VnDoc.com

Tìm điểm M thuộc mặt phẳng (P) để biểu thức MA - MB lớn nhất

Ôn thi THPT Quốc gia môn Toán có đáp án

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 12

Môn: Toán

Dạng tài liệu: Chuyên đề

Loại: Tài liệu Lẻ

Mức độ: Khó

Loại File: Word + PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Bài toán tìm điểm thuộc mặt phẳng để biểu thức MA - MB đạt max

A. Cách tìm điểm M thuộc mặt phẳng (P) để biểu thức MA – MB đạt max
B. Bài tập minh họa tìm M ∈ (P) để MA - MB lớn nhất
C. Bài tập tự rèn luyện tìm M thuộc (P) để MA – MB đạt max

Trong quá trình ôn thi THPT Quốc gia môn Toán, các bài toán hình học không gian, đặc biệt là những bài liên quan đến biểu thức khoảng cách như MA - MB đạt giá trị lớn nhất thường xuất hiện trong đề thi. Bài toán Tìm điểm M thuộc mặt phẳng (P) để biểu thức MA - MB lớn nhất là một ví dụ điển hình yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về hình học giải tích, mặt phẳng, vectơ và khoảng cách.

A. Cách tìm điểm M thuộc mặt phẳng (P) để biểu thức MA – MB đạt max

Phương pháp giải

Đối với hiệu : Chúng ta thường đánh giá $|MA - MB| \leq AB$ , dấu bằng có khi M, A, B thẳng hàng và M ngoài đoạn AB.

Đối với mặt phẳng thì chúng ta có khái niệm hai điểm “Cùng phía hoặc khác phía”, nhưng đối với đường thẳng thì sao?

Do đó ta có phương pháp tổng quát cho bài toán tìm $\max|MA - MB|$ với vị trí của điểm M cần tìm thuộc mp hoặc đường thẳng $\Delta$ bất kể cùng phía hay khác phía.

Gọi lần lượt là hình chiếu vuông góc của trên (hoặc $\Delta$ ). Đặt $AH = d_{a},BK = d_{b}$ và $t = d_{a}/d_{b}$ .

Đối với bài $\max|MA - MB|$ : Vị trí M ngoài đoạn và thỏa mãn hệ thức vectơ:

$\overrightarrow{HM} -t\overrightarrow{KM} = \overrightarrow{0}$ $\Leftrightarrow\overrightarrow{OM} = \frac{\overrightarrow{OH} -t\overrightarrow{OK}}{1 - t},(t \neq 1).$

B. Bài tập minh họa tìm M ∈ (P) để MA - MB lớn nhất

Ví dụ 1. Trong không gian , cho mặt phẳng và hai điểm , . Điểm thuộc và lớn nhất. Giá trị bằng

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải

Ghi CALC nhập tọa độ A, kết quả . CALC nhập tọa độ B, kết quả .

Ta có tỉ số $t = d_{a}/d_{b} = 3/1 = 3$ . Tìm hình chiếu H, K của A, B trên (P).

Ghi $- \frac{x + y + z - 1}{3}$ bấm = STO B, Bấm 🞁 CALC nhập tọa độ A STO A.

Tọa độ M thỏa mãn $\overrightarrow{OM} = \frac{\overrightarrow{OH} - 3\overrightarrow{OK}}{1 - 3}$ .

Đến đây ta ghi: $\frac{(A + 1) - 3(B + 5)}{1 - 3}$ bấm = thì , sửa thành $\frac{(A - 3) - 3(B - 1)}{1 - 3}$ bấm = thì , sửa thành $\frac{(A + 0) - 3(B - 2)}{1 - 3}$ bấm = thì .

Vậy . Chọn C.

Ví dụ 2. Trong không gian , cho đường thẳng $d:\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 2t \\ y = 1 - t \\ z = t \end{matrix} \right.$ và hai điểm $A(\ 1;\ 0\ ;\ - 1)$ , $B(2\ ;\ 1\ ;\ 1)$ . Điểm $M(a\ ;\ b\ ;c)$ thuộc đường thẳng sao cho lớn nhất. Tính giá trị của biểu thức $P = a^{2} + b^{2} + c^{2}$ .

