VnDoc.com

Tổng hợp công thức phương trình đường thẳng trong không gian

Chuyên đề Toán 12

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 12

Môn: Toán

Dạng tài liệu: Chuyên đề

Loại File: Word + PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Phương trình đường thẳng trong Oxyz

A. Phương trình đường thẳng
B. Góc
- 1. Góc giữa hai đường thẳng
- 2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
C. Khoảng cách
- 1. Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng
- 2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
D. Các dạng toán thường gặp

Phương trình đường thẳng là một phần quan trọng trong chương trình Toán học phổ thông, đặc biệt trong chuyên đề hình học giải tích Oxyz. Tuy nhiên, với nhiều dạng khác nhau như phương trình tổng quát, tham số,… cùng các công thức tính toán khoảng cách, góc giữa đường thẳng khiến học sinh dễ bị rối. Bài viết này sẽ giúp bạn tổng hợp đầy đủ công thức phương trình thẳng, hướng dẫn cách viết phương trình, tính toán khoảng cách từ điểm đến đường và góc giữa đường thẳng một cách chi tiết và dễ hiểu nhất. Hãy cùng khám phá và hệ thống lại kiến thức ngay bây giờ!

A. Phương trình đường thẳng

Cho đường thẳng $\Delta$ $\Delta$ đi qua điểm $M_{0}\left( x_{0};y_{0};z_{0} \right)$ $M_{0}\left( x_{0};y_{0};z_{0} \right)$ và nhận vectơ $\overrightarrow{a\ } = \left( a_{1};a_{2};a_{3} \right)$ $\overrightarrow{a\ } = \left( a_{1};a_{2};a_{3} \right)$ với ${a_{1}}^{2} + {a_{2}}^{2} + {a_{3}}^{2} \neq 0$ ${a_{1}}^{2} + {a_{2}}^{2} + {a_{3}}^{2} \neq 0$ làm vectơ chỉ phương. Khi đó $\Delta$ $\Delta$ có phương trình tham số là :

$\left\{ \begin{matrix} x = x_{0} + a_{1}t \\ y = y_{0} + a_{2}t \\ z = z_{0} + a_{2}t \\ \end{matrix} \right.\ ;\ \left( t\mathbb{\in R} \right)$ $\left\{ \begin{matrix} x = x_{0} + a_{1}t \\ y = y_{0} + a_{2}t \\ z = z_{0} + a_{2}t \\ \end{matrix} \right.\ ;\ \left( t\mathbb{\in R} \right)$

Cho đường thẳng $\Delta$ $\Delta$ đi qua điểm $M_{0}\left( x_{0};y_{0};z_{0} \right)$ $M_{0}\left( x_{0};y_{0};z_{0} \right)$ và nhận vectơ $\overrightarrow{a\ } = \left( a_{1};a_{2};a_{3} \right)$ $\overrightarrow{a\ } = \left( a_{1};a_{2};a_{3} \right)$ sao cho $a_{1}a_{2}a_{3} \neq 0$ $a_{1}a_{2}a_{3} \neq 0$ làm vectơ chỉ phương. Khi đó $\Delta$ $\Delta$ có phương trình chính tắc là:

$\frac{x - x_{0}}{a_{1}} = \frac{y - y_{0}}{a_{2}} = \frac{z - z_{0}}{a_{3}}$ $\frac{x - x_{0}}{a_{1}} = \frac{y - y_{0}}{a_{2}} = \frac{z - z_{0}}{a_{3}}$

B. Góc

1. Góc giữa hai đường thẳng

$\Delta_{1}$ $\Delta_{1}$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{a_{1}}$ $\overrightarrow{a_{1}}$

$\Delta_{2}$ $\Delta_{2}$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{a_{2}}$ $\overrightarrow{a_{2}}$

Gọi $\varphi$ $\varphi$ là góc giữa hai đường thẳng $\Delta_{1}$ $\Delta_{1}$ và $\Delta_{2}$ $\Delta_{2}$. Ta có: $\boxed{\cos\varphi = \frac{\left| \overrightarrow{a_{1}}.\overrightarrow{a_{2}} \right|}{\left| \overrightarrow{a_{1}} \right|.\left| \overrightarrow{a_{2}} \right|}}$ $\boxed{\cos\varphi = \frac{\left| \overrightarrow{a_{1}}.\overrightarrow{a_{2}} \right|}{\left| \overrightarrow{a_{1}} \right|.\left| \overrightarrow{a_{2}} \right|}}$

2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

$\Delta$ $\Delta$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{a_{\Delta}}$ $\overrightarrow{a_{\Delta}}$

$(\alpha)$ $(\alpha)$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{n_{\alpha}}$ $\overrightarrow{n_{\alpha}}$

Gọi $\varphi$ $\varphi$ là góc giữa hai đường thẳng $\Delta$ $\Delta$ và $(\alpha)$ $(\alpha)$. Ta có: $\boxed{\sin\varphi = \frac{\left| \overrightarrow{a_{\Delta}}.\overrightarrow{n_{\alpha}} \right|}{\left| \overrightarrow{a_{\Delta}} \right|.\left| \overrightarrow{n_{\alpha}} \right|}}$ $\boxed{\sin\varphi = \frac{\left| \overrightarrow{a_{\Delta}}.\overrightarrow{n_{\alpha}} \right|}{\left| \overrightarrow{a_{\Delta}} \right|.\left| \overrightarrow{n_{\alpha}} \right|}}$

C. Khoảng cách

1. Khoảng cách từ điểm $\mathbf{M}$ $\mathbf{M}$ đến đường thẳng $\Delta$ $\Delta$

$\Delta$ $\Delta$ đi qua điểm $M_{0}$ $M_{0}$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{a_{\Delta}}$ $\overrightarrow{a_{\Delta}}$

$\boxed{d(M,\Delta) = \frac{\left| \left\lbrack \overrightarrow{a_{\Delta}},\overrightarrow{M_{0}M} \right\rbrack \right|}{\left| \overrightarrow{a_{\Delta}} \right|}}$ $\boxed{d(M,\Delta) = \frac{\left| \left\lbrack \overrightarrow{a_{\Delta}},\overrightarrow{M_{0}M} \right\rbrack \right|}{\left| \overrightarrow{a_{\Delta}} \right|}}$

2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

$\Delta_{1}$ $\Delta_{1}$ đi qua điểm $M$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{a_{1}}$ $\overrightarrow{a_{1}}$

$\Delta_{2}$ $\Delta_{2}$ đi qua điểm $N$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{a_{2}}$ $\overrightarrow{a_{2}}$

$\boxed{d\left( \Delta_{1},\Delta_{2} \right) = \frac{\left| \left\lbrack \overrightarrow{a_{1}},\overrightarrow{a_{2}} \right\rbrack.\overrightarrow{MN} \right|}{\left| \left\lbrack \overrightarrow{a_{1}},\overrightarrow{a_{2}} \right\rbrack \right|}}$ $\boxed{d\left( \Delta_{1},\Delta_{2} \right) = \frac{\left| \left\lbrack \overrightarrow{a_{1}},\overrightarrow{a_{2}} \right\rbrack.\overrightarrow{MN} \right|}{\left| \left\lbrack \overrightarrow{a_{1}},\overrightarrow{a_{2}} \right\rbrack \right|}}$

D. Các dạng toán thường gặp

1. Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ $\Delta$ đi qua hai điểm phân biệt $A,B$.

Cách giải: Xác định vectơ chỉ phương của $\Delta$ $\Delta$ là $\overrightarrow{AB\ }$ $\overrightarrow{AB\ }$.

2. Đường thẳng $\Delta$ $\Delta$ đi qua điểm $M$ và song song với $d$.

Cách giải:

Trong trường hợp đặc biệt:

Nếu $\Delta$ $\Delta$ song song hoặc trùng bới trục Ox thì $\Delta$ $\Delta$ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{a_{\Delta}} = \overrightarrow{i} = (1;0;0)$ $\overrightarrow{a_{\Delta}} = \overrightarrow{i} = (1;0;0)$

Nếu $\Delta$ $\Delta$ song song hoặc trùng bới trục Oy thì $\Delta$ $\Delta$ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{a_{\Delta}} = \overrightarrow{j} = (0;1;0)$ $\overrightarrow{a_{\Delta}} = \overrightarrow{j} = (0;1;0)$

Nếu $\Delta$ $\Delta$ song song hoặc trùng bới trục Oz thì $\Delta$ $\Delta$ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{a_{\Delta}} = \overrightarrow{k} = (0;1;0)$ $\overrightarrow{a_{\Delta}} = \overrightarrow{k} = (0;1;0)$

Các trường hợp khác thì $\Delta$ $\Delta$ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{a_{\Delta}} = \overrightarrow{a_{d}}$ $\overrightarrow{a_{\Delta}} = \overrightarrow{a_{d}}$, với $\overrightarrow{a_{d}}$ $\overrightarrow{a_{d}}$ là vectơ chỉ phương của $d$

Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ $\Delta$ đi qua điểm $M$và vuông góc với mặt phẳng $(\alpha)$ $(\alpha)$.

Cách giải: Xác định vectơ chỉ phương của $\Delta$ $\Delta$ là $\overrightarrow{a_{\Delta}} = \overrightarrow{n_{\alpha}}$ $\overrightarrow{a_{\Delta}} = \overrightarrow{n_{\alpha}}$, với $\overrightarrow{n_{\alpha}}$ $\overrightarrow{n_{\alpha}}$ là vectơ pháp tuyến của $(\alpha)$ $(\alpha)$.

2. Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ $\Delta$ đi qua điểm $M$và vuông góc với hai đường thẳng $d_{1},d_{2}$ $d_{1},d_{2}$ (hai đường thẳng không cùng phương).

Cách giải: Xác định vectơ chỉ phương của $\Delta$ $\Delta$ là $\overrightarrow{a_{\Delta}} = \left\lbrack \overrightarrow{a_{1}},\overrightarrow{a_{2}} \right\rbrack$ $\overrightarrow{a_{\Delta}} = \left\lbrack \overrightarrow{a_{1}},\overrightarrow{a_{2}} \right\rbrack$, với $\overrightarrow{a_{1}},\overrightarrow{a_{2}}$ $\overrightarrow{a_{1}},\overrightarrow{a_{2}}$ lần lượt là vectơ chỉ phương của $d_{1},d_{2}$ $d_{1},d_{2}$.

3. Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ $\Delta$ đi qua điểm $M$vuông góc với đường thẳng $d$ và song song với mặt phẳng $(\alpha)$ $(\alpha)$.

Cách giải: Xác định vectơ chỉ phương của $\Delta$ $\Delta$ là $\overrightarrow{a_{\Delta}} = \left\lbrack \overrightarrow{a_{d}},\overrightarrow{n_{\alpha}} \right\rbrack$ $\overrightarrow{a_{\Delta}} = \left\lbrack \overrightarrow{a_{d}},\overrightarrow{n_{\alpha}} \right\rbrack$, với $\overrightarrow{a_{d}}$ $\overrightarrow{a_{d}}$ là vectơ chỉ phương của $d$, $\overrightarrow{n_{\alpha}}$ $\overrightarrow{n_{\alpha}}$ là vectơ pháp tuyến của $(\alpha)$ $(\alpha)$.

4. Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ $\Delta$ đi qua điểm $A$ và song song với hai mặt phẳng $(\alpha),(\beta)$ $(\alpha),(\beta)$; ( $(\alpha),(\beta)$ $(\alpha),(\beta)$ là hai mặt phẳng cắt nhau)

Cách giải: Xác định vectơ chỉ phương của $\Delta$ $\Delta$ là $\overrightarrow{a_{\Delta}} = \left\lbrack \overrightarrow{n_{\alpha}},\overrightarrow{n_{\beta}} \right\rbrack$ $\overrightarrow{a_{\Delta}} = \left\lbrack \overrightarrow{n_{\alpha}},\overrightarrow{n_{\beta}} \right\rbrack$, với $\overrightarrow{n_{\alpha}},\overrightarrow{n_{\beta}}$ $\overrightarrow{n_{\alpha}},\overrightarrow{n_{\beta}}$ lần lượt là vectơ pháp tuyến của $(\alpha),(\beta)$ $(\alpha),(\beta)$.

5. Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ $\Delta$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $(\alpha)$ $(\alpha)$ và $(\beta)$ $(\beta)$.

Cách giải:

Lấy một điểm bất kì trên $\Delta$ $\Delta$, bằng cách cho một ẩn bằng một số tùy ý.

Xác định vectơ chỉ phương của $\Delta$ $\Delta$ là $\overrightarrow{a_{\Delta}} = \left\lbrack \overrightarrow{n_{\alpha}},\overrightarrow{n_{\beta}} \right\rbrack$ $\overrightarrow{a_{\Delta}} = \left\lbrack \overrightarrow{n_{\alpha}},\overrightarrow{n_{\beta}} \right\rbrack$, với $\overrightarrow{n_{\alpha}},\overrightarrow{n_{\beta}}$ $\overrightarrow{n_{\alpha}},\overrightarrow{n_{\beta}}$ lần lượt là vectơ pháp tuyến của $(\alpha),(\beta)$ $(\alpha),(\beta)$.

6. Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ $\Delta$ đi qua điểm $A$ và cắt hai đường thẳng $d_{1},d_{2}\left( A \notin d_{1},A \notin d_{2} \right)$ $d_{1},d_{2}\left( A \notin d_{1},A \notin d_{2} \right)$.

Cách giải: Xác định vectơ chỉ phương của $\Delta$ $\Delta$ là $\overrightarrow{a_{\Delta}} = \left\lbrack \overrightarrow{n_{1}},\overrightarrow{n_{2}} \right\rbrack$ $\overrightarrow{a_{\Delta}} = \left\lbrack \overrightarrow{n_{1}},\overrightarrow{n_{2}} \right\rbrack$, với $\overrightarrow{n_{1}},\overrightarrow{n_{2}}$ $\overrightarrow{n_{1}},\overrightarrow{n_{2}}$ lần lượt là vectơ pháp tuyến của $mp\left( A,d_{1} \right),mp\left( A,d_{2} \right)$ $mp\left( A,d_{1} \right),mp\left( A,d_{2} \right)$.

7. Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ $\Delta$ nằm trong mặt phẳng $(\alpha)$ $(\alpha)$ và cắt hai đường thẳng $d_{1},d_{2}$ $d_{1},d_{2}$.

Cách giải: Xác định vectơ chỉ phương của $\Delta$ $\Delta$ là $\overrightarrow{a_{\Delta}} = \overrightarrow{AB}$ $\overrightarrow{a_{\Delta}} = \overrightarrow{AB}$, với $A = d_{1} \cap (\alpha),B = d_{2} \cap (\alpha)$ $A = d_{1} \cap (\alpha),B = d_{2} \cap (\alpha)$

8. Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ $\Delta$ đi qua điểm $A$, vuông góc và cắt $d$.

Cách giải:

Xác định $B = \Delta \cap d$ $B = \Delta \cap d$.

Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ $\Delta$ đi qua $A,B$.

9. Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ $\Delta$ đi qua điểm $A$, vuông góc với $d_{1}$ $d_{1}$ và cắt $d_{2}$ $d_{2}$, với $A \notin d_{2}$ $A \notin d_{2}$.

Cách giải:

Xác định $B = \Delta \cap d_{2}$ $B = \Delta \cap d_{2}$.

Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ $\Delta$ đi qua $A,B$.

10. Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ $\Delta$ đi qua điểm $A$, cắt đường thẳng $d$ và song song với mặt phẳng $(\alpha)$ $(\alpha)$.

Cách giải:

Xác định $B = \Delta \cap d$ $B = \Delta \cap d$.

Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ $\Delta$ đi qua $A,B$.

11. Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ $\Delta$ nằm trong mặt phẳng $(\alpha)$ $(\alpha)$ cắt và vuông góc đường thẳng $d$.

Cách giải:

Xác định $A = d \cap (\alpha)$ $A = d \cap (\alpha)$.

Đường thẳng $\Delta$ $\Delta$ đi qua $A$ và có vectơ chỉ phương của $\Delta$ $\Delta$ là $\overrightarrow{a_{\Delta}} = \left\lbrack \overrightarrow{a_{d}},\overrightarrow{n_{\alpha}} \right\rbrack$ $\overrightarrow{a_{\Delta}} = \left\lbrack \overrightarrow{a_{d}},\overrightarrow{n_{\alpha}} \right\rbrack$, với $\overrightarrow{a_{d}}$ $\overrightarrow{a_{d}}$ là vectơ chỉ phương của $d$, $\overrightarrow{n_{\alpha}}$ $\overrightarrow{n_{\alpha}}$ là vectơ pháp tuyến của $(\alpha)$ $(\alpha)$.

12. Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ $\Delta$đi qua giao điểm $A$ của đường thẳng $d$và mặt phẳng $(\alpha)$ $(\alpha)$, nằm trong $(\alpha)$ $(\alpha)$ và vuông góc đường thẳng $d$(ở đây $d$không vuông góc với $(\alpha)$ $(\alpha)$) .

Cách giải:

Xác định $A = d \cap (\alpha)$ $A = d \cap (\alpha)$.

Đường thẳng $\Delta$ $\Delta$ đi qua $A$ và có vectơ chỉ phương của $\Delta$ $\Delta$ là $\overrightarrow{a_{\Delta}} = \left\lbrack \overrightarrow{a_{d}},\overrightarrow{n_{\alpha}} \right\rbrack$ $\overrightarrow{a_{\Delta}} = \left\lbrack \overrightarrow{a_{d}},\overrightarrow{n_{\alpha}} \right\rbrack$, với $\overrightarrow{a_{d}}$ $\overrightarrow{a_{d}}$ là vectơ chỉ phương của $d$, $\overrightarrow{n_{\alpha}}$ $\overrightarrow{n_{\alpha}}$ là vectơ pháp tuyến của $(\alpha)$ $(\alpha)$.

13. Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ $\Delta$ là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau $d_{1},d_{2}$ $d_{1},d_{2}$.

Cách giải:

Xác định $A = \Delta \cap d_{1},B = \Delta \cap d_{2}$ $A = \Delta \cap d_{1},B = \Delta \cap d_{2}$ sao cho $\left\{ \begin{matrix} AB\bot d_{1} \\ AB\bot d_{2} \\ \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} AB\bot d_{1} \\ AB\bot d_{2} \\ \end{matrix} \right.$

Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ $\Delta$ đi qua hai điểm $A,B$.

14. Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ $\Delta$song song với đường thẳng $d$ và cắt cả hai đường thẳng $d_{1},d_{2}$ $d_{1},d_{2}$.

Cách giải:

Xác định $A = \Delta \cap d_{1},B = \Delta \cap d_{2}$ $A = \Delta \cap d_{1},B = \Delta \cap d_{2}$ sao cho $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{a_{d}}$ $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{a_{d}}$ cùng phương, với $\overrightarrow{a_{d}}$ $\overrightarrow{a_{d}}$ là vectơ chỉ phương của $d$.

Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ $\Delta$ đi qua điểm $A$và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{a_{d}} = \overrightarrow{a_{\Delta}}$ $\overrightarrow{a_{d}} = \overrightarrow{a_{\Delta}}$.

15. Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ $\Delta$vuông góc với mặt phẳng $(\alpha)$ $(\alpha)$ và cắt cả hai đường thẳng $d_{1},d_{2}$ $d_{1},d_{2}$.

Cách giải:

Xác định $A = \Delta \cap d_{1},B = \Delta \cap d_{2}$ $A = \Delta \cap d_{1},B = \Delta \cap d_{2}$ sao cho $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{n_{\alpha}}$ $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{n_{\alpha}}$ cùng phương, với $\overrightarrow{n_{\alpha}}$ $\overrightarrow{n_{\alpha}}$ là vectơ pháp tuyến của $(\alpha)$ $(\alpha)$.

Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ $\Delta$ đi qua điểm $A$và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{a_{d}} = \overrightarrow{n_{\alpha}}$ $\overrightarrow{a_{d}} = \overrightarrow{n_{\alpha}}$.

16. Viết phương trình $\Delta$ $\Delta$ là hình chiếu vuông góc của $d$ lên mặt phẳng $(\alpha)$ $(\alpha)$.

Cách giải : Xác định $H \in \Delta$ $H \in \Delta$ sao cho $\overrightarrow{AH}\bot\overrightarrow{a_{d}}$ $\overrightarrow{AH}\bot\overrightarrow{a_{d}}$,với $\overrightarrow{a_{d}}$ $\overrightarrow{a_{d}}$ là vectơ chỉ phương của $d$.

Viết phương trình mặt phẳng $(\beta)$ $(\beta)$ chứa $d$ và vuông góc với mặt phẳng $(\alpha)$ $(\alpha)$.

Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ $\Delta$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $(\alpha)$ $(\alpha)$ và $(\beta)$ $(\beta)$

17. Viết phương trình $\Delta$ $\Delta$ là hình chiếu song song của $d$ lên mặt phẳng $(\alpha)$ $(\alpha)$ theo phương $(P):2x - 3y + 5z - 4 = 0$.

Cách giải:

Viết phương trình mặt phẳng $(\beta)$ $(\beta)$ chứa $d$ và có thêm một véc tơ chỉ phương $N( - 3; - 4;5)$.

Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ $\Delta$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $(\alpha)$ $(\alpha)$ và $(\beta)$ $(\beta)$.

------------------------------------

Qua bài viết trên, bạn đã tổng hợp tất cả các công thức liên quan đến phương trình đường thẳng, từ cách xác định phương trình qua hai điểm, đến công thức tính toán khoảng cách và góc giữa hai đường thẳng. Việc ghi nhớ và luyện tập các công thức này sẽ giúp bạn làm bài thi hiệu quả hơn và có nền tảng vững chắc khi học các chương trình tiếp theo. Đừng quên lưu lại bài viết để ôn tập thường xuyên và chia sẻ cho các bạn cùng học nhé!

Tải về

Chọn file muốn tải về: