Cho hàm số y = f(x) tìm cực trị của hàm g(x) = f(u(x))
Cách tìm cực trị của hàm hợp, hàm ẩn - Có đáp án
Trong Giải tích và đặc biệt là các chuyên đề hàm hợp – hàm ẩn, bài toán tìm cực trị của hàm g(x) = f(u(x)) khi biết hàm số y = f(x) là dạng câu hỏi quen thuộc trong các đề kiểm tra và đề thi THPT Quốc gia môn Toán. Việc nắm vững mối quan hệ giữa f(x), u(x) và g(x) giúp học sinh xác định nhanh vị trí cực đại – cực tiểu mà không cần tính toán dài dòng.
Bài viết này sẽ tổng hợp đầy đủ cách nhận biết cực trị, dấu hiệu đạo hàm, quy tắc hàm hợp, cùng phương pháp suy luận cực trị của g(x) dựa trên đặc tính của f(x). Đây là tài liệu ngắn gọn – trọng tâm – dễ hiểu, hỗ trợ học sinh ôn thi hiệu quả và tăng tốc kỹ năng xử lý các bài toán cực trị.
A. PHƯƠNG PHÁP TÌM CỰC TRỊ
Bài toán tổng quát:
Cho hàm 
\(y = f(x)\) hoặc hàm \(y = f'(x)\) tìm cực trị của hàm \(g(x) = f(u(x))\).
Cách giải
-
Tính đạo hàm
\(g'(x) =
f'(u(x)).u'(x)\) -
Tìm số nghiệm đơn hoặc bội lẻ của phương trình
\(g'(x) = 0 \Leftrightarrow
f'(u(x)).u'(x) = 0\) . -
Nếu cần có thể xét dấu
\(g'(x)\).
B. BÀI TẬP MINH HỌA TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM g(x) = f(u(x))
Ví dụ 1. Cho hàm số \(y = f(x)\) có đạo hàm \(f'(x) = x^{2} - 2x\), \(\forall x\mathbb{\in R}\). Hàm số \(y = f\left( x^{2} - 8x \right)\) có bao nhiêu điểm cực trị?
A. \(6\). B. \(3\). C. \(5\). D. \(2\).
Hướng dẫn giải
Ta có:
\(f'(x) = x^{2} - 2x = x(x -
2)\)
Và \(y' = (2x - 8).f'\left( x^{2} -
8x \right) = 2(x - 4)\left( x^{2} - 8x \right)\left( x^{2} - 8x - 2
\right)\)
\(\Rightarrow y' = 0\) \(\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
x - 4 = 0 \\
x^{2} - 8x = 0 \\
x^{2} - 8x - 2 = 0
\end{matrix} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
x = 4 \\
x = 0 \\
x = 8 \\
x = 4 + 3\sqrt{2} \\
x = 4 - 3\sqrt{2}
\end{matrix} \right.\).
Bảng xét dấu \(y'\) như sau:
Vậy hàm số \(y = f\left( x^{2} - 8x
\right)\) có 5 điểm cực trị.
Chọn C.
Lưu ý: Ví dụ trên đề bài yêu cầu tìm số điểm cực trị nên ta có thể không cần lập bảng xét dấu \(y'\). Nhưng nếu yêu cầu tìm số cực đại hay cực tiểu thì ta phải lập bảng xét dấu ( hay BBT).
Ví dụ 2. Cho hàm số \(y = f(x)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) và có bảng xét dấu \(f'(x)\) như sau:
Hỏi hàm số \(y = f\left( x^{2} - 2x
\right)\) có bao nhiêu điểm cực tiểu?
A. \(4\). B. \(2\). C. \(3\). D. \(1\).
Hướng dẫn giải
Đặt \(g(x) = f\left( x^{2} - 2x\right)\).
Ta có: \(f'(x^{2} - 2x) \geq 0
\Leftrightarrow - 2 \leq x^{2} - 2x \leq 3 \Leftrightarrow - 1 \leq x
\leq 3\)
Bảng xét dấu \(g'(x)\);
Vậy hàm số có đúng 1 điểm cực tiểu là \(x =
1\).
Chọn D.
Ví dụ 3. Cho hàm số \(f(x)\), bảng biến thiên của hàm \(f'(x)\) như sau:
Số điểm cực trị của hàm số \(f(4x^{2} +
4x)\) là:
A. \(7\). B. \(3\). C. \(5\). D. \(9\).
Hướng dẫn giải
Ta có
\(y = f(4x^{2} + 4x) \Rightarrow y' =
(8x + 4).f'(4x^{2} + 4x)\)
\(\Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow
\left\lbrack \begin{matrix}
8x + 4 = 0 \\
f'\left( 4x^{2} + 4x \right) = 0
\end{matrix} \right.\)\(\Leftrightarrow \left\lbrack
\begin{matrix}
x = - \frac{1}{2} \\
4x^{2} + 4x = a_{1} \in ( - \infty; - 1)\ \ (1) \\
4x^{2} + 4x = a_{2} \in ( - 1;0)\ \ \ \ \ \ (2) \\
4x^{2} + 4x = a_{3} \in (0;1)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (3) \\
4x^{2} + 4x = a_{4} \in (1; + \infty)\ \ \ \ (4)
\end{matrix} \right.\)
Ta có: \(4x^{2} + 4x = (2x + 1)^{2} - 1
\geq - 1\)
Do đó \((1)\) vô nghiệm, các phương trình \((2),\ \ (3),\ \ (4)\) mỗi phương trình cho hai nghiệm . Các nghiệm này khác nhau và khác \(- \frac{1}{2}\) .
Tóm lại \(y' = 0\) có 7 nghiệm phân biệt. Nên hàm số có 7 cực trị.
Chọn A.
C. BÀI TẬP VẬN DỤNG TÌM CỰC TRỊ CÓ ĐÁP ÁN
Bài tập 1. Cho hàm số \(y = f(x)\) có đạo hàm \(f'(x) = \left( x^{2} - x
\right)\left( x^{2} - 4x + 3 \right),\forall x\mathbb{\in R}.\) Tính tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số m để hàm số \(g(x) = f\left( x^{2} + m \right)\) có 3 điểm cực trị.
A. \(0\). B. \(6\). C. \(3\). D. \(2\).
Bài tập 2. Cho hàm số \(y = f(x)\) có đạo hàm \(f'(x)\) trên khoảng \(( - \infty; + \infty)\). Đồ thị của hàm số \(y = f(x)\) như hình vẽ:
Đồ thị của hàm số \(y = \left( f(x)
\right)^{2}\) có bao nhiêu điểm cực đại, cực tiểu?
A. 2 cực đại, 3 cực tiểu. B. 3 cực đại, 2 cực tiểu.
C. 1 cực đại, 2 cực tiểu. D. 1 cực đại, 1 cực tiểu.
Tài liệu dài, tải về để xem chi tiết và đầy đủ nhé!
------------------------------------------------
Qua bài viết này, bạn đã nắm được quy trình tìm cực trị của hàm g(x) = f(u(x)) dựa trên cực trị của hàm số y = f(x), bao gồm mối quan hệ đạo hàm, điều kiện cần – đủ và cách suy luận dấu. Khi vận dụng đúng phương pháp, bạn có thể giải nhanh mọi dạng bài về cực trị của hàm hợp, hàm ẩn trong chương trình Giải tích và đề thi THPT Quốc gia.
Hãy lưu lại tài liệu này để ôn tập thường xuyên và củng cố kỹ năng đạo hàm, cực trị, khảo sát hàm số. Việc hiểu đúng bản chất sẽ giúp bạn tự tin chinh phục mọi câu hỏi từ cơ bản đến nâng cao.
