VnDoc.com

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Trắc nghiệm đúng sai Phương trình đường thẳng trong không gian Oxyz

Ôn thi THPT Quốc gia môn Toán có đáp án

Câu hỏi trắc nghiệm Đúng sai: Phương trình đường thẳng

Phương trình đường thẳng trong không gian Oxyz là một trong những nội dung quan trọng thuộc chương trình Toán 12, thường xuất hiện trong đề thi THPT Quốc gia. Việc hiểu rõ các dạng phương trình và cách nhận biết đúng sai các khẳng định liên quan giúp học sinh tự tin làm bài trắc nghiệm, tránh nhầm lẫn và sai sót không đáng có. Bài viết này tổng hợp bộ câu hỏi trắc nghiệm đúng sai về phương trình đường thẳng trong không gian Oxyz, kèm theo đáp án và lời giải chi tiết, hỗ trợ bạn ôn tập hiệu quả và luyện tập sát đề thi thực tế. Đây là tài liệu lý tưởng dành cho các bạn học sinh muốn củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng làm bài thi môn Toán.

Thông hiểu Vận dụng

Bài kiểm tra này bao gồm 19 câu
Điểm số bài kiểm tra: 19 điểm
Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu

00:00:00

Câu 1: Thông hiểu

Xét tính đúng sai của các nhận định

Trong không gian $Oxyz$ , cho hai đường thẳng $d:\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 7}{1} = \frac{z - 3}{4}$ và $d':\frac{x - 6}{3} = \frac{y + 1}{- 2} = \frac{z + 2}{1}$ .

a) Đường thẳng d có vtcp $\overrightarrow{u} = (2;1;4)$ . Đúng||Sai

b) Đường thẳng d’ có vtcp $\overrightarrow{u'} = (3;2;1)$ . Sai||Đúng

c) Hai đường thẳng d và d’ vuông góc với nhau. Sai||Đúng

d) Hai đường thẳng d và d’ cắt nhau. Đúng||Sai

Đáp án là:

Trong không gian $Oxyz$ , cho hai đường thẳng $d:\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 7}{1} = \frac{z - 3}{4}$ và $d':\frac{x - 6}{3} = \frac{y + 1}{- 2} = \frac{z + 2}{1}$ .

a) Đường thẳng d có vtcp $\overrightarrow{u} = (2;1;4)$ . Đúng||Sai

b) Đường thẳng d’ có vtcp $\overrightarrow{u'} = (3;2;1)$ . Sai||Đúng

c) Hai đường thẳng d và d’ vuông góc với nhau. Sai||Đúng

d) Hai đường thẳng d và d’ cắt nhau. Đúng||Sai

a) Đúng

b) Sai

c) Sai

d) Đúng

Phương án a) đúng: Đường thẳng d có vtcp $\overrightarrow{u} = (2;1;4)$ .

Phương án b) sai: Đường thẳng d’ có vtcp $\overrightarrow{u'} = (3;2;1)$ .

Phương án c) sai: $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{u'} = 8 \neq 0$ nên hai đường thẳng d và d’ không vuông góc với nhau.

Phương án d) đúng:

dcó VTCP $\overrightarrow{u} = (2;1;4)$ và đi qua $M(1;7;3)$ .

d’ có VTCP $\overrightarrow{u'} = (3;2;1)$ và đi qua $M'(6; - 1; - 2)$ .

$\overrightarrow{MM'} = (5; - 8; - 5)$ và $\left\lbrack \overrightarrow{u};\overrightarrow{u'} \right\rbrack = (9;10; - 7) \neq \overrightarrow{0}$ .

Ta có: $\left\lbrack \overrightarrow{u};\overrightarrow{u'} \right\rbrack.\overrightarrow{MM'} = 5.9 + ( - 8).10 + ( - 5).( - 7) = 0$ .

Suy ra d cắt d’.
Câu 2: Vận dụng

Xét tính đúng sai của các nhận định

Trong không gian $Oxyz$ , cho đường thẳng $(d):\left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = t \\ z = - 2 + t \end{matrix} \right.\ ;\left( t\mathbb{\in R} \right)$ và điểm $A(1;0;2)$ .

a) Điểm $B(2;1; - 1)$ không thuộc đường thẳng $d$ . Đúng||Sai

b) Đường thẳng $d$ có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u} = (1;0;1)$ . Sai||Đúng

c) Đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $A(1;0;2)$ , đồng thời vuông góc và cắt đường thẳng $d$ là $\frac{x + 1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z + 2}{- 3}$ . Sai||Đúng

d) $M(a;b;c)$ là một điểm nằm trên đường thẳng $d$ và cách điểm $A$ một khoảng có độ dài bằng $\sqrt{26}$ . Khi $b > 0$ thì $a + b + c = 3$ . Sai||Đúng

Đáp án là:

Trong không gian $Oxyz$ , cho đường thẳng $(d):\left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = t \\ z = - 2 + t \end{matrix} \right.\ ;\left( t\mathbb{\in R} \right)$ và điểm $A(1;0;2)$ .

a) Điểm $B(2;1; - 1)$ không thuộc đường thẳng $d$ . Đúng||Sai

b) Đường thẳng $d$ có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u} = (1;0;1)$ . Sai||Đúng

c) Đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $A(1;0;2)$ , đồng thời vuông góc và cắt đường thẳng $d$ là $\frac{x + 1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z + 2}{- 3}$ . Sai||Đúng

d) $M(a;b;c)$ là một điểm nằm trên đường thẳng $d$ và cách điểm $A$ một khoảng có độ dài bằng $\sqrt{26}$ . Khi $b > 0$ thì $a + b + c = 3$ . Sai||Đúng

a) Đúng

b) Sai

c) Sai

d) Sai

Phương án a) đúng: Thay tọa độ điểm $B(1;2; - 1)$ vào phương trình đường thẳng d ta được: $\left\{ \begin{matrix} 2 = 2 + t \\ 1 = t \\ - 1 = - 2 + t \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} t = 0 \\ t = 0 \\ t = 0 \end{matrix} \right.\ \Rightarrow B(1;2; - 1) \notin d$ .

Phương án b) sai: Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u} = (1;1;1)$ .

Phương án c) sai: Gọi $H = d \cap \Delta \Leftrightarrow H \in d$ nên $H(2 + t;t; - 2 + t)$ .

Ta có: $\overrightarrow{AH} = (1 + t;t; - 4 + t)$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ .

Mà $\Delta\bot d \Rightarrow \overrightarrow{AH}.\overrightarrow{u} = 0$ $\Leftrightarrow 1(1 + t) + 1.t + 1( - 4 + t) = 0 \Leftrightarrow t = 1$

$\Rightarrow \overrightarrow{AH} = (2;1; - 3)$

Suy ra $\Delta:\frac{x - 1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z - 2}{- 3}$

Phương án d) sai: Ta có $M \in d \Rightarrow M(2 + t;t;2 + t)$ nên $\overrightarrow{AM} = (1 + t;t; - 4 + t)$ .

$AM = \sqrt{26} \Leftrightarrow \sqrt{(1 + t)^{2} + t^{2} + ( - 4 + t)^{2}} = \sqrt{26}$

$\Leftrightarrow 3t^{2} - 6t - 9 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} t = - 1 \\ t = 3 \end{matrix} \right.$

Mà $b > 0 \Rightarrow t > 0$ . Vậy $M(5;3;1) \Rightarrow a + b + c = 9$ .
Câu 3: Thông hiểu

Xét tính đúng sai của các nhận định

Trong không gian $Oxyz$ , cho đường thẳng $\Delta:\left\{ \begin{matrix}x =3 - 2t \\y = 1 + 2t \\x = - 5 + t\end{matrix} \right.\ ;\left( t\mathbb{\in R} \right)$ và mặt phẳng $(P):x + y - 5= 0$ .

a) Vectơ $\overrightarrow{u} = ( - 2;2;1)$ là một vectơ chỉ phương của $\Delta$ . Đúng||Sai

b) Góc giữa hai mặt phẳng $(P)$ và $(Oyz)$ bằng $45^{0}$ . Đúng||Sai

c) Đường thẳng đi qua $N(2;3; - 4)$ và song song với $\Delta$ có phương trình là $\frac{x - 2}{- 2} = \frac{y - 3}{2} = \frac{z + 4}{1}$ . Đúng||Sai

d) Đường thẳng d vuông góc $\Delta$ và tạo với $(P)$ một góc 45⁰ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u_{1}} = (1; - 2;4)$ . Sai||Đúng

Đáp án là:

Trong không gian $Oxyz$ , cho đường thẳng $\Delta:\left\{ \begin{matrix}x =3 - 2t \\y = 1 + 2t \\x = - 5 + t\end{matrix} \right.\ ;\left( t\mathbb{\in R} \right)$ và mặt phẳng $(P):x + y - 5= 0$ .

a) Vectơ $\overrightarrow{u} = ( - 2;2;1)$ là một vectơ chỉ phương của $\Delta$ . Đúng||Sai

b) Góc giữa hai mặt phẳng $(P)$ và $(Oyz)$ bằng $45^{0}$ . Đúng||Sai

c) Đường thẳng đi qua $N(2;3; - 4)$ và song song với $\Delta$ có phương trình là $\frac{x - 2}{- 2} = \frac{y - 3}{2} = \frac{z + 4}{1}$ . Đúng||Sai

d) Đường thẳng d vuông góc $\Delta$ và tạo với $(P)$ một góc 45⁰ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u_{1}} = (1; - 2;4)$ . Sai||Đúng

a) Đúng

b) Đúng

c) Đúng

d) Sai

Phương án a) đúng: Từ phương trình của $\Delta:\left\{ \begin{matrix} x = 3 - 2t \\ y = 1 + 2t \\ x = - 5 + t \end{matrix} \right.\ ;\left( t\mathbb{\in R} \right)$ ta có $\overrightarrow{u} = ( - 2;2;1)$ là một vectơ chỉ phương của $\Delta$ .

