VnDoc.com

Chuyên đề Nguyên hàm hàm lượng giác Toán 12 Có hướng dẫn giải chi tiết

Ôn thi THPT Quốc gia môn Toán

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 12

Môn: Toán

Dạng tài liệu: Chuyên đề

Mức độ: Khó

Loại File: Word + PDF

Phân loại: Tài liệu Cao cấp

Đây là tài liệu Cao cấp - Chỉ dành cho Thành viên VnDoc ProPlus.

Tải tất cả tài liệu lớp 12 (Trừ Giáo án, bài giảng)
Trắc nghiệm không giới hạn

Mua ProPlus 369.000đ

Bài tập nguyên hàm hàm lượng giác Toán 12

A. Đề bài Tính Nguyên hàm hàm lượng giác
B. Đáp án tổng quan bài tập tìm nguyên hàm lượng giác
C. Hướng dẫn giải chi tiết bài tập tính nguyên hàm lượng giác

Nguyên hàm của hàm lượng giác là một chuyên đề quan trọng trong chương trình Toán 12, đồng thời thường xuất hiện trong đề thi THPT Quốc gia. Việc nắm chắc công thức, phương pháp và các dạng bài đặc trưng sẽ giúp học sinh xử lý nhanh và chính xác những câu hỏi liên quan. Bài viết này hệ thống chuyên đề nguyên hàm hàm lượng giác Toán 12 kèm hướng dẫn giải chi tiết, giúp các em từng bước hiểu bản chất và nâng cao kỹ năng làm bài.

A. Đề bài Tính Nguyên hàm hàm lượng giác

Câu 1: Tìm $I = \int_{}^{}\frac{\sin x}{\sin x + \cos x}dx$ $I = \int_{}^{}\frac{\sin x}{\sin x + \cos x}dx$?

A. $I = \frac{1}{2}\left( x + \ln\left| \sin x + \cos x \right| \right) + C$ $I = \frac{1}{2}\left( x + \ln\left| \sin x + \cos x \right| \right) + C$. B. $I = x + \ln\left| \sin x + \cos x \right| + C$ $I = x + \ln\left| \sin x + \cos x \right| + C$.C. $I = x - \ln\left| \sin x + \cos x \right| + C$ $I = x - \ln\left| \sin x + \cos x \right| + C$. D. $I = \frac{1}{2}\left( x - \ln\left| \sin x + \cos x \right| \right) + C$ $I = \frac{1}{2}\left( x - \ln\left| \sin x + \cos x \right| \right) + C$.

Câu 2: Tìm $I = \int_{}^{}\frac{cos^{4}x}{sin^{4}x + cos^{4}x}dx$ $I = \int_{}^{}\frac{cos^{4}x}{sin^{4}x + cos^{4}x}dx$?

A. $I = \frac{1}{2}\left( x - \frac{1}{2\sqrt{2}}\ln\left( \frac{\sqrt{2} + sin2x}{\sqrt{2} - sin2x} \right) \right) + C$ $I = \frac{1}{2}\left( x - \frac{1}{2\sqrt{2}}\ln\left( \frac{\sqrt{2} + sin2x}{\sqrt{2} - sin2x} \right) \right) + C$.

B. $I = x - \frac{1}{2\sqrt{2}}\ln\left( \frac{\sqrt{2} + sin2x}{\sqrt{2} - sin2x} \right) + C$ $I = x - \frac{1}{2\sqrt{2}}\ln\left( \frac{\sqrt{2} + sin2x}{\sqrt{2} - sin2x} \right) + C$.

C. $I = \frac{1}{2}\left( x + \frac{1}{2\sqrt{2}}\ln\left( \frac{\sqrt{2} + sin2x}{\sqrt{2} - sin2x} \right) \right) + C$ $I = \frac{1}{2}\left( x + \frac{1}{2\sqrt{2}}\ln\left( \frac{\sqrt{2} + sin2x}{\sqrt{2} - sin2x} \right) \right) + C$.

D. $I = x - \frac{1}{2\sqrt{2}}\ln\left( \frac{\sqrt{2} + sin2x}{\sqrt{2} - sin2x} \right) + C$ $I = x - \frac{1}{2\sqrt{2}}\ln\left( \frac{\sqrt{2} + sin2x}{\sqrt{2} - sin2x} \right) + C$.

Câu 3: Tìm $H = \int_{}^{}\frac{x^{2}dx}{\left( x\sin x + \cos x \right)^{2}}$ $H = \int_{}^{}\frac{x^{2}dx}{\left( x\sin x + \cos x \right)^{2}}$?

A. $H = \frac{x}{\cos x\left( x\sin x + \cos x \right)} + \tan x + C$ $H = \frac{x}{\cos x\left( x\sin x + \cos x \right)} + \tan x + C$.

B. $H = \frac{x}{\cos x\left( x\sin x + \cos x \right)} - \tan x + C$ $H = \frac{x}{\cos x\left( x\sin x + \cos x \right)} - \tan x + C$.

C. $H = \frac{- x}{\cos x\left( x\sin x + \cos x \right)} + \tan x + C$ $H = \frac{- x}{\cos x\left( x\sin x + \cos x \right)} + \tan x + C$.

D. $H = \frac{- x}{\cos x\left( x\sin x +\cos x \right)} - \tan x + C$ $H = \frac{- x}{\cos x\left( x\sin x +\cos x \right)} - \tan x + C$.

Câu 4: Tìm $R = \int_{}^{}{\frac{1}{x^{2}}\sqrt{\frac{2 - x}{2 + x}}\ dx}$ $R = \int_{}^{}{\frac{1}{x^{2}}\sqrt{\frac{2 - x}{2 + x}}\ dx}$?

A. $R = - \frac{tan2t}{2} + \frac{1}{4}\ln\left| \frac{1 + sin2t}{1 - sin2t} \right| + C$ $R = - \frac{tan2t}{2} + \frac{1}{4}\ln\left| \frac{1 + sin2t}{1 - sin2t} \right| + C$ với $t = \frac{1}{2}\arctan\left( \frac{x}{2} \right)$ $t = \frac{1}{2}\arctan\left( \frac{x}{2} \right)$.

B. $R = - \frac{tan2t}{2} - \frac{1}{4}\ln\left| \frac{1 + sin2t}{1 - sin2t} \right| + C$ $R = - \frac{tan2t}{2} - \frac{1}{4}\ln\left| \frac{1 + sin2t}{1 - sin2t} \right| + C$ với $t = \frac{1}{2}\arctan\left( \frac{x}{2} \right)$ $t = \frac{1}{2}\arctan\left( \frac{x}{2} \right)$.

C. $R = \frac{tan2t}{2} + \frac{1}{4}\ln\left| \frac{1 + sin2t}{1 - sin2t} \right| + C$ $R = \frac{tan2t}{2} + \frac{1}{4}\ln\left| \frac{1 + sin2t}{1 - sin2t} \right| + C$ với $t = \frac{1}{2}\arctan\left( \frac{x}{2} \right)$ $t = \frac{1}{2}\arctan\left( \frac{x}{2} \right)$.

D. $R = \frac{tan2t}{2} - \frac{1}{4}\ln\left| \frac{1 + sin2t}{1 - sin2t} \right| + C$ $R = \frac{tan2t}{2} - \frac{1}{4}\ln\left| \frac{1 + sin2t}{1 - sin2t} \right| + C$ với $t = \frac{1}{2}\arctan\left( \frac{x}{2} \right)$ $t = \frac{1}{2}\arctan\left( \frac{x}{2} \right)$.

Câu 5: Nguyên hàm $\int_{}^{}{\left( sin2x + \cos x \right)dx}$ $\int_{}^{}{\left( sin2x + \cos x \right)dx}$ là:

A. $\frac{1}{2}cos2x + \sin x + C$ $\frac{1}{2}cos2x + \sin x + C$. B. $- cos2x + \sin x + C$ $- cos2x + \sin x + C$.

C. $- \frac{1}{2}cos2x + \sin x + C$ $- \frac{1}{2}cos2x + \sin x + C$. D. $- cos2x - \sin x + C$ $- cos2x - \sin x + C$.

Câu 6: Nguyên hàm $\int_{}^{}{\left\lbrack \sin(2x + 3) + \cos(3 - 2x) \right\rbrack dx}$ $\int_{}^{}{\left\lbrack \sin(2x + 3) + \cos(3 - 2x) \right\rbrack dx}$ là:

A. $- 2cos(2x + 3) - 2sin(3 - 2x) + C$.

B. $- 2cos(2x + 3) + 2sin(3 - 2x) + C$.

C. $2cos(2x + 3) - 2sin(3 - 2x) + C$.

D. $2cos(2x + 3) + 2sin(3 - 2x) + C$.

Câu 7: Nguyên hàm $\int_{}^{}\left\lbrack sin^{2}(3x + 1) + \cos x \right\rbrack dx$ $\int_{}^{}\left\lbrack sin^{2}(3x + 1) + \cos x \right\rbrack dx$ là:

A. $\frac{1}{2}x - 3sin(6x + 2) + \sin x + C$ $\frac{1}{2}x - 3sin(6x + 2) + \sin x + C$. B. $x - 3sin(6x + 2) + \sin x + C$ $x - 3sin(6x + 2) + \sin x + C$.

C. $\frac{1}{2}x - 3sin(3x + 1) + \sin x + C$ $\frac{1}{2}x - 3sin(3x + 1) + \sin x + C$. D. $\frac{1}{2}x - 3sin(6x + 2) - \sin x + C$ $\frac{1}{2}x - 3sin(6x + 2) - \sin x + C$.

Câu 8: Kết quả nào dưới đây không phải là nguyên hàm của $\int_{}^{}{\left( sin^{3}x + cos^{3}x \right)dx}$ $\int_{}^{}{\left( sin^{3}x + cos^{3}x \right)dx}$?

A. $3cosx.sin^{2}x - 3sinx.cos^{2}x + C$ $3cosx.sin^{2}x - 3sinx.cos^{2}x + C$. B. $\frac{3}{2}sin2x\left( \sin x - \cos x \right) + C$ $\frac{3}{2}sin2x\left( \sin x - \cos x \right) + C$.

C. $3\sqrt{2}sin2x\sin\left( x - \frac{\pi}{4} \right) + C$ $3\sqrt{2}sin2x\sin\left( x - \frac{\pi}{4} \right) + C$. D. $3\sqrt{2}\sin x.cosx.sin\left( x - \frac{\pi}{4} \right) + C$ $3\sqrt{2}\sin x.cosx.sin\left( x - \frac{\pi}{4} \right) + C$.

Câu 9: Với phương pháp đổi biến số $(x \rightarrow t)$ $(x \rightarrow t)$, nguyên hàm $I = \int_{}^{}{\frac{1}{\sqrt{- x^{2} + 2x + 3}}dx}$ $I = \int_{}^{}{\frac{1}{\sqrt{- x^{2} + 2x + 3}}dx}$ bằng:

A. $\sin t + C$ $\sin t + C$. B. $- t + C$. C. $- \cos t + C$ $- \cos t + C$. D. $t + C$.

Câu 10: Theo phương pháp đổi biến số với $t = \cos x,u = \sin x$ $t = \cos x,u = \sin x$, nguyên hàm của $I = \int_{}^{}{\left( \tan x + \cot x \right)dx}$ $I = \int_{}^{}{\left( \tan x + \cot x \right)dx}$ là:

A. $- \ln|t| + \ln|u| + C$ $- \ln|t| + \ln|u| + C$. B. $\ln|t| - \ln|u| + C$ $\ln|t| - \ln|u| + C$.

C. $\ln|t| + \ln|u| + C$ $\ln|t| + \ln|u| + C$. D. $- \ln|t| - \ln|u| + C$ $- \ln|t| - \ln|u| + C$.

Câu 11: Theo phương pháp đổi biến số $(x \rightarrow t)$ $(x \rightarrow t)$, nguyên hàm của $I = \int_{}^{}\frac{2sinx + 2cosx}{\sqrt[3]{1 - sin2x}}dx$ $I = \int_{}^{}\frac{2sinx + 2cosx}{\sqrt[3]{1 - sin2x}}dx$ là:

A. $2\sqrt[3]{t} + C$ $2\sqrt[3]{t} + C$. B. $6\sqrt[3]{t} + C$ $6\sqrt[3]{t} + C$. C. $3\sqrt[3]{t} + C$ $3\sqrt[3]{t} + C$. D. $12\sqrt[3]{t} + C$ $12\sqrt[3]{t} + C$.

Câu 12: Nguyên hàm của $I = \int_{}^{}{xsin^{2}x}dx$ $I = \int_{}^{}{xsin^{2}x}dx$ là:

A. $\frac{1}{8}\left( 2x^{2} - xsin2x - cos2x \right) + C$ $\frac{1}{8}\left( 2x^{2} - xsin2x - cos2x \right) + C$. B. $\frac{1}{8}cos2x + \frac{1}{4}\left( x^{2} + xsin2x \right) + C$ $\frac{1}{8}cos2x + \frac{1}{4}\left( x^{2} + xsin2x \right) + C$.

C. $\frac{1}{4}\left( x^{2} - \frac{1}{2}cos2x - xsin2x \right) + C$ $\frac{1}{4}\left( x^{2} - \frac{1}{2}cos2x - xsin2x \right) + C$.

Câu 13: Nguyên hàm của $I = \int_{}^{}{x\sin xcos^{2}x}dx$ $I = \int_{}^{}{x\sin xcos^{2}x}dx$ là:

A. $I_{1} = - xcos^{3}x + t - \frac{1}{3}t^{3} + C,t = \sin x$ $I_{1} = - xcos^{3}x + t - \frac{1}{3}t^{3} + C,t = \sin x$.

B. $I_{1} = - xcos^{3}x + t - \frac{2}{3}t^{3} + C,t = \sin x$ $I_{1} = - xcos^{3}x + t - \frac{2}{3}t^{3} + C,t = \sin x$.

C. $I_{1} = xcos^{3}x + t - \frac{1}{3}t^{3} + C,t = \sin x$ $I_{1} = xcos^{3}x + t - \frac{1}{3}t^{3} + C,t = \sin x$.

D. $I_{1} = xcos^{3}x + t - \frac{2}{3}t^{3} + C,t = \sin x$ $I_{1} = xcos^{3}x + t - \frac{2}{3}t^{3} + C,t = \sin x$.

Câu 14: Họ nguyên hàm của $I = \int_{}^{}{\frac{\ln\left( \cos x \right)}{sin^{2}x}dx}$ $I = \int_{}^{}{\frac{\ln\left( \cos x \right)}{sin^{2}x}dx}$ là:

A. $\cot x.ln\left( \cos x \right) + x + C$ $\cot x.ln\left( \cos x \right) + x + C$. B. $- \cot x.ln\left( \cos x \right) - x + C$ $- \cot x.ln\left( \cos x \right) - x + C$.

C. $\cot x.ln\left( \cos x \right) - x + C$ $\cot x.ln\left( \cos x \right) - x + C$. D. $- \cot x.ln\left( \cos x \right) + x + C$ $- \cot x.ln\left( \cos x \right) + x + C$.

Câu 15: Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x)$thỏa mãn điều kiện: $f(x) = 2x - 3cosx,\ F\left( \frac{\pi}{2} \right) = 3$ $f(x) = 2x - 3cosx,\ F\left( \frac{\pi}{2} \right) = 3$?

A. $F(x) = x^{2} - 3sinx + 6 + \frac{\pi^{2}}{4}$ $F(x) = x^{2} - 3sinx + 6 + \frac{\pi^{2}}{4}$. B. $F(x) = x^{2} - 3sinx - \frac{\pi^{2}}{4}$ $F(x) = x^{2} - 3sinx - \frac{\pi^{2}}{4}$.

C. $F(x) = x^{2} - 3sinx + \frac{\pi^{2}}{4}$ $F(x) = x^{2} - 3sinx + \frac{\pi^{2}}{4}$. D. $F(x) = x^{2} - 3sinx + 6 - \frac{\pi^{2}}{4}$ $F(x) = x^{2} - 3sinx + 6 - \frac{\pi^{2}}{4}$.

B. Đáp án tổng quan bài tập tìm nguyên hàm lượng giác

1 - D	2 - C	3 - C	4 - A	5 - C	6 - A	7 - A	8 - C	9 – D
10 - A	11 - B	12 - C	13 - A	14 - B	15 - D	16 - A	17 - D	18 – B
19 - D	20 - D	21 - A	22 - C	23 - B	24 - B	25 - B	26 - C	27 – B
28 - D	29 - A	30 - C	31 - B	32 - C	33 - C	34 - A	35 - D	36 – A
37 - C	38 - C	39 - D	40 - B	41 - D	42 - A	43 - B	44 - C

C. Hướng dẫn giải chi tiết bài tập tính nguyên hàm lượng giác

Câu 1:

Đặt: $T = \int_{}^{}{\frac{\cos x}{\sin x + \cos x}dx}$ $T = \int_{}^{}{\frac{\cos x}{\sin x + \cos x}dx}$

$\Rightarrow I + T = \int_{}^{}{\frac{\sin x}{\sin x + \cos x}dx + \int_{}^{}{\frac{\cos x}{\sin x + \cos x}dx}}$ $\Rightarrow I + T = \int_{}^{}{\frac{\sin x}{\sin x + \cos x}dx + \int_{}^{}{\frac{\cos x}{\sin x + \cos x}dx}}$

$= \int_{}^{}{\frac{\sin x + \cos x}{\sin x + \cos x}dx = x + C_{1}}(1)$ $= \int_{}^{}{\frac{\sin x + \cos x}{\sin x + \cos x}dx = x + C_{1}}(1)$

Ta lại có :

$I - T = \int_{}^{}{\frac{\sin x}{\sin x+ \cos x}dx - \int_{}^{}{\frac{\cos x}{\sin x + \cos x}dx}}$ $I - T = \int_{}^{}{\frac{\sin x}{\sin x+ \cos x}dx - \int_{}^{}{\frac{\cos x}{\sin x + \cos x}dx}}$ $=\int_{}^{}{\frac{\sin x - \cos x}{\sin x + \cos x}dx}$ $=\int_{}^{}{\frac{\sin x - \cos x}{\sin x + \cos x}dx}$

$\Leftrightarrow I - T = -\int_{}^{}{\frac{d\left( \sin x + \cos x \right)}{\sin x + \cos x} }$ $\Leftrightarrow I - T = -\int_{}^{}{\frac{d\left( \sin x + \cos x \right)}{\sin x + \cos x} }$ $= {-\ln\left| \sin x + \cos x \right| + C_{2}}(2)$ $= {-\ln\left| \sin x + \cos x \right| + C_{2}}(2)$

Từ $(1);(2)$ ta có hệ: $\left\{ \begin{matrix} I + T = x + C_{1} \\ I - T = - \ln\left| \sin x + \cos x \right| + C_{2} \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} I + T = x + C_{1} \\ I - T = - \ln\left| \sin x + \cos x \right| + C_{2} \end{matrix} \right.$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} I = \frac{1}{2}\left( x - \ln\left| \sin x + \cos x \right| \right) + C \\ T = \frac{1}{2}\left( x + \ln\left| \sin x + \cos x \right| \right) + C \end{matrix} \right.$ $\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} I = \frac{1}{2}\left( x - \ln\left| \sin x + \cos x \right| \right) + C \\ T = \frac{1}{2}\left( x + \ln\left| \sin x + \cos x \right| \right) + C \end{matrix} \right.$

Câu 2:

Đặt: $T = \int_{}^{}{\frac{sin^{4}x}{sin^{4}x + cos^{4}x}dx}$ $T = \int_{}^{}{\frac{sin^{4}x}{sin^{4}x + cos^{4}x}dx}$

$\Rightarrow I + T = \int_{}^{}{\frac{cos^{4}x}{sin^{4}x + cos^{4}x}dx + \int_{}^{}{\frac{sin^{4}x}{sin^{4}x + cos^{4}x}dx}}$ $\Rightarrow I + T = \int_{}^{}{\frac{cos^{4}x}{sin^{4}x + cos^{4}x}dx + \int_{}^{}{\frac{sin^{4}x}{sin^{4}x + cos^{4}x}dx}}$

$= \int_{}^{}\frac{sin^{4}x + cos^{4}x}{sin^{4}x + cos^{4}x}dx = x + C_{1}(1)$ $= \int_{}^{}\frac{sin^{4}x + cos^{4}x}{sin^{4}x + cos^{4}x}dx = x + C_{1}(1)$

Mặt khác:

$I - T = \int_{}^{}{\frac{cos^{4}x}{sin^{4}x + cos^{4}x}dx - \int_{}^{}{\frac{sin^{4}x}{sin^{4}x + cos^{4}x}dx}}$ $I - T = \int_{}^{}{\frac{cos^{4}x}{sin^{4}x + cos^{4}x}dx - \int_{}^{}{\frac{sin^{4}x}{sin^{4}x + cos^{4}x}dx}}$ $= \int_{}^{}\frac{cos^{4}x - sin^{4}x}{sin^{4}x + cos^{4}x}dx$ $= \int_{}^{}\frac{cos^{4}x - sin^{4}x}{sin^{4}x + cos^{4}x}dx$

$\Leftrightarrow I - T = \int_{}^{}{\frac{cos^{2}x - sin^{2}x}{1 - 2sin^{2}x.cos^{2}x}dx}$ $\Leftrightarrow I - T = \int_{}^{}{\frac{cos^{2}x - sin^{2}x}{1 - 2sin^{2}x.cos^{2}x}dx}$ $= \int_{}^{}\frac{cos2x}{1 - \frac{1}{2}sin^{2}x}dx$ $= \int_{}^{}\frac{cos2x}{1 - \frac{1}{2}sin^{2}x}dx$

$\Leftrightarrow I - T = \int_{}^{}{\frac{2cos2x}{2 - sin^{2}2x}dx}$ $\Leftrightarrow I - T = \int_{}^{}{\frac{2cos2x}{2 - sin^{2}2x}dx}$ $= \frac{1}{2\sqrt{2}}\ln\left( \frac{\sqrt{2} + sin2x}{\sqrt{2} - sin2x} \right) + C_{2}(2)$ $= \frac{1}{2\sqrt{2}}\ln\left( \frac{\sqrt{2} + sin2x}{\sqrt{2} - sin2x} \right) + C_{2}(2)$

Từ $(1);(2)$ ta có hệ: $\left\{ \begin{matrix} I + T = x + C_{1} \\ I - T = \frac{1}{2\sqrt{2}}\ln\left( \frac{\sqrt{2} + sin2x}{\sqrt{2} - sin2x} \right) + C_{2} \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} I + T = x + C_{1} \\ I - T = \frac{1}{2\sqrt{2}}\ln\left( \frac{\sqrt{2} + sin2x}{\sqrt{2} - sin2x} \right) + C_{2} \end{matrix} \right.$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} I = \frac{1}{2}\left( x + \frac{1}{2\sqrt{2}}\ln\left( \frac{\sqrt{2} + sin2x}{\sqrt{2} - sin2x} \right) \right) + C \\ T = \frac{1}{2}\left( x - \frac{1}{2\sqrt{2}}\ln\left( \frac{\sqrt{2} + sin2x}{\sqrt{2} - sin2x} \right) \right) + C \end{matrix} \right.$ $\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} I = \frac{1}{2}\left( x + \frac{1}{2\sqrt{2}}\ln\left( \frac{\sqrt{2} + sin2x}{\sqrt{2} - sin2x} \right) \right) + C \\ T = \frac{1}{2}\left( x - \frac{1}{2\sqrt{2}}\ln\left( \frac{\sqrt{2} + sin2x}{\sqrt{2} - sin2x} \right) \right) + C \end{matrix} \right.$

Câu 3:

Ta có :

$H =\int_{}^{}{\frac{x^{2}}{\left( x\sin x + \cos x \right)^{2}}dx }$ $H =\int_{}^{}{\frac{x^{2}}{\left( x\sin x + \cos x \right)^{2}}dx }$ $=\int_{}^{}{\frac{x\cos x}{\left( x\sin x + \cos x\right)^{2}}.\frac{x}{\cos x}dx}$ $=\int_{}^{}{\frac{x\cos x}{\left( x\sin x + \cos x\right)^{2}}.\frac{x}{\cos x}dx}$

Đặt $\left\{ \begin{matrix}u = \dfrac{x}{\cos x} \\dv = \dfrac{x\cos x}{\left( x\sin x + \cos x \right)^{2}}dx =\dfrac{d\left( x\sin x + \cos x \right)}{\left( x\sin x + \cos x\right)^{2}}\end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix}u = \dfrac{x}{\cos x} \\dv = \dfrac{x\cos x}{\left( x\sin x + \cos x \right)^{2}}dx =\dfrac{d\left( x\sin x + \cos x \right)}{\left( x\sin x + \cos x\right)^{2}}\end{matrix} \right.$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}du = \dfrac{x\sin x + \cos x}{cos^{2}x}dx \\v = - \dfrac{1}{x\sin x + \cos x}\end{matrix} \right.$ $\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}du = \dfrac{x\sin x + \cos x}{cos^{2}x}dx \\v = - \dfrac{1}{x\sin x + \cos x}\end{matrix} \right.$

$\Rightarrow H = - \frac{x}{\cos x}.\frac{1}{xsinx + \cos x} + \int_{}^{}{\frac{1}{cos^{2}x}dx}$ $\Rightarrow H = - \frac{x}{\cos x}.\frac{1}{xsinx + \cos x} + \int_{}^{}{\frac{1}{cos^{2}x}dx}$

$= \frac{- x}{\cos x\left( x\sin x + \cos x \right)} + \tan x + C$ $= \frac{- x}{\cos x\left( x\sin x + \cos x \right)} + \tan x + C$

Câu 4:

Đặt $x = 2cos2t$ với $t \in \left( 0;\frac{\pi}{2} \right)$ $t \in \left( 0;\frac{\pi}{2} \right)$

Ta có : $\left\{ \begin{matrix}dx = - 4sin2t.dt \\\sqrt{\dfrac{2 - x}{2 + x}} = \sqrt{\dfrac{2 - 2sin2t}{2 + 2cos2t}} =\sqrt{\dfrac{4sin^{2}t}{4cos^{2}t}} = \dfrac{\sin t}{\cos t}\end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix}dx = - 4sin2t.dt \\\sqrt{\dfrac{2 - x}{2 + x}} = \sqrt{\dfrac{2 - 2sin2t}{2 + 2cos2t}} =\sqrt{\dfrac{4sin^{2}t}{4cos^{2}t}} = \dfrac{\sin t}{\cos t}\end{matrix} \right.$

$\Rightarrow R = - \int_{}^{}{\frac{1}{4cos^{2}2t}.\frac{\sin t}{\cos t}.}4sin2t.dt$ $\Rightarrow R = - \int_{}^{}{\frac{1}{4cos^{2}2t}.\frac{\sin t}{\cos t}.}4sin2t.dt$ $= - \int_{}^{}{\frac{2sin^{2}t}{cos^{2}2t}dt = - \int_{}^{}{\frac{1 - cos2t}{cos^{2}2t}dt}}$ $= - \int_{}^{}{\frac{2sin^{2}t}{cos^{2}2t}dt = - \int_{}^{}{\frac{1 - cos2t}{cos^{2}2t}dt}}$

