VnDoc.com

Ôn thi Đại học môn Toán - Chuyên đề: Khảo sát hàm số

Tài liệu ôn thi THPT Quốc gia môn Toán

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 12

Môn: Toán

Loại File: PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN CHUYÊN ĐỀ: KHẢO SÁT HÀM SỐ

Trong đề thi tốt nghiệp THPT môn Toán, chuyên đề khảo sát và vẽ đồ thị hàm số luôn chiếm vị trí quan trọng và xuất hiện xuyên suốt trong nhiều dạng bài khác nhau. Không chỉ dừng lại ở việc xét tính đơn điệu, cực trị, tiệm cận hay bảng biến thiên, các câu hỏi hiện nay còn yêu cầu học sinh vận dụng kết quả khảo sát để giải quyết những bài toán nâng cao như tìm giá trị lớn nhất – nhỏ nhất, giải phương trình, bất phương trình hoặc bài toán tương giao đồ thị.

Bài viết “Ôn thi Đại học môn Toán – Chuyên đề: Khảo sát hàm số” được xây dựng nhằm hệ thống lại toàn bộ kiến thức trọng tâm và các dạng bài thường gặp trong chương trình Toán 12. Nội dung bám sát định hướng ra đề của Bộ Giáo dục và Đào tạo Việt Nam , giúp học sinh hiểu rõ phương pháp giải, nhận diện nhanh dạng toán và nâng cao khả năng vận dụng kiến thức vào các câu hỏi vận dụng và vận dụng cao.

Thông qua việc luyện tập theo từng dạng bài cụ thể, học sinh sẽ củng cố kỹ năng phân tích đồ thị, sử dụng bảng biến thiên hiệu quả và tối ưu hóa thời gian làm bài. Đây là tài liệu hữu ích cho quá trình luyện đề, ôn tập chuyên sâu và chuẩn bị cho kỳ thi THPT Quốc gia môn Toán.

VẤN ĐỀ 1: GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ

A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

I. Một số dạng vô định thường gặp

Chú ý: Các trường hợp sau không phải là dạng vô định:

Ôn thi Đại học môn Toán - Chuyên đề: Khảo sát hàm số

II. Khử dạng vô định

Hàm số có chứa căn: Nhân và chia với biểu thức liên hợp
Hàm số có chứa lượng giác: Biến đổi để sử dụng ba giới hạn quen thuộc

Dạng vô định : Phân tích tử số và mẫu số để có (x - a) làm nhân tử chung
Dạng vô định : Đặt số hạng bậc cao nhất của tử số và mẫu số làm thừa số chung.
Dạng vô định ∞ - ∞, ∞.0: Biến đổi đưa về dạng

B. ĐỀ THI

Bài 1. Tìm giới hạn $I = \lim_{x \rightarrow 0}\mspace{2mu}\frac{\sqrt[3]{3x^{2} - 1} + \sqrt{2x^{2} + 1}}{1 - cosx}$ .

Hướng dẫn giải

Giới hạn I có dạng vô định $\frac{0}{0}$ .

Ta có

$I = \lim_{x \rightarrow0}\mspace{2mu}\frac{\left( \sqrt[3]{3x^{2} - 1} + 1 \right) + \left(\sqrt{2x^{2} + 1} - 1 \right)}{2\sin^{2}\frac{x}{2}}$

$= \lim_{x\rightarrow 0}\mspace{2mu}\left\lbrack \frac{\sqrt[3]{3x^{2} - 1} +1}{2\sin^{2}\frac{x}{2}} + \frac{\sqrt{2x^{2} + 1} -1}{2\sin^{2}\frac{x}{2}} \right\rbrack$

$I_{1} = \lim_{x \rightarrow 0}\mspace{2mu}\frac{\sqrt[3]{3x^{2} - 1} + 1}{2\sin^{2}\frac{x}{2}} = \lim_{x \rightarrow 0}\mspace{2mu}\frac{3x^{2} - 1 + 1}{2\sin^{2}\frac{x}{2}\left\lbrack \left( \sqrt[3]{3x^{2} - 1} \right)^{2} - \sqrt[3]{3x^{2} - 1} + 1 \right\rbrack}$

$= \lim_{x \rightarrow 0}\mspace{2mu}\frac{1}{\left( \sqrt[3]{3x^{2} - 1} \right)^{2} - \sqrt[3]{3x^{2} - 1} + 1} \cdot 6\left( \frac{\frac{x}{2}}{sin\frac{x}{2}} \right)^{2} = \frac{6}{3} = 2$

$I_{2} = \lim_{x \rightarrow 0}\mspace{2mu}\frac{2x^{2}}{2\sin^{2}\frac{x}{2}\left( \sqrt{2x^{2} + 1} + 1 \right)} = \lim_{x \rightarrow 0}\mspace{2mu}\frac{1}{\sqrt{2x^{2} + 1} + 1}4\left( \frac{\frac{x}{2}}{sin\frac{x}{2}} \right)^{2} = \frac{4}{2} = 2$ .

Vậy $I = I_{1} + I_{2} = 4$ .

Vấn đề 2: TÍNH CHẤT ĐỚN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

A. PHƯƠNG PHÁP GIẢl

1, Định nghĩa:

Hàm số f xác định trên khoảng (đoạn hoặc nửa khoảng) K và $x_{1},x_{2} \in \text{ }K$ .

Hàm số f gọi là đồng biến trên K nếu $x_{1} < x_{2} \Rightarrow f\left( x_{1} \right) < f\left( x_{2} \right)$ .
Hàm số f gọi là nghịch biến trên K nếu $x_{1} < x_{2} \Rightarrow f\left( x_{1} \right) > f\left( x_{2} \right)$ .

Định nghĩa này kết hợp với định lý dưới đây được sử dụng để chứng minh một bất đẳng thức.

2. Định lí:

Hàm số f có đạo hàm trên khoảng K .

Nếu $f'(x) > 0,\forall x \in K$ thì hàm số f đồng biến trên K .
Nếu $f'(x) < 0,\forall x \in K$ thì hàm số f nghịch biến trên K .

Định lý này thường được úng dụng cho các dạng toán sau:

Dạng 1: Tìm tham số để hàm số luôn đồng biến (hoặc nghịch biến).

Thường sử dụng dấu của tam thức bậc hai $P(x) = {ax}^{2} + bx + c(a \neq 0)$

$\begin{matrix} & \ P(x) \geq 0,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \Delta \leq 0 \\ a > 0 \end{matrix}\text{~hay~}\left\{ \begin{matrix} a = b = 0 \\ c \geq 0 \end{matrix} \right.\ \right.\ \\ & \ P(x) \leq 0,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \Delta \leq 0 \\ a < 0 \end{matrix}\text{~hay~}\left\{ \begin{matrix} a = b = 0 \\ c \leq 0 \end{matrix} \right.\ \right.\ \end{matrix}$

Dạng 2: Tìm tham số để hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên khoảng ( ).

Hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên khoảng $(a;b) \Leftrightarrow y' \geq 0$ (hoặc $y' \leq 0$ ), $\forall x \in (a;b)$ và dấu " " xảy ra ở hữu hạn điểm () Thông thường điều kiện () biến đổi được về một trong hai dạng:

$(*)h(\text{ }m) \geq g(x),\forall x \in (a;b) \Leftrightarrow h(\text{ }m) \geq \max_{(a;b)}\mspace{2mu} g(x)$

Bài 1. Cho hàm số $y = x^{3} - (2\text{ }m - 1)x^{2} + (2 - m)x + 2(1)$ , với m là tham số thực Tìm các giá trị của m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) có hoành độ dương.

