Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Lớp 12 Chuyên đề Toán 12 Thi Tốt Nghiệp THPT

Ôn thi Đại học môn Toán - Chuyên đề: Bất đẳng thức

Tài liệu luyện thi THPT Quốc gia môn Toán
Tải về
Lớp: Lớp 12
Môn: Toán
Loại File: PDF
Phân loại: Tài liệu Tính phí

ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN CHUYÊN ĐỀ: BẤT ĐẲNG THỨC

Trong chương trình Toán 12, các bài toán liên quan đến bất đẳng thức luôn đóng vai trò quan trọng trong việc rèn luyện tư duy logic và khả năng biến đổi đại số. Đây cũng là dạng toán thường xuyên xuất hiện trong các đề thi đánh giá năng lực và đề thi tốt nghiệp THPT với nhiều mức độ từ cơ bản đến vận dụng cao. Những bài toán này yêu cầu học sinh không chỉ nắm vững các kiến thức nền tảng mà còn biết vận dụng linh hoạt các phương pháp chứng minh và biến đổi bất đẳng thức.

Bài viết “Ôn thi Đại học môn Toán – Chuyên đề: Bất đẳng thức” được xây dựng nhằm hệ thống hóa những dạng toán bất đẳng thức thường gặp trong chương trình Toán lớp 12, đồng thời cung cấp các phương pháp giải hiệu quả giúp học sinh tiếp cận bài toán một cách khoa học. Nội dung bám sát định hướng ra đề của Bộ Giáo dục và Đào tạo Việt Nam , giúp người học hiểu rõ bản chất của từng dạng bài và rèn luyện kỹ năng biến đổi đại số chính xác.

Thông qua việc luyện tập với nhiều dạng bài từ cơ bản đến nâng cao, học sinh có thể từng bước nâng cao khả năng phân tích, lựa chọn phương pháp giải phù hợp và tối ưu hóa thời gian làm bài trong phòng thi. Đây là nguồn tài liệu hữu ích hỗ trợ quá trình luyện đề, ôn tập chuyên sâu và chuẩn bị cho kỳ thi THPT Quốc gia môn Toán.

A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

I. Một số ghi nhớ

* a2 ≥ 0, (a ± )2 ≥ 4ab; với mọi a, b

* a2 ± ab + b2 > 0, với mọi a, b

* |a| ≥ ± a, vơi mọi a

* |a + b| ≤ |a| + |b|; với mọi a, b

* |a - b| ≥ |a| - |b|; với mọi a, b

* - 1 ≤ sinx ≤ 1; -1 ≤ cosx ≤ 1

II. Bất đẳng thức Cauchy

Cho hai số a, b, không âm

1. Ta có: a + b ≥ 2√a.b; dấu "=" xảy ra khi a = b

2. Nếu a + b = const thì tích a.b lớn nhất khi a = b

3. Nếu a.b = const thì tổng a + b nhỏ nhất khi a = b

B. ĐỀ THI

Bài 1: Cho x, y, z là ba số thực thuộc đoạn [1; 4] và x ≥ y, x ≥ z. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = \frac{x}{{2x + 3y}} + \frac{y}{{y + z}} + \frac{z}{{z + x}}.

Hướng dẫn giải

Áp dụng bất đẳng thức \frac{1}{1 + a} + \frac{1}{1 + b} \geq \frac{2}{1 + \sqrt{ab}} với a,b dương và ab \geq 1.

Ta có: P = \frac{x}{2x + 3y} + \frac{y}{y + z} + \frac{z}{z + x} = \frac{1}{2 + 3\frac{y}{x}} + \frac{1}{1 + \frac{z}{y}} + \frac{1}{1 + \frac{x}{z}}

\geq \frac{1}{2 + 3\frac{y}{x}} + \frac{2}{1 + \sqrt{\frac{z}{y}\frac{x}{z}}} = \frac{1}{2 + 3\frac{y}{x}} + \frac{2}{1 + \sqrt{\frac{x}{y}}}

Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi \frac{z}{y} = \frac{x}{z} hoặc \frac{x}{y} = 1.
Đặt t = \sqrt{\frac{x}{y}}. Với x,y thuộc đoạn \lbrack 1;4\rbrack và x \geq y thì t \in \lbrack 1;2\rbrack.

Khi đó: P \geq \frac{1}{2 + 3\frac{1}{n}} + \frac{2}{1 + t} = \frac{t^{2}}{2t^{2} + 3} + \frac{2}{1 + t}

Xét hàm số f(t) = \frac{t^{2}}{2t^{2} + 3} + \frac{2}{1 + t} trên \lbrack 1;2\rbrack.

Ta có: f'(t) = \frac{- 2\left\lbrack 4t^{3}(t - 1) + 3\left( 2t^{2} - t + 3 \right) \right\rbrack}{\left( 2t^{2} + 3 \right)^{2}(t + 1)^{2}} < 0,\forall x \in \lbrack 1;2\rbrack.

Suy ra hàm số f nghịch biến trên \lbrack 1;2\rbrack. Do đó: f(t) \leq f(2) = \frac{34}{33}

Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi : \left\{ \begin{matrix} \frac{z}{x} = \frac{x}{z}\text{~hoặc~} = \frac{x}{y} = 1 \\ t = \sqrt{\frac{x}{y}} = 2 \end{matrix}\ \right.

Dễ thấy x = 4,y = 1,z = 2 thỏa mãn.

Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng \frac{34}{33} khi x = 4,y = 1,z = 2.

Cách 2:

Lấy đạo hàm theo biến z ta được:
P'(z) = 0 - \frac{y}{(y + z)^{2}} + \frac{x}{(z + x)^{2}} = \frac{(x - y)\left( z^{2} - xy \right)}{(y + z)^{2}(z + x)^{2}}

Nếu x = y thì P = \frac{x}{2x + 3x} + \frac{x}{x + z} + \frac{z}{z + x} = \frac{6}{5}.

Nếu x > y thì P'(z) = 0 \Leftrightarrow z^{2} - xy = 0 \Leftrightarrow z = \sqrt{xy}.

Vậy P \geq P(\sqrt{xy}) = \frac{x}{2x + 3y} + \frac{y}{y + \sqrt{xy}} + \frac{\sqrt{xy}}{\sqrt{xy} + x} = \frac{x}{2x + 3y} + \frac{2\sqrt{y}}{\sqrt{y} + \sqrt{x}}

= \frac{\frac{x}{y}}{2\frac{x}{y} + 3} + \frac{2}{1 + \sqrt{\frac{x}{y}}}

Đặt: t = \sqrt{\frac{x}{y}},(t \in (1;2\rbrack) thì P \geq \frac{t^{2}}{2t^{2} + 3} + \frac{2}{1 + t}

Đặt: f(t) = \frac{t^{2}}{2t^{2} + 3} + \frac{2}{1 + t}. Tương tự như trên ta có minP = \frac{34}{33}.

Cách 3:

Ta có: P = \frac{x}{2x + 3y} + \frac{y}{y + z} + \frac{z}{z + x} = \frac{1}{2 + 3\frac{y}{x}} + \frac{\frac{y}{x}}{\frac{y}{x} + \frac{z}{x}} + \frac{\frac{z}{x}}{\frac{z}{x} + 1}

Đặt a = \frac{y}{x} và b = \frac{z}{x}. Vì x,y,z \in \lbrack 1;4\rbrack và x \geq y,x \geq z nên a,b \in \left\lbrack \frac{1}{4};1 \right\rbrack.

Khi đó: P = \frac{1}{2 + 3a} + \frac{a}{a + b} + \frac{b}{b + 1}.

Lấy đạo hàm theo biến b ta được:

P'(b) = 0 - \frac{a}{(a + b)^{2}} + \frac{1}{(b + 1)^{2}} = \frac{(1 - a)\left( b^{2} - a \right)}{(a + b)^{2}(b + 1)^{2}}.

Nếu a = 1 thì P = \frac{1}{2 + 3} + \frac{1}{1 + b} + \frac{b}{b + 1} = \frac{6}{5}.

