VnDoc.com

Đóng

Bạn đã dùng hết 2 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 2 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Bài tập Toán 12: Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số trên khoảng

Ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán

VnDoc.com xin gửi tới bạn đọc bài viết Trắc nghiệm Toán 12: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng. Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết bài viết dưới đây nhé!

Thông hiểu

Bài kiểm tra này bao gồm 15 câu
Điểm số bài kiểm tra: 15 điểm
Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu

Bắt đầu!!

00:00:00

Câu 1: Thông hiểu
Chọn mệnh đề đúng
Cho hàm số $f(x) = \frac{\sqrt{x^{2} - 1}}{x - 2}$ $f (x) = \frac{\sqrt{x^{2} - 1}}{x - 2}$ với $x$ thuộc $D = ( - \infty;\ - 1brack \cup \left\lbrack 1;\ \frac{3}{2} ightbrack$ $Extra \left or missing \right$ . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
- A.
  $\max_{D}f(x) = 0;\ \min_{D}f(x) = - 1$ $max_{D} f (x) = 0; min_{D} f (x) = - 1$ .
- B.
  $\max_{D}f(x) = 0$ $max_{D} f (x) = 0$ ; không tồn tại $\min_{D}f(x)$ $min_{D} f (x)$ .
- C.
  $\max_{D}f(x) = 0; \min_{D}f(x) = -\sqrt{5}$ $max_{D} f (x) = 0; min_{D} f (x) = - \sqrt{5}$ .
- D.
  $\min_{D} f(x) = 0$ $min_{D} f (x) = 0$ ; không tồn tại $\max_{D}f(x)$ $max_{D} f (x)$ .
Hướng dẫn:
Hàm số xác định và liên tục trên $D = ( - \infty;\ - 1brack \cup \left\lbrack 1;\ \frac{3}{2} ightbrack$ .

$f'(x) = \frac{- 2x + 1}{(x - 2)^{2}\sqrt{x^{2} - 1}}$ ; $f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{2} otin D$

Vậy $\max_{D}f(x) = 0; \min_{D}f(x) = -\sqrt{5}$ .
Câu 2: Thông hiểu
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng
Với giá trị nào của $x$ thì hàm số $y = x^{2} + \frac{1}{x}$ $y = x^{2} + \frac{1}{x}$ đạt giá trị nhỏ nhất trên khoảng $(0; + \infty)$ $(0; + \infty)$ ?
- A.
  $\frac{1}{\sqrt[3]{2}}$ $\frac{1}{\sqrt[3]{2}}$ .
- B.
  $\frac{1}{\sqrt{2}}$ $\frac{1}{\sqrt{2}}$ .
- C.
  $1$ .
- D.
  $\frac{3}{\sqrt[3]{4}}$ $\frac{3}{\sqrt[3]{4}}$ .
Hướng dẫn:
TXD: $D\mathbb{= R}\backslash\left\{ 0 ight\}$ .

$y' = 2x - \frac{1}{x^{2}}$ , $y' = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{\sqrt[3]{2}}.$

Dựa vào BBT thì $x = \frac{1}{\sqrt[3]{2}}$ hàm số đạt giá trị nhỏ nhất trên $(0; + \infty)$ .
Câu 3: Thông hiểu
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên tập xác định
Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = \sqrt{4 - x} + \sqrt{3}$ $y = \sqrt{4 - x} + \sqrt{3}$ trên tập xác định của nó là
- A.
  $\sqrt{3}.$ $\sqrt{3} .$
- B.
  $2\sqrt{3}.$ $2 \sqrt{3} .$
- C.
  $2 + \sqrt{3}.$ $2 + \sqrt{3} .$
- D.
  $0.$
Hướng dẫn:
Tập xác định của hàm số là: $D = ( - \infty;4brack.$

Ta có $y' = \frac{- 1}{2\sqrt{4 - x}} < 0,\ \forall x \in D$

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên suy ra $\min_{( - \infty;4brack}y = \sqrt{3}$ khi $x = 4$ .
Câu 4: Thông hiểu
Tìm tham số m thỏa mãn yêu cầu
Gọi $m$ là giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = x + \frac{4}{x}$ $y = x + \frac{4}{x}$ trên khoảng $(0; + \infty)$ $(0; + \infty)$ . Tìm $m$ .
- A.
  $m = 2$ .
- B.
  $m = 3$ .
- C.
  $m = 1$ .
- D.
  $m = 4$ .
Hướng dẫn:
Cách 1:

Hàm số $y = x + \frac{4}{x}$ liên tục và xác định trên $(0; + \infty)$ .

Ta có

$y' = 1 - \frac{4}{x^{2}} = \frac{x^{2} - 4}{x^{2}} \Rightarrow y' = 0$ $\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 2 \in (0; + \infty) \\ x = - 2 otin (0; + \infty) \\ \end{matrix} ight.$ .

Bảng biến thiên

Vậy giá trị nhỏ nhất là $m = 4$ khi $x = 2.$

Cách 2:

Với $x \in (0;\ + \infty) \Rightarrow x;\ \frac{4}{x} > 0.$

Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có: $x + \frac{4}{x} \geq 2\sqrt{x.\frac{4}{x}} = 4.$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $\left\{ \begin{matrix} x > 0 \\ x = \dfrac{4}{x} \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow x = 2.$ Vậy $m = 4$ khi $x = 2.$
Câu 5: Thông hiểu
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên nửa khoảng
Giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x) = x + \frac{1}{x}$ $f (x) = x + \frac{1}{x}$ trên nửa khoảng $\lbrack 2; + \infty)$ $[2; + \infty)$ là:
- A.
  $\frac{5}{2}$ $\frac{5}{2}$
- B.
  $0$
- C.
  $\frac{7}{2}$ $\frac{7}{2}$
- D.
  $2$
Hướng dẫn:
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta được:

$f(x) = x + \frac{1}{x} = \frac{3x}{4} + \frac{x}{4} + \frac{1}{x} \geq \frac{3.2}{4} + 2\sqrt{\frac{x}{4}.\frac{1}{x}} = \frac{5}{2}$ .

Dấu bằng xảy ra khi $x = 2$ .
Câu 6: Thông hiểu
Tìm m thỏa mãn điều kiện
Gọi $m$ là giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = x - 1 + \frac{4}{x - 1}$ $y = x - 1 + \frac{4}{x - 1}$ trên khoảng $(1; + \infty)$ $(1; + \infty)$ . Tìm $m$ ?
- A.
  $m = 4$ .
- B.
  $m = 5$ .
- C.
  $m = 3$ .
- D.
  $m = 2$ .
Hướng dẫn:
Tập xác định $D = R\backslash\left\{ 1 ight\}$ .

$y' = \frac{x^{2} - 2x - 3}{(x - 1)^{2}}\ \ ,\ y' = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - 1 \\ x = 3 \\ \end{matrix} ight.$ .

Bảng biến thiên:

$\Rightarrow m = \min_{(1; + \ \infty)}y = 4$ khi $x = 3$
Câu 7: Thông hiểu
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số
Tìm giá trị lớn nhất $M$ của hàm số $f(x) = x - \frac{1}{x}$ $f (x) = x - \frac{1}{x}$ trên $(0; 3 b r a c k .$
- A.
  $M = 0.$
- B.
  $M = \frac{8}{3}$ $M = \frac{8}{3}$
- C.
  $M = \frac{3}{8}.$ $M = \frac{3}{8} .$
- D.
  $M = 3.$
Hướng dẫn:
Đạo hàm $f'(x) = 1 + \frac{1}{x^{2}} > 0,\ \forall x \in (0;3).$

