Chuyên đề Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số trên đoạn
Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số Toán 12 - Có đáp án
Chào mừng các bạn đến với chuyên đề Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số trên đoạn – một trong những dạng toán trọng tâm và không thể thiếu trong chương trình Toán 12, đặc biệt quan trọng cho các kỳ thi trắc nghiệm. Dạng bài này không chỉ giúp bạn củng cố kiến thức về khảo sát hàm số mà còn phát triển tư duy giải quyết vấn đề. Để giúp các em nắm vững phương pháp và tự tin chinh phục mọi bài toán, chúng tôi đã biên soạn chuyên đề này với hướng dẫn chi tiết, ví dụ minh họa rõ ràng và hệ thống bài tập trắc nghiệm Toán 12 có đáp án. Hãy cùng khám phá những kỹ thuật hiệu quả để xác định giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn.
A. Bài tập trắc nghiệm tìm GTLN, GTNN của hàm số
Câu 1: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số 
\(f(x) = x^{3} - 2x^{2} - 4x + 1\) trên đoạn \(\lbrack 1;3\rbrack.\)
A. \(\max_{\lbrack 1; 3\rbrack}f(x) =\frac{67}{27}.\) B. \(\max_{\lbrack 1;3\rbrack}f(x) = -
2.\)
C. \(\max_{\lbrack 1;3\rbrack}f(x) = -
7.\) D. \(\max_{\lbrack 1;3\rbrack}f(x) = -
1\)
Câu 2: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số \(f(x) = 2x^{3} + 3x^{2} - 12x + 2\) trên đoạn \(\lbrack - 1; 2\rbrack.\)
A. \(\max_{\lbrack - 1;2\rbrack}f(x) =
6.\) B. \(\max_{\lbrack - 1;2\rbrack}f(x) =
10.\)
C. \(\max_{\lbrack - 1;2\rbrack}f(x) =
15\) D. \(\max_{\lbrack - 1;2\rbrack}f(x) =
12\)
Câu 3: Gọi \(M,\ m\) lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f(x) = 2x^{3} + 3x^{2} - 1\) trên đoạn \(\left\lbrack - 2; - \frac{1}{2}
\right\rbrack\). Tính \(P = M -
m\).
A. \(P = - 5\) B. \(P = 1\) C. \(P = 4\) D. \(P = 5\)
Câu 4: Biết rằng hàm số \(f(x) = x^{3} -
3x^{2} - 9x + 28\) đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn \(\lbrack 0;4\rbrack\) tại \(x_{0}\). Tính \(P
= x_{0} + 2018.\)
A. \(P = 3.\) B. \(P = 2019.\) C. \(P =2021.\) D. \(P = 2018.\)
Câu 5: Xét hàm số \(f(x) = -
\frac{4}{3}x^{3} - 2x^{2} - x - 3\) trên \(\lbrack - 1;1\rbrack\). Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. Hàm số có giá trị nhỏ nhất tại \(x = -
1\) và giá trị lớn nhất tại \(x =
1\).
B. Hàm số có giá trị nhỏ nhất tại \(x =
1\) và giá trị lớn nhất tại \(x = -
1\).
C. Hàm số có giá trị nhỏ nhất tại \(x = -
1\) nhưng không có giá trị lớn nhất.
D. Hàm số không có giá trị nhỏ nhất nhưng có giá trị lớn nhất tại \(x = 1\).
Câu 6: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số \(f(x) = x^{4} - 2x^{2} + 5\) trên đoạn \(\lbrack - 2;2\rbrack.\)
A. \(\max_{\lbrack - 2;2\rbrack}f(x) = -
4.\) B. \(\max_{\lbrack - 2; 2\rbrack}f(x) =13.\)
C. \(\max_{\lbrack - 2;2\rbrack}f(x) =
14.\) D. \(\max_{\lbrack - 2; 2\rbrack}f(x) =23.\)
Câu 7: Cho hàm số \(f(x) = - 2x^{4} +
4x^{2} + 10\). Tìm giá trị lớn nhất \(M\) và giá trị nhỏ nhất \(m\) của hàm số trên đoạn \(\lbrack 0;2\rbrack.\)
A. \(M = 10;\ m = - 6.\) B. \(M = 12;\ m = - 6.\)
C. \(M = 10;\ m = - 8.\) D. \(M = 12; m = - 8.\)
Câu 8: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f(x) = \frac{x^{2} + 3}{x - 1}\) trên đoạn \(\lbrack 2;4\rbrack\).
A. \(\min_{\lbrack 2;4\rbrack}f(x) =
6\) B. \(\min_{\lbrack 2;4\rbrack}f(x) = -
2\)
C. \(\min_{\lbrack 2;4\rbrack}f(x) = -
3\) D. \(\min_{\lbrack 2;4\rbrack}f(x) =
\frac{19}{3}\)
Câu 9: Tập giá trị của hàm số \(f(x) = x +
\frac{9}{x}\) với \(x \in \lbrack
2;4\rbrack\) là đoạn \(\lbrack
a;b\rbrack\). Tính \(P = b -
a\).
A. \(P = 6\) B. \(P = \frac{13}{2}\) C. \(P = \frac{25}{4}\) D. \(P = \frac{1}{2}\)
Câu 10: Cho hàm số \(f(x) = \frac{2x^{2} +
x + 1}{x + 1}\). Tìm giá trị lớn nhất \(M\) và giá trị nhỏ nhất \(m\) của hàm số trên đoạn \(\lbrack 0;1\rbrack.\)
A. \(M = \sqrt{2};\ m = 1.\) B. \(M = 2;\ m = 1.\)
C. \(M = 1;\ m = - 2.\) D. \(M = 2;\ m = \sqrt{2}.\)
Câu 11: Cho hàm số \(f(x) = \frac{3x - 1}{x
- 3}\). Tìm giá trị lớn nhất \(M\) và giá trị nhỏ nhất \(m\) của hàm số trên đoạn \(\lbrack 0;2\rbrack.\)
A. \(M = 5;\ m =
\frac{1}{3}.\) B. \(M = - \frac{1}{3};\ m = -
5.\)
C. \(M = \frac{1}{3};\ m = -
5.\) D. \(M = 5;\ m = -
\frac{1}{3}.\)
Câu 12: Tìm tập giá trị \(T\) của hàm số \(f(x) = x^{2} + \frac{2}{x}\) với \(x \in \lbrack 3;5\rbrack\).
A. \(T = \left\lbrack
\frac{38}{3};\frac{526}{15} \right\rbrack\) B. \(T = \left\lbrack
\frac{38}{3};\frac{142}{5} \right\rbrack\)
C. \(T = \left\lbrack \frac{29}{3};\
\frac{127}{5} \right\rbrack.\) D. \(T = \left\lbrack
\frac{29}{3};\frac{526}{15} \right\rbrack\)
Câu 13: Xét hàm số \(y = - x -
\frac{4}{x}\) trên đoạn \(\lbrack -
1;2\rbrack\). Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Hàm số có giá trị nhỏ nhất là \(-
4\) và giá trị lớn nhất là 2.
B. Hàm số có giá trị nhỏ nhất là \(-
4\) và không có giá trị lớn nhất.
C. Hàm số không có giá trị nhỏ nhất nhưng có giá trị lớn nhất là 2.
D. Hàm số không có giá trị nhỏ nhất và không có giá trị lớn nhất.
Câu 14: Hàm số nào sau đây không có giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất trên đoạn \(\lbrack -
2;2\rbrack\)?
A. \(y = x^{3} + 2\) B. \(y = x^{4} + x^{2}\) C. \(y = \frac{x - 1}{x + 1}\) D. \(y = - x + 1\)
Câu 15: Tìm giá trị lớn nhất \(M\) của hàm số \(f(x) = \sqrt{x - 2} + \sqrt{4 -
x}.\)
A. \(M = 1.\) B. \(M = 2.\) C. \(M = 3.\) D. \(M = 4.\)
B. Đáp án tổng quan bài tập trắc nghiệm
|
1 - B |
2 - C |
3 - D |
4 - C |
5 - B |
6 – B |
|
7 - B |
8 - A |
9 - D |
10 - B |
11 - C |
12 – C |
|
13 - D |
14 - C |
15 - B |
16 - D |
17 - C |
18 – A |
|
19 - C |
20 - B |
21 - C |
22 - A |
23 - D |
24 – B |
|
25 - C |
26 - C |
27 - B |
28 - D |
29 - D |
30 - A |
|
31 - C |
32 - D |
|
|
|
|
C. Hướng dẫn giải chi tiết bài tập trắc nghiệm
Câu 1:
Đạo hàm \(f'(x) = 3x^{2} - 4x -
4\)
\(\Rightarrow f'(x) = 0
\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
x = 2 \in \lbrack 1;3\rbrack \\
x = - \frac{2}{3} \notin \lbrack 1;3\rbrack \\
\end{matrix} \right.\)
Ta có \(\left\{ \begin{matrix}
f(1) = - 4 \\
f(2) = - 7 \\
f(3) = - 2 \\
\end{matrix} \right.\ \Rightarrow \max_{\lbrack 1;3\rbrack}f(x) = -
2\)
Cách 2. Sử dụng chức năng MODE 7 và nhập hàm \(f(X) = X^{3} - 2X^{2} - 4X + 1\) với thiết lập Start 1, End \(3,\) Step \(0,2\).
Quan sát bảng giá trị \(F(X)\) ta thấy giá trị lớn nhất \(F(X)\) bằng \(- 2\) khi \(X = 3.\)
Câu 2:
Đạo hàm \(f'(x) = 6x^2 + 6x -12\)
\(\Rightarrow f'(x) = 0
\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
x = 1 \in \lbrack - 1;2\rbrack \\
x = - 2 \notin \lbrack - 1;2\rbrack \\
\end{matrix} \right.\)
Ta có \(\left\{ \begin{matrix}
f( - 1) = 15 \\
f(1) = - 5 \\
f(2) = 6 \\
\end{matrix} \right.\ \Rightarrow \max_{\lbrack - 1;2\rbrack}f(x) =
15\) .
Câu 3:
Đạo hàm \(f'(x) = 6x^{2} +
6x\)
\(\Rightarrow \ f'(x) = 0
\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
x = 0 \notin \left\lbrack - 2; - \frac{1}{2} \right\rbrack \\
x = - 1 \in \left\lbrack - 2; - \frac{1}{2} \right\rbrack \\
\end{matrix} \right.\)
Ta có \(\left\{ \begin{matrix}
f( - 2) = - 5 \\
f( - 1) = 0 \\
f\left( - \frac{1}{2} \right) = - \frac{1}{2} \\
\end{matrix} \right.\) \(\Rightarrow
\left\{ \begin{matrix}
m = \min_{\left\lbrack - 2; - \frac{1}{2} \right\rbrack}f(x) = - 5 \\
M = \max_{\left\lbrack - 2; - \frac{1}{2} \right\rbrack}f(x) = 0 \\
\end{matrix} \right.\)
\(\Rightarrow P = M - m = 5\)
Câu 4:
Đạo hàm \(f'(x) = 3x^{2} - 6x -
9\)
\(\Rightarrow f'(x) = 0
\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
x = - 1 \notin \lbrack 0;4\rbrack \\
x = 3 \in \lbrack 0;4\rbrack \\
\end{matrix} \right.\)
Ta có \(\left\{ \begin{matrix}
f(0) = 28 \\
f(3) = 1 \\
f(4) = 8 \\
\end{matrix} \right.\ \Rightarrow \min_{\lbrack 0;4\rbrack}f(x) =
1\) khi \(x = 3 = x_{0} \rightarrow P =
2021\)
Câu 5:
Đạo hàm \(f'(x) = - 4x^2 - 4x - 1 = -(2x + 1)^{2} \leq 0,\ \forall x\mathbb{\in R}.\)
Suy ra hàm số \(f(x)\) nghịch biến trên đoạn \(\lbrack - 1;1\rbrack\) nên có giá trị nhỏ nhất tại \(x = 1\) và giá trị lớn nhất tại \(x = - 1\).