Hướng dẫn giải

Tập xác định: $D = \mathbb{R},y' = 0 \Leftrightarrow 3x^{2} - 2(2\text{ }m - 1)x + 2 - m = 0$ (*)

Yêu cầu bài toán tương đương với

Phương trình (*) có hai nghiệm dương phân biệt

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \Delta' > 0 \\ P > 0 \\ S > 0 \end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 4m^{2} - m - 5 > 0 \\ \frac{2 - m}{3} > 0 \\ \frac{2(2m - 1)}{3} > 0 \end{matrix} \right.\ \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m < - 1\text{~hay~}m > \frac{5}{4} \\ m < 2 \\ m > \frac{1}{2} \end{matrix} \Leftrightarrow \frac{5}{4} < m < 2 \right.$

Bài 2: Cho hàm số: $y = - x^{3} + 3x^{2} + 3\left( {\text{ }m}^{2} - 1 \right)x - 3{\text{ }m}^{2} - 1$ (1), m là tham số. Tìm m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) cách đều gốc tọa độ O.

Hướng dẫn giải

Tập xác định: $D = \mathbb{R}$

Ta có: $y' = - 3x^{2} + 6x + 3\left( {\text{ }m}^{2} - 1 \right)$

$y' = 0 \Leftrightarrow x^{2} - 2x - m^{2} + 1 = 0$

Hàm số (1) có cực trị ⇔ (2) có 2 nghiệm phân biệt

$\Leftrightarrow \Delta' = m^{2} > 0 \Leftrightarrow m \neq 0$

Khi đó $y' = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 - m \Rightarrow y = - 2 - 2m^{3} \\ x = 1 + m \Rightarrow y = - 2 + 2m^{3} \end{matrix} \right.$ .

Gọi là 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) thì

$A\left( 1 - m; - 2 - 2{\text{ }m}^{3} \right),B\left( 1 + m; - 2 + 2{\text{ }m}^{3} \right)$

O cách đều và $B \Leftrightarrow OA = OB \Leftrightarrow 8{\text{ }m}^{3} = 2\text{ }m \Leftrightarrow \text{ }m = \pm \frac{1}{2}$ (vì $m \neq 0$ ).

(Còn tiếp)

--------------------------------------------------------------------

Chuyên đề khảo sát hàm số là nền tảng quan trọng của phần giải tích trong chương trình Toán 12 và đóng vai trò then chốt trong nhiều dạng bài của đề thi tốt nghiệp THPT. Khi nắm vững quy trình khảo sát và hiểu rõ mối liên hệ giữa đạo hàm, bảng biến thiên và đồ thị hàm số, học sinh sẽ dễ dàng giải quyết nhiều bài toán phức tạp trong thời gian ngắn.

Tài liệu “Ôn thi Đại học môn Toán – Chuyên đề: Khảo sát hàm số” giúp hệ thống lại các dạng bài thường gặp, cung cấp phương pháp giải hiệu quả và hỗ trợ học sinh rèn luyện kỹ năng phân tích đồ thị. Nội dung được xây dựng theo định hướng ra đề của Bộ Giáo dục và Đào tạo Việt Nam , giúp người học làm quen với cấu trúc đề thi và nâng cao khả năng xử lý các câu hỏi vận dụng cao.

Việc luyện tập thường xuyên với nhiều dạng bài khác nhau sẽ giúp học sinh củng cố kiến thức, nâng cao tốc độ làm bài và tự tin hơn khi bước vào kỳ thi quan trọng. Đây là nguồn tài liệu hữu ích cho quá trình luyện đề, tổng ôn và chinh phục điểm cao trong kỳ thi THPT Quốc gia môn Toán.

Tải về

Chọn file muốn tải về:

Ôn thi Đại học môn Toán - Chuyên đề: Khảo sát hàm số

1,3 MB

Đóng Chỉ thành viên VnDoc PRO/PROPLUS tải được nội dung này!

Đóng

79.000 / tháng

Mua ngay

Đặc quyền các gói Thành viên

PRO

Phổ biến nhất

PRO+

Tải tài liệu Cao cấp 1 Lớp

30 lượt tải tài liệu

Xem nội dung bài viết

Trải nghiệm Không quảng cáo

Làm bài trắc nghiệm không giới hạn

Tìm hiểu thêm

Mua cả năm Tiết kiệm tới 48%

Chia sẻ bởi:
Su kem

14

18.444

Bài trước

Bài sau

Có thể bạn quan tâm

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!