VnDoc.com

Chuyên đề toán 12 Tích phân hàm lượng giác

Ôn thi THPT Quốc gia môn Toán

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 12

Môn: Toán

Dạng tài liệu: Chuyên đề

Loại: Tài liệu Lẻ

Mức độ: Trung bình

Loại File: Word + PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Ôn thi THPT quốc gia môn Toán tích phân lượng giác

A. Đề bài trắc nghiệm Tính tích phân hàm lượng giác
B. Đáp án tổng quan bài tập trắc nghiệm
C. Hướng dẫn giải chi tiết bài tập trắc nghiệm

Trong chương trình Toán 12, chuyên đề tích phân hàm lượng giác là một trong những nội dung quan trọng, thường xuất hiện trong đề thi THPT quốc gia môn Toán. Việc giải tích phân có chứa các hàm lượng giác như sin, cos, tan, cot… đòi hỏi học sinh nắm vững công thức biến đổi và kỹ năng áp dụng linh hoạt các phương pháp tính. Bài viết này sẽ hệ thống hóa công thức, giới thiệu phương pháp giải nhanh và phân loại dạng toán trọng điểm, giúp bạn học chắc – nhớ lâu – áp dụng hiệu quả trong ôn luyện.

A. Đề bài trắc nghiệm Tính tích phân hàm lượng giác

Câu 1: Tích phân $\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{cos^{3}x}{\sin x}dx}$ $\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{cos^{3}x}{\sin x}dx}$ bằng:

A. $\frac{1}{4} -\ln \sqrt{2}$ $\frac{1}{4} -\ln \sqrt{2}$ B. $- \frac{1}{4} - \ln\sqrt{2}$ $- \frac{1}{4} - \ln\sqrt{2}$ C. $\frac{1}{4} + \ln\sqrt{2}$ $\frac{1}{4} + \ln\sqrt{2}$ D. $- \frac{1}{4} + \ln\sqrt{2}$ $- \frac{1}{4} + \ln\sqrt{2}$

Câu 2. Tính tích phân $I = \int_{0}^{\pi}{\left| \cos x \right|dx}$ $I = \int_{0}^{\pi}{\left| \cos x \right|dx}$?

A. $I = 0$ B. $I = 1$ C. $I = 2$ D. $I = 3$

Câu 3. Cho biết $\int_{0}^{f(x)}{t^{2}dt} = x\cos(\pi x)$ $\int_{0}^{f(x)}{t^{2}dt} = x\cos(\pi x)$. Tính $f(4)$.

A. $f(4) = 2\sqrt{3}$ $f(4) = 2\sqrt{3}$ B. $f(4) = - 1$ C. $f(4) = \frac{1}{2}$ $f(4) = \frac{1}{2}$ D. $f(4) = \sqrt[3]{12}$ $f(4) = \sqrt[3]{12}$

Câu 4. Đẳng thức $\int_{0}^{a}{\cos\left( x + a^{2} \right)dx} = \sin a$ $\int_{0}^{a}{\cos\left( x + a^{2} \right)dx} = \sin a$ xảy ra nếu:

A. $a = \pi$ $a = \pi$ B. $a = \sqrt{\pi}$ $a = \sqrt{\pi}$ C. $a = \sqrt{3\pi}$ $a = \sqrt{3\pi}$ D. $a = \sqrt{2\pi}$ $a = \sqrt{2\pi}$

Câu 5. Tính tích phân $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{x.sinxdx}$ $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{x.sinxdx}$?

A. $I = 3$ B. $I = 2$ C. $I = 1$ D. $I = - 1$

Câu 6. Nếu $\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}{sin^{n}x\cos xdx} = \frac{1}{64}$ $\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}{sin^{n}x\cos xdx} = \frac{1}{64}$ thì n bằng:

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

Câu 7. Có bao nhiêu giá trị của a trong đoạn $\left\lbrack \frac{\pi}{4};2\pi \right\rbrack$ $\left\lbrack \frac{\pi}{4};2\pi \right\rbrack$ thỏa mãn $\int_{0}^{a}\frac{\sin x}{\sqrt{1 + 3cosx}}dx = \frac{2}{3}$ $\int_{0}^{a}\frac{\sin x}{\sqrt{1 + 3cosx}}dx = \frac{2}{3}$.

A. 2 B. 1 C. 4 D. 3

Câu 8. Xét tích phân $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{sin2xdx}{\sqrt{1 + \cos x}}$ $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{sin2xdx}{\sqrt{1 + \cos x}}$. Nếu đặt $t = \sqrt{1 + \cos x}$ $t = \sqrt{1 + \cos x}$, ta được:

A. $I = \int_{\sqrt{2}}^{1}{\frac{4t^{3} - 4t}{t}dt}$ $I = \int_{\sqrt{2}}^{1}{\frac{4t^{3} - 4t}{t}dt}$ B. $I = - 4\int_{1}^{\sqrt{2}}{\left( t^{2} - 1 \right)dt}$ $I = - 4\int_{1}^{\sqrt{2}}{\left( t^{2} - 1 \right)dt}$

C. $I = \int_{\sqrt{2}}^{1}{\frac{- 4t^{3} + 4t}{t}dx}$ $I = \int_{\sqrt{2}}^{1}{\frac{- 4t^{3} + 4t}{t}dx}$ D. $I = 4\int_{1}^{\sqrt{2}}{\left( x^2- 1 \right)dx}$ $I = 4\int_{1}^{\sqrt{2}}{\left( x^2- 1 \right)dx}$

Câu 9. Cho $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{(x - 1)sin2xdx}$ $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{(x - 1)sin2xdx}$. Tìm đẳng thức đúng.

A. $I = \left. \ - (x - 1)cos2x \right|_{0}^{\frac{\pi}{4}} + \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{cos2xdx}$ $I = \left. \ - (x - 1)cos2x \right|_{0}^{\frac{\pi}{4}} + \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{cos2xdx}$

B. $I = \left. \ - (x - 1)cos2x \right|_{0}^{\frac{\pi}{4}} - \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{cos2xdx}$ $I = \left. \ - (x - 1)cos2x \right|_{0}^{\frac{\pi}{4}} - \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{cos2xdx}$

C. $I = \left. \ - \frac{1}{2}(x - 1)cos2x \right|_{0}^{\frac{\pi}{4}} + \frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{cos2xdx}$ $I = \left. \ - \frac{1}{2}(x - 1)cos2x \right|_{0}^{\frac{\pi}{4}} + \frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{cos2xdx}$

D. $I = \left. \ - \frac{1}{2}(x - 1)cos2x \right|_{0}^{\frac{\pi}{4}} - \frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{cos2xdx}$ $I = \left. \ - \frac{1}{2}(x - 1)cos2x \right|_{0}^{\frac{\pi}{4}} - \frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{cos2xdx}$

Câu 10. Biết $\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}\frac{dx}{\sin x.sin\left( x + \frac{\pi}{6} \right)} = a\ln\frac{b}{c}$ $\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}\frac{dx}{\sin x.sin\left( x + \frac{\pi}{6} \right)} = a\ln\frac{b}{c}$, với a, b, c là các số nguyên dương và $\frac{b}{c}$ $\frac{b}{c}$ là phân số tối giản. Tính $S = a + b + c$.

A. $S = 7$ B. $S = 8$ C. $S = 10$ D. $S = 9$

Câu 11. Biết rằng: $\int_{}^{}{e^{2x}.cos3x.dx = e^{2x}(acos3x + bsin3x) + c}$ $\int_{}^{}{e^{2x}.cos3x.dx = e^{2x}(acos3x + bsin3x) + c}$, trong đó a, b, c là các hằng số, khi đó tổng $a + b$ có giá trị là:

A. $- \frac{1}{13}$ $- \frac{1}{13}$ B. $- \frac{5}{13}$ $- \frac{5}{13}$ C. $\frac{5}{13}$ $\frac{5}{13}$ D. $\frac{1}{13}$ $\frac{1}{13}$

Câu 12. Cho $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{f(x)}dx = 5$ $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{f(x)}dx = 5$. Tính $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left\lbrack f(x) + 2sinx \right\rbrack dx$ $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left\lbrack f(x) + 2sinx \right\rbrack dx$.

A. $I = 7$ B. $I = 5 + \frac{\pi}{2}$ $I = 5 + \frac{\pi}{2}$ C. $I = 3$ D. $I = 5 + \pi$ $I = 5 + \pi$

Câu 13. Cho $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{a}}{\frac{cos2x}{1 + 2sin2x}dx} = \frac{1}{4}ln3$ $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{a}}{\frac{cos2x}{1 + 2sin2x}dx} = \frac{1}{4}ln3$. Tìm giá trị của a là:

A. 3 B. 2 C. 4 D. 6

Câu 14: Tích phân $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sin xdx}$ $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sin xdx}$ có giá trị là:

A. $I = 1$ B. $I = 0$ C. $I = - 1$ D. $I = 2$

Câu 15: Tích phân $I = \int_{- \frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}{\left( \sin x - \cos x \right)dx}$ $I = \int_{- \frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}{\left( \sin x - \cos x \right)dx}$ có giá trị là:

A. $I = 1$ B. $I = 2$ C. $I = - 2$ D. $I = - 1$

B. Đáp án tổng quan bài tập trắc nghiệm

1 - D	2 - C	3 - D	4 - D	5 - C	6 - A	7 – A
8 – C	9 - C	10 - A	11 - C	12 - A	13 - C	14 – A
15 - C	16 - C	17 - A	18 - B	19 - D	20 - C	21 – D
22 - B	23 - B	24 - A	25 - A	26 - C	27 - B	28 – B
29 - C	30 - D	31 - C	32 - B	33 - B	34 - A	35 - D

C. Hướng dẫn giải chi tiết bài tập trắc nghiệm

Câu 1:

Ta có:

Cách 1: Thử

Cách 2: Đặt $\sin x = t$ $\sin x = t$.s

Đáp án cần tìm $- \frac{1}{4} + \ln\sqrt{2}$ $- \frac{1}{4} + \ln\sqrt{2}$

Câu 2.