Phương án b) đúng: $(P):x + y - 5 = 0$ ; $(Oyz):x = 0$ nên ta có $\cos\left( (P);(Oyz) \right) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ .

Suy ra $\left( (P);(Oyz) \right) =45^0$ .

Phương án c) đúng: Đường thẳng $\Delta_{1}// \Delta$ nên $\Delta_{1}$ nhận $\overrightarrow{u} = ( - 2;2;1)$ làm VTCP. Hơn nữa $\Delta_{1}$ đi qua $N(2;3; - 4)$ nên có phương trình là $\frac{x - 2}{- 2} = \frac{y - 3}{2} = \frac{z + 4}{1}$ .

Phương án d) sai: Gọi $\overrightarrow{u_{1}} = (a;b;c)$ (với $a^{2} + b^{2} + c^2 > 0$ ) là một VTCP của d. Do $d\bot\Delta$ nên $\overrightarrow{u_{1}}\bot\overrightarrow{u} \Rightarrow \overrightarrow{u_{1}}.\overrightarrow{u} = 0$

$\Rightarrow - 2a + 2b + c = 0 \Rightarrow c = 2a - 2b(*)$

Hơn nữa $\left( d;(P) \right) =45^0$ nên $\sin\left( d;(P) \right)= \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{|a + b|}{\sqrt{2}.\sqrt{a^{2} + b^{2} +c^{2}}}$

$\Leftrightarrow |a + b| = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}$

$\Leftrightarrow (a + b)^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} \Leftrightarrow 2ab = c^{2}$

. Thay (*) vào ta được: $(2a - 2b)^{2} = 2ab \Leftrightarrow 2a^{2} - 5ab + 2b^{2} = 0(**)$

Nếu $b = 0 \Rightarrow a = 0;c = 0$ (không thỏa mãn).

Nếu $b \neq 0$ , ta có $(**) \Leftrightarrow 2.\left( \frac{a}{b} \right)^{2} - 5\left( \frac{a}{b} \right) + 2 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \frac{a}{b} = 2 \\ \frac{a}{b} = \frac{1}{2} \end{matrix} \right.$ .

Với $\frac{a}{b} = 2 \Rightarrow a = 2b$ , thay vào (*) ta được $c = 2b$ . Do đó $\overrightarrow{u_{1}} = (2b;b;2b);(b \neq 0)$

Với $\frac{a}{b} = \frac{1}{2} \Rightarrow b = 2a$ , thay vào (*) ta được $c = - 2a$ . Do đó $\overrightarrow{u_{1}} = (a;2a; - 2a);(a \neq 0)$

Vậy $\overrightarrow{u_{1}} = (1; - 2;4)$ không là một VTCP của d.

Cách khác: Giả sử $\overrightarrow{u_{1}} = (1; - 2;4)$ là một VTCP của d. Khi đó $\sin\left( d;(P) \right) = \frac{\left| 1.1 + ( - 2).1 + 4.0 \right|}{\sqrt{1^{2} + ( - 2)^{2} + 4^{2}}.\sqrt{1^{2} + 1^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{42}} \Rightarrow \left( d;(P) \right) \neq 45^{0}$ (mâu thuẫn).

Vậy $\overrightarrow{u_{1}} = (1;2;-4)$ không là một VTCP của d.
Câu 4: Thông hiểu

Xét tính đúng sai của các nhận định

Trong không gian $Oxyz$ , cho đường thẳng $(d):\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 2t \\ y = - 2 + 3t \\ z = 4 - t \end{matrix} \right.\ ;\left( t\mathbb{\in R} \right)$ .

a) Vectơ $\overrightarrow{u} = (2;3; - 1)$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $(d)$ . Đúng||Sai

b) Vectơ $\overrightarrow{u_{1}} = ( - 4; - 6;2)$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $(d)$ . Đúng||Sai

c) Đường thẳng $(d)$ cắt mặt phẳng $(Oxy)$ tại điểm $A(9;10;0)$ . Đúng||Sai

d) Phương trình chính tắc của đường thẳng $(d)$ là: $\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 2}{3} = \frac{z + 4}{- 1}$ . Sai||Đúng

Đáp án là:

Trong không gian $Oxyz$ , cho đường thẳng $(d):\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 2t \\ y = - 2 + 3t \\ z = 4 - t \end{matrix} \right.\ ;\left( t\mathbb{\in R} \right)$ .

a) Vectơ $\overrightarrow{u} = (2;3; - 1)$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $(d)$ . Đúng||Sai

b) Vectơ $\overrightarrow{u_{1}} = ( - 4; - 6;2)$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $(d)$ . Đúng||Sai

c) Đường thẳng $(d)$ cắt mặt phẳng $(Oxy)$ tại điểm $A(9;10;0)$ . Đúng||Sai

d) Phương trình chính tắc của đường thẳng $(d)$ là: $\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 2}{3} = \frac{z + 4}{- 1}$ . Sai||Đúng

a) Đúng

b) Đúng

c) Đúng

d) Sai

Phương án a) đúng: từ phương trình $(d)$ ta có $\overrightarrow{u} = (2;3; - 1)$ là một vectơ chỉ phương của $(d)$ .

Phương án b): đúng: $\overrightarrow{u_{1}} = ( - 4; - 6;2) = - 2(2;3; - 1) = - 2\overrightarrow{u}$ nên $\overrightarrow{u_{1}}$ cũng là một vectơ chỉ phương của $(d)$ .

Phương án c) đúng: $(Oxy):z = 0$ , từ phương trình của $(d)$ ta có $4 - t = 0 \Leftrightarrow t = 4$ , thay vào $(d)$ ta được $A(9;10;0)$ .

Phương án d) sai: từ phương trình tham số của $(d)$ ta suy ra phương trình chính tắc của $(d)$ là $\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 2}{3} = \frac{z - 4}{- 1}$ .
Câu 5: Thông hiểu

Xét tính đúng sai của các nhận định sau

Trong không gian $Oxyz$ , cho điểm $M(1;0;1)$ và đường thẳng $d:\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z - 3}{3}$ . Gọi $\Delta$ là đường thẳng đi qua M, vuông góc với d và cắt $Oz$ .

a) Một vectơ chỉ phương của $\Delta$ là $\overrightarrow{u} = ( - 3;0;1)$ .Đúng||Sai

b) Đường thẳng $\Delta$ có phương trình $\left\{ \begin{matrix} x = 1 - 3t \\ y = 0 \\ z = 1 + t \end{matrix} \right.\ ;\left( t\mathbb{\in R} \right)$ . Đúng||Sai

c) Đường thẳng $\Delta$ có phương trình $\frac{x - 1}{- 3} = y = \frac{z - 1}{1}$ .Sai||Đúng

d) Đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $K(4; - 1;0)$ .Sai||Đúng

Đáp án là:

Trong không gian $Oxyz$ , cho điểm $M(1;0;1)$ và đường thẳng $d:\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z - 3}{3}$ . Gọi $\Delta$ là đường thẳng đi qua M, vuông góc với d và cắt $Oz$ .

a) Một vectơ chỉ phương của $\Delta$ là $\overrightarrow{u} = ( - 3;0;1)$ .Đúng||Sai

b) Đường thẳng $\Delta$ có phương trình $\left\{ \begin{matrix} x = 1 - 3t \\ y = 0 \\ z = 1 + t \end{matrix} \right.\ ;\left( t\mathbb{\in R} \right)$ . Đúng||Sai

c) Đường thẳng $\Delta$ có phương trình $\frac{x - 1}{- 3} = y = \frac{z - 1}{1}$ .Sai||Đúng

d) Đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $K(4; - 1;0)$ .Sai||Đúng

a) Đúng

b) Đúng

c) Sai

d) Sai

Gọi $N = \Delta \cap Oz \Rightarrow N \in Oz \Rightarrow N(0;0;c)$ .

