Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Lớp 12 Toán 12 Chuyên đề Toán 12
Đóng
Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm
Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Tổng hợp câu hỏi trắc nghiệm tính đơn điệu của hàm ẩn Phần 1

Luyện thi THPT Quốc gia môn Toán

Bài tập trắc nghiệm hàm ẩn có đáp án chi tiết

Chuyên đề tính đơn điệu của hàm ẩn là dạng toán nâng cao trong Toán 12, thường xuất hiện trong đề luyện thi THPT Quốc gia môn Toán. Bài viết tổng hợp câu hỏi trắc nghiệm tính đơn điệu của hàm ẩn giúp học sinh rèn luyện tư duy và kỹ năng xử lý nhanh.

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao
  • Bài kiểm tra này bao gồm 20 câu
  • Điểm số bài kiểm tra: 20 điểm
  • Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
  • Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu
Bắt đầu!!
00:00:00
  • Câu 1: Vận dụng cao
    Tìm khoảng đồng biến của hàm số

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên \mathbb{R}. Biết đồ thị hàm số y = f'(x) như hình vẽ.

    Biết S là tập tất cả các giá trị nguyên của tham số m thoả mãn m \in ( - 2019;2019) sao cho hàm số g(x) = f(x - m) đồng biến trên khoảng ( - 2;0). Số phần tử của tập S là

    Hướng dẫn:

    Ta có g'(x) = f'(x - m).

    Suy ra g'(x) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x - m = - 1 \\ x - m = 2 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = m - 1 \\ x = m + 2 \end{matrix} \right..

    Do đó từ đồ thị hàm số y = f^{'(x)} suy ra g^{'(x)} > 0 \Leftrightarrow f^{'(x - m)} > 0

    \Leftrightarrow x - m > 2 \Leftrightarrow x > m + 2.

    Hàm số g(x) = f(x - m) đồng biến trên khoảng ( - 2;0) khi và chỉ khi g'(x) \geq 0,\forall x \in ( - 2;0) \Leftrightarrow m + 2 \leq - 2 \Leftrightarrow m \leq - 4.

    Mà tham số m \in ( - 2019;2019) và là giá trị nguyên thoả mãn m \leq - 4 nênm \in \left\{ - 2018; - 2017;...; - 5; - 4 \right\}. Vậy tập S có 2015 phần tử.

  • Câu 2: Vận dụng cao
    Xác định khoảng đồng biến của hàm số

    Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên \lbrack - 1\ ;\ 1\rbrack và thỏa f(1) = 0, \left( f'(x) \right)^{2} + 4f(x) = 8x^{2} + 16x - 8. Hàm số g(x) = f(x) - \frac{1}{3}x^{3} - 2x + 3 đồng biến trên khoảng nào?

    Hướng dẫn:

    Chọn f(x) = ax^{2} + bx + c(a \neq 0) (lý do: vế phải là hàm đa thức bậc hai).

    \Rightarrow f'(x) = 2ax + b.

    Ta có:

    \left( f'(x) \right)^{2} + 4f(x) = 8x^{2} + 16x - 8

    \Leftrightarrow (2ax + b)^{2} + 4\left( ax^{2} + bx + c \right) = 8x^{2} + 16x - 8

    \Leftrightarrow \left( 4a^{2} + 4a \right)x^{2} + (4ab + 4b)x + b^{2} + 4c = 8x^{2} + 16x - 8

    Đồng nhất 2 vế ta được:

    \left\{ \begin{matrix} 4a^{2} + 4a = 8 \\ 4ab + 4b = 16 \\ b^{2} + 4c = - 8 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 1 \\ b = 2 \\ c = - 3 \end{matrix} \right. hoặc \left\{ \begin{matrix} a = - 2 \\ b = - 4 \\ c = - 6 \end{matrix} \right..

    Do f(1) = 0 \Rightarrow a + b + c = 0 \Rightarrow a = 1, b = 2 và c = - 3.

    Vậy f(x) = x^{2} + 2x - 3 \Rightarrow g(x) = - \frac{1}{3}x^{3} + x^{2}

    \Rightarrow g^{'(x)} = - x^{2} + 2x

    \Rightarrow g'(x) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = 2 \end{matrix} \right.\ .