A.. B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải

Ghi $x^{2} + y^{2} + z^{2} - \frac{(2x - y + z)^{2}}{6}$ CALC nhập $0 = - 1 = - 1 = \ =$ ta có ${d_{a}}^{2} = 2$ . CALC nhập $1 = 0 = 1 = \ =$ có ${d_{b}}^{2} = \frac{1}{2}$ nên tỉ số $t = \frac{d_{a}}{d_{b}} = \frac{\sqrt{2}}{1/\sqrt{2}} = 2$ .

Sửa lại là $\frac{(2x - y + z)}{6}$ bấm = STO B, bấm 🞁 bấm CALC nhập lại $0 = - 1 = - 1 = \ =$ STO A.

Điểm M thuộc thỏa mãn $\overrightarrow{HM} - 2\overrightarrow{KM} =\overrightarrow{0}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{OM} =\frac{\overrightarrow{OH} - 2\overrightarrow{OK}}{1 - 2} = -\overrightarrow{OH} + 2\overrightarrow{OK}$ .

Đến đây ghi: bấm = thì , sửa thành bấm = thì , sửa thành bấm = thì .

Do đó tọa độ .

Vậy $P = a^{2} + b^{2} + c^{2} = 10$ . Chọn B.

Ví dụ 3: Trong không gian , cho hai điểm và Xét hai điểm và thay đổi thuộc mặt phẳng sao cho . Giá trị lớn nhất của bằng:

A. $3\sqrt{5}$ . B. $\sqrt{61}$ . C. $\sqrt{13}$ . D. $\sqrt{53}$ .

Hướng dẫn giải

Cách 1: Vẽ yếu tố phụ.

Vì A, B khác phía đối với mp nên lấy A'(1; - 3;4) đối xứng với qua .

Vẽ $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{NM}$ , khi đó $|AM -BN| = |A'M - CM|\leq A'C$ .

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi A’, C, M thẳng hàng.

Gọi là hình chiếu của A, B trên mp, độ dài .

Suy ra $CD = 5 + 2 = 7 \Rightarrow A'C = \sqrt{7^{2} + 2^{2}} = \sqrt{53}$ . Chọn D.

Cách 2. Tổng quát – Khảo sát hàm số.

Gọi là hình chiếu của A, B trên mp, độ dài .

Ta chọn M, N ngoài đoạn HK (Điểm M càng xa điểm A càng tốt, điểm N càng gần B càng tốt; Kể cả A và B cùng phía hay khác phía đối với $(\alpha)$ , chúng ta cần quan tâm ở đây là $d_{a} > d_{b}$ ). Đặt $KN = t \geq 0$ , ta xét hàm số:

$f(t) = AM - BN = \sqrt{(7 + t)^{2} + 16}- \sqrt{t^{2} + 4}$

$\Rightarrow f'(t) = \frac{7 + t}{\sqrt{(7 +t)^{2} + 16}} - \frac{t}{\sqrt{t^{2} + 4}}$

$f'(t) = 0 \Leftrightarrow t = 7$ . Suy ra $maxf(t) = f(7) = \sqrt{53}$ . Chọn D.

Cách 3. Tổng quát – Bất đẳng thức.

Khi thiết lập được hàm số, thì dùng BĐT Mincopxki ta có:

$f(t) = \sqrt{(t + 7)^{2} + (2 + 2)^{2}} - \sqrt{t^{2} + 4}$

$\leq \sqrt{t^{2} + 2^{2}} + \sqrt{7^{2} + 2^{2}} - \sqrt{t^{2} + 4} = \sqrt{53}$

Đẳng thức có khi $\frac{t}{7} = \frac{2}{2} \Leftrightarrow t = 7.$

Nhận xét:

Khi lớn nhất thì ta có các tam giác đồng dạng, tỉ số bằng 2.

Khi đó: $HM = 2KN \Leftrightarrow 7 + t = 2t \Leftrightarrow t = 7$ , nên $AM - BN = BN = \sqrt{53}$ .

Như vậy ta vẫn có tỉ số $\frac{HM}{KN} = \frac{AH}{BK} = 2$ . Vậy đây xem như một cách giải (Thừa nhận kết quả).

Các bài toán trên có đặc điểm: $\frac{HM}{NK} = \frac{AM}{BN} = \frac{d_{a}}{d_{b}} = t$ . Hay ta có $\frac{HM}{AM} = \frac{KN}{BN}$ , nói cách khác, các đường thẳng cùng tạo với một góc bằng nhau $\varphi$ . Mà ta có $\sin\varphi = \left| \cos\left( \overrightarrow{AM},\overrightarrow{n_{P}} \right) \right| = \left| \cos\left( \overrightarrow{BN},\overrightarrow{n_{P}} \right) \right|$ . Ta tạm gọi là “Định luật phản xạ ánh sáng đối với gương phẳng!”: Tia phản xạ của AM sẽ theo phương BN; Tia phản xạ của BN sẽ theo phương AM.

Trong trường hợp khi $\Leftrightarrow N \equiv M$ , có nghĩa là một điểm M di động trên $(\alpha)$ , ta quy về bài toán “Tìm M thuộc $(\alpha)$ hoặc $\Delta$ để lớn nhất”. Khi đó ta giải quyết bài toán theo cách tổng quát như trên (Có thể dùng CASIO để tìm max). Tia AM, BM hoặc trùng nhau hoặc đối xứng nhau qua mặt phẳng hoặc mặt phẳng pháp tuyến của tại M; Kể cả bài toán $\min(AM +BM)$ .

C. Bài tập tự rèn luyện tìm M thuộc (P) để MA – MB đạt max

Bài tập 1. Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai điểm , . Lấy điểm thuộc mặt phẳng sao cho lớn nhất. Tọa độ là:

A. . B. .

C. . D. .

Bài tập 2. Trong không gian , cho đường thẳng $\Delta:\frac{x}{1} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z}{1}$ và hai điểm, . Biết điểm thuộc $\Delta$ sao cho biểu thức đạt giá trị lớn nhất $T_{\max}$ . Khi đó $T_{\max}$ bằng bao nhiêu?

A. $T_{\max} = \sqrt{57}$ . B. $T_{\max} = 3$ .

C. $T_{\max} = 2\sqrt{6} - 3$ . D. $T_{\max} = 3\sqrt{6}$ .

Bài tập 3. Trong không gian , cho 3 điểm , và . Điểm di động trong không gian sao cho $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MC} = \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB} + 34$ . Biết đạt giá trị lớn nhất tại điểm $M_{0}(x_{0};y_{0};z_{0})$ . Tính tích số $x_{0}y_{0}z_{0}$ .

A. B. C. D.

Bài tập 4. Trong không gian, cho hai điểm và . Xét hai điểm và thay đổi thuộc mặt phẳng (Oxy) sao cho . Giá trị lớn nhất của bằng

A. $\sqrt{17}$ B. $\sqrt{41}$ . C. $\sqrt{37}$ D. $\sqrt{61}$ .

Đáp án bài tập tự rèn luyện

Bài tập 1.

Ta có tỉ số $t = \frac{d_{a}}{d_{b}} = \frac{|1|}{| - 3|} = \frac{1}{3}$ nên gọi C là điểm thỏa mãn $\overrightarrow{CA} = \frac{1}{3}\overrightarrow{CB} \Leftrightarrow C\left( 5;1;\frac{5}{2} \right)$ . Khi đó điểm M cần tìm là hình chiếu của C trên nên tọa độ . Chọn B.

Bạn muốn xem toàn bộ tài liệu? Hãy nhấn Tải về ngay!

--------------------------------------------------------------

Qua bài toán Tìm điểm M thuộc mặt phẳng (P) để biểu thức MA - MB lớn nhất, chắc chắn bạn đã nắm được cách tiếp cận một dạng toán quen thuộc nhưng đầy thử thách trong phần hình học không gian. Việc luyện tập những bài toán có độ phân hóa như thế này sẽ giúp bạn củng cố kỹ năng phân tích, áp dụng các công thức hình học giải tích, đồng thời chuẩn bị tâm lý vững vàng hơn cho kỳ thi THPT Quốc gia môn Toán sắp tới.

Tải về

Chọn file muốn tải về: