Cách tính xác suất có điều kiện
Chuyên đề Toán 12: Xác suất có điều kiện - Có đáp án chi tiết
Bạn có từng nghe đến xác suất có điều kiện nhưng chưa hiểu rõ cách tính? Trong toán học và đặc biệt là trong xác suất thống kê, xác suất có điều kiện đóng vai trò vô cùng quan trọng để giải quyết các bài toán thực tế như dự đoán thời tiết, phân tích dữ liệu, hay lập kế hoạch kinh doanh. Bài viết này sẽ giúp bạn hiểu rõ xác suất có điều kiện là gì, công thức tính ra sao, kèm ví dụ minh họa dễ hiểu và ứng dụng thực tiễn trong đời sống.
Trong thực tế, ta thường phải cập nhật xác suất của một biến cố khi biết thêm một thông tin nào đó. Nếu có thông tin biến cố 
\(B\) xảy ra, cần cập nhật xác suất của biến cố \(A\), tức là tính xác suất có điều kiện của \(A\) khi biết biến cố \(B\) đã xảy ra.
A. Định nghĩa xác suất có điều kiện
Cho hai biến cố \(A\) và \(B\). Xác suất của biến cố \(A\) với điều kiện biến cố \(B\) đã xảy ra được gọi là xác suất của \(A\) với điều kiện \(B\), kí hiệu \(P\left( A|B \right)\).
Công thức tính xác suất có điều kiện
Nếu \(P(B) > 0\) thì \(P\left( A|B \right) =
\frac{P(AB)}{P(B)}\)
Chú ý:
- Nếu \(P(B) > 0\) thì \(P(AB) = P(B).P\left( A|B \right)\)
- Nếu \(A\) và \(B\) là hai biến cố bất kì thì \(P(AB) = P(A).P\left( B|A \right) = P(B).P\left(
A|B \right)\)
Công thức trên được gọi là công thức nhân xác suất.
Cho \(A\) và \(B\) là hai biến cố với \(P(B) > 0\). Khi đó, ta có: \(P\left( A|B \right) = \frac{n(AB)}{n(B)}\), trong đó \(n(AB)\) là số các trường hợp thuận lợi của biến cố \(AB\); \(n(B)\) là số các trường hợp thuận lợi của biến cố \(B\).
Công thức xác suất
- Nếu \(A\) và \(B\) là hai biến cố bất kì, với \(P(B) > 0\) thì: \(P\left( \overline{A}|B \right) = 1 - P\left( A|B
\right)\)
- Cho \(A\) và \(B\) là hai biến cố với \(0 < P(A) < 1;\ 0 < P(B) <
1\). Khi đó, \(A\) và \(B\) là hai biến cố độc lập khi và chỉ khi: \(P(A) = P\left( A|B \right) = P\left(
A|\overline{B} \right)\) và \(P(B) =
P\left( B|A \right) = P\left( B|\overline{A} \right)\)
Tính chất trên giải thích vì sao hai biến cố độc lập nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến này không làm ảnh hưởng đến xác suất của biến cố kia.
Chú ý 1: Cho hai biến cố độc lập \(A\) và \(B\) với \(0 <
P(A) < 1;\ 0 < P(B) < 1\).
- \(P(A) = P\left( A|B \right) = P\left(
A|\overline{B} \right)\)
- \(P(B) = P\left( B|A \right) = P\left(
B|\overline{A} \right)\)
Chú ý 2:
- \(P(A) + P\left( \overline{A} \right) =
1\)
- \(P\left( A|B \right) + P\left(
\overline{A}|B \right) = 1\)
- \(P(AB) + P\left( A\overline{B} \right) =
P(A)\)
- \(P(AB) + P\left( \overline{A}B \right) =
P(B)\)
Chú ý 3:
- Xác suất của một biến cố có thể phụ thuộc vào nhiều yếu tố, điều kiện khác nhau nào đó mà có thể được nói ra hoặc không nói ra (điều kiện hiểu ngầm).
- Để chỉ ra một cách cụ thể hơn về việc xác suất của một sự kiện A nào đó phụ thuộc vào một điều kiện B nào đó ra sao, ta sử dụng xác suất có điều kiện.
- Những bài toán xảy ra xác suất có điều kiện, thường đi kèm với việc sử dụng quy tắc nhân xác suất, khi gặp bài toán này ta cần lưu ý đến sự độc lập của biến cố để vận dụng công thức đúng.
B. Bài tập minh họa tính xác suất có điều kiện
Yêu cầu cần đạt
Nhận biết: Nhận biết được khái niệm về xác suất có điều kiện
Thông hiểu: Giải thích được ý nghĩa của xác suất có điều kiện trong những t ình huống thực tiễn quen thuộc.
Bài 1. Gieo một con xúc xắc. Gọi \(A\) là biến cố xuất hiện mặt 2 chấm và \(B\) là biến cố xuất hiện mặt có số chấm là số chẵn. Tính: \(P\left( A|B
\right)\).
Hướng dẫn giải
Ta có: \(P\left( A|B \right) =
\frac{P(AB)}{P(B)} = \frac{n(AB)}{n(B)} = \frac{1}{3}\).
Bài 2. Trong một hộp có 4 viên bi màu trắng và 9 viên bi màu đen, các viên bi có cùng kích thước và khối lượng. Lấy lần lượt mỗi lần một viên bi trong hộp, không hoàn lại. Tính xác xuất để viên bi lấy ở lần thứ hai là màu đen, biết rằng viên bi lấy ở lần thứ nhất cũng là màu đen.
Hướng dẫn giải
Gọi \(B\) là biến cố viên bi lấy ở lần thứ nhất là màu đen.
\(A\) là biến cố viên bi lấy ở lần thứ hai là màu đen.
Ta cần tính \(P\left( A|B
\right)\).
Cách 1: Bằng định nghĩa
Do lần thứ nhất lấy được viên bi màu đen nên trong hộp còn 12 viên bi, trong đó có 4 viên bi màu trắng và 8 viên bi màu đen. Vậy \(P\left( A|B \right) = \frac{8}{12} =
\frac{2}{3}\).
Cách 2: Bằng công thức
Số cách chọn 1 viên bi ở mỗi lần thứ nhất và thứ hai lần lượt là 13 và 12 cách chọn nên \(n(\Omega) =
13.12\)
Có 9 cách chọn 1 viên bi màu đen ở lần thứ nhất và 12 cách chọn 1 viên bi ở lần thứ hai nên \(n(B) = 9.12
\Rightarrow P(B) = \frac{n(B)}{n(\Omega)} = \frac{9.12}{13.12} =
\frac{9}{13}\).
\(AB\) là biến cố cả hai lần đều chọn được viên bi màu đen \(\Rightarrow n(AB)
= 9.8 \Rightarrow P(AB) = \frac{n(AB)}{n(\Omega)} = \frac{9.8}{13.12} =
\frac{6}{13}\).
Vậy \(P\left( A|B \right) =
\frac{P(AB)}{P(B)} = \frac{\frac{6}{13}}{\frac{9}{13}} =
\frac{2}{3}\).
C. Bài tập tính xác suất có điều kiện có đáp án
Bài tập 1. Theo một số liệu thống kê của dự án Plan, tại một xã của một tỉnh miền núi phía Bắc chỉ có 2 dân tộc Mông và Dao sinh sống, có số trẻ em dưới 5 tuổi là 300 em, kết quả điều tra năm 2023 được cho như bảng dưới đây :
|
Kết quả điều tra |
Người Mông |
Người Dao |
|
Suy dinh dưỡng |
27 |
24 |
|
Không suy dinh dưỡng |
153 |
96 |
Chọn ngẫu nhiên một trẻ em dưới 5 tuổi của xã.
a) Tính xác suất chọn được một trẻ em dưới 5 tuổi của xã là người Mông và bị suy dinh dưỡng.
b) Tính xác suất trẻ em người Mông bị suy dinh dưỡng.
c) Tính xác suất trẻ em người Dao bị suy dinh dưỡng.
Bài tập 2. Một bình đựng \(50\) viên bi kích thước, chất liệu như nhau, trong đó có \(30\) viên bi trắng và \(20\) viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên ra một viên bi không hoàn lại, rồi lại lấy ngẫu nhiên ra một viên bi nữa. Tính xác suất để lấy được một viên bi trắng ở lần thứ nhất và một viên bi xanh ở lần thứ hai.
Bài tập 3. Một công ty bảo hiểm nhận thấy có \(52\%\) số người mua bảo hiểm ô tô là nam và có \(39\%\) số người mua bảo hiểm ô tô là nam trên 40 tuổi. Biết một người mua bảo hiểm ô tô là nam, tính xác suất người đó trên 40 tuổi.
Bài tập 4. Kết quả khảo sát những bệnh nhân là học sinh bị tai nạn xe máy điện về mối liên hệ giữa việc đội mũ bảo hiểm và khả năng bị chấn thương vùng đầu cho thấy:
Tỉ lệ bệnh nhân bị chấn thương vùng đầu khi gặp tai nạn là \(60\%\).
Tỉ lệ bệnh nhân đội mũ bảo hiểm đúng cách khi gặp tai nạn là \(90\%\).
Tỉ lệ bệnh nhân đội mũ bảo hiểm đúng cách và bị chấn thương vùng đầu là \(15\%\).
Hỏi theo kết quả điều tra trên, việc đội mũ bảo hiểm đúng cách đối với học sinh khi di chuyển bằng xe máy điện sẽ làm giảm khả năng bị chấn thương vùng đầu khi gặp tai nạn bao nhiêu lần?
Tài liệu dài, tải về để xem chi tiết và đầy đủ nhé!
--------------------------------------------------
Hy vọng qua bài viết trên, bạn đã nắm rõ cách tính xác suất có điều kiện, hiểu được bản chất và ứng dụng thực tế của kiến thức này. Đây là nền tảng quan trọng không chỉ trong toán học mà còn trong nhiều lĩnh vực như phân tích dữ liệu, học máy (machine learning), thống kê kinh doanh... Hãy luyện tập thêm với các bài tập và ví dụ cụ thể để ghi nhớ công thức và vận dụng thành thạo hơn trong các tình huống thực tế!
