Cách tính khoảng cách giữa hai đường thẳng
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng
Công thức tính khoảng cách của hai đường thẳng được VnDoc.com sưu tầm và xin gửi tới bạn đọc cùng tham khảo. Hi vọng tài liệu này sẽ giúp các bạn ôn thi THPT Quốc gia môn Toán trắc nghiệm hiệu quả.
A. Công thức tính khoảng cách giữa hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng 
\(d\) và \(\Delta\) bất kì. Khi đó để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng ta có thể thực hiện theo hai cách như sau:
Cách 1. Tính khoảng cách từ 1 điểm bất kì thuộc đường thẳng này đến đường thẳng còn lại.
Khoảng cách từ điểm M ∈ d đến đường thẳng Δ
\(\Delta\) đi qua điểm \(M_{0}\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{a_{\Delta}}\)
\(\boxed{d(M,\Delta) = \frac{\left|
\left\lbrack \overrightarrow{a_{\Delta}},\overrightarrow{M_{0}M}
\right\rbrack \right|}{\left| \overrightarrow{a_{\Delta}}
\right|}}\)
Cách 2. Áp dụng công thức tính khoảng cách của hai đường thẳng chéo nhau
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
\(d\) đi qua điểm \(M\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{a_{1}}\)
\(\Delta\) đi qua điểm \(N\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{a_{2}}\)
\(\boxed{d(d,\Delta) = \frac{\left|
\left\lbrack \overrightarrow{a_{1}},\overrightarrow{a_{2}}
\right\rbrack.\overrightarrow{MN} \right|}{\left| \left\lbrack
\overrightarrow{a_{1}},\overrightarrow{a_{2}} \right\rbrack
\right|}}\)
C. Bài tập tính khoảng cách giữa hai đường thẳng
Ví dụ. Trong không gian \(Oxyz\),cho hai đường thẳng \(d:\left\{ \begin{matrix}
x = 1 - t \\
y = t \\
z = - t \\
\end{matrix} \right.\ ;\left( t\mathbb{\in R} \right)\) và \(d':\left\{ \begin{matrix}
x = 2t' \\
y = - 1 + t' \\
z = t' \\
\end{matrix} \right.\ ;\left( t'\mathbb{\in R} \right)\). Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(d\) và \(d'\) bằng bao nhiêu?
Hướng dẫn giải
Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(A(1;0;0)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{u_{d}} = ( - 1;1; -
1)\)
Đường thẳng \(d'\) đi qua điểm \(B(0; - 1;0)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{u_{d'}} =
(2;1;1);\overrightarrow{AB} = ( - 1; - 1;0)\)
\(\left\lbrack
\overrightarrow{u_{d}};\overrightarrow{u_{d'}} \right\rbrack =
\left( \left| \begin{matrix}
1 & - 1 \\
1 & 1 \\
\end{matrix} \right|;\left| \begin{matrix}
- 1 & - 1 \\
1 & 2 \\
\end{matrix} \right|;\left| \begin{matrix}
- 1 & 1 \\
2 & 1 \\
\end{matrix} \right| \right) = (2; - 1; - 3)\)
Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(d\) và \(d'\) là:
\(d(d;d') = \frac{\left| \left\lbrack
\overrightarrow{u_{d}};\overrightarrow{u_{d'}}
\right\rbrack.\overrightarrow{AB} \right|}{\left| \left\lbrack
\overrightarrow{u_{d}};\overrightarrow{u_{d'}} \right\rbrack
\right|} = \frac{1}{\sqrt{14}}\)
Ví dụ. Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), tính khoảng cách giữa đường thẳng \(d:\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 2}{- 4} =
\frac{z - 4}{3}\) và trục \(Ox\).
Hướng dẫn giải
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{u_{d}} = (2; - 4;3)\) và đi qua điểm \(M(1; - 2;4)\)
Trục Ox có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{u_{Ox}} = (1;0;0)\) và đi qua điểm \(N(1;0;0)\)
Khoảng cách giữa đường thẳng d và trục Ox là:
\(d(d;Ox) = \frac{\left| \left\lbrack
\overrightarrow{u_{d}};\overrightarrow{u_{Ox}}
\right\rbrack.\overrightarrow{MN} \right|}{\left| \left\lbrack
\overrightarrow{u_{d}};\overrightarrow{u_{Ox}} \right\rbrack \right|} =
\frac{\left| (0;3;4).(0;2; - 4) \right|}{\left| (0;3;4) \right|} =
2\)
Ví dụ. Trong không gian \(Oxyz\), cho hai đường thẳng \(d_{1}:\frac{x - 1}{2} =
\frac{y}{1} = \frac{z}{3},d_{2}:\left\{ \begin{matrix}
x = 1 + t \\
y = 2 + t \\
z = m \\
\end{matrix} \right.\ ;\left( t\mathbb{\in R} \right)\). Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các số \(m\) sao cho \(d_{1},d_{2}\) chéo nhau và khoảng cách giữa chúng bằng \(\frac{5}{\sqrt{19}}\). Tính tổng tất cả các phần tử của \(S\).
Hướng dẫn giải
Vectơ chỉ phương của \(d_{1},d_{2}\) là \(\overrightarrow{u_{1}} =
(2;1;3),\overrightarrow{u_{2}} = (1;1;0)\)
Khi đó: \(\overrightarrow{n} = \left\lbrack
\overrightarrow{u_{1}},\overrightarrow{u_{2}} \right\rbrack = ( -
3;3;1)\).
Gọi \((P)\) là mặt phẳng chứa \(d_{1}\) song song với \(d_{2}\).
Tức là, \((P)\) qua \(A(1;0;0)\) và nhận \(\overrightarrow{n}\) làm vectơ pháp tuyến.
Ta có phương trình \((P):3x - 3y - z - 3 =
0\)
Xét điểm \(B(1;2;m) \in d_{2}\). Do \(d_{1},d_{2}\) chéo nhau nên \(B \notin (P) \Leftrightarrow m \neq -
6\).
Lại có:
\(d\left( d_{1};d_{2} \right) =
\frac{5}{\sqrt{19}} \Leftrightarrow d\left( B;(P) \right) =
\frac{5}{\sqrt{19}}\)
\(\Leftrightarrow \frac{|3 - 6 - m -
3|}{\sqrt{19}} = \frac{5}{\sqrt{19}} \Leftrightarrow \left\lbrack
\begin{matrix}
m = - 1 \\
m = - 11 \\
\end{matrix} \right.\)
Vậy tổng các phần tử của S là \(- 1 - 11 =
- 12\).
