • Câu 3: Vận dụng cao
    Chọn đáp án đúng

    Cho hàm số f(x) liên tục trên \mathbb{R}, có \lim_{x \rightarrow + \infty}f(x) = + \infty; \lim_{x \rightarrow - \infty}f(x) = - \infty. Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm g(x) = \frac{f(x) + 1}{\sqrt{m.f^{2}(x) + 2}} có hai đường tiệm ngang là

    Hướng dẫn:

    TH1: m = 0

    \lim_{x \rightarrow \pm \infty}g(x) = \lim_{x \rightarrow \pm \infty}\frac{f(x) + 1}{\sqrt{2}} = \pm \infty

    Suy ra đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.

    TH2: m < 0

    \lim_{x \rightarrow \pm \infty}f^{2}(x) = + \infty

    Suy ra \lim_{x \rightarrow \pm \infty}\left( m.f^{2}(x) + 2 \right) = - \infty

    Suy ra \lim_{x \rightarrow \pm \infty}g(x) không tồn tại.

    TH3: m > 0

    \lim_{x \rightarrow + \infty}g(x) = \lim_{x \rightarrow + \infty}\frac{f(x) + 1}{\sqrt{m.f^{2}(x) + 2}}

    = \lim_{x \rightarrow + \infty}\frac{f(x)\left( 1 + \frac{1}{f(x)} \right)}{\left| f(x) \right|\sqrt{m + \frac{2}{f^{2}(x)}}} = \lim_{x \rightarrow + \infty}\frac{\left( 1 + \frac{1}{f(x)} \right)}{\sqrt{m + \frac{2}{f^{2}(x)}}} = \frac{1}{\sqrt{m}}

    \lim_{x \rightarrow - \infty}g(x) = \lim_{x \rightarrow - \infty}\frac{f(x) + 1}{\sqrt{m.f^{2}(x) + 2}}

    = \lim_{x \rightarrow - \infty}\frac{f(x)\left( 1 + \frac{1}{f(x)} \right)}{\left| f(x) \right|\sqrt{m + \frac{2}{f^{2}(x)}}} = \lim_{x \rightarrow - \infty}\frac{- \left( 1 + \frac{1}{f(x)} \right)}{\sqrt{m + \frac{2}{f^{2}(x)}}} = - \frac{1}{\sqrt{m}}

    Đồ thị hàm số g(x) có hai tiệm cận ngang là hai đường thẳng y = \frac{1}{\sqrt{m}}, y = - \frac{1}{\sqrt{m}}.

    Tóm lại, tập hợp cần tìm là (0\ ;\ + \infty).

  • Câu 4: Vận dụng cao
    Tìm số tiệm cận của hàm số

    Cho hàm số y = f(x) = x + 1. Tìm số tiệm cận của hàm số

    y = g(x) = 1 + \frac{\sqrt{f^{2}(x) + 2}}{f(x) + 2} + \frac{\sqrt[3]{f^{3}(x) + 3}}{f(x) + 3} + ... + \frac{\sqrt[2020]{f^{2020}(x) + 2020}}{f(x) + 2020}.

    Hướng dẫn:

    TXĐ: D\mathbb{= R}\backslash\left\{ - 3; - 4; - 5;...; - 2021 \right\}

    +) Với x_{i} \in \left\{ - 3; - 4; - 5;...; - 2021 \right\} ta có \lim_{x \rightarrow {x_{i}}^{+}}g(x) = + \infty;\lim_{x \rightarrow {x_{i}}^{-}}g(x) = - \infty.

    Ta có đồ thị hàm số y = g(x) có 2019 tiệm cận đứng.

    +) Ta có:

    \lim_{x \rightarrow + \infty}\frac{\sqrt[k]{f^{k}(x) + k}}{f(x) + k} = 1 \Rightarrow \lim_{x \rightarrow + \infty}g(x) = 2020 ;

    \left\{ \begin{matrix} \lim_{x \rightarrow - \infty}\frac{\sqrt[k]{f^{k}(x) + k}}{f(x) + k} = 1;k \in 2n,\forall n \in \mathbb{N}^{+} \\ \lim_{x \rightarrow - \infty}\frac{\sqrt[k]{f^{k}(x) + k}}{f(x) + k} = - 1;k \in 2n + 1;\forall n \in \mathbb{N}^{+} \end{matrix} \right.

    \Rightarrow \lim_{x \rightarrow - \infty}g(x) = 2

    => Đồ thị hàm số có 2 tiệm cận ngang

    Vây tổng số tiệm cận là 2021.

  • Câu 5: Vận dụng cao
    Chọn đáp án chính xác

    Cho hàm số f(x) liên tục trên\mathbb{R}, \lim_{x \rightarrow + \infty}f(x) = + \infty, \lim_{x \rightarrow - \infty}f(x) = - \infty. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m trong ( - 2019\ ;\ 2019) để đồ thị hàm số g(x) = \frac{4036f(x) + 2}{\sqrt{mf^{2}(x) + 3}} có hai đường tiệm cận ngang.

    Hướng dẫn:

    -Với m < 0 ta có \lim_{x \rightarrow \pm \infty}\left\lbrack mf^{2}(x) + 3 \right\rbrack = - \infty, tức \lim_{x \rightarrow \pm \infty}g(x) không tồn tại. Đồ thị hàm số g(x) không có tiệm cận ngang.

    -Với m = 0 thì \lim_{x \rightarrow \pm \infty}g(x) = \lim_{x \rightarrow \pm \infty}\left( 4036f(x) + 2 \right) = \pm \infty. Đồ thị hàm số g(x) không có tiệm cận ngang.

    -Với m > 0, tập xác định của hàm số g(x) là D\mathbb{= R}.

    Khi đó:

    \lim_{x \rightarrow + \infty}g(x) =\lim_{x \rightarrow + \infty}\frac{f(x)\left( 4036 + \frac{2}{f(x)}\right)}{f(x)\sqrt{m + \frac{3}{f^{2}(x)}}}= \lim_{x \rightarrow +\infty}\frac{4036 + \frac{2}{f(x)}}{\sqrt{m + \frac{3}{f^{2}(x)}}} =\frac{4036}{\sqrt{m}}.

    \lim_{x \rightarrow - \infty}g(x) = \lim_{x \rightarrow - \infty}\frac{f(x)\left( 4036 + \frac{2}{f(x)} \right)}{- f(x)\sqrt{m + \frac{3}{f^{2}(x)}}}= \lim_{x \rightarrow - \infty}\frac{4036 + \frac{2}{f(x)}}{- \sqrt{m + \frac{3}{f^{2}(x)}}} = - \frac{4036}{\sqrt{m}}

    Đồ thị hàm số g(x) có 2 tiệm cận ngang là hai đường thẳng y = \frac{4036}{\sqrt{m}}, y = - \frac{4036}{\sqrt{m}}.

    Từ tất cả ở trên ta có \left\{ \begin{matrix} m > 0 \\ m \in ( - 2019\ ;\ 2019) \\ m\mathbb{\in Z} \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow m \in \left\{ 1\ ;\ 2\ ;\ 3\ ;\ ...\ ;\ 2018 \right\}.

    Vậy, có 2018 giá trị nguyên của m.

  • Câu 6: Vận dụng cao
    Tính tổng các phần tử tập S

    Cho hàm số f(x) liên tục trên \mathbb{R} có \lim_{x \rightarrow - \infty}f(x) = \lim_{x \rightarrow + \infty}f(x) = 2. Gọi S là tập hợp các giá trị của tham số m để đồ thị của hàm số g(x) = \frac{(x - 1)\left\lbrack f^{2}(x) + 3 \right\rbrack}{x^{2} + 2(m - 1)x + m^{2} - 2} có tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang bằng 2. Tính tổng các phần tử của S.

    Hướng dẫn:

    Do \lim_{x \rightarrow + \infty}g(x) = \lim_{x \rightarrow + \infty}\frac{(x - 1)\left\lbrack f^{2}(x) + 3 \right\rbrack}{x^{2} + 2(m - 1)x + m^{2} - 2} = 0, \lim_{x \rightarrow - \infty}g(x) = \lim_{x \rightarrow - \infty}\frac{(x - 1)\left\lbrack f^{2}(x) + 3 \right\rbrack}{x^{2} + 2(m - 1)x + m^{2} - 2} = 0 nên đồ thị hàm số g(x) có một tiệm cận ngang là đường thẳng y = 0.

    Đặt h(x) = x^{2} + 2(m - 1)x + m^{2} - 2.

    Yêu cầu của bài toán được thỏa mãn khi và chỉ khi đồ thị hàm số g(x) có đúng một tiệm cận đứng, điều này xảy ra khi và chỉ khi h(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt trong đó có 1 nghiệm x = 1 hoặc h(x) = 0 có nghiệm kép.

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \left\{ \begin{matrix} \Delta' > 0 \\ h(1) = 0 \end{matrix} \right.\ \\ \Delta' = 0 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \left\{ \begin{matrix} (m - 1)^{2} - \left( m^{2} - 2 \right) > 0 \\ 1 + 2(m - 1) + m^{2} - 2 = 0 \end{matrix} \right.\ \\ m = \frac{3}{2} \end{matrix} \right.

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \left\{ \begin{matrix} m < \frac{3}{2} \\ m = 1\ ;\ m = - 3 \end{matrix} \right.\ \\ m = \frac{3}{2} \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = 1 \\ m = - 3 \\ m = \frac{3}{2} \end{matrix} \right..

    Vậy, tổng ác phần tử của S là - \frac{1}{2}.

  • Câu 7: Vận dụng
    Chọn khẳng định đúng

    Cho hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng \left( \frac{1}{2}; + \infty \right) và có \lim_{x \rightarrow 1^{+}}f(x) = + \infty \lim_{x \rightarrow + \infty}f(x) = 3. Xét hàm số g(x) = \frac{3f(x) - 1}{2f^{2}(x) - f(x)}.

    Khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng?

    Hướng dẫn:

    Ta có g(x) = \frac{3f(x) - 1}{2f^{2}(x) - f(x)} = \frac{1}{f(x)} + \frac{1}{2f(x) - 1}

    \lim_{x \rightarrow 1^{+}}g(x) = \lim_{x \rightarrow 1^{+}}\left( \frac{1}{f(x)} + \frac{1}{2f(x) - 1} \right) = 0 nên đồ thị không nhận x = 1 là tiệm cận đứng.

    \lim_{x \rightarrow + \infty}g(x) =\lim_{x \rightarrow - \infty}g(x)= \frac{1}{f(x)} + \frac{1}{2f(x) - 1}= \frac{1}{3} + \frac{1}{5} = \frac{8}{15} nên đồ thị có tiệm cận ngang là đường thẳng y = \frac{8}{15}.

  • Câu 8: Vận dụng
    Tìm số nguyên dương m thỏa mãn điều kiện

    Cho hàm số f(x) đồng biến trên \mathbb{R}^{} thỏa mãn \lim_{x \rightarrow - \infty}f(x) = 1 và \lim_{x \rightarrow + \infty}f(x) = + \infty. Có bao nhiêu số nguyên dương m để đồ thị hàm số g(x) = \frac{\left( \sqrt{3x + 1} - 2 \right)f(x)}{\left( x^{2} - 4x + m \right)\sqrt{f^{2}(x) + 1}} có đúng 2 đường tiệm cận.

    Hướng dẫn:

    Điều kiện xác định của hàm số g(x): x \geq - \frac{1}{3};x^{2} - 4x + m \neq 0.

    Vì x \geq - \frac{1}{3} nên không tồn tại giới hạn \lim_{x \rightarrow - \infty}g(x).

    Vì hàm số f(x) đồng biến trên \mathbb{R} và \lim_{x \rightarrow - \infty}f(x) = 1 \Rightarrow f(x) > 1;\mathbb{\forall \in R}.

    Ta có: \lim_{x \rightarrow + \infty}g(x) = \lim_{x \rightarrow + \infty}\frac{f(x).\left( \sqrt{3x + 1} - 2 \right)}{\sqrt{f^{2}(x) + 1}.\left( x^{2} - 4x + m \right)}

    = \lim_{x \rightarrow + \infty}\frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{f^{2}(x)}}} = \lim_{x \rightarrow + \infty}\frac{\sqrt{\frac{3}{x^{3}} + \frac{1}{x^{4}}} - \frac{2}{x^{2}}}{1 - \frac{4}{x} + \frac{m}{x^{2}}} = 1.0 = 0

    Đường thẳng y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số g(x).

    Ta có g(x) = \frac{\left( \sqrt{3x + 1} - 2 \right)f(x)}{\left( x^{2} - 4x + m \right)\sqrt{f^{2}(x) + 1}}

    = \frac{(3x - 3)f(x)}{\left( x^{2} - 4x + m \right).\left( \sqrt{3x + 1} + 2 \right)\sqrt{f^{2}(x) + 1}}

    Đồ thị hàm số g(x) có đúng hai tiệm cận khi và chỉ khỉ nó có đúng một tiệm cận đứng, tức là phương trình x^{2} - 4x + m có nghiệm kép x_{0};x_{0} \geq - \frac{1}{3} hoặc có hai nghiệm phân biệt x_{1};x_{2} trong đó x_{1} = 1;x_{2} \neq 1;x_{2} \geq - \frac{1}{3} hoặc có hai nghiệm phân biệt x_{3};x_{4} trong đó x_{3} < - \frac{1}{3};x_{4} \geq - \frac{1}{3};x_{4} \neq 1.

    Xét bảng biến thiên của hàm số h(x) = - x^{2} + 4x:

    Ta có x^{2} - 4x + m = 0 \Leftrightarrow m = - x^{2} + 4x\ \ (1) .

    Từ bảng biến thiên suy ra \left\lbrack \begin{matrix} m = 4 \\ m = 3 \\ m < - \frac{13}{9} \end{matrix} \right.. Do m là số nguyên dương nên m \in \left\{ 3;4 \right\}.

  • Câu 9: Vận dụng
    Chọn đáp án đúng

    Cho hàm số g(x) = \frac{2019}{h(x) - m^{2} - m} với h(x) = mx^{4} +nx^{3} + px^{2} + qx;\left( m,n,p,q\mathbb{\in R} \right);h(x) =0. Hàm số y = h'(x) có đồ thị như hình vẽ bên dưới:

    Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để đồ thị hàm số g(x) có 2 tiệm cận đứng?

    Hướng dẫn:

    Từ đồ thị suy ra h^{'(x)} = m(x +1)(4x - 5)(x - 3)= m\left( 4x^{3} - 13x^{2} - 2x + 15 \right) và m < 0.

    Ta được h(x) = m\left( x^{4} - \frac{13}{3}x^{3} - x^{2} + 15x \right).

    Đồ thị g(x) có 2 đường tiệm cận đứng khi và chỉ khi phương trình h(x)m = m^{2} - m có 2 nghiệm phân biệt.

    \Leftrightarrow f(x) = x^{4} - \frac{13}{3}x^{3} - x^{2} + 15x = m + 1 có 2 nghiệm phân biệt.

    Ta có bảng biến thiên của f(x).

    Do đó m + 1 \in \left( \frac{- 32}{3};0 \right) \Leftrightarrow m \in \left( \frac{- 35}{3}; - 1 \right). Vậy có 10 số nguyên m.

  • Câu 10: Vận dụng
    Tìm số đường tiệm cận của đồ thị hàm số

    Cho y = f(x) là hàm số bậc ba, liên tục trên \mathbb{R}.

    Đồ thị hàm số g(x) = \frac{1}{f\left( x^{2} + 3x \right) - 1} có nhiều nhất bao nhiêu đường tiệm cận.

    Hướng dẫn:

    Đặt t = x^{3} + 3x \Rightarrow t' = 3x^{2} + 3 > 0;\forall x\mathbb{\in R}.

    Ta có bảng biến thiên:

    Xét f\left( x^{3} + 3x \right) - 1 = 0. Vì y = f(x) là hàm số bậc ba nên phương trình f(t) = 1 có nhiều nhất 3 nghiệm t.

    Từ bảng biến thiên ta suy ra với mỗi giá trị t có đúng một giá trị x.

    Khi đó phương trình f\left( x^{3} + 3x \right) = 1 có nhiều nhất nghiệm x.

    Do đó đồ thị hàm số y = g(x) có nhiều nhất 3 tiệm cận đứng.