    Ta có bảng biến thiên

    Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (\ 0\ ;\ 2\ ).

  • Câu 3: Vận dụng cao
    Tính giá trị của biểu thức H

    Cho hàm số y = f(x) = ax^{3} + bx^{2} + cx + d;\left( a;b;c;d\mathbb{\in R};a \neq 0 \right) có đồ thị là (C). Biết rằng đồ thị (C) đi qua gốc tọa độ và có đồ thị hàm số y = f'(x) cho bởi hình vẽ

    Tính giá trị H = f(4) - f(2).

    Hướng dẫn:

    Do H = 64 là hàm số bậc ba nên f'(x) là hàm số bậc hai.

    Dựa vào đồ thị hàm số f'(x) thì f'(x) có dạng f'(x) = ax^{2} + 1 với f'(x) = ax^{2} + 1.

    Đồ thị đi qua điểm A(1;4) nên a = 3 vậy f'(x) = 3x^{2} + 1.

    Vậy H = f(4) - f(2) = \int_{2}^{4}{f'(x)dx} = \int_{2}^{4}{\left( 3x^{2} + 1 \right)dx} = 58.

  • Câu 4: Vận dụng cao
    Tìm khoảng nghịch biến của hàm số

    Cho hàm số y = f(x), hàm số f'(x) = x^{3} + ax^{2} + bx + c\left( a,b,c\mathbb{\in R} \right) có đồ thị như hình vẽ

    Hàm số g(x) = f\left( f'(x) \right) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

    Hướng dẫn:

    Vì các điểm ( - 1;0),(0;0),(1;0) thuộc đồ thị hàm số y = f'(x) nên ta có hệ:

    \left\{ \begin{matrix} - 1 + a - b + c = 0 \\ c = 0 \\ 1 + a + b + c = 0 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 0 \\ b = - 1 \\ c = 0 \end{matrix} \right.

    \Rightarrow f'(x) = x^{3} - x \Rightarrow f''(x) = 3x^{2} - 1

    Ta có:

    g(x) = f\left( f'(x) \right) \Rightarrow g'(x) = f'\left( f'(x) \right).f''(x)

    Xét g'(x) = 0 \Leftrightarrow g'(x) = f'\left( f'(x) \right).f''(x) = 0

    \Leftrightarrow f'\left( x^{3} - x \right)\left( 3x^{2} - 1 \right) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x^{3} - x = 0 \\ x^{3} - x = 1 \\ x^{3} - x = - 1 \\ 3x^{2} - 1 = 0 \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = \pm 1 \\ x = 0 \\ x = 1,325 \\ x = - 1,325 \\ x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3} \end{matrix} \right.

    Bảng biến thiên

    Dựa vào bảng biến thiên \Rightarrow g(x) nghịch biến trên ( - \infty; - 2)

  • Câu 5: Vận dụng
    Chọn đáp án đúng

    Cho hàm số f(x) có bảng xét dấu đạo hàm như sau

    Hàm số y = e^{3f(2 - x) + 1} + 3^{f(2 - x)} đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

    Hướng dẫn:

    Ta có :

    y' = - 3f'(2 - x).e^{3f(2 - x) + 1} - f'(2 - x).3^{f(2 - x)}.ln3

    = - f'(2 - x).\left( 3e^{3f(2 - x) + 1} + 3^{f(2 - x)}.ln3 \right).

    y' > 0\ \Leftrightarrow - f'(2 - x) > 0 \Leftrightarrow f'(2 - x) < 0

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 2 - x < - 1 \\ 1 < 2 - x < 4 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x > 3 \\ - 2 < x < 1 \end{matrix} \right..

  • Câu 6: Vận dụng cao
    Tìm khoảng đồng biến của hàm số

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên \mathbb{R} và có đồ thị hàm f'(x) như hình vẽ dưới đây. Hàm số g(x) = f\left( x^{2} - x \right) đồng biến trên khoảng nào?

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    g(x) = f\left( x^{2} - x \right) \Rightarrow g'(x) = (2x - 1)f'\left( x^{2} - x \right).

    g'(x) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 2x - 1 = 0 \\ f'\left( x^{2} - x \right) = 0 \end{matrix} \right.

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = \frac{1}{2} \\ x^{2} - x = 0 \\ x^{2} - x = 2 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = \frac{1}{2} \\ x = 0 \\ x = 1 \\ x = - 1 \\ x = 2 \end{matrix} \right..

    Từ đồ thị f^{'(x)} ta có f^{'\left( x^{2} - x \right)} > 0 \Leftrightarrow x^{2} - x > 2 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x > 2 \\ x < - 1 \end{matrix} \right.,

    Xét dấu g'(x):

    Từ bảng xét dấu ta có hàm số g(x) đồng biến trên khoảng \left( - 1;\frac{1}{2} \right).

  • Câu 7: Vận dụng cao
    Xác định số phần tử của tập nghiệm

    Cho hàm số f(x) = ax^{4} + bx^{3} + cx^{2} + dx + m, (với a,b,c,d,m \in \mathbb{R}). Hàm số y = f'(x) có đồ thị như hình vẽ bên dưới:

    C:\Users\User\AppData\Local\Temp\geogebra.png

    Tập nghiệm của phương trình f(x) = 48ax + m có số phần tử là:

    Hướng dẫn:

    Ta có f'(x) = 4ax^{3} + 3bx^{2} + 2cx + d (1).

    Dựa vào đồ thị ta có:

    f'(x) = a(x -1)(4x + 5)(x + 3)= 4ax^{3} + 13ax^{2} - 2ax - 15a (2) và a \neq 0.

    Từ (1) và (2) suy ra b = \frac{13}{3}a, c = - a và d = - 15a.

    Khi đó:

    f(x) = 48ax + m \Leftrightarrow ax^{4} + bx^{3} + cx^{2} + dx = 48ax

    \Leftrightarrow a\left( x^{4} + \frac{13}{3}x^{3} - x^{2} - 63x \right) = 0

    \Leftrightarrow 3x^{4} + 13x^{3} - 3x^{2} - 189x = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = 3 \end{matrix} \right..

    Vậy tập nghiệm của phương trình f(x) = 48ax + m là S = \left\{ 0;3 \right\}.

  • Câu 8: Vận dụng cao
    Chọn đáp án đúng

    Cho hàm số y = f(x) liên tục trên \mathbb{R}. Biết rằng hàm số y = f'(x) có đồ thị như hình vẽ bên dưới:

    Hàm số y = f\left( x^{2} - 5 \right) đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây?

    Hướng dẫn:

    Xét hàm số y = f\left( x^{2} - 5 \right)

    Ta có y' = 2x.f'\left( x^{2} - 5 \right)

    y' = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x^{2} - 5 = - 5 \\ x^{2} - 5 = - 2 \\ x^{2} - 5 = 3 \end{matrix} \right.

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x^{2} = 0 \\ x^{2} = 3 \\ x^{2} = 8 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0\ \ \ (nghiem\ boi\ 3) \\ x = \pm \sqrt{3} \\ x = \pm 2\sqrt{2} \end{matrix} \right..

    Ta lại có: khi x > 3 \Rightarrow f^{'(x)} > 0 suy ra: x^{2} - 5 > 3 \Rightarrow x > 2\sqrt{2}

    \Rightarrow f'\left( x^{2} - 5 \right) > 0 \Rightarrow 2x.f'\left( x^{2} - 5 \right) > 0

    Từ đó ta có bảng biến thiên:

    Từ bảng xét dấu ta có hàm số đồng biến trên các khoảng \left( - 2\sqrt{2};\ - \sqrt{3} \right);\left( 0;\sqrt{3} \right);\left( 2\sqrt{2}; + \infty \right).

    Mà \left( \frac{1}{2};\frac{3}{2} \right) \subset \left( 0;\sqrt{3} \right).

  • Câu 9: Vận dụng cao
    Tìm điểm thuộc đường thẳng

    Cho hai hàm số bậc hai y = f(x),y = g(x) thỏa mãn f(x) + 3f(2 - x) = 4x^{2} - 10x + 10;

    g(0) = 9;g(1) = 10;g( - 1) = 4. Biết rằng hai đồ thi hàm số y = f(x),y = g(x) cắt nhau tại hai điểm phân biệt là A,B. Đường thẳng dvuông góc với AB tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 36. Hỏi điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng d?

    Hướng dẫn:

    Gọi hàm số f(x) = ax^{2} + bx + c ta có:

    f(x) + 3f(2 - x) = 4x^{2} - 10x + 10

    \Leftrightarrow ax^{2} + bx + c + 3\left\lbrack a(2 - x)^{2} + b(2 - x) + c \right\rbrack = 4x^{2} - 10x + 10

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 1 \\ - 2b - 12a = - 10 \\ 12a + 6b + 4c = 10 \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 1 \\ b = - 1 \\ c = 1 \end{matrix} \right.\ \Rightarrow f(x) = x^{2} - x + 1.

    Gọi hàm số g(x) = mx^{2} + nx + p ta có g(0) = 9;g(1) = 10;g( - 1) = 4 ra hệ giải được

    m = - 2;n = 3;p = 9 \Rightarrow g(x) = - 2x^{2} + 3x + 9.

    Khi đó tọa độ hai điểm A, B thỏa mãn hệ phương trình:

    \left\{ \begin{matrix}y = x^{2} - x + 1 \\y = - 2x^{2} + 3x + 9\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}2y = 2x^{2} - 2x + 2 \\y = - 2x^{2} + 3x + 9\end{matrix} \right.\ \Rightarrow 3y = x + 11

    Do đó đường thẳng AB: y = \frac{1}{3}x + \frac{11}{3} \Rightarrow d:y = - 3x + k.

    Đường thẳng d cắt hai trục tọa độ tại E(0;k);F\left( \frac{k}{3};0 \right).

    Diện tích tam giác OEF là \frac{1}{2}|k|\left| \frac{k}{3} \right| = 6 \Leftrightarrow k = \pm 6

    Vậy phương trình đường thẳng dlà: d:y = - 3x + 6,\ y = - 3x - 6. 

  • Câu 10: Vận dụng cao
    Tìm khoảng đồng biến của hàm số

    Cho hàm số y = f(x) liên tục trên \mathbb{R} thỏa mãn f(1) < 0 và \left\lbrack f(x) - x \right\rbrack f(x) = x^{6} + 3x^{4} + 2x^{2}\ ,\ \ \forall x\mathbb{\in R}. Hàm số g(x) = f(x) + 2x^{2} đồng biến trên khoảng

    Hướng dẫn:

    Ta có

    \left\lbrack f(x) - x \right\rbrack f(x) = x^{6} + 3x^{4} + 2x^{2}

    \Leftrightarrow \left( f(x) \right)^{2} - x.f(x) - x^{6} - 3x^{4} - 2x^{2} = 0

    Đặt t = f(x) ta được phương trình t^{2} - x.t - x^{6} - 3x^{4} - 2x^{2} = 0

    Ta có:

    \Delta = x^{2} - 4\left( - x^{6} - 3x^{4} - 2x^{2} \right) = 4x^{6} + 12x^{4} + 9x^{2} = \left( 2x^{3} + 3x \right)^{2}

    Vậy \left\lbrack \begin{matrix} t = \frac{x + 2x^{3} + 3x}{2} = x^{3} + 2x \\ t = \frac{x - 2x^{3} - 3x}{2} = - x^{3} - x \end{matrix} \right.. Suy ra \left\lbrack \begin{matrix} f(x) = x^{3} + 2x \\ f(x) = - x^{3} - x \end{matrix} \right.

    Do f(1) < 0 nên f(x) = - x^{3} - x.

    Ta có g(x) = - x^{3} + 2x^{2} - x

    \Rightarrow g'(x) = - 3x^{2} + 4x - 1 > 0\ \ \Leftrightarrow \frac{1}{3} < x < 1.

  • Câu 11: Vận dụng cao
    Tìm khoảng đồng biến của hàm số

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) = x^{2}(x - 2028)(x - 2023)^{2}. Khi đó hàm số y = g(x) = f\left( x^{2} + 2019 \right) đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây?

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    y = g(x) = f\left( x^{2} + 2019 \right)

    \Rightarrow y' = g'(x) = \left( x^{2} + 2019 \right)'f'\left( x^{2} + 2019 \right) = 2x.f'\left( x^{2} + 2019 \right).

    Mặt khác f'(x) = x^{2}(x - 2028)(x - 2023)^{2}. Nên suy ra:

    y' = g'(x) = 2x.f'\left( x^{2} + 2019 \right)

    = 2x.\left( x^{2} + 2019 \right)^{2}\left( x^{2} + 2019 - 2038 \right)\left( x^{2} + 2019 - 2023 \right)^{2}

    = 2x.\left( x^{2} + 2019 \right)^{2}\left( x^{2} - 9 \right)\left( x^{2} - 4 \right)^{2}

    = 2x.\left( x^{2} + 2019 \right)^{2}(x - 3)(x + 3)(x - 2)^{2}(x + 2)^{2}.

    y' = 2x.\left( x^{2} + 2019 \right)^{2}(x - 3)(x + 3)(x - 2)^{2}(x + 2)^{2} = 0

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0\ (nghiem\ don) \\ x = 3\ (nghiem\ don) \\ x = - 3\ (nghiem\ don) \\ x = 2\ (nghiem\ boi\ 2) \\ x = - 2\ (nghiem\ boi\ 2) \end{matrix} \right.

    Ta có bảng biến thiên sau:

    Từ bảng biến thiên suy ra hàm số y = g(x) = f\left( x^{2} + 2019 \right) đồng biến trên khoảng ( - 3;0) và (3; + \infty).

  • Câu 12: Vận dụng cao
    Chọn đáp án đúng

    Cho hàm số y = f(x). Hàm số y = f'(x) có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số y = f\left( 1 + x^{2} \right) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

    Hướng dẫn:

    Ta có

    y' = \left\lbrack f\left( 1 + x^{2} \right) \right\rbrack' = 2x.f'\left( 1 + x^{2} \right)

    \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ 1 + x^{2} = 2 \\ 1 + x^{2} = 4 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = \pm 1 \\ x = \pm \sqrt{3} \end{matrix} \right..

    Mặt khác ta có

    f^{'\left( 1 + x^{2} \right)} < 0 \Leftrightarrow 2 < 1 + x^{2} < 4\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} - \sqrt{3} < x < - 1 \\ 1 < x < \sqrt{3} \end{matrix} \right..

    Ta có bảng xét dấu:

    Vậy hàm số y = f\left( 1 + x^{2} \right) nghịch biến trên khoảng \left( 1;\sqrt{3} \right).

  • Câu 13: Vận dụng cao
    Chọn khẳng định đúng

    Cho hàm số y = f(x) liên tục trên \mathbb{R} có f( - 2) < 0. Đồ thị hàm số y = f'(x) như hình vẽ

    Khẳng định nào sau đây đúng?

    Hướng dẫn:

    Ta có bảng biến thiên của hàm số y = f(x)

    Ta có f( - 2) < 0;1 - x^{2} \leq 1 \Rightarrow f\left( 1 - x^{2} \right) < 0.\forall x\mathbb{\in R}

    t = 1 - x^{2} \Rightarrow f'(t) < 0 \Rightarrow t \in ( - 2;1) \Leftrightarrow x \in \left( - \sqrt{3};\sqrt{3} \right)

    0 < f'(t) \Rightarrow t \in ( - \infty; - 2) \Leftrightarrow x \in \left( - \infty; - \sqrt{3} \right) \cup \left( \sqrt{3}; + \infty \right)

    g(x) = \left| f\left( 1 - x^{2} \right) \right| \Rightarrow g'(x) = \sqrt{f^{2}\left( 1 - x^{2} \right)} = \frac{- 4xf(t)f'(t)}{\sqrt{f^{2}(t)}}

  • Câu 14: Vận dụng
    Tính giá trị biểu thức P

    Biết đồ thị hàm số bậc hai y = ax^{2} + bx + c\ (a \neq 0)có điểm chung duy nhất với y\ = - 2,5 và cắt đường thẳng y = 2 tại hai điểm có hoành độ lần lượt là - 1 và 5. Tính P = a + b + c.

    Hướng dẫn:

    Gọi (P): y = ax^{2} + bx + c,(a \neq 0).

    Ta có:

    +) (P) đi qua hai điểm ( - 1;2);(5;2) nên ta có \left\{ \begin{matrix} a - b + c = 2 \\ 25a + 5b + c = 2 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} b = - 4a \\ c = 2 - 5a \end{matrix} \right.

    +) (P) có một điểm chung với đường thẳng y = - 2,5 nên \frac{- \Delta}{4a} = - 2,5 \Leftrightarrow\frac{b^{2} - 4ac}{4a} = 2,5

    \Leftrightarrow 16a^{2} - 4a(2 - 5a) = 10a

    \Leftrightarrow 36a^{2} - 18a = 0 \Leftrightarrow a =\frac{1}{2}.

    Do đó: b = - 2;c = - \frac{1}{2}.

  • Câu 15: Vận dụng cao
    Chọn khẳng định đúng

    Cho hàm số y = f(x) = ax^{3} + bx^{2} + cx + d có đồ thị như hình bên. Đặt g(x) = f\left( \sqrt{x^{2} + x + 2} \right). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau

    Hướng dẫn:

    Hàm số y = f(x) = ax^{3} + bx^{2} + cx + d; f'(x) = 3ax^{2} + 2bx + c, có đồ thị như hình vẽ.

    Do đó x = 0 \Rightarrow d = 4; x = 2 \Rightarrow 8a + 4b + 2c + d = 0; f'(2) = 0 \Rightarrow 12a + 4b + c = 0; f'(0) = 0 \Rightarrow c = 0.

    Tìm được a = 1;b = - 3;c = 0;d = 4 và hàm số y = x^{3} - 3x^{2} + 4.

    Ta có:

    g(x) = f\left( \sqrt{x^{2} + x + 2} \right) = \left( \sqrt{x^{2} + x + 2} \right)^{3} - 3\left( x^{2} + x + 2 \right) + 4

    \Rightarrow g^{'(x)} = \frac{3}{2}(2x + 1)\sqrt{x^{2} + x + 2} - 3(2x + 1)

    = 3(2x + 1)\left( \frac{1}{2}\sqrt{x^{2} + x + 2} - 1 \right); g'(x) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - \frac{1}{2} \\ x = 1 \\ x = - 2 \end{matrix} \right..

    Bảng xét dấu của hàm y = g(x):

    Vậy y = g(x) nghịch biến trên khoảng \left( \frac{- 1}{2};0 \right).

  • Câu 16: Vận dụng cao
    Tìm số các giá trị nguyên của n

    Cho hàm số f(x) = x^{4} + bx^{3} + cx^{2} + dx + m, (với a,b,c,d,m \in \mathbb{R}). Hàm số y = f'(x) có đồ thị như hình vẽ bên dưới:

    C:\Users\User\AppData\Local\Temp\geogebra.png

    Biết rằng phương trình f(x) = nx + m có 4 nghiệm phân biệt. Tìm số các giá trị nguyên của n.

    Hướng dẫn:

    Ta có f'(x) = 4x^{3} + 3bx^{2} + 2cx + d (1).

    Dựa vào đồ thị ta có

    \ f'(x) = (x -1)(4x + 5)(x + 3)= 4x^{3} + 13x^{2} - 2x - 15

    Từ (1) và (2) suy ra b = \frac{13}{3}, c = - 1 và d = - 15.

    Khi đó:

    f(x) = nx + m\Leftrightarrow x^{4} + bx^{3} + cx^{2} + dx = nx

    \Leftrightarrow x^{4} + \frac{13}{3}x^{3} - x^{2} - 15x = nx\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x^{3} + \frac{13}{3}x^{2} - x - 15 = n\begin{matrix} & (*) \end{matrix} \end{matrix} \right.