Nếu a < 1 thì P'(b) = 0 \Leftrightarrow b^{2} - a = 0 \Leftrightarrow b = \sqrt{a}.

Vậy P \geq P(\sqrt{a}) = \frac{1}{2 + 3a} + \frac{a}{a + \sqrt{a}} + \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} + 1}.
Đặt: t = \sqrt{a}\left( t \in \left\lbrack \frac{1}{2};1 \right\rbrack \right) thì P \geq \frac{1}{2 + 3t^{2}} + \frac{t^{2}}{t^{2} + t} + \frac{t}{t + 1}.

Đặt : f(t) = \frac{1}{2 + 3t^{2}} + \frac{t^{2}}{t^{2} + t} + \frac{t}{t + 1} = \frac{1}{2 + 3t^{2}} + \frac{t}{t + 1} + \frac{t}{t + 1} = \frac{1}{2 + 3t^{2}} + \frac{2t}{t + 1}.

Ta có: f'(t) = - \frac{6t}{\left( 2 + 3t^{2} \right)^{2}} + \frac{2}{(t + 1)^{2}} \geq 0,\forall t \in \left\lbrack \frac{1}{2};1 \right\rbrack.

Suy ra: f(t) đồng biến trên \left\lbrack \frac{1}{2};1 \right\rbrack \Rightarrow f(t) \geq f\left( \frac{1}{2} \right) = \frac{34}{33}.
Dấu " = " xảy ra \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} t = \frac{1}{2} \\ \text{ }b = \sqrt{a} \end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = \frac{1}{4} \\ \text{ }b = \frac{1}{2} \end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \frac{y}{x} = \frac{1}{4} \\ \frac{z}{x} = \frac{1}{2} \end{matrix} \right.\ \right.\ \right. (*).

Dễ thấy x = 4,y = 1,z = 2 thỏa (*). Ta lại có: \frac{34}{33} < \frac{6}{5} nên minP = \frac{34}{33}.

(Còn tiếp)

----------------------------------------------------------------

Chuyên đề bất đẳng thức không chỉ giúp học sinh rèn luyện tư duy logic mà còn là nền tảng quan trọng để giải quyết nhiều dạng toán nâng cao trong chương trình Toán 12. Khi nắm vững các phương pháp biến đổi và luyện tập thường xuyên với nhiều dạng bài khác nhau, học sinh sẽ dần hình thành kỹ năng phân tích và giải quyết bài toán một cách linh hoạt và hiệu quả.

Tài liệu “Ôn thi Đại học môn Toán – Chuyên đề: Bất đẳng thức” giúp hệ thống lại các dạng bài trọng tâm, cung cấp phương pháp giải chi tiết và hỗ trợ học sinh củng cố kiến thức quan trọng trong quá trình ôn thi. Nội dung được xây dựng theo định hướng ra đề của Bộ Giáo dục và Đào tạo Việt Nam , giúp người học làm quen với cấu trúc đề thi và nâng cao khả năng xử lý các câu hỏi vận dụng cao.

Việc kết hợp học lý thuyết với luyện tập có hệ thống sẽ giúp học sinh hiểu sâu bản chất của bất đẳng thức và nâng cao khả năng vận dụng trong nhiều dạng bài khác nhau. Đây là nguồn tài liệu hữu ích cho quá trình luyện đề, tổng ôn và chinh phục điểm cao trong kỳ thi THPT Quốc gia môn Toán.

Chọn file muốn tải về:

Ôn thi Đại học môn Toán - Chuyên đề: Bất đẳng thức

484 KB
Đóng Chỉ thành viên VnDoc PRO/PROPLUS tải được nội dung này!
Đóng
79.000 / tháng
Mua ngay
Đặc quyền các gói Thành viên
PRO
Phổ biến nhất
PRO+
Tải tài liệu Cao cấp 1 Lớp
30 lượt tải tài liệu
Xem nội dung bài viết
Trải nghiệm Không quảng cáo
Làm bài trắc nghiệm không giới hạn
Mua cả năm Tiết kiệm tới 48%
41
26.729 Bài viết đã được lưu
Mục lục

Có thể bạn quan tâm

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Tìm bài trong mục này