Bài tập Phương trình mặt cầu mức độ Vận dụng cao Toán 12 có đáp án

Hình vẽ minh họa

Từ Tâm và bán kính

Từ Vectơ

Hạ

Xét tam giác vuông tại M ta có:

.

Ta có .

.

Ta có đi qua , nhận là một vecto chỉ phương nên .

Thay vào ta được

Tọa độ điểm là giao điểm của của và . Do đó theo tính chất của phương tích ta được .

Mặt khác vì DC là tiếp tuyến của mặt cầu cho nên .

Do vậy (là một giá trị không đổi).

Vậy C luôn thuộc một đường tròn cố định tâm D với bán kính R = 6 suy ra chu vi của đường tròn là .

Hình vẽ minh họa

, là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng suy ra phương trình mặt phẳng có dạng .

Gọi là tâm mặt cầu thì là trung điểm của suy ra , bán kính mặt cầu .

Đặt suy ra .

Thể tích khối nón

.

Dấu bằng xảy ra khi .

Ta có hệ:

Vậy .

Suy ra: .

Cách 1:

Ta có : .

Theo bài ra có: .

Mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu

.

Ta có

.

Dấu bằng xảy ra .

Vậy.

Cách 2:

Ta có và suy ra .

Lại có nên tiếp xúc với tại M.

Suy ra nên .

Giả sử mặt phẳng có dạng:

.

Mặt cầu có tâm và bán kính

Điều kiện tiếp xúc:

 .

Mà

Dấu bằng xảy ra khi

Chọn thỏa mãn (*).

Khi đó

Suy ra .

Do thuộc mặt phẳng nên .

Nhận xét: Nếu từ A kẻ được ít nhất 2 tiếp tuyến vuông góc đến mặt cầu khi và chỉ khi

Tập các điểm thỏa đề là các điểm nguyên nằm trong hình vành khăn (kể cả biên), nằm trong mặt phẳng , tạo bởi 2 đường tròn đồng tâm bán kính lần lượt là 1 và 2.

Nhìn hình vẽ ta có 12 điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Tâm và bán kính mặt cầu

Gía trị nhỏ nhất xảy ra trong trường hợp

Đặt

Xét trên

khi

Vậy GTNN khi .

Hình vẽ minh họa

Mặt cầu có tâm bán kính .

Mặt phẳng có vtpt .

Do .

Ta có: , phương trình đường thẳng

Gọi là bán kính của đường tròn giao tuyến, K là hình chiếu của I trên AB, H là hình chiếu vuông góc của I lên mặt phẳng (P).

Ta có:

Ta có: r đạt min thì IH đạt max.

Mà  cùng phương

+) Gọi lần lượt là mặt phẳng trung trực của các đoạn .

Suy ra

+) Gọi I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện thì .

Tìm được

+), do đó

+) .

Phương trình mặt phẳng qua C có dạng .

Mặt phẳng tiếp xúc ta có (1)

Mặt phẳng tiếp xúc ta có (2)

Từ đây ta có phương trình

Từ (1), (3) ta có:

Trường hợp này ta tìm được hai mặt phẳng:

Từ (1); (4) ta có:

Trường hợp này không có mặt phẳng nào.

Mặt cầu (S) có tâm  và bán kính .

Vì nên điểm A nằm bên trong mặt cầu. Suy ra (P) luôn cắt mặt cầu. Gọi r là bán

kính đường tròn giao tuyến, ta có với d là khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P).

Diện tích hình tròn thiết diện nhỏ nhất khi và chỉ khi bán kính r nhỏ nhất, hay d lớn nhất.

Gọi H là hình chiếu của I lên đường thẳng AB ta có d lớn nhất khi tức IH vuông góc với (P).

Phương trình đường thẳng

Gọi . .

. Suy ra .

Mặt phẳng (P) nhận  làm vectơ pháp tuyến và đi qua điểm A nên có phương trình

.

Vậy .

Ta có OABC là tứ diện vuông tại O. Gọi M là trung điểm BC. Đường thẳng d qua M song song với OA là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác OBC.

Trong mặt phẳng , từ trung điểm N của đoạn OA kẻ đường thẳng vuông góc với OA tại N cắt d tại I. Khi đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC.

Ta có tọa độ điểm , khi đó điểm .

Do đó .

Dấu bằng xảy ra

Ta có .

Phương trình tham số của là .

.

(*).

(*) .

Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khi .

Khi đó .

.

.

Suy ra

.

Cách 2:

Mặt cầu có tâm , , .

Đường thẳng qua , có VTCP

Yêu cầu đề bài tương đương .

Mặt cầu có tâm và bán kính . Trong khi nên M nằm ngoài hình cầu .

Gọi H là trung điểm của AB, có M nằm trên đường AB và nằm ngoài đoạn AB nên có .

Mặt khác, tam giác vuông tại H nên . Vậy .

Đẳng thức xảy ra khi đường thẳng qua M và tâm I của mặt cầu, tức AB lúc này là đường kính của mặt cầu.

Vậy giá trị lớn nhất của tổng là .

Ta có mặt cầu có tâm , bán kính .

Đường thẳng đi qua điểm , có vectơ chỉ phương .

Mặt phẳng chứa có dạng

Do nên ta có .

Ta có điều kiện tiếp xúc:

Suy ra hai mặt phẳng tiếp diện là , .

Suy ra tọa độ các tiếp điểm

Giả sử .

Do O, M, N thẳng hàng và N thuộc tia ON nên suy ra:

Do

Vậy thuộc mặt cầu cố định bán kính .

Hình vẽ minh họa

Gọi H là trung điểm của đoạn thẳng AB nên H(2; 3; 1). Vecto .

Mặt cầu đi qua A, B có tâm M thuộc mặt phẳng (Q)

là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB

qua H và có vecto pháp tuyến có phương trình .

Do tâm M của mặt cầu cũng thuộc (P) nên M thuộc đường thẳng (d) là giao của (P) và (Q) có vectơ chỉ phương và qua .

Gọi d là khoảng cách từ H đến (d), ,.

Ta có . Nhận thấy HB không đổi, R nhỏ nhất khi MH nhỏ nhất, MH nhỏ nhất khi M trùng I, lúc đó . (I là hình chiếu vuông góc của H lên (d))

Vậy .

+) Ta có

+) Mặt cầu có tâm và bán kính

+) Mặt phẳng tiếp xúc với .

+) Áp dụng BĐT Bunhiacopski ta có:

+) Dấu xảy ra khi đó

Ta có phương trình các mặt phẳng như sau:

Gọi là tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện

Do đó:

I nằm cùng phái với A đối với suy ra: .

I nằm cùng phía với B đối với suy ra: .

I nằm cùng phía với C đối với suy ra: .

I nằm cùng phía với D đối với suy ra: .

Suy ra:

Suy ra:

cùng phương với .

Suy ra có một VTPT là .

Vậy .

Phương trình mặt phẳng qua C có dạng .

Mặt phẳng tiếp xúc ta có (1)

Mặt phẳng tiếp xúc ta có (2)

Từ đây ta có phương trình

Từ (1), (3) ta có:

Trường hợp này ta tìm được hai mặt phẳng:

Từ (1); (4) ta có:

Trường hợp này không có mặt phẳng nào.

Cách 1:

Giả sử ba mặt mặt phẳng cùng đi qua A đôi một vuông góc với nhau là .

Với điểm I bất kỳ, hạ lần lượt vuông góc với ba mặt phẳng thì ta luôn có: .

Thật vậy, ta chọn hệ trục tọa độ với, ba trục lần lượt là ba giao tuyến của ba mặt phẳng .

Khi đó tọa độ thì:

hay .

Vậy (1) được chứng minh.

Áp dụng giải bài :

Mặt cầu có tâm và có bán kính .

.

Giả sử ba mặt mặt phẳng cùng đi qua A đôi một vuông góc với nhau là và cắt mặt cầu theo ba đường tròn lần lượt là:

Gọi và lần lượt là tâm và bán kính của

Khi đó: .

Tương tự có: .

Theo nhận xét ở trên ta có:

Ta có tổng diện tích các đường tròn là :

.

Cách 2:

Đặt biệt hóa: Giả sử có 3 đường tròn ; như hình bên trong đó đều là đường tròn lớn có bán kính là 4.

suy ra .

Suy ra bán kính hình tròn là

Tổng diện tích các hình tròn là: .

Ta có phương trình các mặt phẳng như sau:

Gọi là tâm và R là bán kính mặt cầu nội tiếp tứ diện

Do đó:

I nằm cùng phái với A đối với suy ra: .

I nằm cùng phía với B đối với suy ra: .

I nằm cùng phía với C đối với suy ra: .

I nằm cùng phía với D đối với suy ra: .

Suy ra:

Suy ra:

Thể tích mặt cầu cần tìm là:

Cách khác: Sử dụng công thức nhanh.

(r là bán kính của mặt cầu nội tiếp)

Ta có: , .

.

, , ,

.

Ta có:

.

Vậy: .

Ta có

Do tiếp xúc với nên

Mặt khác có tâm ; bán kính

Xét khi

Do  nên ta loại trường hợp này

Xét khi

Do nên thỏa mãn.