    Phương trình f(x) = nx + m có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (*)có 3 nghiệm phân biệt khác 0

    Xét hàm số g(x) = x^{3} + \frac{13}{3}x^{2} - x - 15

    g'(x) = 3x^{2} + \frac{26}{3}x - 1 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - 3 \\ x = \frac{1}{9} \end{matrix} \right.

    Ta có bảng biến thiên:

    Từ bảng biến thiên ta có phương trình (*)có 3 nghiệm phân biệt khác 0 biệt khi và chỉ khi n \in \left\{ - 1; - 2;...; - 14 \right\}

  • Câu 17: Vận dụng cao
    Chọn đáp án chính xác

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) = x^{2}(x + 2)\left( x^{2} + mx + 5 \right) với \forall x \in \mathbb{R}. Số giá trị nguyên âm của m để hàm số g(x) = f\left( x^{2} + x - 2 \right) đồng biến trên (1; + \infty) là

    Hướng dẫn:

    Ta có g'(x) = (2x + 1)f'\left( x^{2} + x - 2 \right).

    Hàm số đồng biến trên (1; + \infty) khi (2x + 1)f'\left( x^{2} + x - 2 \right) \geq 0, \forall x \in (1; + \infty)

    \Leftrightarrow f'\left( x^{2} + x - 2 \right) \geq 0, \forall x \in (1; + \infty)

    \Leftrightarrow \left( x^{2} + x - 2\right)^{2}\left( x^{2} + x \right)\left\lbrack \left( x^{2} + x - 2\right)^{2} + m\left( x^{2} + x - 2 \right) + 5 \right\rbrack \geq0, \forall x \in (1; + \infty) (1).

    Đặt t = x^{2} + x - 2 với t > 0, do x \in (1; + \infty).

    (1) \Rightarrow t^{2}(t + 2)\left( t^{2} + mt + 5 \right) \geq 0, \forall t > 0

    \Leftrightarrow t^{2} + mt + 5 \geq 0, \forall t > 0 \Leftrightarrow m \geq - \left( t + \frac{5}{t} \right), \forall t > 0

    \Leftrightarrow m \geq - 2\sqrt{5} \approx - 4,47.

    Do m nguyên âm nên m \in \left\{ - 4; - 3; - 2; - 1 \right\}.

  • Câu 18: Vận dụng cao
    Tìm khoảng đồng biến của hàm số

    Cho đa thức f(x) hệ số thực và thỏa điều kiện 2f(x) + f(1 - x) = x^{2},\ \ \forall x \in R. Hàm số y = 3x.f(x) + x^{2} + 4x + 1 đồng biến trên

    Hướng dẫn:

    Từ giả thiết, thay x bởi x - 1 ta được 2f(1 - x) + f(x) = (x - 1)^{2}.

    Khi đó ta có

    \left\{ \begin{matrix} 2f(x) + f(1 - x) = x^{2} \\ 2f(1 - x) + f(x) = x^{2} - 2x + 1 \end{matrix} \right. \rightarrow 3f(x) = x^{2} + 2x - 1

    Suy ra y = x^{3} + 3x^{2} + 3x + 1

    \Rightarrow y' = 3x^{2} + 6x + 3 \geq 0,\forall x \in R. Nên hàm số đồng biến trên R.

  • Câu 19: Vận dụng cao
    Chọn đáp án đúng

    Cho parabol (P): y = f(x) = ax^{2} + bx + c, a \neq 0 biết:(P) đi qua M(4;3), (P) cắt Ox tại N(3;0) và Q sao cho \Delta INQ có diện tích bằng 1 đồng thời hoành độ điểm Q nhỏ hơn 3. Khi đó hàm số f(2x - 1) đồng biến trên khoảng nào sau đây

    Hướng dẫn:

    Vì (P)đi qua M(4;3)nên 3 = 16a + 4b + c(1)

    Mặt khác (P) cắt Ox tại N(3;0) suy ra 0 = 9a + 3b + c (2), (P) cắt Ox tại Q nên Q(t;0),\ \ t < 3

    Theo định lý Viét ta có \left\{ \begin{matrix} t + 3 = - \frac{b}{a} \\ 3t = \frac{c}{a} \end{matrix} \right.

    Ta có S_{\Delta INQ} = \frac{1}{2}IH.NQvới Hlà hình chiếu của I\left( - \frac{b}{2a}; - \frac{\Delta}{4a} \right)lên trục hoành

    Do IH = \left| - \frac{\Delta}{4a} \right|, NQ = 3 - tnên S_{\Delta INQ} = 1 \Leftrightarrow \frac{1}{2}\left| - \frac{\Delta}{4a} \right|.(3 - t) = 1

    \Leftrightarrow (3 - t)\left| \left( \frac{b}{2a} \right)^{2} - \frac{c}{a} \right| = \left| \frac{2}{a} \right|\Leftrightarrow (3 - t)\left| \frac{(t + 3)}{4}^{2} - 3t \right| = \left| \frac{2}{a} \right|

    \Leftrightarrow (3 - t)^{3} = \frac{8}{|a|}(3)

    Từ (1) và (2) ta có 7a + b = 3 \Leftrightarrow b = 3 - 7a suy ra t + 3 = - \frac{3 - 7a}{a} \Leftrightarrow \frac{1}{a} = \frac{4 - t}{3}

    Thay vào (3) ta có (3 - t)^{3} = \frac{8(4 - t)}{3}

    \Leftrightarrow 3t^{3} - 27t^{2} + 73t - 49 = 0 \Leftrightarrow t = 1

    Suy ra a = 1 \Rightarrow b = - 4 \Rightarrow c = 3.

    Vậy (P)cần tìm là y = f(x) = x^{2} - 4x + 3.

    Khi đó f(2x - 1) = (2x - 1)^{2} - 4(2x - 1) + 3 = 4x^{2} - 12x + 8

    Hàm số đồng biến trên khoảng \left( \frac{3}{2}; + \infty \right).

  • Câu 20: Vận dụng cao
    Chọn đáp án đúng

    Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên \mathbb{R} là f'(x) = (x - 1)(x + 3). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn \lbrack - 10;20\rbrack để hàm số y = f\left( x^{2} + 3x - m \right) đồng biến trên khoảng (0;2).

    Hướng dẫn:

    Ta có y' = f'\left( x^{2} + 3x - m \right) = (2x + 3)f'\left( x^{2} + 3x - m \right).

    Theo đề bài ta có: f'(x) = (x - 1)(x + 3)

    suy ra f'(x) > 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x < - 3 \\ x > 1 \end{matrix} \right. và f'(x) < 0 \Leftrightarrow - 3 < x < 1.

    Hàm số đồng biến trên khoảng (0;2) khi y' \geq 0,\forall x \in (0;2)

    \Leftrightarrow (2x + 3)f'\left( x^{2} + 3x - m \right) \geq 0,\forall x \in (0;2).

    Do x \in (0;2) nên 2x + 3 > 0,\forall x \in (0;2). Do đó, ta có:

    y' \geq 0,\forall x \in (0;2) \Leftrightarrow f'\left( x^{2} + 3x - m \right) \geq 0

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x^{2} + 3x - m \leq - 3 \\ x^{2} + 3x - m \geq 1 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m \geq x^{2} + 3x + 3 \\ m \leq x^{2} + 3x - 1 \end{matrix} \right.

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m \geq \max_{\lbrack 0;2\rbrack}\left( x^{2} + 3x + 3 \right) \\ m \leq \min_{\lbrack 0;2\rbrack}\left( x^{2} + 3x - 1 \right) \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m \geq 13 \\ m \leq - 1 \end{matrix} \right..

    Do m \in \lbrack - 10;20\rbrack, m\mathbb{\in Z} nên có 18 giá trị nguyên của m thỏa yêu cầu đề bài.

0/20
20 câu:
Kiểm tra Kiểm tra lại Bỏ qua Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:
  • Nhận biết (10%):
    2/3
  • Thông hiểu (90%):
    2/3
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu làm đúng: 0
  • Số câu làm sai: 0
  • Điểm số: 0
  • Điểm thưởng: 0
Làm lại
Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé!
Mua ngay Đổi điểm
Tải file làm trên giấy
1
19 Bài viết đã được lưu
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Tìm bài trong mục này