VnDoc.com

Ứng dụng hình học của tích phân: Tính diện tích, thể tích và chiều dài cung

Chuyên đề Toán 12 Nguyên hàm tích phân

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 12

Môn: Toán

Dạng tài liệu: Chuyên đề

Loại File: Word + PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Chuyên đề Toán 12: Ứng dụng hình học của tích phân

1. Tính diện tích hình phẳng
- a. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành
- b. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong
2. Tính thể tích vật thể
3. Tính thể tích khối tròn xoay

Trong chương trình Toán 12, chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân không chỉ là phần kiến thức trọng tâm của học kỳ II mà còn là “mũi nhọn” xuất hiện liên tục trong đề thi tốt nghiệp THPT. Đặc biệt, nội dung ứng dụng của tích phân trong hình học như tính diện tích hình phẳng, thể tích khối tròn xoay hay chiều dài cung là phần kiến thức quan trọng giúp học sinh kết nối giải tích với hình học, đồng thời rèn luyện tư duy trực quan – chính xác.

Bài viết này sẽ giúp bạn nắm vững toàn bộ kiến thức nền tảng và phương pháp giải của 3 ứng dụng lớn:

Tính diện tích hình phẳng bằng tích phân;
Tính thể tích khối tròn xoay quanh trục Ox/Oy;
Tính độ dài cung của đồ thị hàm số.

Thông qua các ví dụ minh họa chi tiết, bài tập tự luyện kèm đáp án và các mẹo giải nhanh, bạn sẽ hiểu rõ cách sử dụng tích phân trong hình học và làm chủ các dạng toán thường gặp trong đề thi THPT Quốc gia. Đây là tài liệu không thể thiếu cho học sinh lớp 12 đang ôn luyện thi tốt nghiệp hoặc luyện thi đại học.

1. Tính diện tích hình phẳng

a. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành

Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số $y = f(x)$ liên tục, trục hoành và hai đường thẳng $x = a;x = b$ được tính theo công thức $S = \int_{a}^{b}{\left| f(x) \right|dx}$ $S = \int_{a}^{b}{\left| f(x) \right|dx}$

Chú ý: Trong trường hợp dấu của $f(x)$ thay đổi trên đoạn $\lbrack a;b\rbrack$ $\lbrack a;b\rbrack$ thì ta phải chia đoạn $\lbrack a;b\rbrack$ $\lbrack a;b\rbrack$ thành một số đoạn con để trên đó dấu của $f(x)$ không đổi, do đó ta có thể bỏ dấu giá trị tuyệt đối trên đoạn đó.

b. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong

Cho hai hàm số $y = f(x)$ và $y = g(x)$ liên tục trên đoạn $\lbrack a;b\rbrack$ $\lbrack a;b\rbrack$. Khi đó diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f(x)$, $y = g(x)$ và hai đường thẳng $x = a,x = b$ là $S = \int_{a}^{b}{\left| f(x) - g(x) \right|dx}$ $S = \int_{a}^{b}{\left| f(x) - g(x) \right|dx}$.

Tương tự như chú ý ở trên thì ở bài toán này ta cũng phải xét đoạn mà dấu của $f(x) - g(x)$ không đổi.

Chú ý:

Khi áp dụng công thức này cần khử dấu giá trị tuyệt đối của hàm số dưới dấu tích phân. Muốn vậy ta phải giải phương trình $f(x) - g(x) = 0$ trên đoạn $\lbrack a;b\rbrack$ $\lbrack a;b\rbrack$.
Giả sử phương trình có hai nghiệm $c;d(c < d)$. Khi đó $f(x) - g(x)$ không đổi dấu trên các đoạn $\lbrack a;b\rbrack,\lbrack c;d\rbrack,\lbrack d;b\rbrack$ $\lbrack a;b\rbrack,\lbrack c;d\rbrack,\lbrack d;b\rbrack$. Trên mỗi đoạn đó, chẳng hạn trên đoạn $\lbrack a;c\rbrack$ $\lbrack a;c\rbrack$ thì ta có

$\int_{a}^{c}{\left| f(x) - g(x) \right|dx} = \left| \int_{a}^{c}{\left\lbrack f(x) - g(x) \right\rbrack dx} \right|$ $\int_{a}^{c}{\left| f(x) - g(x) \right|dx} = \left| \int_{a}^{c}{\left\lbrack f(x) - g(x) \right\rbrack dx} \right|$

Ví dụ 4: Tính diện tích hình phẳng (hình được tô màu) ở biểu diễn ở hình 3.4.

Hướng dẫn giải

Nhận thấy trên $\lbrack a;c\rbrack$ $\lbrack a;c\rbrack$ và $\lbrack d;b\rbrack$ $\lbrack d;b\rbrack$ thì $f_{1}(x) \geq f_{2}(x)$ $f_{1}(x) \geq f_{2}(x)$; trên $\lbrack c;d\rbrack$ $\lbrack c;d\rbrack$ thì $f_{1}(x) \leq f_{2}(x)$ $f_{1}(x) \leq f_{2}(x)$

Do vậy

$S = \int_{a}^{b}{\left| f_{1}(x) - f_{2}(x) \right|dx} = \int_{a}^{c}{\left( f_{1}(x) - f_{2}(x) \right)dx}$ $S = \int_{a}^{b}{\left| f_{1}(x) - f_{2}(x) \right|dx} = \int_{a}^{c}{\left( f_{1}(x) - f_{2}(x) \right)dx}$ $+ \int_{c}^{d}{\left( f_{2}(x) - f_{1}(x) \right)dx}$ $+ \int_{c}^{d}{\left( f_{2}(x) - f_{1}(x) \right)dx}$ $+ \int_{d}^{b}{\left( f_{1}(x) - f_{2}(x) \right)dx}$ $+ \int_{d}^{b}{\left( f_{1}(x) - f_{2}(x) \right)dx}$

(Trên đây là cách bỏ dấu giá trị tuyệt đối)

Ví dụ 5: Cho hình thang cong $(H)$ giới hạn bởi các đường $y = e^{x}$ $y = e^{x}$, $y = 0$, $x = 0$ và $x = ln4$. Đường thẳng $x = k(0 < k < ln4)$ chia $(H)$ thành hai phần có diện tích là $S_{1}$ $S_{1}$ và $S_{2}$ $S_{2}$ như hình vẽ bên. Tìm k để $S_{1} = 2S_{2}$ $S_{1} = 2S_{2}$?

A. $k = \frac{2}{3}ln4$ $k = \frac{2}{3}ln4$

B.

$k = ln2$

C. $k = \ln\frac{8}{3}$ $k = \ln\frac{8}{3}$

D.

$k = ln3$

Hướng dẫn giải

Đáp án D.

Nhìn vào hình vẽ ta có được các công thức sau:

$\int_{0}^{k}{e^{x}dx} = 2.\int_{k}^{ln4}{e^{x}dx} \Leftrightarrow \left. \ e^{x} \right|_{0}^{k} = \left. \ 2.e^{x} \right|_{k}^{ln4}$ $\int_{0}^{k}{e^{x}dx} = 2.\int_{k}^{ln4}{e^{x}dx} \Leftrightarrow \left. \ e^{x} \right|_{0}^{k} = \left. \ 2.e^{x} \right|_{k}^{ln4}$

$\Leftrightarrow e^{k} - e^{0} = 2.e^{ln4} - 2.e^{k} \Leftrightarrow 3e^{k} = 9$ $\Leftrightarrow e^{k} - e^{0} = 2.e^{ln4} - 2.e^{k} \Leftrightarrow 3e^{k} = 9$ $\Leftrightarrow e^{k} = 3 \Leftrightarrow k = ln3$ $\Leftrightarrow e^{k} = 3 \Leftrightarrow k = ln3$.

Xem thêm tài liệu mở rộng tại đây: Chuyên đề Toán 12 Ứng dụng hình học tích phân tính diện tích hình phẳng

2. Tính thể tích vật thể

Cho H là một vật thể nằm giới hạn giữa hai mặt phẳng $x = a$ và $x = b$. Gọi $S(x)$ là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục hoành tại điểm có hoành độ x ( $a \leq x \leq b$ $a \leq x \leq b$). Giả sử $S(x)$ là một hàm liên tục. Khi đó thể tích V của H là $V = \int_{a}^{b}{S(x)dx}$ $V = \int_{a}^{b}{S(x)dx}$. (như hình vẽ)

Ví dụ 7: Tính thể tích vật thể tạo được khi lấy giao vuông góc hai ống nước hình trụ có cùng bán kính đáy bằng a. (như hình vẽ).

A. $k = \frac{2}{3}ln4$ $k = \frac{2}{3}ln4$

B.

$k = ln2$

C. $k = \ln\frac{8}{3}$ $k = \ln\frac{8}{3}$

D.

$k = ln3$

Hướng dẫn giải

Đáp án A

Ta sẽ gắn hệ trục tọa độ Oxyz vào vật thể này, tức là ta sẽ đi tính thể tích vật thể V giới hạn bởi hai mặt trụ: $x^{2} + y^{2} = a^{2}$ $x^{2} + y^{2} = a^{2}$ và $x^{2} + z^{2} = a^{2}$ $x^{2} + z^{2} = a^{2}$ ($a > 0$).

Hình vẽ trên mô tả một phần tám thứ nhất của vật thể này, với mỗi $x \in \lbrack 0;a\rbrack$ $x \in \lbrack 0;a\rbrack$ thiết diện của vật thể (vuông góc với trục Ox) tại x là một hình vuông có cạnh $y = \sqrt{a^{2} - x^{2}}$ $y = \sqrt{a^{2} - x^{2}}$ (chính là phần gạch chéo trong hình 3.7).

Do đó diện tích thiết diện sẽ là:

$S(x) = \sqrt{a^{2} - x^{2}}.\sqrt{a^{2} - x^{2}} = a^{2} - x^{2}$ $S(x) = \sqrt{a^{2} - x^{2}}.\sqrt{a^{2} - x^{2}} = a^{2} - x^{2}$ , $x \in \lbrack 0;a\rbrack$ $x \in \lbrack 0;a\rbrack$.

Khi đó áp dụng công thức (*) thì thể tích vật thể cần tìm sẽ bằng:

$V = 8\int_{0}^{a}{S(x)dx} = 8\int_{0}^{a}\left( a^{2} - x^{2} \right)dx = \left. \ 8\left( a^{2}x - \frac{x^{3}}{3} \right) \right|_{0}^{a} = \frac{16a^{3}}{3}$ $V = 8\int_{0}^{a}{S(x)dx} = 8\int_{0}^{a}\left( a^{2} - x^{2} \right)dx = \left. \ 8\left( a^{2}x - \frac{x^{3}}{3} \right) \right|_{0}^{a} = \frac{16a^{3}}{3}$

3. Tính thể tích khối tròn xoay

Định lý

Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục, không âm trên đoạn $\lbrack a;b\rbrack$ $\lbrack a;b\rbrack$. Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f(x)$, trục hoành và hai đường thẳng $x = a,x = b$ quay quanh trục hoành tạo nên một khối tròn xoay. Thể tích V của khối tròn xoay đó là $V = \pi\int_{a}^{b}{f^{2}(x)dx}$ $V = \pi\int_{a}^{b}{f^{2}(x)dx}$.

Ví dụ 9: Thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng được giới hạn bởi đường cong $y = \sin x$ $y = \sin x$, trục hoành và hai đường thẳng $x = 0,x = \pi$ $x = 0,x = \pi$ (hình 3.10) quanh trục Ox là

A. $\frac{\pi}{2}$ $\frac{\pi}{2}$ (đvtt)

B. $\frac{\pi^{2}}{2}$ $\frac{\pi^{2}}{2}$ (đvtt)

C. $\pi$ $\pi$ (đvtt)

D. $\pi^{2}$ $\pi^{2}$ (đvtt)

Hướng dẫn giải

Đáp án B.

Áp dụng công thức ở định lý trên ta có

$V = \pi\int_{0}^{\pi}{sin^{2}xdx} = \frac{\pi}{2}\int_{0}^{\pi}{(1 - cos2x)dx} = \left. \ \frac{\pi}{2}\left( x - \frac{1}{2}sin2x \right) \right|_{0}^{\pi} = \frac{\pi^{2}}{2}$ $V = \pi\int_{0}^{\pi}{sin^{2}xdx} = \frac{\pi}{2}\int_{0}^{\pi}{(1 - cos2x)dx} = \left. \ \frac{\pi}{2}\left( x - \frac{1}{2}sin2x \right) \right|_{0}^{\pi} = \frac{\pi^{2}}{2}$.

Tiếp theo dưới đây là một bài toán thường xuất hiện trong các đề thi thử, bài toán có thể đưa về dạng quen thuộc và tính toán rất nhanh.

Ví dụ 10: Tính thể tích khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng được giới hạn bởi đường cong $y = \sqrt{A^{2} - x^{2}}$ $y = \sqrt{A^{2} - x^{2}}$ và trục hoành quanh trục hoành.

Lời giải tổng quát

Ta thấy $y = \sqrt{A^{2} - x^{2}} \Leftrightarrow y^{2} = A^{2} - x^{2} \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} = A^{2}$ $y = \sqrt{A^{2} - x^{2}} \Leftrightarrow y^{2} = A^{2} - x^{2} \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} = A^{2}$

Do $\sqrt{A^{2} - x^{2}} \geq 0$ $\sqrt{A^{2} - x^{2}} \geq 0$ với mọi x, do vậy đây là phương trình nửa đường tròn tâm O, bán kính $R = A$ nằm phía trên trục Ox. Khi quay quanh trục Ox thì hình phẳng sẽ tạo nên một khối cầu tâm O, bán kính $R = A$ (hình 3.11).

Do vậy ta có luôn $V = \frac{4}{3}.\pi.A^{3}$ $V = \frac{4}{3}.\pi.A^{3}$

Vậy với bài toán dạng này, ta không cần viết công thức tích phân mà kết luận luôn theo công thức tính thể tích khối cầu.

Đọc thêm định lí mở rộng

Định lý

Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục, không âm trên đoạn $\lbrack a,b\rbrack(a \geq 0)$ $\lbrack a,b\rbrack(a \geq 0)$. Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f(x)$, trục hoành và hai đường thẳng $x = a,x = b$ quay quanh trục tung tạo nên một khối xoay. Thể tích V của khối tròn xoay đó là $V = 2\pi\int_{a}^{b}{xf(x)dx}$ $V = 2\pi\int_{a}^{b}{xf(x)dx}$.

Xem thêm tài liệu mở rộng tại đây: Chuyên đề Toán 12 Ứng dụng hình học Tích phân tính thể tích

Ngoài ra mời bạn đọc tham khảo thêm một số tài liệu liên quan:

------------------------------

Ứng dụng hình học của tích phân không chỉ giúp học sinh hiểu sâu bản chất của tích phân mà còn rèn luyện khả năng tư duy hình học – biểu diễn hình phẳng, khối tròn xoay và các đường cong trong mặt phẳng tọa độ. Khi nắm vững ba dạng trọng tâm: diện tích – thể tích – chiều dài cung, bạn sẽ tự tin giải quyết gần như mọi dạng bài tích phân xuất hiện trong đề thi.

Hy vọng bài viết đã cung cấp cho bạn hệ thống kiến thức đầy đủ, chuẩn xác và các dạng bài tập tiêu biểu giúp bạn học nhanh – nhớ lâu – vận dụng hiệu quả. Hãy tiếp tục luyện tập với nhiều dạng bài nâng cao để củng cố kỹ năng và đạt điểm tối đa trong kỳ thi THPT Quốc gia.

Tải về

Chọn file muốn tải về: