Cho hàm số y = f(x) tìm cực trị của hàm g(x) = f(u(x)) + h(x)
Cách tìm cực trị của hàm hợp g(x) = f(u(x)) + h(x)
Trong các chuyên đề Giải tích và bài tập nâng cao, dạng toán tìm cực trị của hàm g(x) = f(u(x)) + h(x) khi biết cực trị của y = f(x) là một trong những dạng bài quan trọng, thường xuyên xuất hiện trong đề kiểm tra và đề thi THPT Quốc gia môn Toán. Để giải nhanh và chính xác, học sinh cần hiểu rõ mối quan hệ giữa đạo hàm của f(x), u(x), h(x) và cách biến đổi để suy ra vị trí cực trị của hàm hợp.
A. PHƯƠNG PHÁP TÌM CỰC TRỊ
Bài toán tổng quát: Cho hàm 
\(y = f(x)\) hoặc hàm \(y = f'(x)\) tìm cực trị của hàm \(g(x) = f(u(x)) + h(x)\).
Cách giải:
-
Tính
\(g'(x) =
u'(x).f'(u(x)) + h'(x)\) -
Tìm số nghiệm của phương trình
\(g'(x) = 0\) -
Có thể lập bảng xét dấu
\(g'(x)\).
B. BÀI TẬP MINH HỌA TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM HỢP, HÀM ẨN
Ví dụ 1. Cho hàm số \(y = f(x)\) có đạo hàm \(f'(x) = x^{2} - 2x\), \(\forall x\mathbb{\in R}\). Hàm số \(y = f\left( 1 - \frac{x}{2} \right) +
4x\) có mấy điểm cực trị?
A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.
Hướng dẫn giải
Xét hàm số \(g(x) = f\left( 1 - \frac{x}{2}
\right) + 4x\).
Ta có: \(g'(x) = -
\frac{1}{2}f'\left( 1 - \frac{x}{2} \right) + 4\)=\(= - \frac{1}{2}\left\lbrack \left( 1 - \frac{x}{2}
\right)^{2} - 2\left( 1 - \frac{x}{2} \right) \right\rbrack + 4 = -
\frac{x^{2}}{8} + \frac{9}{2} = 0 \Leftrightarrow x = \pm
6\).
Bảng xét dấu \(g'(x)\):
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số có 2 điểm cực trị. Chọn C.
Ví dụ 2. Cho hàm số \(y = f(x)\) có đạo hàm \(f'(x) = (2 - x)\left( x^{2} - 8
\right)^{2019},\ \forall x\mathbb{\in R}\). Hàm số \(y = f\left( x^{2} - 2 \right) + \frac{1}{2}x^{4} -
4x^{2} + 2020\) có bao nhiêu điểm cực trị ?
A. \(4\). B. \(2019\). C. \(5\). D. \(2020\).
Hướng dẫn giải
Xét hàm số \(g(x) = f\left( x^{2} - 2
\right) + \frac{1}{2}x^{4} - 4x^{2} + 2020\).
Ta có:
\(g'(x) = 2x.f'\left( x^{2} - 2
\right) + 2x^{3} - 8x\).
Khi đó:
\(g'(x) = 0 \Leftrightarrow
2x.f'\left( x^{2} - 2 \right) + 2x^{3} - 8x = 0\)
\(\Leftrightarrow 2x\left\lbrack
f'\left( x^{2} - 2 \right) + x^{2} - 4 \right\rbrack = 0
\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
x = 0 \\
f'\left( x^{2} - 2 \right) + x^{2} - 4 = 0\ (*)
\end{matrix} \right.\).
Giải phương trình \((*)\):
Đặt \(t = x^{2} - 2\).
\((*) \Leftrightarrow f'(t) + t - 2 =
0 \Leftrightarrow (2 - t)\left( t^{2} - 8 \right)^{2019} + (t - 2) =
0\)
\(\Leftrightarrow (2 - t)\left\lbrack\left( t^{2} - 8 \right)^{2019} - 1 \right\rbrack = 0\)\(\Leftrightarrow\left\lbrack \begin{matrix}2 - t = 0 \\\left( t^{2} - 8 \right)^{2019} - 1 = 0\end{matrix} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}t = 2 \\t^{2} - 8 = 1\end{matrix} \right.\)\(\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}t = 2 \\t = \pm 3\end{matrix} \right.\).
Suy ra \(\left\lbrack \begin{matrix}
x^{2} - 2 = 2 \\
x^{2} - 2 = 3 \\
x^{2} - 2 = - 3
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
x^{2} = 4 \\
x^{2} = 5 \\
x^{2} = - 1
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
x = \pm 2 \\
x = \pm \sqrt{5}
\end{matrix} \right.\).
\(\Rightarrow g'(x) = 0\) có \(5\) nghiệm (không có nghiệm bội chẵn).
Vậy hàm số có \(5\) cực trị.
Chọn C.
C. BÀI TẬP VẬN DỤNG TÌM CỰC TRỊ HÀM SỐ
Bài tập 1. Cho hàm số \(y =
f(x)\)liên tục trên \(\mathbb{R}\), hàm số \(y = f'(x)\) có đồ thị như hình vẽ.
Hàm số \(y = f(x) + \frac{2017 -
2018x}{2017}\) có số điểm cực trị là:
A. \(4\) . B.\(3\) . C. \(2\) . D. \(1\).
Bài tập 2. Cho hàm số \(y = f(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và đồ thị hàm số \(y = f'(x)\) cho bởi hình vẽ bên.
Đặt \(g(x) = f(x) -
\frac{x^{2}}{2}\), \(\forall
x\mathbb{\in R}\). Hỏi đồ thị hàm số \(y = g(x)\) có bao nhiêu điểm cực trị?
A. \(3\). B. \(2\). C. \(1\). D. \(4\).
Tài liệu quá dài để hiển thị hết — hãy nhấn Tải về để xem trọn bộ!
---------------------------------
Qua chuyên đề này, bạn đã nắm vững cách tìm cực trị của hàm g(x) = f(u(x)) + h(x) dựa trên cực trị của f(x) và sự kết hợp giữa các hàm thành phần. Khi hiểu đúng bản chất dấu đạo hàm và vai trò của f′(u(x)), u′(x), h′(x), bạn sẽ có thể xử lý thành thạo mọi bài toán cực trị của hàm hợp – hàm ẩn từ cơ bản đến nâng cao.