$\Delta$ đi qua M và N nên $\Delta$ có 1 vectơ chỉ phương là: $\overrightarrow{MN} = ( - 1;0;c - 1)$ .

d có 1 vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u} = (1;2;3)$ .

$\Delta$ vuông góc với d $\Leftrightarrow \overrightarrow{MN}.\overrightarrow{u} = 0 \Leftrightarrow 1.( - 1) + 2.0 + 3(c - 1) = 0 \Leftrightarrow c = \frac{4}{3}$ .

Suy ra $\Delta$ có 1 vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u} = 3\overrightarrow{MN} = ( - 3;0;1)$ .

Vậy $\Delta$ có phương trình $\left\{ \begin{matrix} x = 1 - 3t \\ y = 0 \\ z = 1 + t \end{matrix} \right.\ ;\left( t\mathbb{\in R} \right)$

Khi đó ta có

Phương án a): Đúng vì một vectơ chỉ phương của là $\overrightarrow{u} = ( - 3;0;1)$ .

Phương án b): Đúng vì đường thẳng $\Delta$ có phương trình $\left\{ \begin{matrix} x = 1 - 3t \\ y = 0 \\ z = 1 + t \end{matrix} \right.\ ;\left( t\mathbb{\in R} \right)$

Phương án c): Sai vì đường thẳng $\Delta$ không tồn tại phương trình chính tắc do $\overrightarrow{u} = ( - 3;0;1)$ .

Phương án d): Sai vì thay toạ độ điểm $K(4; - 1;0)$ vào phương trình đường thẳng $\Delta$ không thoả mãn.
Câu 6: Thông hiểu

Xét tính đúng sai của các nhận định

Trong không gian $Oxyz$ , cho đường thẳng $\Delta:\frac{x - 2}{- 1} = \frac{y - 1}{- 2} = \frac{z + 3}{1}$ và mặt phẳng $(P)$ có phương trình $3x + 6y - 3z + 2024 = 0$ .

a) Một véc tơ chỉ phương của $\Delta$ là $\overrightarrow{u} = ( - 1; - 2;1)$ . Đúng||Sai

b) Một véc tơ pháp tuyến của $(P)$ là $\overrightarrow{n} = (1;2; - 1)$ . Đúng||Sai

c) Góc giữa $\Delta$ và $(P)$ là: $90^{0}$ . Đúng||Sai

d) Lấy tuỳ ý hai điểm phân biệt $A;B \in \Delta$ . Gọi A’; B’ lần lượt là hình chiếu của A; B lên $(P)$ . Khi đó $A'B' = 2024$ . Sai||Đúng

Đáp án là:

Trong không gian $Oxyz$ , cho đường thẳng $\Delta:\frac{x - 2}{- 1} = \frac{y - 1}{- 2} = \frac{z + 3}{1}$ và mặt phẳng $(P)$ có phương trình $3x + 6y - 3z + 2024 = 0$ .

a) Một véc tơ chỉ phương của $\Delta$ là $\overrightarrow{u} = ( - 1; - 2;1)$ . Đúng||Sai

b) Một véc tơ pháp tuyến của $(P)$ là $\overrightarrow{n} = (1;2; - 1)$ . Đúng||Sai

c) Góc giữa $\Delta$ và $(P)$ là: $90^{0}$ . Đúng||Sai

d) Lấy tuỳ ý hai điểm phân biệt $A;B \in \Delta$ . Gọi A’; B’ lần lượt là hình chiếu của A; B lên $(P)$ . Khi đó $A'B' = 2024$ . Sai||Đúng

a) Đúng

b) Đúng

c) Đúng

d) Sai

Phương án a) đúng:

Một véc tơ chỉ phương của $\Delta$ là $\overrightarrow{u} = ( -1; -2;1)$ .

Phương án b) đúng:

Một véc tơ chỉ phương của $(P)$ là $\overrightarrow{n} = (1;2; - 1)$ .

Phương án c) đúng:

Một véc tơ chỉ phương của $\Delta$ là $\overrightarrow{u} = ( - 1; - 2;1)$ , một véc tơ pháp tuyến của $(P)$ là $\overrightarrow{n} = (1;2; - 1)$ .

Khi đó $\sin\left( \Delta;(P) \right) = \frac{\left| ( - 1).1 + ( - 2).2 + 1.( - 1) \right|}{\sqrt{( - 1)^{2} + ( - 2)^{2} + 1^{2}}.\sqrt{1^{2} + 2^{2} + ( - 1)^{2}}} = 1$ .

Vậy $\left( \Delta;(P) \right) =90^0$ .

Phương án d) sai:

Vì $\Delta\bot(P)$ nên A’ trùng B’. Do đó $A'B' = 0$ .
Câu 7: Thông hiểu

Xét tính đúng sai của nhận định

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng $d:\left\{ \begin{matrix} x = 2 - 2t \\ y = 3 - 2t \\ z = 1 - 3t \end{matrix} \right.\ ;\left( t\mathbb{\in R} \right)$ và $d':\left\{ \begin{matrix} x = 6 + 2t' \\ y = 3 + 2t' \\ z = 7 + 9t' \end{matrix} \right.\ ;\left( t'\mathbb{\in R} \right)$ .

a) Đường thẳng d đi qua điểm $A(2;3;1)$ . Đúng||Sai

b) Đường thẳng d’ đi qua điểm $B(6;3;7)$ . Đúng||Sai

c) Hai đường thẳng d và d’ cắt nhau. Sai||Đúng

d) Cosin góc giữa hai đường thẳng d và d’ bằng $\frac{35}{\sqrt{1513}}$ . Đúng||Sai

Đáp án là:

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng $d:\left\{ \begin{matrix} x = 2 - 2t \\ y = 3 - 2t \\ z = 1 - 3t \end{matrix} \right.\ ;\left( t\mathbb{\in R} \right)$ và $d':\left\{ \begin{matrix} x = 6 + 2t' \\ y = 3 + 2t' \\ z = 7 + 9t' \end{matrix} \right.\ ;\left( t'\mathbb{\in R} \right)$ .

a) Đường thẳng d đi qua điểm $A(2;3;1)$ . Đúng||Sai

b) Đường thẳng d’ đi qua điểm $B(6;3;7)$ . Đúng||Sai

c) Hai đường thẳng d và d’ cắt nhau. Sai||Đúng

d) Cosin góc giữa hai đường thẳng d và d’ bằng $\frac{35}{\sqrt{1513}}$ . Đúng||Sai

a) Đúng

b) Đúng

c) Sai

d) Đúng

Phương án a) đúng: Khi $t = 0$ thì $\left\{ \begin{matrix} x = 2 \\ y = 3 \\ z = 1 \end{matrix} \right.$ nên đường thẳng d đi qua điểm $A(2;3;1)$ .

Phương án b) đúng: Khi $t' = 0$ thì $\left\{ \begin{matrix} x = 6 \\ y = 3 \\ z = 7 \end{matrix} \right.$ nên đường thẳng d’ đi qua điểm $B(6;3;7)$ .

Phương án c) sai:

d đi qua điểm $A(2;3;1)$ , có vtcp $\overrightarrow{a} = ( - 2; - 2; - 3)$ .

d’ đi qua điểm $B(6;3;7)$ , có vtcp $\overrightarrow{b} = (2; 2;9)$ .

Ta có: $\left\lbrack \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} \right\rbrack = ( - 12;12;0);\overrightarrow{AB} = (4;0;6)$

$\left\lbrack \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} \right\rbrack.\overrightarrow{AB} = - 48 \neq 0$ nên d và d’ chéo nhau.

Phương án d) đúng: $\cos(d;d') = \frac{\left| \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} \right|}{\left| \overrightarrow{a} \right|.\left| \overrightarrow{b} \right|} = \frac{35}{\sqrt{1513}}$
Câu 8: Thông hiểu

Xét tính đúng sai của các nhận định

Trong không gian $Oxyz$ , cho điểm $A( - 1;0;4)$ và đường thẳng d có phương trình $\frac{x + 1}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z - 1}{2}$ . Gọi $\Delta$ là đường thẳng đi qua A, vuông góc và cắt d.

a) Một vectơ chỉ phương của $\Delta$ là $(1;1; - 1)$ . Đúng||Sai

b) Đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $A(2;3;1)$ . Đúng||Sai

c) Đường thẳng $\Delta$ có phương trình $\frac{x + 1}{x} = \frac{y}{1} = \frac{z - 4}{- 1}$ . Đúng||Sai

d) Đường thẳng $\Delta$ có phương trình $\left\{ \begin{matrix} x = 1 + t \\ y = 1 \\ z = - 4 - t \end{matrix} \right.\ ;\left( t\mathbb{\in R} \right)$ . Sai||Đúng

Đáp án là:

Trong không gian $Oxyz$ , cho điểm $A( - 1;0;4)$ và đường thẳng d có phương trình $\frac{x + 1}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z - 1}{2}$ . Gọi $\Delta$ là đường thẳng đi qua A, vuông góc và cắt d.

a) Một vectơ chỉ phương của $\Delta$ là $(1;1; - 1)$ . Đúng||Sai

b) Đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $A(2;3;1)$ . Đúng||Sai

c) Đường thẳng $\Delta$ có phương trình $\frac{x + 1}{x} = \frac{y}{1} = \frac{z - 4}{- 1}$ . Đúng||Sai

d) Đường thẳng $\Delta$ có phương trình $\left\{ \begin{matrix} x = 1 + t \\ y = 1 \\ z = - 4 - t \end{matrix} \right.\ ;\left( t\mathbb{\in R} \right)$ . Sai||Đúng

a) Đúngb) Đúngc) Đúngd) Sai

Phương trình tham số của đường thẳng $d:\left\{ \begin{matrix} x = - 1 + t \\ y = t \\ z = 1 + 2t \end{matrix} \right.\ ;\left( t\mathbb{\in R} \right)$

Gọi $M = d \cap \Delta \Rightarrow M( - 1 + t;t;1 + 2t)$ .

Khi đó $\overrightarrow{AM} = (t;t;2t - 3)$ là một VTCP của đường thẳng $\Delta$ .

Theo đề bài $\Delta\bot d \Leftrightarrow \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{u_{d}} = 0$

$\Leftrightarrow 1.t + 1.t + 2(2t - 3) = 0 \Leftrightarrow t = 1$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{AM} = (1;1; - 1)$

Phương trình đường thẳng $\Delta$ qua $A( - 1;0;4)$ và có một VTCP $\overrightarrow{AM} = (1;1; - 1)$ là:

$\frac{x + 1}{x} = \frac{y}{1} = \frac{z - 4}{- 1}$ hoặc $\Delta:\left\{ \begin{matrix} x = - 1 + t \\ y = t \\ z = 4 - t \end{matrix} \right.\ ;\left( t\mathbb{\in R} \right)$

Khi đó ta có

Phương án a): Đúng vì một vectơ chỉ phương của $\Delta$ là $(1;1; - 1)$ .

Phương án b): Đúng vì thay toạ độ điểm $A(2;3;1)$ vào phương trình đường thẳng $\Delta$ thoả mãn.

Phương án c): Đúng vì đường thẳng $\Delta$ có phương trình $\frac{x + 1}{x} = \frac{y}{1} = \frac{z - 4}{- 1}$ .

Phương án d): Sai vì đường thẳng $\Delta$ có phương trình: $\left\{ \begin{matrix} x = - 1 + t \\ y = t \\ z = 4 - t \end{matrix} \right.\ ;\left( t\mathbb{\in R} \right)$
Câu 9: Thông hiểu

Xét tính đúng sai của các nhận định

Trong không gian $Oxyz$ , cho đường thẳng $(d):\left\{ \begin{matrix} x = 3 + 4t \\ y = - 1 - 2t \\ z = - 2 + 3t \end{matrix} \right.\ ;\left( t\mathbb{\in R} \right)$ .

a) Điểm $M(7; - 3; - 1)$ thuộc đường thẳng $(d)$ . Sai||Đúng

b) Điểm $N( - 1;1; - 5)$ thuộc đường thẳng $(d)$ . Đúng||Sai

c) Đường thẳng $(d)$ nhận $\overrightarrow{u} = (4; - 2;3)$ là một vectơ chỉ phương. Đúng||Sai

d) Đường thẳng $(d)$ nhận $\overrightarrow{v} = ( - 4;2; - 3)$ là một vectơ chỉ phương. Đúng||Sai

Đáp án là:

Trong không gian $Oxyz$ , cho đường thẳng $(d):\left\{ \begin{matrix} x = 3 + 4t \\ y = - 1 - 2t \\ z = - 2 + 3t \end{matrix} \right.\ ;\left( t\mathbb{\in R} \right)$ .

a) Điểm $M(7; - 3; - 1)$ thuộc đường thẳng $(d)$ . Sai||Đúng

b) Điểm $N( - 1;1; - 5)$ thuộc đường thẳng $(d)$ . Đúng||Sai

c) Đường thẳng $(d)$ nhận $\overrightarrow{u} = (4; - 2;3)$ là một vectơ chỉ phương. Đúng||Sai

d) Đường thẳng $(d)$ nhận $\overrightarrow{v} = ( - 4;2; - 3)$ là một vectơ chỉ phương. Đúng||Sai

a) Sai

b) Đúng

c) Đúng

d) Đúng

Phương án a) sai vì thay $M(7; - 3; - 1)$ vào đường thẳng $(d)$ , ta có

$\left\{ \begin{matrix} 7 = 3 + 4t \\ - 3 = - 1 - 2t \\ - 1 = - 2 + 3t \end{matrix} \right.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} t = 1 \\ t = 1 \\ t = \frac{1}{3} \end{matrix} \right.\ \Rightarrow M(7; - 3; - 1) \notin (d)$

Phương án b) đúng vì thay $N( - 1;1; - 5)$ vào đường thẳng $(d)$ , ta có

$\left\{ \begin{matrix} - 1 = 3 + 4t \\ 1 = - 1 - 2t \\ - 5 = - 2 + 3t \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} t = - 1 \\ t = - 1 \\ t = - 1 \end{matrix} \right.\ \Rightarrow N( - 1;1; - 5) \in (d)$

Phương án c) đúng vì một vectơ chỉ phương của đường thẳng $(d):\left\{ \begin{matrix} x = 3 + 4t \\ y = - 1 - 2t \\ z = - 2 + 3t \end{matrix} \right.\ ;\left( t\mathbb{\in R} \right)$ là $\overrightarrow{u} = (4; - 2;3)$ .

Phương án d) đúng vì $\overrightarrow{v} = ( - 4;2; - 3) = - \overrightarrow{u}$ nên $\overrightarrow{v}$ cũng là một vectơ chỉ phương của $(d)$ .
Câu 10: Thông hiểu

Xét tính đúng sai của các nhận định

Trong không gian $Oxyz$ , cho điểm $A(1;2;3)$ và đường thẳng $d:\frac{x + 4}{- 2} = \frac{y - 3}{- 3} = \frac{z - 3}{1}$ .

a) Đường thẳng $\Delta$ song song với đường thẳng d có một véctơ chỉ phương là: $\overrightarrow{u_{\Delta}} = (4; - 2;4)$ . Sai||Đúng

b) Đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm A và song song với đường thẳng d có phương trình là: $\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 2t \\ y = 2 + 3t \\ z = 3 - t \end{matrix} \right.\ ;\left( t\mathbb{\in R} \right)$ .Đúng||Sai

c) Điểm $K(3;5;2)$ thuộc vào đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm A và song song với đường thẳng d. Đúng||Sai

d) Đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm A và song song với đường thẳng d có phương trình là: $\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{3} = \frac{z - 3}{- 1}$ . Đúng||Sai

Đáp án là:

Trong không gian $Oxyz$ , cho điểm $A(1;2;3)$ và đường thẳng $d:\frac{x + 4}{- 2} = \frac{y - 3}{- 3} = \frac{z - 3}{1}$ .

a) Đường thẳng $\Delta$ song song với đường thẳng d có một véctơ chỉ phương là: $\overrightarrow{u_{\Delta}} = (4; - 2;4)$ . Sai||Đúng

b) Đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm A và song song với đường thẳng d có phương trình là: $\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 2t \\ y = 2 + 3t \\ z = 3 - t \end{matrix} \right.\ ;\left( t\mathbb{\in R} \right)$ .Đúng||Sai

c) Điểm $K(3;5;2)$ thuộc vào đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm A và song song với đường thẳng d. Đúng||Sai

d) Đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm A và song song với đường thẳng d có phương trình là: $\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{3} = \frac{z - 3}{- 1}$ . Đúng||Sai

a) Sai

b) Đúng

c) Đúng

d) Đúng

Đường thẳng d có một véctơ chỉ phương $\overrightarrow{u_{d}} = ( - 2; - 3;1)$ .

Đường thẳng $\Delta$ đi qua A và song song với d nhận $\overrightarrow{u_{d}} = ( - 2; - 3;1)$ làm một véctơ chỉ phương, nên đường thẳng $\Delta$ có phương trình là:

$\left\{ \begin{matrix} x = 1 - 2t \\ y = 2 - 3t \\ z = 3 + t \end{matrix} \right.\ ;\left( t\mathbb{\in R} \right)$ hoặc $\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 2t \\ y = 2 + 3t \\ z = 3 - t \end{matrix} \right.\ ;\left( t\mathbb{\in R} \right)$ hoặc $\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{3} = \frac{z - 3}{- 1}$ .

Khi đó ta có

Phương án a): Sai vì một vectơ chỉ phương của $\Delta$ là $\begin{matrix} \\ \overrightarrow{u} = ( - 2; - 3;1) \end{matrix}$ .