    Xét \lim_{x \rightarrow \pm \infty}g(x) = \lim_{x \rightarrow \pm \infty}\frac{1}{f\left( x^{3} + 3x \right) - 1} = \lim_{t \rightarrow \pm \infty}\frac{1}{f(t) - 1} = 0 (vì \lim_{t \rightarrow \pm \infty}f(t) = \pm \infty).

    Suy ra đồ thị hàm số y = g(x) có tiệm cận ngang là y = 0.

    Vậy đồ thị hàm số y = g(x) có nhiều nhất 4 đường tiệm cận.

  • Câu 11: Vận dụng
    Chọn khẳng định đúng

    Cho hàm số y = f(x) xác định trên \mathbb{R}, thỏa mãn \lim_{x \rightarrow - \infty}f(x) = - \infty,\lim_{x \rightarrow + \infty}f(x) = 1 và f(x) < 1, \forall x\mathbb{\in R} . Xét hàm số g(x) = \frac{2f^{3}(x) + f^{2}(x) - 2f(x) - 1}{f^{3}(x) - 4f^{2}(x) + 5f(x) - 2}. Khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng?

    Hướng dẫn:

    Tập xác định của hàm số g(x) là \mathbb{R}.

    \lim_{x \rightarrow - \infty}g(x) =\lim_{x \rightarrow - \infty}\frac{2f^{3}(x) + f^{2}(x) - 2f(x) -1}{f^{3}(x) - 4f^{2}(x) + 5f(x) - 2}

    = \lim_{x \rightarrow - \infty}\frac{2 + \frac{1}{f(x)} - \frac{2}{f^{2}(x)} - \frac{1}{f^{3}(x)}}{1 - \frac{4}{f(x)} + \frac{5}{f^{2}(x)} - \frac{2}{f^{3}(x)}} = 2 vì \lim_{x \rightarrow - \infty}f(x) = - \infty.

    => Đường thẳng y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số hàm số g(x).

    \lim_{x \rightarrow + \infty}g(x) = \lim_{x \rightarrow + \infty}\frac{2f^{3}(x) + f^{2}(x) - 2f(x) - 1}{f^{3}(x) - 4f^{2}(x) + 5f(x) - 2}

    = \lim_{x \rightarrow + \infty}\frac{\left\lbrack 2f(x) + 1 \right\rbrack\left\lbrack f(x) + 1 \right\rbrack\left\lbrack f(x) - 1 \right\rbrack}{\left\lbrack f(x) + 1 \right\rbrack^{2}\left\lbrack f(x) - 2 \right\rbrack}

    = \lim_{x \rightarrow + \infty}\frac{\left\lbrack 2f(x) + 1 \right\rbrack\left\lbrack f(x) + 1 \right\rbrack}{\left\lbrack f(x) + 1 \right\rbrack\left\lbrack f(x) - 2 \right\rbrack} = + \infty vì \lim_{x \rightarrow + \infty}f(x) = 1 và f(x) < 1;\forall x\mathbb{\in R}.

    Vậy đồ thị hàm số hàm số g(x) chỉ có một đường tiệm cận ngang là y = 2.

  • Câu 12: Vận dụng cao
    Xác định số tiệm cận đúng của hàm số

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn \lbrack - 3;3\rbrack và đồ thị hàm số y = f'(x) như hình vẽ. Đặt h(x) = \frac{3}{2f(x) + x^{2} + 4}. Biết rằng f(1) = - 24. Hỏi trên đoạn \lbrack - 3;3\rbrack đồ thị hàm số y = h(x) có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?

    Hướng dẫn:

    Xét hàm số g(x) = 2f(x) + x^{2} + 4

    \Rightarrow g'(x) = 2.\left( f'(x) + x \right) = 0

    \Rightarrow f'(x) = - x \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - 3 \\ x = 1 \\ x = 3 \end{matrix} \right.

    Lập bảng biến thiên của g(x) ta được:

    Gọi a là nghiệm của phương trình f'(x) = 0. Ta có:

    \int_{- 3}^{a}\left| f'(x) \right|dx < \int_{a}^{3}\left| f'(x) \right|dx

    \Leftrightarrow f(a) - f( - 3) < - \left( f(3) - f(a) \right)

    \Leftrightarrow f( - 3) > f(3) \Leftrightarrow g( - 3) > g(3)

    Lại có: \int_{1}^{3}{g'(x)}dx < 4 \Leftrightarrow g(3) - g(1) < 4

    \Leftrightarrow g(3) < g(1) + 4 \Leftrightarrow g(3) < - 39 \Leftrightarrow g(3) < 0

    S_{ABCD} là diện tích hình chữ nhật giới hạn bởi 4 đường thẳng: x = - 3;x = 1;y = - 5;y = 3.

    Mặt khác: \int_{- 3}^{1}\left( - g^{'(x)} \right)dx < S_{ABCD} = 32

    \Leftrightarrow g( - 3) - g(1) < 32 \Leftrightarrow g( - 3) < - 11

    Do đó phương trình g(x) = 0 vô nghiệm, vậy đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cân đứng.

  • Câu 13: Vận dụng
    Chọn đáp án thích hợp

    Cho hàm số y = f(x) là hàm số bậc 3. Đồ thị hàm số y = f'(x) như hình vẽ vàf( - 1) < 20

    Giá trị của m đề đồ thị hàm số g(x) = \frac{f(x) - 20}{f(x) - m} có 4 tiệm cận là

    Hướng dẫn:

    Ta có bảng biến thiên

    Description: geogebra-export

    ĐK: f(x) \neq m

    Nếu m \neq 20 thì đồ thị hàm số không có tiệm cận.

    Nếu m \neq 20 thì \lim_{x \rightarrow \pm \infty}\frac{f(x) - 20}{f(x) - m} = 1 \Rightarrow Đường thẳng y = 1 là TCN của đồ thị hàm số.

    Phương trình f(x) = 20 có một nghiệm x = a > 3 vì f( - 1) < 20.

    Suy ra đồ thị hàm số g(x) có 4 tiệm cận khi phương trình f(x) = m có 3 nghiệm phân biệt khác a.

    Suy ra f(3) < m < f( - 1).

  • Câu 14: Vận dụng cao
    Tìm m để đồ thị hàm số có 4 tiệm cận đứng

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên \mathbb{R} và đồ thị hàm số y = f'(x) như hình vẽ sau:

    Xét hàm số y = \frac{1}{f(x) - \frac{x^{2}}{2}}. Đặt g(x) = f(x) - \frac{x^{2}}{2}, tìm điều kiện để đồ thị hàm số y = \frac{1}{f(x) - \frac{x^{2}}{2}} có 4 đường tiệm cận đứng?

    Hướng dẫn:

    Đồ thị hàm số y = \frac{1}{f(x) - \frac{x^{2}}{2}} có 4 đường tiệm cận đứng => Phương trình f(x) - \frac{x^{2}}{2} = 0 phải có 4 nghiệm phân biệt \Leftrightarrow Đồ thị hàm số g(x) = f(x) - \frac{x^{2}}{2} cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt.

    Ta có: g'(x) = f'(x) - x.

    \left\{ \begin{matrix} g'(0) = f'(0) - 0 = 0 \\ g'(1) = f'(1) - 1 = 0 \\ g'( - 2) = f'( - 2) + 2 = 0 \end{matrix} \right..

    Từ đồ thị hàm số y = f'(x) suy ra

    f'(x) < 0;\forall x \in (0;1) \cup ( - \infty; - 2).

    \Rightarrow g'(x) < 0;\forall x \in (0;1) \cup ( - \infty; - 2)

    f'(x) > x;\forall x \in (1; + \infty) \cup ( - 2;0)

    \Rightarrow g'(x) > 0;\forall x \in (1; + \infty) \cup ( - 2;0).

    Bảng biến thiên của hàm sốy = g(x).

    Từ bảng biến thiên suy ra đồ thị hàm số y = g(x) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} g(0) > 0 \\ g(1) < 0 \\ g(1).g( - 2) > 0 \end{matrix} \right..

  • Câu 15: Vận dụng
    Chọn đáp án chính xác

    Cho hàm số y = f(x) liên tục trên \mathbb{R} và y = f'(x) có bảng biến thiên như sau.

    Đồ thị hàm số g(x) = \frac{2020}{f(x) - m} có nhiều nhất bao nhiêu đường tiệm cận đứng?

    Hướng dẫn:

    Để đồ thị hàm số g(x) = \frac{2020}{f(x) - m} có đường tiệm cận đứng thì phương trình f(x) - m = 0 phải có nghiệm.

    Từ bbt của hàm số y = f'(x) suy ra tồn tại a;b sao cho \left\{ \begin{matrix} - 1 < a < 1 < b \\ f'(a) = f'(b) = 0 \end{matrix} \right.

    Từ đó ta có bảng biến thiên của hàm số y = f(x) như sau

    Suy ra phương trình f(x) - m = 0 có nhiều nhất là 4 nghiệm phân biệt.

    Vậy đồ thị hàm số g(x) = \frac{2020}{f(x) - m} có nhiều nhất 4 đường tiệm cận đứng.

  • Câu 16: Vận dụng cao
    Chọn đáp án đúng

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn \lbrack - 3;3\rbrack và đồ thị hàm số y = f'(x) như hình vẽ. Đặt h(x) = \frac{3}{2f(x) + x^{2} + 4}. Biết rằng f(1) = - 24. Hỏi trên đoạn \lbrack - 3;3\rbrack đồ thị hàm số y = h(x) có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?

    Hướng dẫn:

    Xét hàm số g(x) = 2f(x) + x^{2} + 4

    \Rightarrow g'(x) = 2.\left( f'(x) + x \right) = 0

    \Rightarrow f'(x) = - x \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - 3 \\ x = 1 \\ x = 3 \end{matrix} \right.

    Lập bảng biến thiên của g(x) ta được:

    Gọi a là nghiệm của phương trình f'(x) = 0. Ta có:

    \int_{- 3}^{a}\left| f'(x) \right|dx < \int_{a}^{3}\left| f'(x) \right|dx

    \Leftrightarrow f(a) - f( - 3) < - \left( f(3) - f(a) \right)

    \Leftrightarrow f( - 3) > f(3) \Leftrightarrow g( - 3) > g(3)

    Lại có: \int_{1}^{3}{g'(x)}dx < 4 \Leftrightarrow g(3) - g(1) < 4

    \Leftrightarrow g(3) < g(1) + 4 \Leftrightarrow g(3) < - 39 \Leftrightarrow g(3) < 0

    S_{ABCD} là diện tích hình chữ nhật giới hạn bởi 4 đường thẳng: x = - 3;x = 1;y = - 5;y = 3.

    Mặt khác: \int_{- 3}^{1}\left( - g^{'(x)} \right)dx < S_{ABCD} = 32

    \Leftrightarrow g( - 3) - g(1) < 32 \Leftrightarrow g( - 3) < - 11

    Do đó phương trình g(x) = 0 vô nghiệm, vậy đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cân đứng.

  • Câu 17: Vận dụng cao
    Chọn đáp án đúng

    Cho hàm số y = f(x) liên tục trên \mathbb{R} và \lim_{x \rightarrow + \infty}f(x) = + \infty;\lim_{x \rightarrow - \infty}f(x) = - \infty. Trên đoạn

    \lbrack - 2020;2020\rbrack có bao nhiêu số nguyên m để đồ thị hàm số g(x) = \frac{f(x) + 2}{\sqrt{(m + 1)f^{2}(x) + 2020}} có :

    hai tiệm cận ngang.

    Hướng dẫn:

    Nếu m + 1 < 0 thì - \sqrt{- \frac{2020}{m + 1}} < f(x) < \sqrt{- \frac{2020}{m + 1}};\forall x\mathbb{\in R}, điều này mâu thuẫn với giả thiết.

    Nếu m + 1 = 0 thì \lim_{x \rightarrow \pm \infty}g(x) = \lim_{x \rightarrow \pm \infty}\frac{f(x) + 2}{\sqrt{2020}} = \pm \infty. Tức đồ thị hàm số g(x) không có tiệm cận ngang.

    Nếu m + 1 > 0 \Leftrightarrow m > - 1 thì

    \lim_{x \rightarrow + \infty}\frac{f(x) + 2}{\sqrt{(m + 1)f^{2}(x) + 2020}} = \lim_{x \rightarrow + \infty}\frac{f(x)\left\lbrack 1 + \frac{2}{f(x)} \right\rbrack}{f(x)\sqrt{(m + 1) + \frac{2020}{f(x)}}}

    = \lim_{x \rightarrow + \infty}\frac{1 + \frac{2}{f(x)}}{\sqrt{(m + 1) + \frac{2020}{f(x)}}} = \frac{1}{\sqrt{m + 1}}.

    Do đó đường thẳng y = \frac{1}{\sqrt{m + 1}} là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số,

    Và \lim_{x \rightarrow -\infty}\frac{f(x) + 2}{\sqrt{(m + 1)f^{2}(x) + 2020}}= \lim_{x\rightarrow - \infty}\frac{f(x)\left\lbrack 1 + \frac{2}{f(x)}\right\rbrack}{- f(x)\sqrt{(m + 1) + \frac{2020}{f(x)}}}

    = \lim_{x \rightarrow - \infty}\frac{1 + \frac{2}{f(x)}}{- \sqrt{(m + 1) + \frac{2020}{f(x)}}} = - \frac{1}{\sqrt{m + 1}}

    Do đó đường thẳng y = - \frac{1}{\sqrt{m + 1}} là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

    Vậy trên đoạn \lbrack - 2020;2020\rbrack có 2021 số nguyên m thỏa mãn.

  • Câu 18: Vận dụng
    Xác định số tiệm cận của đồ thị hàm số

    Cho hàm sô y = f(x) = \sqrt{x^{2} + 2x + 3}. Hàm số y = g(x) = f\left( \frac{1}{f(x)} \right) có bao nhiêu tiệm cận?

    Hướng dẫn:

    +) Hàm số y = f(x) có tập xác định D\mathbb{= R}

    +) Ham số y = g(x) = f\left( \frac{1}{f(x)} \right) = \sqrt{\frac{1}{x^{2} + 2x + 3} + \frac{2}{\sqrt{x^{2} + 2x + 3}} + 3} có tập xác định: D\mathbb{= R}

    Ta có \lim_{x \rightarrow - \infty}g(x) = \lim_{x \rightarrow + \infty}g(x) = \sqrt{3}

    Vây có 1 tiệm cận ngang.

  • Câu 19: Vận dụng
    Chọn đáp án đúng

    Cho hàm số y = f(x) xác định, liên tục trên \mathbb{R} và có \lim_{x \rightarrow + \infty}f(x) = + \infty;\lim_{x \rightarrow - \infty}f(x) = + \infty. Phương trình f(x) = \frac{1}{2} có ba nghiệm phân biệt. Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = \frac{1}{2f(x) - 1} là:

    Hướng dẫn:

    Đặt h(x) = \frac{1}{2f(x) - 1}.

    *) Tiệm cận ngang:

    Ta có: \lim_{x \rightarrow + \infty}h(x) = \lim_{x \rightarrow + \infty}\frac{1}{2f(x) - 1} = 0.

    \lim_{x \rightarrow - \infty}h(x) = \lim_{x \rightarrow - \infty}\frac{1}{2f(x) - 1} = 0.

    Suy ra đồ thị hàm số có một đường tiệm cận ngang y = 0.

    *) Tiệm cận đứng:

    Xét phương trình: 2f(x) - 1 = 0 \Leftrightarrow f(x) = \frac{1}{2}.

    Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình f(x) = \frac{1}{2} có ba nghiệm phân biệt a;b;c thỏa mãn a < b < c.

    Đồng thời \lim_{x \rightarrow a^{+}}h(x) = \lim_{x \rightarrow b^{-}}h(x) = \lim_{x \rightarrow c^{+}}h(x) = + \infty nên đồ thị hàm số y = h(x) có ba đường tiệm cận đứng là x = a;x = b;x = c.

    Vậy tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = h(x) là bốn.

0/19
19 câu:
Kiểm tra Kiểm tra lại Bỏ qua Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:
  • Nhận biết (47%):
    2/3
  • Thông hiểu (53%):
    2/3
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu làm đúng: 0
  • Số câu làm sai: 0
  • Điểm số: 0
  • Điểm thưởng: 0
Làm lại
Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé!
Mua ngay Đổi điểm
Tải file làm trên giấy
1
14 Bài viết đã được lưu
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Tìm bài trong mục này