Suy ra hàm số $f(x)$ đồng biến trên $(0;3brack$ nên đạt giá trị lớn nhất tại $x = 3$ và $\max_{(0;3brack}f(x) = f(3) = \frac{8}{3}.$
Câu 8: Thông hiểu
Chọn phương án đúng
Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = x + \frac{2}{x} - \left( 1 + \sqrt{2} ight)^{2}$ $Extra \left or missing \right$ trên khoảng $(0; + \infty)$ $(0; + \infty)$
- A.
  không tồn tại.
- B.
  $- 3$ .
- C.
  $- 1 + \sqrt{2}$ $- 1 + \sqrt{2}$ .
- D.
  $0$ .
Hướng dẫn:
Hàm số xác định và liên tục trên khoảng $(0; + \infty).$

$y' = 1 - \frac{2}{x^{2}} = \frac{x^{2} - 2}{x^{2}}.$

$y' = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = \sqrt{2} \\ x = - \sqrt{2} \\ \end{matrix} ight.\ .$

Bảng biến thiên:

Vậy $\min_{(0; + \infty)}y = f\left( \sqrt{2} ight) = - 3.$
Câu 9: Thông hiểu
Tìm tham số m thỏa mãn yêu cầu
Tìm giá trị nhỏ nhất $m$ của hàm số $f(x) = x^{2} + \frac{2}{x}$ $f (x) = x^{2} + \frac{2}{x}$ trên khoảng $(0; + \infty).$ $(0; + \infty) .$
- A.
  $m = 3.$
- B.
  $m = 2.$
- C.
  $m = 1.$
- D.
  $m = 4.$
Hướng dẫn:
Ta có :

$f'(x) = 2x - \frac{2}{x^{2}} = \frac{2\left( x^{3} - 1 ight)}{x^{2}}$

$\Rightarrow f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 1 \in (0; + \infty)$

Lập bảng biến thiên & dựa vào bảng biến thiên ta thấy $\min_{(0; + \infty)}f(x) = f(1) = 3.$
Câu 10: Thông hiểu
Chọn mệnh đề đúng
Gọi $y_{CT}$ $y_{C T}$ là giá trị cực tiểu của hàm số $f(x) = x^{2} + \frac{2}{x}$ $f (x) = x^{2} + \frac{2}{x}$ trên $(0; + \infty)$ $(0; + \infty)$ . Mệnh đề nào sau đây là đúng?
- A.
  $y_{CT} = 1 + \min_{(0; + \infty)}y.$ $y_{C T} = 1 + min_{(0; + \infty)} y .$
- B.
  $y_{CT} = \min_{(0; + \infty)}y.$ $y_{C T} = min_{(0; + \infty)} y .$
- C.
  $y_{CT} > \min_{(0; + \infty)}y.$ $y_{C T} > min_{(0; + \infty)} y .$
- D.
  $y_{CT} < \min_{(0; +\infty)}y.$ $y_{C T} < min_{(0; + \infty)} y .$
Hướng dẫn:
Ta có:

$f'(x) = 2x - \frac{2}{x^{2}} = \frac{2x^{3} - 2}{x^{2}}$

$\Rightarrow f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 1 \in (0; + \infty)$

Qua điểm $x = 1$ thì hàm số đổi dấu từ $'' - ''$ sang $'' + ''$ trong khoảng $(0; + \infty)$ .

Suy ra trên khoảng $(0; + \infty)$ hàm số chỉ có một cực trị và là giá trị cực tiểu nên đó cũng chính là giá trị nhỏ nhất của hàm số.

Vậy $y_{CT} = \min_{(0; + \infty)}y.$
Câu 11: Thông hiểu
Tìm m thỏa mãn yêu cầu đề bài
Gọi $m$ là giá trị nhở nhất của hàm số $y = x + \frac{4}{x}$ $y = x + \frac{4}{x}$ trên khoảng $(0; + \infty)$ $(0; + \infty)$ . Tìm $m$
- A.
  $m = 4$ .
- B.
  $m = 3$ .
- C.
  $m = 1$ .
- D.
  $m = 2$ .
Hướng dẫn:
$\begin{matrix} y' = 1 - \frac{4}{x^{2}} \\ y' = 0 \Leftrightarrow x = \pm 2;\ \ \ \ \ x = 2 \in (0; + \infty). \\ \\ \end{matrix}$

Bảng biến thiên:

Suy ra giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng $y(2) = 4 \Rightarrow m = 4.$
Câu 12: Thông hiểu
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng
Tính giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = 3x + \frac{4}{x^{2}}$ $y = 3 x + \frac{4}{x^{2}}$ trên khoảng $(0; + \infty)$ $(0; + \infty)$ .
- A.
  $\min_{(0; + \infty)}y = 7$ $min_{(0; + \infty)} y = 7$
- B.
  $\min_{(0; + \infty)}y = \frac{33}{5}$ $min_{(0; + \infty)} y = \frac{33}{5}$
- C.
  $\min_{(0; + \infty)}y = 3\sqrt[3]{9}$ $min_{(0; + \infty)} y = 3 \sqrt[3]{9}$
- D.
  $\min_{(0; + \infty)}y = 2\sqrt[3]{9}$ $min_{(0; + \infty)} y = 2 \sqrt[3]{9}$
Hướng dẫn:
Cách 1:

$y = 3x + \frac{4}{x^{2}} = \frac{3x}{2} + \frac{3x}{2} + \frac{4}{x^{2}} \geq 3\sqrt[3]{\frac{3x}{2}.\frac{3x}{2}.\frac{4}{x^{2}}} = 3\sqrt[3]{9}$

Dấu $" = "$ xảy ra khi $\frac{3x}{2} = \frac{4}{x^{2}} \Leftrightarrow x = \sqrt[3]{\frac{8}{3}}$ .

Vậy $\min_{(0; + \infty)}y = 3\sqrt[3]{9}$

Cách 2:

Xét hàm số $y = 3x + \frac{4}{x^{2}}$ trên khoảng $(0; + \infty)$

Ta có $y = 3x + \frac{4}{x^{2}} \Rightarrow y' = 3 - \frac{8}{x^{3}}$

Cho $y' = 0 \Leftrightarrow \frac{8}{x^{3}} = 3 \Leftrightarrow x^{3} = \frac{8}{3} \Leftrightarrow x = \sqrt[3]{\frac{8}{3}}$

$\Rightarrow \min_{(0; + \infty)}y = y\left( \sqrt[3]{\frac{8}{3}} ight) = 3\sqrt[3]{9}$
Câu 13: Thông hiểu
Tính giá trị biểu thức
Biết rằng hàm số $f(x) = - x + 2018 - \frac{1}{x}$ $f (x) = - x + 2018 - \frac{1}{x}$ đạt giá trị lớn nhất trên đoạn $(0; 4)$ tại $x_{0}$ $x_{0}$ . Tính $P = x_{0} + 2018.$ $P = x_{0} + 2018.$
- A.
  $P = 4032.$
- B.
  $P = 2020.$
- C.
  $P = 2018.$
- D.
  $P = 2019.$
Hướng dẫn:
Ta có:

$f'(x) = - 1 + \frac{1}{x^{2}}$

$\Rightarrow f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \in (0;4) \\ x = - 1 otin (0;4) \\ \end{matrix} ight.$

Lập bảng biến thiên & dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt giá trị lớn nhất trên $(0;4)$ tại $x = x_{0} = 1$

$\Rightarrow P = 2019$
Câu 14: Thông hiểu
Chọn mệnh đề đúng
Mệnh đề nào sau đây là đúng về hàm số $y = \frac{x + 1}{\sqrt{x^{2} + 5}}$ $y = \frac{x + 1}{\sqrt{x^{2} + 5}}$ trên tập xác định của nó.
- A.
  Hàm số không có giá trị lớn nhất và có giá trị nhỏ nhất.
- B.
  Hàm số có giá trị lớn nhất và không có giá trị nhỏ nhất.
- C.
  Hàm số không có giá trị lớn nhất và không có giá trị nhỏ nhất.
- D.
  Hàm số có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất.
Hướng dẫn:
Tập xác định: $D\mathbb{= R}$ .

$y' = \dfrac{\sqrt{x^{2} + 5} - (x + 1)\dfrac{2x}{2\sqrt{x^{2} + 5}}}{x^{2} + 5}$

$= \frac{x^{2} + 5 - x^{2} - x}{\sqrt{x^{2} + 5}\left( x^{2} + 5 ight)} = \frac{5 - x}{\sqrt{x^{2} + 5}\left( x^{2} + 5 ight)}$ .

$y' = 0 \Leftrightarrow \frac{5 - x}{\sqrt{x^{2} + 5}\left( x^{2} + 5 ight)} = 0$

$\Leftrightarrow 5 - x = 0 \Leftrightarrow x = 5$

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên có $\max_{\mathbb{R}}y = y(5) = \frac{\sqrt{30}}{5}$ khi $x = 5$ .

Hàm số $y = \frac{x + 1}{\sqrt{x^{2} + 5}}$ không có giá trị nhỏ nhất.

Vậy hàm số có giá trị lớn nhất và không có giá trị nhỏ nhất.
Câu 15: Thông hiểu
Chọn phương án thích hợp
Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = x - 5 + \frac{1}{x}$ $y = x - 5 + \frac{1}{x}$ trên khoảng $(0; + \infty)$ $(0; + \infty)$ bằng bao nhiêu?
- A.
  $0$
- B.
  $- 3$
- C.
  $- 2$
- D.
  $- 1$
Hướng dẫn:
Áp dụng bất đẳng thức Cô – si ta có:

$y = x + \frac{1}{x} - 5 \geq 2\sqrt{x.\frac{1}{x}} - 5 = - 3$

Dấu bằng xảy ra khi $x = \frac{1}{x} \Leftrightarrow x^{2} = 1 \Leftrightarrow x = 1$ (vì $x > 0$ ).

Vậy $\min_{(0; + \infty)}y = - 3$

Chia sẻ, đánh giá bài viết

1

2

Chia sẻ bởi:
Nguyễn Thị Huê

Tham khảo thêm

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Nhiều người đang xem

Toán 12

Xem thêm

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Giáo án STEAM

Dạy con học

Giáo án

Trường mầm non

Danh mục Trường Tiểu học

Sáng kiến kinh nghiệm

Thư viện Đề thi

Bài tập cuối tuần

Trắc nghiệm

Sách Cánh diều

Sách Chân trời sáng tạo

Sách Kết nối tri thức

Tài liệu Giáo viên

Thư viện Đề thi

Bài tập Hàng ngày

Bài tập Cuối tuần

Trắc nghiệm

Môn Toán lớp 2

Môn Tiếng Việt lớp 2

Chuyên đề - Văn mẫu

Môn Tiếng Anh

Tài liệu Giáo viên

Thư viện Đề thi

Bài tập Hàng ngày

Bài tập Cuối tuần

Trắc nghiệm

Môn Toán lớp 3

Môn Tiếng Việt lớp 3

Chuyên đề - Văn mẫu

Tiếng Anh lớp 3

Tài liệu Giáo viên

Thư viện Đề thi

Bài tập Hàng ngày

Bài tập Cuối tuần

Trắc nghiệm

Môn Toán lớp 4

Môn Tiếng Việt lớp 4

Tiếng Anh lớp 4

Tài liệu Giáo viên

Thư viện Đề thi

Bài tập Hàng ngày

Bài tập Cuối tuần

Trắc nghiệm

Môn Toán lớp 5

Môn Tiếng Việt lớp 5

Môn Tiếng Anh 5

Thi vào lớp 6

Tài liệu Giáo viên

Ôn thi

Thư Viện Đề Thi

Trắc nghiệm

Khóa Học Trực Tuyến

Môn Toán