Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

Đóng

Điểm danh hàng ngày

Hôm nay +3
Ngày 2 +3
Ngày 3 +3
Ngày 4 +3
Ngày 5 +3
Ngày 6 +3
Ngày 7 +5

Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm! Đăng nhập ngay để nhận điểm

Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169

VnDoc.com

Lập phương trình mặt phẳng để khoảng cách lớn nhất, nhỏ nhất

Cực trị trong không gian Oxyz

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 12

Môn: Toán

Loại File: Word + PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Bài tập cực trị trong không gian Oxyz lớp 12 có lời giải

Bài viết Lập phương trình mặt phẳng để khoảng cách lớn nhất, nhỏ nhất – Cực trị trong không gian Oxyz sẽ hướng dẫn quy trình tư duy từ hình học sang đại số, phân tích điều kiện ràng buộc và cung cấp bài tập chọn lọc bám sát cấu trúc đề thi do Bộ Giáo dục và Đào tạo Việt Nam công bố. Đây là chuyên đề giúp học sinh lớp 12 nâng cao kỹ năng xử lý bài toán khoảng cách và tối ưu điểm số trong phòng thi.

Bài tập 1. Lập phương trình mặt phẳng biết đi qua đường thẳng $\Delta$ và khoảng cách từ $A \notin \Delta$ đến lớn nhất?

Hướng dẫn giải

Gọi lần lượt là hình chiếu của lên $\Delta$ và , khi đó ta có:

$d\left( A;(P) \right) = AH \leq AK$ , mà không đổi. Do đó $d\left( A;(P) \right)$ lớn nhất $\Leftrightarrow K \equiv H$

Hay là mặt phẳng đi qua , nhận $\overrightarrow{AK}$ làm VTPT.

Bài tập 2. Trong không gian với hệ toạ độ đề các vuông góc cho và đường thẳng $d:\frac{x - 1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z - 2}{2}$ . Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của lên và viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng sao cho khoảng cách từ đến lớn nhất.

Hướng dẫn giải

Đường thẳng có $\overrightarrow{u_{d}} = (2;1;2)$ là VTCP.

Gọi H là hình chiếu của A lên $d \Rightarrow H(1 + 2t;t;2 + 2t)$

$\Rightarrow \overrightarrow{AH} = (2t - 1;t - 5;2t - 1)$ .

Do $AH\bot d \Rightarrow \overrightarrow{AH}.\overrightarrow{u_{d}} = 0$

$\Rightarrow 2(2t - 1) + t - 5 + 2(2t - 1) = 0$

$\Leftrightarrow t = 1 \Rightarrow H(3;1;4)$ .

Gọi là hình chiếu của lên .

Khi đó, ta có: $AH' \leq AH \Rightarrow d\left( A;(P) \right)$ lớn nhất $\Leftrightarrow H' \equiv H \Leftrightarrow (P)\bot AH$

Suy ra $\overrightarrow{AH} = (1; - 4;1)$ là VTPT của và đi qua H.

Vậy phương trình .

Bài tập 3. Lập phương trình mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua điểm và cắt các trục tọa độ tại các điểm (khác gốc tọa độ) sao cho khoảng cách từ gốc tọa độ đến mặt phẳng $(\alpha)$ là lớn nhất.

Hướng dẫn giải

Giả sử mặt phẳng $(\alpha)$ cắt các trục tọa độ tại các điểm khác gốc tọa độ là

với $a;b;c \neq 0$

Phương trình mặt phẳng $(\alpha)$ có dạng $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$

Mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua điểm nên $\frac{1}{a} + \frac{9}{b} + \frac{4}{c} = 1\ \ \ (1)$

Cách 1:

Ta có: $d\left( O;(\alpha) \right) = \frac{| - 1|}{\sqrt{\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}}}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}}}}$

Bài toán trở thành, tìm giá trị nhỏ nhất của $T = \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}}$ với các số thực

$a;b;c \neq 0$ thỏa mãn $\frac{1}{a} + \frac{9}{b} + \frac{4}{c} = 1\ \ \ (1)$

Áp dụng bđt Bunhiacopski ta có: $\left( 1\frac{1}{a} + 9.\frac{1}{b} + 4.\frac{1}{c} \right)^{2} \leq \left( 1^{2} + 9^{2} + 4^{2} \right)\left( \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} \right)$

Nên suy ra $T \geq \frac{1}{98}$ . Dấu đẳng thức xảy ra khi $\left\{ \begin{matrix} 1:\frac{1}{a} + 9:\frac{1}{b} = 4:\frac{1}{c} \\ \frac{1}{a} + \frac{9}{b} + \frac{4}{c} = 1\ \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow a = 9b = 4c = 98$

Phương trình mặt phẳng $(\alpha)$ cần tìm là

Cách 2:

Gọi là hình chiếu của trên mặt phẳng $(\alpha)$ .

Vì mặt phẳng $(\alpha)$ luôn đi qua điểm cố định nên $d\left( O;(\alpha) \right) = OH \leq OM = \sqrt{98}$

Dấu đẳng thức xảy ra khi $H \equiv M$ khi đó $(\alpha)$ là mặt phẳng đi qua M và có véc tơ pháp tuyến là $\overrightarrow{OM} = (1;9;4)$ nên phương trình $(\alpha)$ là

$\begin{matrix} 1(x - 1) + 9(y - 9) + 4(z - 4) = 0 \\ \Leftrightarrow x + 9y + 4z - 98 = 0 \end{matrix}$

🔍 Để thuận tiện cho việc học tập và lưu trữ, mời bạn tải tài liệu tham khảo bên dưới.

------------------------------------------------------------

Dạng toán lập phương trình mặt phẳng để khoảng cách lớn nhất, nhỏ nhất là sự kết hợp giữa tư duy hình học và kỹ năng biến đổi đại số trong không gian Oxyz. Khi nắm vững bản chất véc-tơ pháp tuyến và công thức khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, học sinh có thể chuyển bài toán hình học về dạng tối ưu quen thuộc để xử lý nhanh và chính xác.

Luyện tập mở rộng

Xem thử Tải về

Chọn file muốn tải về: