Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!

Cách tính xác suất có điều kiện

Chuyên đề Toán 12: Xác suất có điều kiện - Có đáp án chi tiết

Bạn có từng nghe đến xác suất có điều kiện nhưng chưa hiểu rõ cách tính? Trong toán học và đặc biệt là trong xác suất thống kê, xác suất có điều kiện đóng vai trò vô cùng quan trọng để giải quyết các bài toán thực tế như dự đoán thời tiết, phân tích dữ liệu, hay lập kế hoạch kinh doanh. Bài viết này sẽ giúp bạn hiểu rõ xác suất có điều kiện là gì, công thức tính ra sao, kèm ví dụ minh họa dễ hiểu và ứng dụng thực tiễn trong đời sống.

Trong thực tế, ta thường phải cập nhật xác suất của một biến cố khi biết thêm một thông tin nào đó. Nếu có thông tin biến cố BB xảy ra, cần cập nhật xác suất của biến cố AA, tức là tính xác suất có điều kiện của AA khi biết biến cố BB đã xảy ra.

A. Định nghĩa xác suất có điều kiện

Cho hai biến cố AABB. Xác suất của biến cố AA với điều kiện biến cố BB đã xảy ra được gọi là xác suất của AA với điều kiện BB, kí hiệu P\left( A|B \right)P(A|B).

Công thức tính xác suất có điều kiện

Nếu P(B) > 0P(B)>0 thì P\left( A|B \right) =
\frac{P(AB)}{P(B)}P(A|B)=P(AB)P(B)

Chú ý:

  • Nếu P(B) > 0P(B)>0 thì P(AB) = P(B).P\left( A|B \right)P(AB)=P(B).P(A|B)
  • Nếu AABB là hai biến cố bất kì thì P(AB) = P(A).P\left( B|A \right) = P(B).P\left(
A|B \right)P(AB)=P(A).P(B|A)=P(B).P(A|B)

Công thức trên được gọi là công thức nhân xác suất.

Cho AABB là hai biến cố với P(B) > 0P(B)>0. Khi đó, ta có: P\left( A|B \right) = \frac{n(AB)}{n(B)}P(A|B)=n(AB)n(B), trong đó n(AB)n(AB) là số các trường hợp thuận lợi của biến cố ABAB; n(B)n(B) là số các trường hợp thuận lợi của biến cố BB.

Công thức xác suất

  • Nếu AABB là hai biến cố bất kì, với P(B) > 0P(B)>0 thì: P\left( \overline{A}|B \right) = 1 - P\left( A|B
\right)P(A|B)=1P(A|B)
  • Cho AABB là hai biến cố với 0 < P(A) < 1;\ 0 < P(B) <
10<P(A)<1; 0<P(B)<1. Khi đó, AABB là hai biến cố độc lập khi và chỉ khi: P(A) = P\left( A|B \right) = P\left(
A|\overline{B} \right)P(A)=P(A|B)=P(A|B)P(B) =
P\left( B|A \right) = P\left( B|\overline{A} \right)P(B)=P(B|A)=P(B|A)

Tính chất trên giải thích vì sao hai biến cố độc lập nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến này không làm ảnh hưởng đến xác suất của biến cố kia.

Chú ý 1: Cho hai biến cố độc lập AABB với 0 <
P(A) < 1;\ 0 < P(B) < 10<P(A)<1; 0<P(B)<1.

