Chuyên đề Tìm cực trị của hàm hợp, hàm ẩn
Cực trị hàm ẩn, hàm hợp - Có đáp án
Trong quá trình ôn thi THPT Quốc gia môn Toán, việc nắm vững cách tìm cực trị của hàm hợp và hàm ẩn là chìa khóa để xử lý nhanh – gọn – chính xác các dạng bài từ cơ bản đến nâng cao. Chuyên đề “Tìm cực trị của hàm hợp, hàm ẩn” giúp học sinh hiểu rõ bản chất đạo hàm, sử dụng linh hoạt quy tắc dây chuyền, kết hợp điều kiện xác định và sự biến thiên để tìm điểm cực đại – cực tiểu của hàm số. Bài viết này tổng hợp phương pháp, công thức, lưu ý thường gặp và bài tập minh họa có đáp án chi tiết, hỗ trợ tối đa cho quá trình luyện thi và củng cố kiến thức.
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ VỀ CỰC TRỊ HÀM SỐ
1. Định nghĩa cực trị hàm số
Cho hàm số 
\(y\ = \ f(x)\) liên tục trên khoảng \((a\ ;\ b)\) và điểm \(x_{0\ } \in (a\ ;\ b)\).
- Nếu tồn tại số \(h > 0\) sao cho \(f(x) < \ f\left( x_{0} \right),\
\forall x\ \in \left( x_{0\ } - h\ ;\ x_{0\ } + h \right),\ x\ \neq \
x_{0\ }\) thì ta nói hàm số \(f\) đạt cực đại tại \(x_{0}\) .
- Nếu tồn tại số \(h > 0\) sao cho \(f(x) > \ f\left( x_{0} \right),\
\forall x\ \in \left( x_{0\ } - h\ ;\ x_{0\ } + h \right),\ x\ \neq \
x_{0\ }\) thì ta nói hàm số \(f\) đạt cực tiểu tại \(x_{0}\) .
Định lí 1. Cho hàm số \(y\ = \
f(x)\)liên tục trên khoảng \(K\ = \
\left( x_{0\ } - h\ ;\ x_{0\ } + h \right)\ (h\ > 0)\) và có đạo hàm trên K hoặc trên \(K\
\backslash\left\{ \ x_{0\ } \right\}\).
Nếu \(f'(x) < 0,\forall x \in \left(
x_{0} - h;x_{0} \right)\) và\(f'(x)
> 0,\forall\left( x_{0};x_{0} + h \right)\) thì \(x_{0}\) là điểm cực tiểu của hàm số.
Định lí 2. Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai trên khoảng K = (x0 - h ; x0 + h) (h > 0).
- Nếu \(f'\left( x_{0} \right) = 0,\
f''\left( x_{0} \right) > 0\) thì \(x_{0}\) là điểm cực tiểu của hàm số \(f\) .
- Nếu \(f'\left( x_{0} \right) = 0,\ \
\ f''\left( x_{0} \right) < 0\) thì \(x_{0}\) là điểm cực đại của hàm số \(f\) .
2. Quy tắc tìm cực trị
Quy tắc 1
-
Tìm tập xác định.
-
Tính
\(f'(x).\) Tìm các điểm tại đó f '(x) bằng 0 hoặc f '(x) không xác định. -
Lập bảng biến thiên.
-
Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.
Quy tắc 2
-
Tìm tập xác định.
-
Tính
\(f'(x).\)Tìm các nghiệm \(x_{i}\) của phương trình\(f'(x) = 0\) . -
Tính
\(f''\left( x_{i}
\right)\) suy ra tính chất cực trị của các điểm \(x_{i}\).
(Chú ý: nếu \(f''\left(
x_{i} \right) = 0\) thì ta phải dùng quy tắc 1 để xét cực trị tại \(x_{i}\)).
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP CỰC TRỊ HÀM HỢP HÀM ẨN
DẠNG 1. Cho hàm \(y = f(x)\) hoặc hàm \(y = f'(x)\) tìm cực trị của hàm \(g(x) = f(u(x))\).
DẠNG 2. Cho hàm \(y = f(x)\) hoặc hàm \(y = f'(x)\) tìm cực trị của hàm \(g(x) = f(u(x)) + h(x)\).
C. BÀI TẬP VẬN DỤNG CÓ ĐÁP ÁN
Bài 1. Cho hàm số \(y = f(x)\) có đồ thị hàm số \(y = f'(x)\)như hình bên dưới.
Hỏi hàm số \(g(x) = f\left( x^{2} -
1 \right)\) có bao nhiêu điểm cực tiểu?
A. \(5.\) B. \(1.\) C. \(2.\) D. \(3.\)
Bài 2. Cho hàm số \(y = f(x)\) có bảng biến thiên như sau.
Đồ thị hàm số \(y = \left| f(x - 2017) +
2018 \right|\) có bao nhiêu điểm cực trị?
A. \(4\). B. \(3\). C. \(2\). D. \(5\).
Bài 3. Cho hàm số \(y = f(x)\)là hàm bậc ba và có đồ thị như hình vẽ bên.
Hàm số \(y = f\left( x^{2} - 3x \right)\) có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 5. B. 2. C. 4. D. 3.
Toàn bộ nội dung đã sẵn sàng! Nhấn Tải về để tải đầy đủ tài liệu.
-----------------------------------------------
Chuyên đề Tìm cực trị của hàm hợp, hàm ẩn không chỉ giúp học sinh làm chủ các dạng bài trong đề thi THPT Quốc gia mà còn rèn khả năng tư duy toán học logic và kỹ năng phân tích đồ thị. Hy vọng bài viết đã mang đến một hệ thống kiến thức đầy đủ, dễ hiểu và áp dụng hiệu quả trong quá trình luyện đề. Hãy lưu lại chuyên đề, chia sẻ để tham khảo lâu dài và tiếp tục đồng hành cùng chúng tôi trong các bài giảng tiếp theo nhằm tối ưu điểm số môn Toán của bạn.
