VnDoc.com

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Bài tập Toán 12: Tính tích phân có điều kiện

Ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán

Tổng hợp bài tập trắc nghiệm Toán học 12 chuyên đề Tính tích phân có điều kiện, giúp học sinh luyện tập và củng cố hiệu quả kiến thức lớp 12. Tài liệu đính kèm đáp án chi tiết, phù hợp để ôn thi THPT Quốc gia.

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng

Bài kiểm tra này bao gồm 30 câu
Điểm số bài kiểm tra: 30 điểm
Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu

00:00:00

Câu 1: Thông hiểu
Chọn kết luận đúng
Cho $\int_{0}^{\frac{1}{2}}{x^{n}dx} = \frac{1}{64}$ và $\int_{1}^{5}\frac{dx}{2x - 1} = \ln m$ , với n, m là các số nguyên dương. Khi đó:
- A.
  $1 < n + m < 5$
- B.
  $n = m$
- C.
  $n < m$
- D.
  $n > m$
Hướng dẫn:
Ta có:

$\int_{0}^{\frac{1}{2}}{x^{n}dx} = \frac{1}{64} \Rightarrow \left( \frac{1}{2} ight)^{n + 1}.\frac{1}{n + 1} = \frac{1}{64} \Rightarrow n = 3$

$\int_{1}^{5}\frac{dx}{2x - 1} = \frac{1}{2}\int_{1}^{5}\frac{d(2x - 1)}{2x - 1} = \left. \ \frac{1}{2}\ln|2x - 1| ight|_{1}^{5}$

$= \frac{1}{2}ln9 - \frac{1}{2}ln1 = ln3$

$\Rightarrow m = n = 3$
Câu 2: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng
Tích phân $\int_{0}^{1}{xe^{- x^{2}}dx}$ bằng
- A.
  $\frac{e + 1}{2e}$
- B.
  $\frac{e - 1}{2e}$
- C.
  $\frac{e + 1}{2}$
- D.
  $\frac{e - 1}{2}$
Hướng dẫn:
Ta có:

Cách 1: Thử bằng máy tính

Cách 2: $I = \int_{0}^{1}{x.e^{- x^{2}}dx} = - \frac{1}{2}\int_{0}^{1}{( - 2x)e^{- x^{2}}dx}$

$= - \frac{1}{2}\int_{0}^{1}{e^{- x^{2}}d\left( - x^{2} ight)} = \left. \ - \frac{1}{2}e^{- x^{2}} ight|_{0}^{1} = - \frac{1}{2}.e^{- 1} + \frac{1}{2}$

$= \frac{1}{2} - \frac{1}{2e} = \frac{e - 1}{2e}$
Câu 3: Nhận biết
Tính tích phân I
Giả sử $\int_{- 1}^{1}{f(t)dt} = 5$ và $\int_{- 1}^{3}{f(r)dr} = 6$ . Tính $I = \int_{1}^{3}{f(u)du}$
- A.
  $I = 1$
- B.
  $I = 4$
- C.
  $I = 3$
- D.
  $I = 2$
Hướng dẫn:
Ta có: $I = \int_{1}^{3}{f(u)du} = \int_{- 1}^{3}{f(u)du} - \int_{- 1}^{1}{f(u)du} = 6 - 5 = 1$
Câu 4: Thông hiểu
Chọn khẳng định đúng
Kết quả tích phân $I = \int_{0}^{1}{(2x + 3)e^{x}dx}$ được viết dưới dạng $I = ae + b$ với a, b là các số hữu tỉ. Tìm khẳng định đúng.
- A.
  $a - b = 2$
- B.
  $ab = 3$
- C.
  $a + 2b = 1$
- D.
  $a^{3} + b^{3} = 28$
Hướng dẫn:
Ta có:

$I = \int_{0}^{1}{(2x + 3).e^{x}dx} = 2\int_{0}^{1}{x.e^{x}dx} + 3\int_{0}^{1}{e^{x}dx}$

Tương tự các bài trên

$\Rightarrow \int_{0}^{1}{x.e^{x}dx} = \left. \ x.e^{x} ight|_{0}^{1} - \int_{0}^{1}{e^{x}dx}$

$\Rightarrow I = \left. \ 2x.e^{x} ight|_{0}^{1} + \int_{0}^{1}{e^{x}dx} = 2x.e^{x} + \left. \ e^{x}ight|_{0}^{1} = 3e - 1$

$a = 3;b = - 1$

Suy ra, đáp án B: $a + 2b = 1$
Câu 5: Nhận biết
Tính giá trị biểu thức
Cho hàm số $g(x)$ có đạo hàm trên đoạn $\lbrack - 1;1brack$ . Có $g( - 1) = 3$ và tích phân $I = \int_{- 1}^{1}{g'(x)dx} = - 2$ . Tính $g(1)$ .
- A.
  −5
- B.
  1
- C.
  $- \frac{3}{2}$
- D.
  −6
Hướng dẫn:
Ta có:

$I = \int_{- 1}^{1}{g'(x)dx} = - 2 \Leftrightarrow g(1) - g( - 1) = - 2$

$\Rightarrow g(1) = - 2 + g( - 1) = - 2 + 3 = 1$
Câu 6: Thông hiểu
Tính tổng S
Biết $\int_{3}^{4}\frac{dx}{x^{2} + x} = aln3 + bln4 + cln5$ , với a, b, c là các số nguyên. Tính $S = a + b + c$
- A.
  $S = - 2$
- B.
  $S = 2$
- C.
  $S = 6$
- D.
  $S = 0$
Hướng dẫn:
Ta có:

$I = \int_{3}^{4}\frac{dx}{x^{2} + x} = \int_{3}^{4}{\frac{1}{x(x + 1)}dx} = \int_{3}^{4}{\left( \frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1} ight)dx}$

$= \left. \ \left( \ln|x| - \ln|x + 1| ight) ight|_{3}^{4} = \ln4 - \ln5 - (\ln3 - \ln4)$

$= - \ln3 + 2\ln4 - \ln5$

$\Rightarrow S = a + b + c = 0$
Câu 7: Thông hiểu
Xác định giá trị tham số a
Nếu $\int_{0}^{a}{xe^{x}dx = 1}$ thì giá trị của a bằng:
- A.
  e
- B.
  2
- C.
  1
- D.
  0
Hướng dẫn:
Theo như biến đổi câu 1, ta có:

$I = \int_{0}^{a}{x.e^{x}dx} = \left. \ x.e^{x} ight|_{0}^{a} - \int_{0}^{a}e^{x}dx$

$\Rightarrow = a.e^{a} - e^{a} + 1 = 1$

$\Rightarrow a = 1$
Câu 8: Nhận biết
Tính tích phân I
Biết $\int_{0}^{1}{f(x)dx} = 2$ và $f(x)$ là hàm số lẻ. Khi đó $I = \int_{- 1}^{0}{f(x)dx}$ có giá trị bằng
- A.
  $I = 1$
- B.
  $I = - 2$
- C.
  $I = 2$
- D.
  $I = 0$
Hướng dẫn:
Ta có:

$f(x)$ là hàm số lẻ

$\Rightarrow \int_{- 1}^{0}{f(x)dx} = - \int_{0}^{1}{f(x)dx} = - 2$
Câu 9: Thông hiểu
Tính tích phân
Tính tích phân $\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}}{\frac{1 - sin^{3}x}{sin^{2}x}dx}$
- A.
  $\frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{2}$
- B.
  $\frac{\sqrt{3} + 2\sqrt{2} - 2}{2}$
- C.
  $\frac{\sqrt{3} - 2}{2}$
- D.
  $\frac{\sqrt{3} + \sqrt{2} - 2}{2}$
Hướng dẫn:
Ta có:

$\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}}{\left( \frac{1}{sin^{2}x} - \sin x ight)dx} = - \left. \ \cot x ight|_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}} + \left. \ \cos x ight|_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}}$

$= \frac{- 2 + \sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{2} - 2}{2}$ .
Câu 10: Thông hiểu
Tính giá trị tích phân
Tích phân $\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}}{\cot x.dx}$ có giá trị bằng
- A.
  $- \ln\sqrt{2}$
- B.
  $ln2$
- C.
  $\ln\sqrt{2}$
- D.
  $ln4$
Hướng dẫn:
Cách 1: Thử bằng máy tính

Cách 2: Đặt $\sin x = t \Rightarrow I = \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{t}dt}$
Câu 11: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng
Cho $\int_{- 1}^{2}{f(x)}dx = 2$ và $\int_{- 1}^{2}{g(x)}dx = - 1$ . Tính $I = \int_{- 1}^{2}{\left\lbrack x + 2f(x) - 3g(x) \right\rbrack dx}$ .
- A.
  $I = \frac{7}{2}$
- B.
  $I = \frac{17}{2}$
- C.
  $I = \frac{5}{2}$
- D.
  $I = \frac{11}{2}$
Hướng dẫn:
Ta có $I = \int_{- 1}^{2}\left\lbrack x + 2f(x) - 3g(x) ightbrack dx$