Ta có:

$I = \int_{0}^{\pi}{\left| \cos x \right|dx} = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\left| \cos x \right|dx} + \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}{\left| \cos x \right|dx}$ $I = \int_{0}^{\pi}{\left| \cos x \right|dx} = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\left| \cos x \right|dx} + \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}{\left| \cos x \right|dx}$

$= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\cos xdx} - \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}{\cos xdx} = \left. \ \sin x \right|_{0}^{\frac{\pi}{2}} - \left. \ \sin x \right|_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}$ $= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\cos xdx} - \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}{\cos xdx} = \left. \ \sin x \right|_{0}^{\frac{\pi}{2}} - \left. \ \sin x \right|_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}$

Câu 3.

Ta có:

$\int_{0}^{f(x)}{t^{2}dt} = \left. \ \frac{t^{3}}{3} \right|_{0}^{f(x)} = \frac{f^{3}(x)}{3} \Rightarrow \frac{f^{3}(x)}{3} = x.cos(\pi x)$ $\int_{0}^{f(x)}{t^{2}dt} = \left. \ \frac{t^{3}}{3} \right|_{0}^{f(x)} = \frac{f^{3}(x)}{3} \Rightarrow \frac{f^{3}(x)}{3} = x.cos(\pi x)$

Thay $x = 4 \Rightarrow \frac{f^{3}(4)}{3} = 4.cos(4\pi)$ $x = 4 \Rightarrow \frac{f^{3}(4)}{3} = 4.cos(4\pi)$

$\Rightarrow f^{3}(4) = 12 \Rightarrow f(4) = \sqrt[3]{12}$ $\Rightarrow f^{3}(4) = 12 \Rightarrow f(4) = \sqrt[3]{12}$.

Câu 4.

Ta có:

$\int_{0}^{a}{\cos\left( x + a^2\right)dx} = \sin a$ $\int_{0}^{a}{\cos\left( x + a^2\right)dx} = \sin a$

$\Leftrightarrow \sin\left( a + a^{2} \right) - \sin a^{2} = \sin a$ $\Leftrightarrow \sin\left( a + a^{2} \right) - \sin a^{2} = \sin a$

Trong 4 phương án, chỉ có phương án $a = \sqrt{2\pi}$ $a = \sqrt{2\pi}$ thỏa mãn.

Câu 5.

Có hai cách để giải bài toán:

Cách 1: Thử bằng máy tính

Cách 2: Tích phân thành phần: $\left\{ \begin{matrix} \sin xdx = dv \\ x = u \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} \sin xdx = dv \\ x = u \end{matrix} \right.$

Câu 6.

Ta có: $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{6}}{sin^{n}x.cosxdx}$ $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{6}}{sin^{n}x.cosxdx}$

Đặt $\sin x = t$ $\sin x = t$. Đổi cận: $x = 0 \Rightarrow t = 0$ $x = 0 \Rightarrow t = 0$

$x = \frac{\pi}{6} \Rightarrow t = \frac{1}{2}$ $x = \frac{\pi}{6} \Rightarrow t = \frac{1}{2}$

$\Rightarrow I = \int_{0}^{\frac{1}{2}}{t^{n}dt} = \left. \ \frac{t^{n + 1}}{n + 1} \right|_{0}^{\frac{1}{2}} = \left( \frac{1}{2} \right)^{n + 1}.\frac{1}{n + 1} = \frac{1}{64}$ $\Rightarrow I = \int_{0}^{\frac{1}{2}}{t^{n}dt} = \left. \ \frac{t^{n + 1}}{n + 1} \right|_{0}^{\frac{1}{2}} = \left( \frac{1}{2} \right)^{n + 1}.\frac{1}{n + 1} = \frac{1}{64}$

$\Rightarrow n = 3$ $\Rightarrow n = 3$.

---------------------------------------------------------------

Có thể khẳng định rằng, chuyên đề Toán 12 tích phân hàm lượng giác là phần kiến thức không thể bỏ qua trong quá trình ôn thi THPT quốc gia môn Toán. Đây không chỉ là nền tảng giúp học sinh làm tốt các dạng toán tích phân mà còn rèn luyện khả năng tư duy logic, xử lý biến đổi lượng giác chính xác và nhanh chóng.
Hy vọng nội dung trên đã giúp bạn nắm chắc công thức, phương pháp và dạng toán cơ bản, đồng thời mở rộng kỹ năng giải quyết bài tập nâng cao. Để đạt hiệu quả tối đa, hãy thường xuyên luyện đề thi minh họa và đề thi chính thức qua các năm, từ đó nâng cao tốc độ xử lý, củng cố sự tự tin và sẵn sàng đạt điểm số cao trong kỳ thi quan trọng phía trước.

Tải về

Chọn file muốn tải về: