Ứng dụng hình học của tích phân: Tính diện tích, thể tích và chiều dài cung

Tích phân không chỉ là công cụ giải tích đơn thuần mà còn có nhiều ứng dụng hình học quan trọng. Trong bài viết này, bạn sẽ được tìm hiểu chi tiết cách tính diện tích, tính thể tích vật thể tròn xoay và tính chiều dài cung bằng tích phân. Kiến thức được trình bày dễ hiểu, kèm công thức và ví dụ minh họa giúp bạn vận dụng tốt trong học tập và ôn luyện.

1. Tính diện tích hình phẳng

a. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành

Chú ý: Trong trường hợp dấu của $f(x)$ thay đổi trên đoạn $[a;b]$ thì ta phải chia đoạn $[a;b]$ thành một số đoạn con để trên đó dấu của $f(x)$ không đổi, do đó ta có thể bỏ dấu giá trị tuyệt đối trên đoạn đó.

b. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong

Tương tự như chú ý ở trên thì ở bài toán này ta cũng phải xét đoạn mà dấu của $f(x)-g(x)$ không đổi.

Chú ý:

• Khi áp dụng công thức này cần khử dấu giá trị tuyệt đối của hàm số dưới dấu tích phân. Muốn vậy ta phải giải phương trình $f(x)-g(x)=0$ trên đoạn $[a;b]$.
• Giả sử phương trình có hai nghiệm $c;d(c<d)$. Khi đó $f(x)-g(x)$ không đổi dấu trên các đoạn $[a;b],[c;d],[d;b]$. Trên mỗi đoạn đó, chẳng hạn trên đoạn $[a;c]$ thì ta có

${\int }_a^c|f(x)-g(x)|dx=\left|{\int }_a^c[f(x)-g(x)]dx\right|$

Ví dụ 4: Tính diện tích hình phẳng (hình được tô màu) ở biểu diễn ở hình 3.4.

Lời giải

Nhận thấy trên $[a;c]$ và $[d;b]$ thì $f_1(x)\ge f_2(x)$; trên $[c;d]$ thì $f_1(x)\le f_2(x)$

Do vậy

$S={\int }_a^b|f_1(x)-f_2(x)|dx={\int }_a^c(f_1(x)-f_2(x))dx$ $+{\int }_c^d(f_2(x)-f_1(x))dx$ $+{\int }_d^b(f_1(x)-f_2(x))dx$

(Trên đây là cách bỏ dấu giá trị tuyệt đối)

Ví dụ 5: Cho hình thang cong $(H)$ giới hạn bởi các đường $y=e^x$, $y=0$, $x=0$ và $x=ln4$. Đường thẳng $x=k(0<k<ln4)$ chia $(H)$ thành hai phần có diện tích là $S_1$ và $S_2$ như hình vẽ bên. Tìm k để $S_1=2S_2$?

A. $k=\frac{2}{3}ln4$

B. $k=ln2$

C. $k=\ln \frac{8}{3}$

D. $k=ln3$

Lời giải

Đáp án D.

Nhìn vào hình vẽ ta có được các công thức sau:

${\int }_0^k{e}^{x}dx=2.{\int }_k^{ln4}{e}^{x}dx\iff {e^x|}_0^k={2.e^x|}_k^{ln4}$

$\iff e^k-e^0=2.e^{ln4}-2.e^k\iff 3e^k=9$ $\iff e^k=3\iff k=ln3$.

2. Tính thể tích vật thể

Ví dụ 7: Tính thể tích vật thể tạo được khi lấy giao vuông góc hai ống nước hình trụ có cùng bán kính đáy bằng a. (như hình vẽ).

A. $k=\frac{2}{3}ln4$

B. $k=ln2$

C. $k=\ln \frac{8}{3}$

D. $k=ln3$

Đáp án A

Lời giải

Ta sẽ gắn hệ trục tọa độ Oxyz vào vật thể này, tức là ta sẽ đi tính thể tích vật thể V giới hạn bởi hai mặt trụ: $x^2+y^2=a^2$ và $x^2+z^2=a^2$ ($a>0$).

Hình vẽ trên mô tả một phần tám thứ nhất của vật thể này, với mỗi $x\in [0;a]$ thiết diện của vật thể (vuông góc với trục Ox) tại x là một hình vuông có cạnh $y=\sqrt{a^2-x^2}$ (chính là phần gạch chéo trong hình 3.7).

Do đó diện tích thiết diện sẽ là:

$S(x)=\sqrt{a^2-x^2}.\sqrt{a^2-x^2}=a^2-x^2$ , $x\in [0;a]$.

Khi đó áp dụng công thức (*) thì thể tích vật thể cần tìm sẽ bằng:

$V=8{\int }_0^{a}S(x)dx=8{\int }_0^a(a^2-x^2)dx={8(a^{2}x-\frac{x^3}{3})|}_0^a=\frac{16a^3}{3}$

3. Tính thể tích khối tròn xoay

Ví dụ 9: Thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng được giới hạn bởi đường cong $y=\sin x$, trục hoành và hai đường thẳng $x=0,x=\pi$ (hình 3.10) quanh trục Ox là

A. $\frac{\pi }{2}$ (đvtt)

B. $\frac{{\pi }^2}{2}$ (đvtt)

C. $\pi$ (đvtt)

D. ${\pi }^2$ (đvtt)

Lời giải

Đáp án B.

Áp dụng công thức ở định lý trên ta có

$V=\pi {\int }_0^{\pi }si{n}^{2}xdx=\frac{\pi }{2}{\int }_0^{\pi }(1-cos2x)dx={\frac{\pi }{2}(x-\frac{1}{2}sin2x)|}_0^{\pi }=\frac{{\pi }^2}{2}$.

Tiếp theo dưới đây là một bài toán thường xuất hiện trong các đề thi thử, bài toán có thể đưa về dạng quen thuộc và tính toán rất nhanh.

Ví dụ 10: Tính thể tích khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng được giới hạn bởi đường cong $y=\sqrt{A^2-x^2}$ và trục hoành quanh trục hoành.

Lời giải tổng quát

Ta thấy $y=\sqrt{A^2-x^2}\iff y^2=A^2-x^2\iff x^2+y^2=A^2$

Do $\sqrt{A^2-x^2}\ge 0$ với mọi x, do vậy đây là phương trình nửa đường tròn tâm O, bán kính $R=A$ nằm phía trên trục Ox. Khi quay quanh trục Ox thì hình phẳng sẽ tạo nên một khối cầu tâm O, bán kính $R=A$ (hình 3.11).

Do vậy ta có luôn $V=\frac{4}{3}.\pi .A^3$

Vậy với bài toán dạng này, ta không cần viết công thức tích phân mà kết luận luôn theo công thức tính thể tích khối cầu.

------------------------------

Hy vọng qua bài viết, bạn đã hiểu rõ các ứng dụng hình học của tích phân trong việc tính diện tích, thể tích và chiều dài cung. Việc nắm vững các công thức và cách áp dụng sẽ giúp bạn giải quyết nhanh chóng nhiều dạng bài tập quan trọng trong giải tích và toán học ứng dụng. Đừng quên luyện tập thêm để củng cố kiến thức và thành thạo kỹ năng tính tích phân hình học.