$= \int_{- 1}^{2}{xdx} + 2\int_{- 1}^{2}{f(x)}dx - 3\int_{- 1}^{2}{g(x)}dx$

$\Rightarrow I = \left. \ \frac{x^{2}}{2} ight|_{- 1}^{2} + 2.2 - 3( - 1) = \frac{3}{2} + 4 + 3 = \frac{17}{2}$
Câu 12: Thông hiểu
Tìm hàm số không thích hợp
Hàm số nào sau đây không là nguyên hàm của hàm số $f(x) = \frac{x(x + 2)}{(x + 1)^{2}}$ ?
- A.
  $\frac{x^{2} + x + 1}{x + 1}$
- B.
  $\frac{x^{2} + x - 1}{x + 1}$
- C.
  $\frac{x^{2}}{x + 1}$
- D.
  $\frac{x^{2} - x - 1}{x + 1}$
Hướng dẫn:
Dễ nhận thấy $\frac{x^{2}}{x + 1} + 1 = \frac{x^{2} + x + 1}{x + 1}$

$\frac{x^{2}}{x + 1} - 1 = \frac{x^{2} - x - 1}{x + 1}$

Ta thấy 3 phương án $\frac{x^{2} - x - 1}{x + 1}$ , $\frac{x^{2} + x + 1}{x + 1}$ , $\frac{x^{2}}{x + 1}$ có cùng đạo hàm.

Vậy phương án $\frac{x^{2} + x - 1}{x + 1}$ sai.
Câu 13: Nhận biết
Chọn đáp án đúng
Tích phân $I = \int_{0}^{1}{x\sqrt{x^{2} + 1}dx}$ có giá trị bằng
- A.
  $I = \frac{\sqrt{2}}{3}$
- B.
  $I = \frac{2}{3}$
- C.
  $I = \frac{2\sqrt{2}}{3}$
- D.
  $I = \frac{2\sqrt{2} - 1}{3}$
Hướng dẫn:
Ta có:

$I = \int_{0}^{1}{x\sqrt{x^{2} + 1}dx}$

Ta thử bằng máy tính để tìm ra kết quả.
Câu 14: Thông hiểu
Tính giá trị biểu thức
Biết tích phân $I = \int_{0}^{1}{(2x + 1)e^{x}dx} = a + be$ $\left( a\mathbb{\in Q};b\mathbb{\in Q} \right)$ . Khi đó tích $a.b$ có giá trị bằng
- A.
  1
- B.
  −1
- C.
  3
- D.
  2
Hướng dẫn:
Ta có:

$I = \int_{0}^{1}{(2x + 1)e^{x}dx} = \int_{0}^{1}{2xe^{x}dx} + \int_{0}^{1}{e^{x}dx}$

$= \int_{0}^{1}{2xe^{x}dx} + e - 1$

Đặt $\left\{ \begin{matrix} e^{x}dx = dv \\ x = u \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} v = e^{x} \\ dx = du \\ \end{matrix} ight.$

$I = 2\int_{0}^{1}{udv} + e - 1 = \left. \ 2uv ight|_{0}^{1} - 2\int_{0}^{1}{vdu} + e - 1$

$= \left. \ 2x.e^{x} ight|_{0}^{1} - e\int_{0}^{1}{e^{x}dx} + e - 1 = e + 1$

$\Rightarrow a = b = 1 \Rightarrow ab = 1$ .
Câu 15: Nhận biết
Chọn phương án thích hợp
Tìm tất cả các số thực m dương thỏa mãn $\int_{0}^{m}\frac{x^{2}dx}{x + 1} = ln2 - \frac{1}{2}$ ?
- A.
  $m = 1$
- B.
  $m > 3$
- C.
  $m = 3$
- D.
  $m = 2$
Hướng dẫn:
Thử các đáp án, suy ra $m = 1$
Câu 16: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng
Tích phân $I = \int_{0}^{1}{\frac{x}{(x + 1)^{3}}dx}$ có giá trị là
- A.
  $\frac{1}{2}$
- B.
  $- \frac{1}{8}$
- C.
  $\frac{1}{8}$
- D.
  $\frac{1}{4}$
Hướng dẫn:
Ta có: Thử máy tính.

Gợi ý: $I = \int_{0}^{1}{\left\lbrack \frac{1}{(x + 1)^{2}} - \frac{1}{(x + 1)^{3}} ightbrack d(x + 1)}$
Câu 17: Thông hiểu
Tính tổng a và b
Biết $\int_{0}^{1}{\frac{x + 2}{x^{2} + 4x + 7}dx} = a\ln\sqrt{12} + b\ln\sqrt{7}$ , với a, b là các số nguyên. Tính tổng $a + b$ bằng
- A.
  1
- B.
  −1
- C.
  $\frac{1}{2}$
- D.
  0
Hướng dẫn:
Ta có:

$\int_{0}^{1}{\frac{x + 2}{x^{2} + 4x + 7}dx} = \frac{1}{2}.\int_{0}^{1}{\frac{2x + 4}{x^{2} + 4x + 7}dx}$

$= \frac{1}{2}.\int_{0}^{1}\frac{d\left( x^{2} + 4x + 7 ight)}{x^{2} + 4x + 7} = \left. \ \frac{1}{2}\ln\left( x^{2} + 4x + 7 ight) ight|_{0}^{1}$

$= \frac{1}{2}ln12 - \frac{1}{2}ln7 = \ln\sqrt{12} - \ln\sqrt{7}$

$\Rightarrow a = 1;b = - 1 \Rightarrow a + b = 0$
Câu 18: Thông hiểu
Tính tích phân
Tích phân $I = \int_{1}^{e}{2x\left( 1 - \ln x \right)dx}$ bằng
- A.
  $\frac{e^{2} - 3}{2}$
- B.
  $\frac{e^{2} - 1}{2}$
- C.
  $\frac{e^{2}}{2}$
- D.
  $\frac{e^{2} - 3}{4}$
Hướng dẫn:
Ta có:

$I = \int_{1}^{e}{2x\left( 1 - \ln x ight)dx} = - \int_{1}^{e}{2x.lnxdx} + \int_{1}^{e}{2xdx}$

$= e^{2} - 1 - 2\int_{1}^{e}{x.lnxdx}$

Đặt $\left\{ \begin{matrix} \ln x = u \\ xdx = dv \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} \frac{1}{x}dx = du \\ \frac{x^{2}}{2} = v \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow \int_{1}^{e}{x\ln xdx} = \int_{1}^{e}{udv} = \left. \ uv ight|_{1}^{e} - \int_{1}^{e}{vdu}$

$= \left. \ \ln x.\frac{x^{2}}{2} ight|_{1}^{e} - \int_{1}^{e}\frac{x}{2}dx$

$= \frac{e^{2}}{2} - \frac{e^{2}}{4} + \frac{1}{4} = \frac{e^{2}}{4} + \frac{1}{4}$

$\Rightarrow I = e^{2} - 1 - \frac{e^{2} + 1}{2} = \frac{e^{2} - 3}{2}$
Câu 19: Thông hiểu
Tính tích phân I
Cho tích phân $I = \int_{0}^{3}{\frac{x}{1 + \sqrt{x + 1}}dx}$ nếu đặt $t = \sqrt{x + 1}$ thì $I = \int_{1}^{2}{f(t)dt}$ trong đó
- A.
  $f(t) = 2t^{2} + 2t$
- B.
  $f(t) = t^{2} - t$
- C.
  $f(t) = 2t^{2} - 2t$
- D.
  $f(t) = t^{2} + t$
Hướng dẫn:
Ta có: $I = \int_{0}^{3}{\frac{x}{1 + \sqrt{x + 1}}dx}$

$t = \sqrt{x + 1} \Rightarrow t^{2} = x + 1 \Rightarrow 2tdt = dx$

$I = \int_{0}^{3}{\frac{x\left( 1 - \sqrt{x + 1} ight)}{1 - (x + 1)}dx} = \int_{0}^{3}{\left( \sqrt{x + 1} - 1 ight)dx}$

$I = 2\int_{1}^{2}{(t - 1)tdt} = \int_{1}^{2}{\left( t^{2} - 1 ight)2dt} \Rightarrow f(t) = 2t^{2} - 2t$
Câu 20: Thông hiểu
Tìm tham số a thỏa mãn điều kiện
Giá trị dương a sao cho $\int_{0}^{a}{\frac{x^{2} + 2x + 2}{x + 1}dx} = \frac{a^{2}}{2} + a + ln3$ là
- A.
  4
- B.
  5
- C.
  2
- D.
  3
Hướng dẫn:
Ta có:

$I = \int_{0}^{a}{\frac{x^{2} + 2x + 2}{x + 1}dx} = \int_{0}^{a}{\frac{(x + 1)^{2} + 1}{x + 1}dx}$

$= \int_{0}^{a}{x + 1 + \frac{1}{x + 1}d(x + 1)}$

$= \left. \ \frac{(x + 1)^{2}}{2} ight|_{0}^{a} + \left. \ \ln|x + 1| ight|_{0}^{a} = \frac{(a + 1)^{2}}{2} - \frac{1}{2} + \ln|a + 1|$

$= \frac{a^{2}}{2} + a + \ln|a + 1|$

$\Rightarrow a + 1 = 3 \Rightarrow a = 2$ .
Câu 21: Thông hiểu
Tìm tất cả các giá trị tham số a
Có bao nhiêu số $a \in (0;20\pi)$ sao cho $\int_{0}^{a}{sin^{5}x.sin2xdx} = \frac{2}{7}$ .
- A.
  9
- B.
  19
- C.
  10
- D.
  20
Hướng dẫn:
Ta có:

$I = \int_{0}^{a}{sin^{5}x.sin2xdx} = 2\int_{0}^{a}{sin^{6}x.cosxdx}$

$= 2\int_{0}^{a}{sin^{6}x.d\left( \sin x ight)} = \left. \ 2.\frac{sin^{7}x}{7} ight|_{0}^{a} = \frac{2sin^{7}a}{7}$

$I = \frac{2}{7} \Rightarrow \sin a = 1 \Rightarrow a = \frac{\pi}{2} + k2\pi$

$a > 0 \Leftrightarrow \frac{\pi}{2} + k2\pi > 0 \Rightarrow k2\pi > - \frac{\pi}{2} \Rightarrow k > - \frac{1}{4}$

$a < 20\pi \Rightarrow \frac{1}{2} + 2k < 20 \Rightarrow k < \frac{39}{4}$

$\Rightarrow k = 0;1;2;3;4;5;6;7;8;9$ $\Rightarrow$ Có 10 giá trị của a.
Câu 22: Vận dụng
Tính giới hạn của tích phân
Giá trị của $\lim_{n ightarrow + \infty}\int_{n}^{n + 1}{\frac{1}{1 + e^{x}}dx}$ bằng
- A.
  e
- B.
  0
- C.
  1
- D.
  −1
Hướng dẫn:
Giải toán bằng hai cách như sau:

Cách 1: Thử bằng máy tính

Lấy giá trị n càng lớn càng tốt. Giả sử $n = 100$ .

Nhập biểu thức $\int_{100}^{101}{\frac{1}{1 + e^{x}}dx}$

Máy tính cho kết quả $\approx 2.35 \times 10^{- 44} \approx 0$ .

Cách 2: Giải chi tiết

$I = \int_{n}^{n + 1}{\left( \frac{1}{1 + e^{x}} ight)dx} = \int_{n}^{n + 1}{1dx} - \int_{n}^{n + 1}{\frac{e^{x}}{1 + e^{x}}dx}$

$= 1 - \int_{n}^{n + 1}{\frac{e^{x}}{1 + e^{x}}dx}$

$\Leftrightarrow I = 1 - \int_{n}^{n + 1}\frac{d\left( e^{x} + 1 ight)}{1 + e^{x}} = 1 - \left. \ \ln\left| 1 + e^{x} ight| ight|_{n}^{n + 1}$

$\Leftrightarrow I = 1 + \ln\left| 1 + e^{n} ight| - \ln\left| 1 + e^{n + 1} ight|$

Ta luôn có $\lim_{n ightarrow + \infty}\frac{\ln\left( 1 + e^{n} ight)}{n} = 1$

$\lim_{n ightarrow + \infty}\int_{n}^{n + 1}{\frac{1}{1 + e^{x}}dx} = \lim_{n ightarrow + \infty}\left\lbrack 1 + \ln\left| 1 + e^{n} ight| - \ln\left( 1 + e^{n + 1} ight) ightbrack$

$= 1 + \lim_{n ightarrow + \infty}\frac{\ln\left( 1 + e^{n} ight)}{n}.n - \frac{\ln\left| 1 + e^{n + 1} ight|}{n + 1}.(n + 1)$

