Tương giao của đường thẳng với hàm số trùng phương
Chuyên đề Toán 12: Tương giao đồ thị
Tương giao đồ thị hàm số bậc bốn với đường thẳng vừa được VnDoc.com biên soạn và xin gửi tới bạn đọc cùng tham khảo. Mời các bạn cùng theo dõi bài viết dưới đây.
Bài toán tổng quát:
Tìm m để đường thẳng 
\(d:y = \alpha\) cắt đồ thị \((C):y = f(x;m) = ax^{4} + bx^{2} + c\) tại n điểm phân biệt thỏa mãn điều kiện K cho trước?
Phương pháp giải:
Bước 1. Lập phương trình hoành độ giao điểm của \(d\) và \((C)\) là: \(ax^{4} + bx^{2} + c - \alpha = 0\) (1)
Đặt \(t = x^{2} \geq 0\) thì \((1) \Leftrightarrow at^{2} + bt + c - \alpha =
0\) (2)
Tùy vào số giao điểm n mà ta biện luận để tìm giá trị \(m \in D_{1}.\) Cụ thể:
\(\bullet\) Để \(d \cap (C) = n = 4\) điểm phân biệt \(\Leftrightarrow (1)\) có 4 nghiệm phân biệt
\(\Leftrightarrow (2)\) có 2 nghiệm \(t_{1},t_{2}\) thỏa điều kiện: \(0 < t_{1} < t_{2} \Leftrightarrow \left\{
\begin{matrix}
\Delta > 0 \\
S > 0 \\
P > 0 \\
\end{matrix} \right.\ \Rightarrow m \in D_{1}.\)
\(\bullet\) Để \(d \cap (C) = n = 3\) điểm phân biệt \(\Leftrightarrow (1)\) có 3 nghiệm phân biệt
\(\Leftrightarrow (2)\) có nghiệm \(t_{1},t_{2}\) thỏa điều kiện: \(0 = t_{1} < t_{2} \Leftrightarrow \left\{
\begin{matrix}
c - \alpha = 0 \\
\frac{b}{a} < 0 \\
\end{matrix} \right.\ \Rightarrow m \in D_{1}.\)
\(\bullet\) Để \(d \cap (C) = n = 2\) điểm phân biệt \(\Leftrightarrow (1)\) có 2 nghiệm phân biệt
\(\Leftrightarrow (2)\) có 2 nghiệm trái dấu hoặc có nghiệm kép dương \(\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
ac < 0 \\
\left\{ \begin{matrix}
\Delta = 0 \\
S > 0 \\
\end{matrix} \right.\ \\
\end{matrix} \right.\ \Rightarrow m \in D_{1}.\)
\(\bullet\) Để \(d \cap (C) = n = 1\) điểm phân biệt \(\Leftrightarrow (1)\) có đúng 1 nghiệm
\(\Leftrightarrow (2)\) có nghiệm kép \(= 0\) hoặc \(\left\{ \begin{matrix}
t_{1} < 0 \\
t_{2} = 0 \\
\end{matrix} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
\Delta = 0 \\
c - \alpha = 0 \\
\end{matrix} \right.\ \left\{ \begin{matrix}
c - \alpha = 0 \\
\frac{b}{a} > 0 \\
\end{matrix} \right.\ \Rightarrow m \in D_{1}.\)
Bước 2. Biến đổi điều kiện K về dạng có chứa tổng và tích của \(t_{1},t_{2}\) (3)
Thế biểu thức tổng, tích vào (3) sẽ thu được phương trình hoặc bất phương trình với biến số là \(m.\) Giải chúng ta sẽ tìm được \(m \in
D_{2}.\)
Kết luận: \(m \in D_{1} \cap
D_{2}.\)
Biểu diễn nghiệm của phương trình \(ax^{4}
+ bx^{2} + c = 0\) qua các nghiệm của phương trình \(at^{2} + bt + c = 0\).
Ta có: \(ax^{4} + bx^{2} + c = 0\mathbf{\
}(1)\), đặt \(t = x^{2} \geq
0\), thì có: \(at^{2} + bt + c =
0\) \((2)\)
Để \((1)\) có \(4\) nghiệm phân biệt thì \((2)\) có hai nghiệm phân biệt dương, tức là: \(\left\{ \begin{matrix}
\Delta > 0 \\
t_{1} + t_{2} > 0 \\
t_{1}.t_{2} > 0 \\
\end{matrix} \right.\)
Khi đó \((1)\) có \(4\) nghiệm phân biệt lần lượt là \(- \sqrt{t_{2}}; -
\sqrt{t_{1}};\sqrt{t_{1}};\sqrt{t_{2}}\)
