Cách tính nhanh Tỉ số thể tích khối lăng trụ tam giác
Tính nhanh Tỉ số thể tích khối lăng trụ tam giác Toán 12
Trong các dạng bài Hình học không gian của ôn thi THPT Quốc gia môn Toán, dạng tính nhanh tỉ số thể tích khối lăng trụ tam giác luôn là nội dung trọng tâm, yêu cầu học sinh nắm vững kiến thức về diện tích đáy, chiều cao và mối quan hệ tỉ lệ giữa các cạnh hoặc vectơ. Khi hiểu đúng bản chất và áp dụng phương pháp rút gọn, bạn có thể giải quyết bài toán chỉ trong vài bước mà không cần tính thể tích từng khối. Bài viết này sẽ hướng dẫn chi tiết cách tính nhanh, các mẹo nhận dạng và ví dụ minh họa giúp bạn làm bài hiệu quả và chính xác hơn.
A. Công thức tính tỉ số thể tích khối lăng trụ tam giác
Cho lăng trụ 
\(ABC.A'B'C'\) có các điểm \(M,N,P\) lần lượt thuộc các cạnh \(AA',BB',CC'\) sao cho \(\frac{A'M}{AA'} =
x,\frac{B'N}{BB'} = y,\frac{C'P}{CC'} = z\). Khi đó \(\frac{V_{A'B'C'MNP}}{V_{A'B'C'.ABC}}
= \frac{x + y + z}{3}\).
Đặc biệt: \(\frac{V_{A.MNP}}{V_{ABC.A_{1}B_{1}C_{1}}} =
\frac{x}{3},\ \ \ \ \frac{V_{M.BCPN}}{V_{ABC.A_{1}B_{1}C_{1}}} = \frac{y
+ z}{3}\).
B. Ví dụ minh họa tính tỉ số thể tích khối lăng trụ tam giác
Ví dụ 1. Cho khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\), có \(M,N,P\) lần lượt thuộc các cạnh \(AA',BB',CC'\) sao cho \(AM = MA',BN = 3NB',CP = 3PC'\). Đặt \(V_{1}\) là thể tích của khối đa diện\(ABCMNP\), \(V_{2}\) là thể tích của khối đa diện còn lại. Tính tỉ số \(\frac{V_{1}}{V_{2}}\) .
Hướng dẫn giải
Hình vẽ minh họa:
Ta có \(MA = MA' \Rightarrow
\frac{MA}{AA'} = \frac{1}{2};BN = 3NB'\)
\(\Rightarrow \frac{BN}{BB'} =
\frac{3}{4};CP = 3PC' \Rightarrow \frac{CP}{CC'} =
\frac{3}{4}\)
Đặt \(V =
V_{ABC.A'B'C'}\) .
Suy ra \(\frac{V_{1}}{V} =
\frac{\frac{1}{2} + \frac{3}{4} + \frac{3}{4}}{3} = \frac{2}{3}
\Rightarrow V_{1} = \frac{2}{3}V\)
\(\Rightarrow V_{2} = V - V_{1} =
\frac{1}{3}V \Rightarrow \frac{V_{1}}{V_{2}} = 2.\)
Ví dụ 2. Cho khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có thể tích bằng \(V\), các điểm \(M,N,P\) lần lượt thuộc các cạnh \(AA',BB',CC'\) sao cho \(AM = 2MA',BN = 3NB',CP =
x.PC'\). Đặt \(V_{1}\) là thể tích của khối đa diện \(ABC.MNP\), tính giá trị của \(x\) để \(\frac{V_{1}}{V} = \frac{3}{5}\).
Hướng dẫn giải
Hình vẽ minh họa:
Ta có \(MA = 2MA'\)
\(\Rightarrow \frac{AM}{AA'} =
\frac{2}{3};BN = 3NB'\)
\(\Rightarrow \frac{BN}{BB'} =
\frac{3}{4};\ \ CP = xPC'\)
\(\Rightarrow \frac{CP}{CC'} =
\frac{x}{x + 1}\)
Suy ra \(\frac{V_{1}}{V} =
\frac{\frac{2}{3} + \frac{3}{4} + \frac{x}{x + 1}}{3} = \frac{3}{5}
\Rightarrow \frac{17}{12} + \frac{x}{x + 1} = \frac{9}{5}\)
\(\Leftrightarrow \frac{x}{x + 1} =
\frac{23}{60} \Leftrightarrow x = \frac{23}{37}.\)
Ví dụ 3. Cho khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có thể tích bằng \(60\ cm^{3}\), các điểm \(M,N,P\) lần lượt thuộc các cạnh \(AA',BB',CC'\) sao cho \(AM = 2MA',BN = 3NB',CP =
4PC'.\) Thể tích của khối đa diện \(BC.MNP\).
Hướng dẫn giải
Hình vẽ minh họa:
Ta có \(MA = 2MA' \Rightarrow
\frac{AM}{AA'} = \frac{2}{3};BN = 3NB'\)
\(\Rightarrow \frac{BN}{BB'} =
\frac{3}{4};CP = 4PC' \Rightarrow \frac{CP}{CC'} =
\frac{4}{5}\)
Nên \(\frac{V_{ABCMNP}}{V_{ABCA'B'C'}} =
\frac{\frac{2}{3} + \frac{3}{4} + \frac{4}{5}}{3} = \frac{133}{180}
\Rightarrow V_{ABCMNP} = \frac{133}{180}.60 = \frac{133}{3}\)
Mà \(V_{M.ABC} = \frac{1}{3}d\left( M;(ABC)
\right).S_{ABC} = \frac{1}{3}.\frac{2}{3}d\left( A';(ABC)
\right).S_{ABC} = \frac{2}{9}.V_{ABC.A'B'C'} =
\frac{40}{3}\).
Vậy \(V_{BCMNP} = \frac{133}{3} -
\frac{40}{3} = 31\left( cm^{3} \right).\)
Nhận xét. Các bài toán dạng này sẽ xuất hiện nhiều khối không phải là các khối có công thức tính thể tích như chóp hay lăng trụ. Thay vì việc phải phân chia các khối này thành các khối có công thức tính, nay ta có ngay một kết quả rất nhanh và chính xác.
C. Bài tập vận dụng có hướng dẫn chi tiết
Bài tập 1. Cho lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\). Gọi \(D\) là trung điểm \(AC\). Tính tỉ số \(k\) của thể tích khối tứ diện \(B'BAD\) và thể tích khối lăng trụ đã cho.
A. \(k = \frac{1}{4}\). B. \(k = \frac{1}{12}\). C. \(k = \frac{1}{3}\). D. \(k = \frac{1}{6}\).
Bài tập 2. Cho khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\). Đường thẳng đi qua trọng tâm của tam giác \(ABC\) và song song với \(BC\) cắt các cạnh \(AB,\ \ AC\) lần lượt tại \(M,\ \ N.\) Mặt phẳng \((A'MN)\) chia khối lăng trụ thành hai phần. Tính tỉ số thể tích (phần bé chia phần lớn) của chúng.
A. \(\frac{2}{3}.\) B. \(\frac{4}{23}.\) C. \(\frac{4}{9}.\) D. \(\frac{4}{27}.\)
Toàn bộ nội dung đã sẵn sàng! Nhấn Tải về để tải đầy đủ tài liệu.
--------------------------------------
Nắm vững kỹ thuật tính nhanh tỉ số thể tích lăng trụ tam giác sẽ giúp bạn nâng cao tốc độ làm bài và xử lý thành thạo các bài toán không gian trong đề thi THPT Quốc gia. Mong rằng bài viết đã mang đến cho bạn những phương pháp ngắn gọn, dễ nhớ và có thể áp dụng ngay vào luyện tập. Hãy thường xuyên thực hành để củng cố kỹ năng và đạt kết quả tốt nhất trong kỳ thi sắp tới.