$= 1 + n - (n + 1) = 0$
Câu 23: Thông hiểu
Tính giá trị tích phân
Tích phân $\int_{0}^{2}{\sqrt{4 - x^{2}}xdx}$ có giá trị bằng
- A.
  $\frac{5}{3}$
- B.
  $\frac{8}{3}$
- C.
  $\frac{2}{3}$
- D.
  $\frac{10}{3}$
Hướng dẫn:
Thử giải bài toán bằng hai cách:

Cách 1: Thử bằng máy tính

Cách 2: Đặt $\sqrt{4 - x^{2}} = t$
Câu 24: Nhận biết
Tính tích phân I
Cho $\int_{1}^{2}{f(x)dx} = - 3$ . Tính $I = \int_{2}^{4}{f\left( \frac{x}{2} \right)dx}$ .
- A.
  5
- B.
  $- \frac{3}{2}$
- C.
  −1
- D.
  −6
Hướng dẫn:
Ta có:

Đặt $\frac{x}{2} = t \Rightarrow dx = 2dt$

$\Rightarrow I = \int_{1}^{2}{2f(t)dt} = 2\int_{1}^{2}{f(t)dt} = 2.( - 3) = - 6$
Câu 25: Thông hiểu
Tính giá trị của biểu thức S
Biết rằng: $\int_{0}^{ln2}{\left( x + \frac{1}{2e^{x} + 1} \right)dx} = \frac{1}{2}ln^{a}2 + bln2 + c\ln\frac{5}{3}$ . Trong đó a, b, c là những số nguyên. Khi đó $S = a + b - c$ bằng
- A.
  4
- B.
  2
- C.
  3
- D.
  5
Hướng dẫn:
Ta có:

$\int_{0}^{ln2}\left( x + \frac{1}{2e^{x} + 1} ight)dx = \int_{0}^{ln2}{xdx} + \int_{0}^{ln2}{\frac{2e^{x} + 1 - 2e^{x}}{2e^{x} + 1}dx}$

$= \int_{0}^{ln2}{(x + 1)dx} - \int_{0}^{ln2}{\frac{2e^{x}}{2e^{x} + 1}dx}$

$= \left. \ \left( \frac{x^{2}}{2} + x ight) ight|_{0}^{ln2} - \int_{0}^{ln2}\frac{d\left( 2e^{x} + 1 ight)}{2e^{x} + 1}$

$= \frac{ln^{2}2}{2} + ln2 - \left. \ \ln\left| 2e^{x} + 1 ight| ight|_{0}^{ln2}$

$= \frac{ln^{2}2}{2} + ln2 - ln5 + ln3 = \frac{ln^{2}2}{2} + ln2 - \ln\frac{5}{3}$

$\Rightarrow a = 2;b = 1;c = - 1 \Rightarrow a + b - c = 4$
Câu 26: Nhận biết
Tính giá trị của c
Giả sử $\int_{1}^{5}\frac{dx}{2x - 1} = \ln c$ . Giá trị của c là
- A.
  8
- B.
  81
- C.
  3
- D.
  9
Hướng dẫn:
Ta có: $\int_{1}^{5}\frac{dx}{2x - 1} = ln3$
Câu 27: Thông hiểu
Tính tích phân I
Cho $\int_{0}^{6}{f(x)dx} = 12$ . Tính $I = \int_{0}^{2}{f(3x)dx}$
- A.
  $I = 6$
- B.
  $I = 4$
- C.
  $I = 2$
- D.
  $I = 36$
Hướng dẫn:
Ta có:

Đặt $t = 3x \Rightarrow dt = 3dx$ . Đổi cận:

$x = 0 \Rightarrow t = 0;x = 2 \Rightarrow t = 6$

$\Rightarrow I = \int_{0}^{2}{f(3x)dx} = \frac{1}{3}\int_{0}^{6}{f(t)dt} = \frac{1}{3}\int_{0}^{6}{f(x)dx}$ $= \frac{1}{3}.12 = 4$
Câu 28: Thông hiểu
Tính giá trị biểu thức S
Biết $I = \int_{0}^{4}{x\ln(2x + 1)dx} = \frac{a}{b}ln3 - c$ , trong đó a, b, c là các số nguyên dương và $\frac{b}{c}$ là phân số tối giản. Tính $S = a + b + c$ .
- A.
  $S = 72$
- B.
  $S = 68$
- C.
  $S = 70$
- D.
  $S = 60$
Hướng dẫn:
Ta có:

$I = \int_{0}^{4}{x\ln(2x + 1)dx}$

Đặt $\left\{ \begin{matrix} \ln(2x + 1) = u \\ xdx = dv \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} \dfrac{2}{2x + 1}dx = du \\ \dfrac{x^{2}}{2} - \dfrac{1}{8} = v \\ \end{matrix} ight.$

$I = \int_{0}^{4}{udv} = \left. \ uv ight|_{0}^{4} - \int_{0}^{4}{vdu}$

$= \left. \ \left( \frac{x^{2}}{2} - \frac{1}{8} ight)\ln|2x + 1| ight|_{0}^{4} - \int_{0}^{4}{\left( \frac{x^{2}}{2} - \frac{1}{8} ight).\frac{2}{2x + 1}dx}$

$= \frac{63}{8}ln9 - \int_{0}^{4}{\frac{4x^{2} - 1}{4(2x + 1)}dx} = \frac{63}{8}ln9 - \frac{1}{4}\int_{0}^{4}{(2x - 1)dx}$

$= \frac{63}{8}ln9 - \left. \ \frac{1}{4}\left( x^{2} - x ight) ight|_{0}^{4} = \frac{63}{4}ln3 - 3$

$\Rightarrow a = 63;b = 4;c = 3 \Rightarrow S = 63 + 4 + 3 = 70$
Câu 29: Thông hiểu
Chọn phương án đúng
Tính tích phân: $\int_{0}^{1}{\frac{x}{\sqrt{x + 1}}dx}$
- A.
  $\frac{4 - 2\sqrt{2}}{3}$
- B.
  $\ln2 - \frac{1}{6}$
- C.
  $\frac{1}{6} - \ln2$
- D.
  $2\ln2 - \frac{5}{3}$
Hướng dẫn:
Ta có hai cách giải bài toán như sau:

Cách 1: Thử trực tiếp bằng máy tính

Cách 2: Đặt $\sqrt{x + 1} = t$ , biến đổi
Câu 30: Thông hiểu
Tính giá trị của biểu thức
Tính tích phân: $I = \int_{1}^{5}\frac{dx}{x\sqrt{3x + 1}}$ được kết quả $I = aln3 + bln5$ . Giá trị $a^{2} + ab + 3b^{2}$ là
- A.
  5
- B.
  4
- C.
  0
- D.
  1
Hướng dẫn:
Ta có:

$I = \int_{1}^{5}\frac{dx}{x\sqrt{3x + 1}}$

Đặt $\sqrt{3x + 1} = t \Rightarrow 3x = t^{2} \Rightarrow 3dx = 2tdt$

Đổi cận: $x = 1 \Rightarrow t = 2$

$x = 5 \Rightarrow t = 4$

$I = \frac{2}{3}\int_{2}^{4}\frac{tdt}{t\left( \frac{t^{2} - 1}{3} ight)} = 2\int_{2}^{4}\frac{dt}{(t - 1)(t + 1)}$

$= \int_{2}^{4}\left( \frac{1}{t - 1} - \frac{1}{t + 1} ight)dt$

$= \left. \ \left( \ln|t - 1| - \ln|t + 1| ight) ight|_{2}^{4} = 2ln3 - ln5$

$\Rightarrow a = 2;b = - 1 \Rightarrow a^{2} + ab + 3b^{2} = 5$

Chia sẻ bởi:
Ma Kết

1

23

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Chuyên đề Toán 12

Xem thêm

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Bài tập Toán 12: Tính tích phân có điều kiện

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

A. CHUYÊN ĐỀ TRỌNG TÂM

B. CHUYÊN ĐỀ TRẮC NGHIỆM

Lớp 12

Toán 12

Chuyên đề Toán 12

Chuyên đề Toán 12

Cho hàm số y = f(x) tìm cực trị của hàm g(x) = f(u(x))

Chuyên đề Tìm cực trị của hàm hợp, hàm ẩn

Cho hàm số y = f(u(x)) xét sự đơn điệu của hàm y = f(x)

Cho hàm số y = f(x) tìm cực trị của hàm g(x) = f(u(x)) + h(x)

Cho đồ thị hàm số tìm số nghiệm của phương trình f(u(x)) = a

Chuyên đề Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm hợp, hàm ẩn