Phương án b): Đúng vì đường thẳng $\Delta$ có phương trình: $\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 2t \\ y = 2 + 3t \\ z = 3 - t \end{matrix} \right.\ ;\left( t\mathbb{\in R} \right)$ .

Phương án c): Đúng vì thay toạ độ điểm $K(3;5;2)$ vào phương trình đường thẳng $\Delta$ thoả mãn.

Phương án d): Đúng vì đường thẳng $\Delta$ có phương trình: $\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{3} = \frac{z - 3}{- 1}$ .
Câu 11: Thông hiểu

Xét tính đúng sai của các nhận định

Trong không gian $Oxyz$ , cho đường thẳng $d:\frac{x + 1}{1} = \frac{3 - y}{2} = \frac{z + 4}{2}$ .

a) Đường thẳng $d$ qua điểm $M(1;2;0)$ .Sai||Đúng

b) Đường thẳng $d$ có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow{v} = (1;2;2)$ .Sai||Đúng

c) Đường thẳng $d$ có phương trình tham số $\left\{ \begin{matrix} x = - 2 + t \\ y = 5 - 2t \\ z = - 6 + 2t \end{matrix} \right.\ ;\left( t\mathbb{\in R} \right)$ .Đúng||Sai

d) Đường thẳng $d$ song song với đường thẳng $\Delta:\frac{x - 2}{3} = \frac{y + 3}{- 6} = \frac{z - 2}{6}$ .Sai||Đúng

Đáp án là:

Trong không gian $Oxyz$ , cho đường thẳng $d:\frac{x + 1}{1} = \frac{3 - y}{2} = \frac{z + 4}{2}$ .

a) Đường thẳng $d$ qua điểm $M(1;2;0)$ .Sai||Đúng

b) Đường thẳng $d$ có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow{v} = (1;2;2)$ .Sai||Đúng

c) Đường thẳng $d$ có phương trình tham số $\left\{ \begin{matrix} x = - 2 + t \\ y = 5 - 2t \\ z = - 6 + 2t \end{matrix} \right.\ ;\left( t\mathbb{\in R} \right)$ .Đúng||Sai

d) Đường thẳng $d$ song song với đường thẳng $\Delta:\frac{x - 2}{3} = \frac{y + 3}{- 6} = \frac{z - 2}{6}$ .Sai||Đúng

a) Sai

b) Sai

c) Đúng

d) Sai

Phương án a) sai vì:

Thay $M(1;2;0)$ vào đường thẳng $d$ , ta có $\frac{1 + 1}{1} \neq \frac{3 - 2}{2} \Rightarrow M(1;2;0) \notin (d)$ .

Phương án b) sai vì $d:\frac{x + 1}{1} = \frac{3 - y}{2} = \frac{z + 4}{2}$ được viết lại $d:\frac{x + 1}{1} = \frac{y - 3}{- 2} = \frac{z + 4}{2}$ do đó đường thẳng $d$ có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u} = (1; - 2;2)$ . Dễ thấy $\overrightarrow{u};\overrightarrow{v}$ không cùng phương.

Phương án c) đúng vì $d:\frac{x + 1}{1} = \frac{y - 3}{- 2} = \frac{z + 4}{2}$ có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u} = (1; - 2;2)$ và đi qua điểm $N( - 2;5; - 6)$ suy ra phương trình tham số $\left\{ \begin{matrix} x = - 2 + t \\ y = 5 - 2t \\ z = - 6 + 2t \end{matrix} \right.\ ;\left( t\mathbb{\in R} \right)$ .

Phương án d) sai vì đường thẳng $d:\frac{x + 1}{1} = \frac{y - 3}{- 2} = \frac{z + 4}{2}$ có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u} = (1; - 2;2)$ và đi qua điểm $A( - 1;3; - 4)$ .

Đường thẳng $\Delta$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{v} = (3; - 6;6) = - 3\overrightarrow{u}$ .

Thay tọa độ điểm $N( - 2;5; - 6)$ vào phương trình của $\Delta$ , ta được

$\frac{- 2 - 2}{3} = \frac{5 + 3}{- 6} = \frac{- 6 - 2}{6}$ phương trình nghiệm đúng, suy ra $A \in \Delta$ .

Vậy $d \equiv \Delta$ .
Câu 12: Thông hiểu

Xét tính đúng sai của các nhận định

Trong không gian $Oxyz$ , cho điểm $A(1; - 1;2)$ và đường thẳng $d:\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 2t \\ y = 2 - t \\ z = - 1 + t \end{matrix} \right.\ ;\left( t\mathbb{\in R} \right)$ .

a) Điểm $M(1;2; - 1)$ thuộc đường thẳng $(d)$ .Đúng||Sai

b) Đường thẳng $(d)$ có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u} = (2; - 1;1)$ .Đúng||Sai

c) Đường thẳng đi qua điểm và song song với đường thẳng $(d)$ là: $\frac{x + 1}{2} = \frac{y - 1}{- 1} = \frac{z + 2}{1}$ .Sai||Đúng

d) Hình chiếu vuông góc của điểm $A$ lên đường thẳng $(d)$ là: $H(3;1;0)$ .Đúng||Sai

Đáp án là:

Trong không gian $Oxyz$ , cho điểm $A(1; - 1;2)$ và đường thẳng $d:\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 2t \\ y = 2 - t \\ z = - 1 + t \end{matrix} \right.\ ;\left( t\mathbb{\in R} \right)$ .

a) Điểm $M(1;2; - 1)$ thuộc đường thẳng $(d)$ .Đúng||Sai

b) Đường thẳng $(d)$ có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u} = (2; - 1;1)$ .Đúng||Sai

c) Đường thẳng đi qua điểm và song song với đường thẳng $(d)$ là: $\frac{x + 1}{2} = \frac{y - 1}{- 1} = \frac{z + 2}{1}$ .Sai||Đúng

d) Hình chiếu vuông góc của điểm $A$ lên đường thẳng $(d)$ là: $H(3;1;0)$ .Đúng||Sai

a) Đúng

b) Đúng

c) Sai

d) Đúng

Phương án a) đúng: Thay tọa độ điểm $M(1;2; - 1)$ vào phương trình đường thẳng $(d)$ ta được:

$\left\{ \begin{matrix} 1 = 1 + 2t \\ 2 = 2 - t \\ - 1 = - 1 + t \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} t = 0 \\ t = 0 \\ t = 0 \end{matrix} \right.\ \Rightarrow M(1;2; - 1) \in d$ .

Phương án b) đúng: Đường thẳng $(d)$ có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u} = (2; - 1;1)$ .

Phương án c) sai: Đường thẳng $\Delta$ qua $A$ và song song với đường thẳng $(d)$ nên có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_{\Delta}} = \overrightarrow{u} = (2; - 1;1)$ . Suy ra phương trình đường thẳng $\Delta$ : $\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{- 1} = \frac{z - 2}{1}$ .

Phương án d) đúng: $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $d \Rightarrow H \in (d)$ nên $H(1 + 2t;2 - t; - 1 + t)$ .

Ta có: $\overrightarrow{AH} = (2t;3 - t; - 3 + t)$

$AH\bot d$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{AH}.\overrightarrow{u} = 0$

$\Leftrightarrow 2.2t - 1(3 - t) + 1.( - 3 + t) = 0$ $\Leftrightarrow t = 1$

Vậy $H(3;1;0)$ .
Câu 13: Thông hiểu

Xét tính đúng sai của các nhận định

Trong không gian $Oxyz$ , cho điểm $M(1;1; - 2)$ và đường thẳng $\Delta$ : $\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z + 2}{- 1}$ .

a) Điểm $N( - 1; - 2;2)$ thuộc đường thẳng $\Delta$ . Sai||Đúng

b) Đường thẳng đi qua M, N có một vectơ chỉ phương là: $\overrightarrow{u} = (2;3; - 4)$ . Đúng||Sai

c) Đường thẳng d đi qua điểm M và song song với đường thẳng $\Delta$ là: $\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z + 2}{- 1}$ . Đúng||Sai

d) Hình chiếu vuông góc của điểm M lên đường thẳng $\Delta$ là: $H(a;b;c)$ , khi đó $a + b + c = - \frac{1}{3}$ . Sai||Đúng

Đáp án là:

Trong không gian $Oxyz$ , cho điểm $M(1;1; - 2)$ và đường thẳng $\Delta$ : $\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z + 2}{- 1}$ .

a) Điểm $N( - 1; - 2;2)$ thuộc đường thẳng $\Delta$ . Sai||Đúng

b) Đường thẳng đi qua M, N có một vectơ chỉ phương là: $\overrightarrow{u} = (2;3; - 4)$ . Đúng||Sai

c) Đường thẳng d đi qua điểm M và song song với đường thẳng $\Delta$ là: $\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z + 2}{- 1}$ . Đúng||Sai

d) Hình chiếu vuông góc của điểm M lên đường thẳng $\Delta$ là: $H(a;b;c)$ , khi đó $a + b + c = - \frac{1}{3}$ . Sai||Đúng

a) Sai

b) Đúng

c) Đúng

d) Sai

Phương án a) sai: Thay tọa độ điểm $N( - 1; - 2;2)$ vào phương trình đường thẳng $\Delta$ ta được: $\frac{- 1 - 1}{1} = \frac{- 2 - 2}{2} \neq \frac{2 + 2}{- 1} \Rightarrow N \notin \Delta$

Phương án b) đúng: Ta có: $\overrightarrow{MN} = ( - 2; - 3;4) = - (2;3; - 4)$ . Đường thẳng qua M, N có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u} = (2;3; - 4)$ .

Phương án c) đúng: Đường thẳng d qua M và song song với đường thẳng $\Delta$ nên có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_{d}} = \overrightarrow{u_{\Delta}} = (1;2; - 1)$ . Suy ra phương trình đường thẳng d: $\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z + 2}{- 1}$ .

Phương án d) sai: Hlà hình chiếu vuông góc của M lên $\Delta$ . Phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$ là: $\left\{ \begin{matrix} x = 1 + t \\ y = 2 + 2t \\ z = - 2 - t \end{matrix} \right.\ ;\left( t\mathbb{\in R} \right)$ .

Mà $H \in \Delta \Rightarrow H(1 + t;2 + 2t; - 2 - t)$ .

Ta có: $\overrightarrow{MH} = (t;1 + 2t; - t)$

$MH\bot d \Rightarrow \overrightarrow{MH}.\overrightarrow{u_{d}} = 0$

$\Leftrightarrow 1.t + 2(1 + 2t) - 1.( - t) = 0 \Leftrightarrow t = - \frac{1}{3}$ .

Do đó $H\left( \frac{2}{3};\frac{4}{3};\frac{- 5}{3} \right)$ .

Vậy $a + b + c = \frac{1}{3}$ .
Câu 14: Thông hiểu

Xét tính đúng sai của các nhận định

Trong không gian $Oxyz$ , cho đường thẳng $(d):\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 2}{3} = \frac{z - 4}{1}$ và đường thẳng $(\Delta):\frac{x + 1}{2} = \frac{y}{- 1} = \frac{z + 2}{- 1}$ .

a) Đường thẳng $(d)$ qua điểm $M(1; - 2;4)$ và có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow u = \left( {2;3;1} \right)$ .Đúng||Sai

b) Đường thẳng qua điểm $N( - 5;2; - 2)$ và có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow{v} = (2; - 1; - 1)$ .Sai||Đúng

c) Đường thẳng $(d)$ có phương trình tham số $\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 2t \\ y = - 2 + 3t \\ z = 4 + t \end{matrix} \right.\ ;\left( t\mathbb{\in R} \right)$ và đường thẳng $\Delta$ có phương trình tham số $\left\{ \begin{matrix} x = - 1 + 2t' \\ y = - t' \\ z = - 2 - t' \end{matrix} \right.\ ;\left( t'\mathbb{\in R} \right)$ .Đúng||Sai

d) Đường thẳng $(d)$ và đường thẳng $\Delta$ vuông góc và cắt nhau.Sai||Đúng

Đáp án là:

Trong không gian $Oxyz$ , cho đường thẳng $(d):\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 2}{3} = \frac{z - 4}{1}$ và đường thẳng $(\Delta):\frac{x + 1}{2} = \frac{y}{- 1} = \frac{z + 2}{- 1}$ .

a) Đường thẳng $(d)$ qua điểm $M(1; - 2;4)$ và có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow u = \left( {2;3;1} \right)$ .Đúng||Sai

b) Đường thẳng qua điểm $N( - 5;2; - 2)$ và có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow{v} = (2; - 1; - 1)$ .Sai||Đúng

c) Đường thẳng $(d)$ có phương trình tham số $\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 2t \\ y = - 2 + 3t \\ z = 4 + t \end{matrix} \right.\ ;\left( t\mathbb{\in R} \right)$ và đường thẳng $\Delta$ có phương trình tham số $\left\{ \begin{matrix} x = - 1 + 2t' \\ y = - t' \\ z = - 2 - t' \end{matrix} \right.\ ;\left( t'\mathbb{\in R} \right)$ .Đúng||Sai

d) Đường thẳng $(d)$ và đường thẳng $\Delta$ vuông góc và cắt nhau.Sai||Đúng

a) Đúng

b) Sai

c) Đúng

d) Sai

Phương án a) đúng vì dựa vào phương trình chính tắc ta thấy đường thẳng $(d)$ qua điểm $M(1; - 2;4)$ và có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u} = (2;3;1)$ .

Phương án b) sai vì: $\frac{- 5 + 1}{2} = \frac{2}{- 1} \neq \frac{- 2 + 2}{- 1}$ do đó điểm N không thuộc đường thẳng $\Delta$ .

Phương án c) đúng vì từ phương trình $d:\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 2}{3} = \frac{z - 4}{1} = t$ suy ra $\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 2t \\ y = - 2 + 3t \\ z = 4 + t \end{matrix} \right.\ ;\left( t\mathbb{\in R} \right)$

Và từ phương trình $\Delta:\frac{x + 1}{2} = \frac{y}{- 1} = \frac{z + 2}{- 1} = t'$ suy ra $\left\{ \begin{matrix} x = - 1 + 2t' \\ y = - t' \\ z = - 2 - t' \end{matrix} \right.\ ;\left( t'\mathbb{\in R} \right)$

Phương án d) sai vì

Đường thẳng $(d)$ có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u} = (2;3;1)$ và đường thẳng $\Delta$ có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow{v} = (2; - 1; - 1)$

Ta có $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = 2.2 + 3.( - 1) + 1.( - 1) = 0$ do đó $d\bot\Delta$ .

Gọi A là giao điểm (nếu có) của d và $\Delta$ , tọa độ A là nghiệm hệ phương trình $\left\{ \begin{matrix} 1 + 2t = - 1 + 2t' \\ - 2 + 3t = - t' \\ 4 + t = - 2 - t' \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2t - 2t' = - 2\ \ \ (1) \\ 3t + t' = 2\ \ \ (2) \\ t + t' = - 6\ \ \ (3) \end{matrix} \right.$

Tù $(1);(2) \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} t = \frac{1}{4} \\ t' = \frac{5}{4} \end{matrix} \right.$

Khi đó $t + t' = \frac{3}{2}$ không thỏa mãn (3). Vậy hai đường thẳng $(d)$ và $\Delta$ vuông góc nhưng không cắt nhau.
Câu 15: Thông hiểu

Xét tính đúng sai của các nhận định

Trong không gian $Oxyz$ , cho đường thẳng $(d):\left\{ \begin{matrix} x = 2 - 5t \\ y = 2t \\ z = - 3 \end{matrix} \right.\ ;\left( t\mathbb{\in R} \right)$ .

a) Điểm $M(2;2; - 3)$ thuộc đường thẳng $(d)$ . Sai||Đúng

b) Khi $t = - 2$ đường thẳng $(d)$ đi qua điểm A có tọa độ $(12; - 4; - 3)$ . Đúng||Sai

c) Đường thẳng $(d)$ nhận $\overrightarrow{u} = ( - 5;2;0)$ là một vectơ chỉ phương. Đúng||Sai

d) Điểm $N(7; - 2;3)$ không nằm trên đường thẳng $(d)$ . Đúng||Sai

Đáp án là:

Trong không gian $Oxyz$ , cho đường thẳng $(d):\left\{ \begin{matrix} x = 2 - 5t \\ y = 2t \\ z = - 3 \end{matrix} \right.\ ;\left( t\mathbb{\in R} \right)$ .

a) Điểm $M(2;2; - 3)$ thuộc đường thẳng $(d)$ . Sai||Đúng

b) Khi $t = - 2$ đường thẳng $(d)$ đi qua điểm A có tọa độ $(12; - 4; - 3)$ . Đúng||Sai

c) Đường thẳng $(d)$ nhận $\overrightarrow{u} = ( - 5;2;0)$ là một vectơ chỉ phương. Đúng||Sai

d) Điểm $N(7; - 2;3)$ không nằm trên đường thẳng $(d)$ . Đúng||Sai

a) Sai

b) Đúng

c) Đúng

d) Đúng

Phương án a) sai vì:

Thay $M(2;2; - 3)$ vào đường thẳng $(d)$ , ta có $\left\{ \begin{matrix} 2 = 2 - 5t \\ 2 = 2t \\ - 3 = - 3 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} t = 0 \\ t = 1 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow M(2;2; - 3) \notin (d)$

Phương án b) đúng vì:

Khi thay $t = - 2$ vào phương trình tham số của $(d)$ , ta được:

$\left\{ \begin{matrix} x = 2 - 5.( - 2) \\ y = 2.( - 2) \\ z = - 3 \end{matrix} \right.$

Vậy $\Leftrightarrow A(12, - 4, - 3) \in (d)$

Phương án c) đúng vì từ phương trình tham số ta có $\overrightarrow{v} = ( - 5;2;0)$ là một vectơ chỉ phương của $(d)$ và $\overrightarrow{v} = ( - 5;2;0) = - ( - 5;2;0) = - \overrightarrow{u}$ do đó $\overrightarrow{u} = ( - 5;2;0)$ cũng là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $(d)$ .

Phương án d) đúng vì đường thẳng $(d)$ luôn đi qua điểm có cao độ bằng -3, ta có $z_{N} = 3 \Rightarrow N \notin (d)$
Câu 16: Thông hiểu

Xét tính đúng sai của các nhận định

Trong không gian $Oxyz$ , cho đường thẳng $\Delta:\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 2t \\ y = 2 + t \\ z = - 1 - 3t \end{matrix} \right.\ ;\left( t\mathbb{\in R} \right)$ và mặt phẳng $(P)$ có phương trình $2x + y - 3z - 1 = 0$ .

a) Một véc tơ chỉ phương của $\Delta$ là $\overrightarrow{u} = (2;0; - 3)$ . Sai||Đúng

b) Góc giữa $\Delta$ và $(P)$ là: $150^{0}$ . Sai||Đúng

c) Không có điểm chung nào giữa $\Delta$ và $(P)$ . Sai||Đúng

d) Hình chiếu của $M(1;2; - 1)$ lên $(P)$ là: $N(1;2;1)$ . Sai||Đúng

Đáp án là:

Trong không gian $Oxyz$ , cho đường thẳng $\Delta:\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 2t \\ y = 2 + t \\ z = - 1 - 3t \end{matrix} \right.\ ;\left( t\mathbb{\in R} \right)$ và mặt phẳng $(P)$ có phương trình $2x + y - 3z - 1 = 0$ .

a) Một véc tơ chỉ phương của $\Delta$ là $\overrightarrow{u} = (2;0; - 3)$ . Sai||Đúng

b) Góc giữa $\Delta$ và $(P)$ là: $150^{0}$ . Sai||Đúng

c) Không có điểm chung nào giữa $\Delta$ và $(P)$ . Sai||Đúng

d) Hình chiếu của $M(1;2; - 1)$ lên $(P)$ là: $N(1;2;1)$ . Sai||Đúng

a) Sai

b) Sai

c) Sai

d) Sai

Phương án a) sai:

Một véc tơ chỉ phương của $\Delta$ là $\overrightarrow{u} = (2;1; - 3)$ .

Phương án b) sai:

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng không thể lớn hơn $90^{0}$ .

Phương án c) sai:

Một véc tơ chỉ phương của $\Delta$ là $\overrightarrow{u} = (2;1; -3)$ , một véc tơ pháp tuyến của $(P)$ là $\overrightarrow{n} = (2;1; - 3)$ . Khi đó $\sin\left( \Delta;(P) \right) = \frac{\left| 2.2 + ( - 1).( - 1) + 3.3 \right|}{\sqrt{2^{2} + ( - 1)^{2} + 3^{2}}.\sqrt{2^{2} + ( - 1)^{2} + 3^{2}}} = 1$ .

Do đó $\left( \Delta;(P) \right) = 90^{0}$ . Vậy có điểm chung giữa $\Delta$ và $(P)$ .

Phương án d) sai:

Ta có $\Delta\bot(P);M(1;2; - 1) \in \Delta$ và $\overrightarrow{MN} = (0;0;2)$ không cùng phương với $\overrightarrow{n} = (2;1; - 3)$ nên đáp án sai.

a) Điểm $M(1;2;3)$ thuộc $\Delta_{1}$ và điểm $N(2; - 2;1)$ thuộc $\Delta_{2}$ .
Câu 17: Thông hiểu

Xét tính đúng sai của các nhận định

Trong không gian $Oxyz$ , cho đường thẳng $\Delta:\left\{ \begin{matrix} x = 1 - t \\ y = 3 + t \\ z = 4 \end{matrix} \right.\ ;\left( t\mathbb{\in R} \right)$ và mặt phẳng $(P):x - 2y + 2z - 3 = 0$ .

a) Vectơ $\overrightarrow{n} = (1; - 2;2)$ là một vectơ pháp tuyến của $(P)$ . Đúng||Sai

b) Điểm $M(0;4;4)$ thuộc $\Delta$ . Đúng||Sai

c) Góc giữa $\Delta$ và $(P)$ bằng $60^{0}$ . Sai||Đúng

d) Đường thẳng d đi qua điểm $M(0;4;4)$ , song song với $(P)$ và tạo với $\Delta$ một góc $45^{0}$ có phương trình là $\frac{x - 2}{- 2} = \frac{y - 3}{1} = \frac{z - 2}{2}$ . Đúng||Sai

Đáp án là:

Trong không gian $Oxyz$ , cho đường thẳng $\Delta:\left\{ \begin{matrix} x = 1 - t \\ y = 3 + t \\ z = 4 \end{matrix} \right.\ ;\left( t\mathbb{\in R} \right)$ và mặt phẳng $(P):x - 2y + 2z - 3 = 0$ .

a) Vectơ $\overrightarrow{n} = (1; - 2;2)$ là một vectơ pháp tuyến của $(P)$ . Đúng||Sai

b) Điểm $M(0;4;4)$ thuộc $\Delta$ . Đúng||Sai

c) Góc giữa $\Delta$ và $(P)$ bằng $60^{0}$ . Sai||Đúng

d) Đường thẳng d đi qua điểm $M(0;4;4)$ , song song với $(P)$ và tạo với $\Delta$ một góc $45^{0}$ có phương trình là $\frac{x - 2}{- 2} = \frac{y - 3}{1} = \frac{z - 2}{2}$ . Đúng||Sai

a) Đúng

b) Đúng

c) Sai

d) Đúng

Phương án a) đúng: Từ phương trình của $(P):x - 2y + 2z - 3 = 0$ ta có $\overrightarrow{n} = (1; - 2;2)$ là một vectơ pháp tuyến của $(P)$ .

Phương án b) đúng: Từ phương trình của $\Delta:\left\{ \begin{matrix} x = 1 - t \\ y = 3 + t \\ z = 4 \end{matrix} \right.$ cho $t = 1$ ta được $\left\{ \begin{matrix} x = 0 \\ y = 4 \\ z = 4 \end{matrix} \right.$ .

Do đó $M(0;4;4) \in \Delta$ .

Phương án c) sai:

Ta có $\sin\left( \Delta;(P) \right) =\frac{\left| ( - 1).1 + 1.( - 2) + 0.2 \right|}{\sqrt{( - 1)^{2} + 1^{2}+ 1^{2}}.\sqrt{1^2 + ( - 2)^{2} + 2^{2}}} =\frac{1}{\sqrt{2}}$ . Do đó $\left( \Delta;(P) \right) = 45^{0}$

Phương án d) đúng: Gọi $\overrightarrow{u} = (a;b;c)$ (với $a^{2} + b^{2} + c^{2} > 0$ ) là một VTCP của d.

Do $d//(P)$ nên $\overrightarrow{u}\bot\overrightarrow{n} \Rightarrow \overrightarrow{u}.\overrightarrow{n} = 0$

$\Rightarrow a - 2b + 2c = 0 \Rightarrow 2c = 2b - a(*)$

Hơn nữa $\left( d;(P) \right) = 45^{0}$ nên $\cos\left( d;(P) \right) = \frac{1}{\sqrt{2}} \Leftrightarrow \frac{| - a + b|}{\sqrt{2}.\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \Leftrightarrow |b - a| = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}$

$\Leftrightarrow (b - a)^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} \Leftrightarrow c^{2} = - 2ab \Leftrightarrow (2c)^{2} = - 8ab$

Thay (*) vào ta được

$\Leftrightarrow (2b - a)^2 = - 8ab\Leftrightarrow (2b + a)^{2} = 0 \Leftrightarrow a = - 2b$ .

Thay vào (*) ta được $c = 2b$ .

Do đó $\overrightarrow{u} = ( - 2b;b;2b)$ (với $b \neq 0$ ).

Suy ra $\overrightarrow{u_{1}} = \frac{1}{b}\overrightarrow{u} = ( - 2;1;2)$ cũng là một VTCP của d.

Hơn nữa d đi qua điểm $M(0;4;4)$ nên d có phương trình là $\frac{x}{- 2} = \frac{y - 4}{1} = \frac{z - 4}{2}$ .

Do đó ta có $N(2;3;2) \in d$ nên $\frac{x - 2}{- 2} = \frac{y - 3}{1} =\frac{z- 2}{2}$ cũng là phương trình của d.

(Có thể kiểm tra tính đúng, sai của d) bằng cách sử dụng phương trình $\frac{x - 2}{- 2} = \frac{y - 3}{1} =\frac{z - 2}{2 }$ để kiểm tra thỏa mãn giả thiết $M(0;4;4) \in d;d//(P)$ và $\left( d;(P) \right) = 45^{0}$ ).
Câu 18: Thông hiểu

Xét tính đúng sai của các nhận định

Trong không gian $Oxyz$ , cho điểm $A(4; - 1;3)$ và đường thẳng $d:\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{- 1} = \frac{z - 3}{1}$ .

a) Hình chiếu vuông góc của A xuống đường thẳng $d$ có toạ độ là: $H(3; - 2;4)$ . Đúng||Sai

b) Gọi H là hình chiếu vuông góc của A xuống đường thẳng $d$ khi đó: $AH = \sqrt{29}$ . Sai||Đúng

c) Điểm đối xứng với điểm A qua đường thẳng d có toạ độ là: $M(2; - 3;5)$ . Đúng||Sai

d) Gọi M là điểm đối xứng với điểm A qua đường thẳng d khi đó: $OM = \sqrt{30}$ với O là gốc toạ độ. Sai||Đúng

Đáp án là:

Trong không gian $Oxyz$ , cho điểm $A(4; - 1;3)$ và đường thẳng $d:\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{- 1} = \frac{z - 3}{1}$ .

a) Hình chiếu vuông góc của A xuống đường thẳng $d$ có toạ độ là: $H(3; - 2;4)$ . Đúng||Sai

b) Gọi H là hình chiếu vuông góc của A xuống đường thẳng $d$ khi đó: $AH = \sqrt{29}$ . Sai||Đúng

c) Điểm đối xứng với điểm A qua đường thẳng d có toạ độ là: $M(2; - 3;5)$ . Đúng||Sai

d) Gọi M là điểm đối xứng với điểm A qua đường thẳng d khi đó: $OM = \sqrt{30}$ với O là gốc toạ độ. Sai||Đúng

a) Đúng

b) Sai

c) Đúng

d) Sai

Gọi H là hình chiếu của A lên đường thẳng d ta có $H(1 + 2t; - 1 - t;3 + t)$ .

$\Rightarrow \overrightarrow{AH} = ( - 3 + 2t; - t;t)$

d có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u} = (2; - 1;1)$ .

Ta có: $\overrightarrow{AH}\bot\overrightarrow{u} \Leftrightarrow \overrightarrow{AH}.\overrightarrow{u} = 0$

$\Leftrightarrow 2.( - 3 + 2t) + t + t = 0 \Leftrightarrow t = 1 \Rightarrow H(3; - 2;4)$ .

Gọi M là điểm đối xứng của A qua d thì M là điểm đối xứng của A qua H.

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x_{M} = 2x_{B} - x_{A} = 2 \\ y_{M} = 2y_{B} - y_{A} = - 3 \\ z_{M} = 2z_{B} - z_{A} = 5 \end{matrix} \right.\ \Rightarrow M(2; - 3;5)$ .

Khi đó ta có

Phương án a): Đúng vì hình chiếu vuông góc của A xuống đường thẳng d có toạ độ là: $H(3; - 2;4)$ .

Phương án b): Sai vì hình chiếu vuông góc của A xuống đường thẳng d có toạ độ là: $H(3; - 2;4) \Rightarrow \overrightarrow{AH} = (1;1;1) \Rightarrow AH = \sqrt{3}$ .

Phương án c): Đúng vì điểm đối xứng với điểm A qua đường thẳng d có toạ độ là: $M(2; - 3;5)$ .

Phương án d): Sai vì điểm đối xứng với điểm A qua đường thẳng d có toạ độ là:

$M(2; - 3;5) \Rightarrow \overrightarrow{OM} = (2; - 3;5) \Rightarrow OM = \sqrt{38}$ .
Câu 19: Thông hiểu

Xét tính đúng sai của các nhận định

Trong không gian $Oxyz$ , cho hai điểm $M(3;0;2),N(2;2025;2026)$ và đường thẳng $(d)$ có phương trình chính tắc là: $\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2024}{1} = \frac{z - 2024}{2}$ .

a) Điểm M và N cùng thuộc đường thẳng $(d)$ . Sai||Đúng

b) Đường thẳng $(d)$ có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow{a} = (1;2024;2024)$ . Sai||Đúng

c) Đường thẳng $d'$ đi qua điểm M và N có phương trình là: $\frac{x - 3}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z + 2}{2}$ . Sai||Đúng

d) Đường thẳng qua M, đồng thời vuông góc và cắt $(d)$ có phương trình là: $\left\{ \begin{matrix} x = 2 - t \\ y = t \\ z = 2 \end{matrix} \right.\ ;\left( t\mathbb{\in R} \right)$ . Đúng||Sai

Đáp án là:

Trong không gian $Oxyz$ , cho hai điểm $M(3;0;2),N(2;2025;2026)$ và đường thẳng $(d)$ có phương trình chính tắc là: $\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2024}{1} = \frac{z - 2024}{2}$ .

a) Điểm M và N cùng thuộc đường thẳng $(d)$ . Sai||Đúng

b) Đường thẳng $(d)$ có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow{a} = (1;2024;2024)$ . Sai||Đúng

c) Đường thẳng $d'$ đi qua điểm M và N có phương trình là: $\frac{x - 3}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z + 2}{2}$ . Sai||Đúng

d) Đường thẳng qua M, đồng thời vuông góc và cắt $(d)$ có phương trình là: $\left\{ \begin{matrix} x = 2 - t \\ y = t \\ z = 2 \end{matrix} \right.\ ;\left( t\mathbb{\in R} \right)$ . Đúng||Sai

a) Sai

b) Sai

c) Sai

d) Đúng

Phương án a) sai: Thay tọa độ điểm $M(3;0;2)$ vào phương trình đường thẳng $(d)$ ta được: $\frac{3 - 1}{1} \neq \frac{0 - 2024}{1} \neq \frac{2 - 2024}{2} \Rightarrow M \notin d$ .

Thay tọa độ điểm N vào phương trình đường thẳng $(d)$ ta được: $\frac{2 - 1}{1} = \frac{2025 - 2024}{1} = \frac{2026 - 2024}{2} \Rightarrow N \in d$ .

Phương án b) sai: Đường thẳng $(d)$ có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_{d}} = (1;1;2)$ . Dễ thấy $\overrightarrow{u_{d}};\overrightarrow{a}$ không cùng phương.

Phương án c) sai: Ta có: $\overrightarrow{MN} = ( - 1;2025;2024)$ . Đường thẳng $d'$ qua M, N nên có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_{d'}} = ( - 1;2025;2024)$ .

Suy ra phương trình đường thẳng $d':\frac{x - 3}{- 1} = \frac{y}{2025} = \frac{z - 2}{2024}$ .

Phương án d) đúng: Phương trình tham số của đường thẳng $(d)$ là: $\left\{ \begin{matrix} x = 1 + t \\ y = 2024 + t \\ z = 2024 + 2t \end{matrix} \right.\ ;\left( t\mathbb{\in R} \right)$ .

Gọi $\Delta$ là đường thẳng qua M, đồng thời vuông góc và cắt đường thẳng $(d)$ .

Gọi $H = d \cap \Delta \Rightarrow H \in d$ nên $H(1 + t;2024 + t;2024 + 2t)$ .

Ta có: $\overrightarrow{MH} = ( - t - 2;2024 + t;2022 + 2t)$ , $MH\bot d \Rightarrow \overrightarrow{MH}.\overrightarrow{u_{d}} = 0$ . $\Leftrightarrow 1.(t - 2) + 1.(2024 + t) + 2(2022 + 2t) = 0$

$\Leftrightarrow t = 1011 \Rightarrow \overrightarrow{MH} = ( - 1013;1013;0)$

Chọn $\overrightarrow{u_{\Delta}} = ( - 1;1;0)$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ nên phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$ là: $\left\{ \begin{matrix} x = 3 - t \\ y = t \\ z = 2 \end{matrix} \right.\ ;\left( t\mathbb{\in R} \right)$ .

Chia sẻ bởi:
Thiên Bình

1

22

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Chuyên đề Toán 12

Xem thêm

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Trắc nghiệm đúng sai Phương trình đường thẳng trong không gian Oxyz

Câu hỏi trắc nghiệm Đúng sai: Phương trình đường thẳng

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

A. CHUYÊN ĐỀ TRỌNG TÂM

B. CHUYÊN ĐỀ TRẮC NGHIỆM

Lớp 12

Toán 12

Chuyên đề Toán 12

Chuyên đề Toán 12

Cách tìm GTLN, GTNN của hàm số bậc 3 dựa vào đồ thị hàm số

Cách xác định giá trị lớn nhất, nhỏ nhất hàm bậc 3 dựa vào bảng biến thiên

Cách xác định hệ số hàm bậc ba dựa vào đồ thị hàm số

Nhận biết đồ thị hàm số bậc ba

Cách xác định cực trị hàm bậc ba khi biết bảng biến thiên

Bài tập xác định cực trị của hàm số trị tuyệt đối dựa vào đồ thị hàm số