  • P(A) = P\left( A|B \right) = P\left(
A|\overline{B} \right)P(A)=P(A|B)=P(A|B)
  • P(B) = P\left( B|A \right) = P\left(
B|\overline{A} \right)P(B)=P(B|A)=P(B|A)

Chú ý 2:

  • P(A) + P\left( \overline{A} \right) =
1P(A)+P(A)=1
  • P\left( A|B \right) + P\left(
\overline{A}|B \right) = 1P(A|B)+P(A|B)=1
  • P(AB) + P\left( A\overline{B} \right) =
P(A)P(AB)+P(AB)=P(A)
  • P(AB) + P\left( \overline{A}B \right) =
P(B)P(AB)+P(AB)=P(B)

Chú ý 3:

  • Xác suất của một biến cố có thể phụ thuộc vào nhiều yếu tố, điều kiện khác nhau nào đó mà có thể được nói ra hoặc không nói ra (điều kiện hiểu ngầm).
  • Để chỉ ra một cách cụ thể hơn về việc xác suất của một sự kiện A nào đó phụ thuộc vào một điều kiện B nào đó ra sao, ta sử dụng xác suất có điều kiện.
  • Những bài toán xảy ra xác suất có điều kiện, thường đi kèm với việc sử dụng quy tắc nhân xác suất, khi gặp bài toán này ta cần lưu ý đến sự độc lập của biến cố để vận dụng công thức đúng.

B. Bài tập minh họa tính xác suất có điều kiện

Yêu cầu cần đạt

Nhận biết: Nhận biết được khái niệm về xác suất có điều kiện

Thông hiểu: Giải thích được ý nghĩa của xác suất có điều kiện trong những t ình huống thực tiễn quen thuộc.

Bài 1. Gieo một con xúc xắc. Gọi AA là biến cố xuất hiện mặt 2 chấm và BB là biến cố xuất hiện mặt có số chấm là số chẵn. Tính: P\left( A|B
\right)P(A|B).

Hướng dẫn giải

Ta có: P\left( A|B \right) =
\frac{P(AB)}{P(B)} = \frac{n(AB)}{n(B)} = \frac{1}{3}P(A|B)=P(AB)P(B)=n(AB)n(B)=13.

Bài 2. Trong một hộp có 4 viên bi màu trắng và 9 viên bi màu đen, các viên bi có cùng kích thước và khối lượng. Lấy lần lượt mỗi lần một viên bi trong hộp, không hoàn lại. Tính xác xuất để viên bi lấy ở lần thứ hai là màu đen, biết rằng viên bi lấy ở lần thứ nhất cũng là màu đen.

Hướng dẫn giải

Gọi BB là biến cố viên bi lấy ở lần thứ nhất là màu đen.

AA là biến cố viên bi lấy ở lần thứ hai là màu đen.

Ta cần tính P\left( A|B
\right)P(A|B).

Cách 1: Bằng định nghĩa

Do lần thứ nhất lấy được viên bi màu đen nên trong hộp còn 12 viên bi, trong đó có 4 viên bi màu trắng và 8 viên bi màu đen. Vậy P\left( A|B \right) = \frac{8}{12} =
\frac{2}{3}P(A|B)=812=23.

Cách 2: Bằng công thức

Số cách chọn 1 viên bi ở mỗi lần thứ nhất và thứ hai lần lượt là 13 và 12 cách chọn nên n(\Omega) =
13.12n(Ω)=13.12

Có 9 cách chọn 1 viên bi màu đen ở lần thứ nhất và 12 cách chọn 1 viên bi ở lần thứ hai nên n(B) = 9.12
\Rightarrow P(B) = \frac{n(B)}{n(\Omega)} = \frac{9.12}{13.12} =
\frac{9}{13}n(B)=9.12P(B)=n(B)n(Ω)=9.1213.12=913.

ABAB là biến cố cả hai lần đều chọn được viên bi màu đen \Rightarrow n(AB)
= 9.8 \Rightarrow P(AB) = \frac{n(AB)}{n(\Omega)} = \frac{9.8}{13.12} =
\frac{6}{13}n(AB)=9.8P(AB)=n(AB)n(Ω)=9.813.12=613.

Vậy P\left( A|B \right) =
\frac{P(AB)}{P(B)} = \frac{\frac{6}{13}}{\frac{9}{13}} =
\frac{2}{3}P(A|B)=P(AB)P(B)=613913=23.

C. Bài tập tính xác suất có điều kiện có đáp án

Bài tập 1. Theo một số liệu thống kê của dự án Plan, tại một xã của một tỉnh miền núi phía Bắc chỉ có 2 dân tộc Mông và Dao sinh sống, có số trẻ em dưới 5 tuổi là 300 em, kết quả điều tra năm 2023 được cho như bảng dưới đây :

Kết quả điều tra

Người Mông

Người Dao

Suy dinh dưỡng

27

24

Không suy dinh dưỡng

153

96

Chọn ngẫu nhiên một trẻ em dưới 5 tuổi của xã.

a) Tính xác suất chọn được một trẻ em dưới 5 tuổi của xã là người Mông và bị suy dinh dưỡng.

b) Tính xác suất trẻ em người Mông bị suy dinh dưỡng.

c) Tính xác suất trẻ em người Dao bị suy dinh dưỡng.

Bài tập 2. Một bình đựng 5050 viên bi kích thước, chất liệu như nhau, trong đó có 3030 viên bi trắng và 2020 viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên ra một viên bi không hoàn lại, rồi lại lấy ngẫu nhiên ra một viên bi nữa. Tính xác suất để lấy được một viên bi trắng ở lần thứ nhất và một viên bi xanh ở lần thứ hai.

Bài tập 3. Một công ty bảo hiểm nhận thấy có 52\%52% số người mua bảo hiểm ô tô là nam và có 39\%39% số người mua bảo hiểm ô tô là nam trên 40 tuổi. Biết một người mua bảo hiểm ô tô là nam, tính xác suất người đó trên 40 tuổi.

Bài tập 4. Kết quả khảo sát những bệnh nhân là học sinh bị tai nạn xe máy điện về mối liên hệ giữa việc đội mũ bảo hiểm và khả năng bị chấn thương vùng đầu cho thấy:

Tỉ lệ bệnh nhân bị chấn thương vùng đầu khi gặp tai nạn là 60\%60%.

Tỉ lệ bệnh nhân đội mũ bảo hiểm đúng cách khi gặp tai nạn là 90\%90%.

Tỉ lệ bệnh nhân đội mũ bảo hiểm đúng cách và bị chấn thương vùng đầu là 15\%15%.

Hỏi theo kết quả điều tra trên, việc đội mũ bảo hiểm đúng cách đối với học sinh khi di chuyển bằng xe máy điện sẽ làm giảm khả năng bị chấn thương vùng đầu khi gặp tai nạn bao nhiêu lần?

Tài liệu dài, tải về để xem chi tiết và đầy đủ nhé!

--------------------------------------------------

Hy vọng qua bài viết trên, bạn đã nắm rõ cách tính xác suất có điều kiện, hiểu được bản chất và ứng dụng thực tế của kiến thức này. Đây là nền tảng quan trọng không chỉ trong toán học mà còn trong nhiều lĩnh vực như phân tích dữ liệu, học máy (machine learning), thống kê kinh doanh... Hãy luyện tập thêm với các bài tập và ví dụ cụ thể để ghi nhớ công thức và vận dụng thành thạo hơn trong các tình huống thực tế!

Chia sẻ, đánh giá bài viết
1
Chọn file muốn tải về:
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
🖼️

Gợi ý cho bạn

Xem thêm
🖼️

Chuyên đề Toán 12

Xem thêm
Đóng
Chỉ thành viên VnDoc PRO tải được nội dung này! VnDoc PRO - Tải nhanh, làm toàn bộ Trắc nghiệm, website không quảng cáo! Tìm hiểu thêm
Hoặc không cần đăng nhập và tải nhanh tài liệu Cách tính xác suất có điều kiện
Chia sẻ
Chia sẻ FacebookChia sẻ TwitterSao chép liên kếtQuét bằng QR Code
Mã QR Code
Đóng