Câu 6:
Đạo hàm \(f'(x) = 4x^3 -4x\)
\(\Rightarrow f'(x) = 0
\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
x = 0 \in \lbrack - 2;2\rbrack \\
x = 1 \in \lbrack - 2;2\rbrack \\
x = - 1 \in \lbrack - 2;2\rbrack \\
\end{matrix} \right.\)
Ta có \(\left\{ \begin{matrix}
f( - 2) = f(2) = 13 \\
f( - 1) = f(1) = 4 \\
f(0) = 5 \\
\end{matrix} \right.\ \Rightarrow \max_{\lbrack - 2;2\rbrack}f(x) =
13\)
Câu 7:
Đạo hàm \(f'(x) = - 8x^{3} +
8x\)
\(f'(x) = 0 \Leftrightarrow
\left\lbrack \begin{matrix}
x = 0 \in \lbrack 0;2\rbrack \\
x = 1 \in \lbrack 0;2\rbrack \\
x = - 1 \notin \lbrack 0;2\rbrack \\
\end{matrix} \right.\)
Ta có \(\left\{ \begin{matrix}
f(0) = 10 \\
f(1) = 12 \\
f(2) = - 6 \\
\end{matrix} \right.\) \(\Rightarrow M = \max_{\lbrack 0; 2\rbrack}f(x) = 12;\ m = \min_{\lbrack0;2\rbrack}f(x) = - 6\)
Câu 8:
Đạo hàm \(f'(x) = \frac{x^{2} - 2x -
3}{(x - 1)^{2}}\)
\(\Rightarrow f'(x) = 0\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}x = - 1 \notin \lbrack 2;4\rbrack \\x = 3 \in \lbrack 2; 4\rbrack \\\end{matrix} \right.\)
Ta có \(\left\{ \begin{matrix}
f(2) = 7 \\
f(3) = 6 \\
f(4) = \frac{19}{3} \\
\end{matrix} \right.\ \Rightarrow \min_{\lbrack 2;4\rbrack}f(x) =
6.\)
Cách 2: Sử dụng công cụ TABLE (MODE 7).
Bước 1: Bấm tổ hợp phím MODE 7.
Bước 2: Nhập \(f(X) = \frac{X^{2} + 3}{X -
1}.\)
Sau đó ấn phím \(=\) (nếu có \(g(X)\) thì ấn tiếp phím \(=\)) sau đó nhập \(\left\{ \begin{matrix}
Start = 2 \\
End = 4 \\
Step = 0.2 \\
\end{matrix} \right.\)
(Chú ý: Thường ta chọn \(Step = \frac{End -Start} {10}\))
Bước 3: Tra bảng nhận được và tìm GTNN:
Dựa vào bảng giá trị ở trên, ta thấy \(\min_{\lbrack 2;4\rbrack}f(x) = f(3) =
6.\)
Câu 9:
Ta có: \(f'(x) = 1 - \frac{9}{x^{2}} =
\frac{x^{2} - 9}{x^{2}}\)
\(\rightarrow f'(x) = 0\)
\(\Leftrightarrow x^{2} - 9 = 0
\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
x = 3 \in \lbrack 2;4\rbrack \\
x = - 3 \notin \lbrack 2;4\rbrack \\
\end{matrix} \right.\)
Ta có \(\left\{ \begin{matrix}
f(2) = \frac{13}{2} \\
f(3) = 6 \\
f(4) = \frac{25}{4} \\
\end{matrix} \right.\) \(\Rightarrow
\min_{\lbrack 2;4\rbrack}f(x) = 6;\max_{\lbrack 2;4\rbrack}f(x) =
\frac{13}{2}\)
\(\Rightarrow \lbrack a;b\rbrack =
\left\lbrack 6;\frac{13}{2} \right\rbrack\) \(\Rightarrow P = b - a = \frac{13}{2} - 6 =
\frac{1}{2}\)
Câu 10:
Đạo hàm \(f'(x) = \frac{2x^{2} + 4x}{(x+ 1)^2}\).
Ta có \(\left\{ \begin{matrix}
f'(x) \geq 0,\ \forall x \in \lbrack 0;1\rbrack \\
f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 0 \\
\end{matrix} \right.\).
Suy ra hàm số \(f(x)\) đồng biến trên đoạn \(\lbrack 0;1\rbrack\).
Vậy \(\left\{ \begin{matrix}
M = \max_{\lbrack 0;1\rbrack}f(x) = f(1) = 2 \\
m = \min_{\lbrack 0;1\rbrack}f(x) = f(0) = 1 \\
\end{matrix} \right.\)
Tài liệu quá dài để hiển thị hết — hãy nhấn Tải về để xem trọn bộ!
--------------------------------------------------------
Hy vọng rằng chuyên đề Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số trên đoạn cùng với hệ thống bài tập trắc nghiệm Toán 12 có đáp án đã cung cấp cho các bạn những kiến thức và kỹ năng cần thiết. Việc thành thạo các bước tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trên đoạn, kết hợp với khả năng khảo sát hàm số, sẽ giúp bạn giải quyết nhanh chóng và chính xác các bài toán trong đề thi. Hãy tiếp tục luyện tập thường xuyên, đối chiếu kết quả với đáp án và không ngừng nâng cao tư duy giải toán của mình. Chúc các bạn học tập thật tốt và đạt được những thành tích cao nhất!