$\Leftrightarrow R = - \int_{}^{}{\frac{1}{cos^{2}2t}dt} + \int_{}^{}{\frac{1}{cos2t}dt}$ $\Leftrightarrow R = - \int_{}^{}{\frac{1}{cos^{2}2t}dt} + \int_{}^{}{\frac{1}{cos2t}dt}$ $= - \frac{tan2t}{2} + \frac{1}{4}\ln\left| \frac{1 + sin2t}{1 - sin2t} \right| + C$ $= - \frac{tan2t}{2} + \frac{1}{4}\ln\left| \frac{1 + sin2t}{1 - sin2t} \right| + C$

Câu 5:

Ta có:

$\int_{}^{}{\left( sin2x + \cos x \right)dx} = - \frac{1}{2}cos2x + \sin x + C$ $\int_{}^{}{\left( sin2x + \cos x \right)dx} = - \frac{1}{2}cos2x + \sin x + C$.

Câu 6:

Ta có:

$\int_{}^{}{\left\lbrack \sin(2x + 3) + \cos(3 - 2x) \right\rbrack dx}$ $\int_{}^{}{\left\lbrack \sin(2x + 3) + \cos(3 - 2x) \right\rbrack dx}$

$= - 2cos(2x + 3) - 2sin(3 - 2x) + C$.

Câu 7:

Ta có:

$\int_{}^{}\left\lbrack sin^{2}(3x + 1) + \cos x \right\rbrack dx$ $\int_{}^{}\left\lbrack sin^{2}(3x + 1) + \cos x \right\rbrack dx$

$= \int_{}^{}\left\lbrack \frac{1 - \cos(6x + 2)}{2} + \cos x \right\rbrack dx$ $= \int_{}^{}\left\lbrack \frac{1 - \cos(6x + 2)}{2} + \cos x \right\rbrack dx$

$= \int_{}^{}\left\lbrack \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos(6x + 2) + \cos x \right\rbrack dx$ $= \int_{}^{}\left\lbrack \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos(6x + 2) + \cos x \right\rbrack dx$

$= \frac{1}{2}x - 3sin(6x + 2) + \sin x + C$ $= \frac{1}{2}x - 3sin(6x + 2) + \sin x + C$

Câu 8:

Ta có:

$\int_{}^{}{\left( sin^{3}x + cos^{3}x \right)dx}$ $\int_{}^{}{\left( sin^{3}x + cos^{3}x \right)dx}$

$= 3cosx.sin^{2}x - 3sinx.cos^{2}x + C$ $= 3cosx.sin^{2}x - 3sinx.cos^{2}x + C$

$= \frac{3}{2}sin2x\left( \sin x - \cos x \right) + C$ $= \frac{3}{2}sin2x\left( \sin x - \cos x \right) + C$

$= \frac{3\sqrt{2}}{2}sin2x\sin\left( x - \frac{\pi}{4} \right) + C$ $= \frac{3\sqrt{2}}{2}sin2x\sin\left( x - \frac{\pi}{4} \right) + C$.

Tài liệu dài, tải về để xem chi tiết và đầy đủ nhé!

------------------------------------------------------------

Thành thạo nguyên hàm hàm lượng giác không chỉ giúp giải quyết tốt các câu hỏi trong đề thi THPT Quốc gia môn Toán, mà còn là nền tảng cho những chuyên đề tích phân và ứng dụng sau này. Với hệ thống bài tập được phân dạng và giải thích rõ ràng, học sinh sẽ dễ dàng ghi nhớ công thức, rèn luyện tư duy và tránh được các lỗi sai thường gặp. Hãy luyện tập đều đặn để biến kiến thức thành kỹ năng, sẵn sàng đạt điểm tối đa trong kỳ thi sắp tới.

Tải về

Chọn file muốn tải về: