VnDoc.com

Tìm m để đồ thị hàm số có n tiệm cận

Chuyền đề Đường tiệm cận có đáp án

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 12

Môn: Toán

Dạng tài liệu: Chuyên đề

Mức độ: Khó

Loại File: Word + PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Bài toán tiệm cận hàm số có tham số

A. Kiến thức cần nhớ
B. Bài tập minh họa tìm m để ĐTHS có tiệm cận
C. Bài tập vận dụng có đáp án chi tiết

Trong các bài toán khảo sát hàm số, dạng tìm m để đồ thị hàm số có n tiệm cận luôn được đánh giá là khó và thường xuất hiện trong các đề kiểm tra, đề thi THPT Quốc gia. Chuyên đề này hệ thống hóa phương pháp xác định số lượng tiệm cận của đồ thị hàm số theo từng giá trị tham số m, kèm hướng dẫn chi tiết và đáp án rõ ràng. Nội dung được trình bày logic, dễ áp dụng, giúp bạn nắm chắc bản chất và xử lý hiệu quả các bài toán về đường tiệm cận.

A. Kiến thức cần nhớ

1. Đường thẳng $x = x_{0}$ $x = x_{0}$ được gọi là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = f(x)$ nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thoả mãn:

$\lim_{x \rightarrow x_{0}^{-}}f(x) = + \infty;$ $\lim_{x \rightarrow x_{0}^{-}}f(x) = + \infty;$ $\lim_{x \rightarrow x_{0}^{-}}f(x) = - \infty;$ $\lim_{x \rightarrow x_{0}^{-}}f(x) = - \infty;$

$\lim_{x \rightarrow x_{0}^{+}}f(x) = + \infty;$ $\lim_{x \rightarrow x_{0}^{+}}f(x) = + \infty;$ $\lim_{x \rightarrow x_{0}^{+}}f(x) = - \infty$ $\lim_{x \rightarrow x_{0}^{+}}f(x) = - \infty$

Chú ý:

Thông thường tại giá trị $x_{0}$ $x_{0}$ hàm số $f(x)$ không xác định.
Thông thường, nếu $f(x) = \frac{p(x)}{q(x)}$ $f(x) = \frac{p(x)}{q(x)}$ thì $x = x_{0}$ $x = x_{0}$ là nghiệm của $q(x)$ nhưng không là nghiệm của $p(x)$.

Sử dụng máy tính bỏ túi:

Tính $\lim_{x \rightarrow {x_{0}}^{+}}f(x):$ $\lim_{x \rightarrow {x_{0}}^{+}}f(x):$ Nhập hàm $f(x)$ $CALC$ $x_{o} + 10^{- 12}$ $x_{o} + 10^{- 12}$ . Nếu $ERROR$, thay bằng $10^{- 6}$ $10^{- 6}$ .
Tính $\lim_{x \rightarrow x_{0} -}f(x):$ $\lim_{x \rightarrow x_{0} -}f(x):$ Nhập hàm $f(x)$ $CALC$ $x_{o} - 10^{- 12}$ $x_{o} - 10^{- 12}$ . Nếu $ERROR$, thay bằng $10^{- 6}$ $10^{- 6}$ .

2. Đường thẳng $y = y_{0}$ $y = y_{0}$ được gọi là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = f(x)$ nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thoả mãn:

$\lim_{x \rightarrow + \infty}f(x) = y_{0};\lim_{x \rightarrow - \infty}f(x) = y_{0}$ $\lim_{x \rightarrow + \infty}f(x) = y_{0};\lim_{x \rightarrow - \infty}f(x) = y_{0}$

Chú ý:

Thông thường, nếu $f(x) = \frac{p(x)}{q(x)}$ $f(x) = \frac{p(x)}{q(x)}$, để tìm giới hạn khi $x \rightarrow \pm \infty$ $x \rightarrow \pm \infty$, ta đưa số mũ cao nhất của tử và mẫu ra ngoài.
Lưu ý trong việc đưa $x$ ra khỏi $\sqrt{},||$ $\sqrt{},||$ .

Sử dụng máy tính bỏ túi:

Tính $\lim_{x \rightarrow + \infty}f(x):$ $\lim_{x \rightarrow + \infty}f(x):$ Nhập hàm $f(x)$ $CALC$ $10^{12}$ $10^{12}$ . Nếu $ERROR$, thay bằng $10^{6}$ $10^{6}$ .
Tính $\lim_{x \rightarrow - \infty}f(x):$ $\lim_{x \rightarrow - \infty}f(x):$ Nhập hàm $f(x)$ $CALC$ $- 10^{12}$ $- 10^{12}$ . Nếu $ERROR$, thay bằng $- 10^{6}$ $- 10^{6}$ .

B. Bài tập minh họa tìm m để ĐTHS có tiệm cận

Ví dụ 1. Phương trình đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = 2x + m - \sqrt{4x^{2} + x + 1}$ $y = 2x + m - \sqrt{4x^{2} + x + 1}$ (với m là tham số) là:

A. $y = \frac{4m + 1}{4}.$ $y = \frac{4m + 1}{4}.$ B. $y = \frac{4m - 1}{4}.$ $y = \frac{4m - 1}{4}.$ C. $y = \frac{2m + 1}{2}.$ $y = \frac{2m + 1}{2}.$ D. $y = \frac{2m - 1}{2}.$ $y = \frac{2m - 1}{2}.$

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Ta có:

$\lim_{x \rightarrow + \infty}\left( 2x + m - \sqrt{4x^{2} + x + 1} \right) = \lim_{x \rightarrow + \infty}\frac{(2x + m)^{2} - \left( 4x^{2} + x + 1 \right)}{2x + m + \sqrt{4x^{2} + x + 1}}$ $\lim_{x \rightarrow + \infty}\left( 2x + m - \sqrt{4x^{2} + x + 1} \right) = \lim_{x \rightarrow + \infty}\frac{(2x + m)^{2} - \left( 4x^{2} + x + 1 \right)}{2x + m + \sqrt{4x^{2} + x + 1}}$

$= \lim_{x \rightarrow + \infty}\frac{(4m - 1)x + m^{2} - 1}{2x + m + \sqrt{4x^{2} + x + 1}} = \lim_{x \rightarrow + \infty}\frac{(4m - 1) + \frac{m^{2} - 1}{x}}{2 + \frac{m}{x} + \sqrt{4 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}}} = \frac{4m - 1}{4}$ $= \lim_{x \rightarrow + \infty}\frac{(4m - 1)x + m^{2} - 1}{2x + m + \sqrt{4x^{2} + x + 1}} = \lim_{x \rightarrow + \infty}\frac{(4m - 1) + \frac{m^{2} - 1}{x}}{2 + \frac{m}{x} + \sqrt{4 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}}} = \frac{4m - 1}{4}$

$\lim_{x \rightarrow - \infty}\left( 2x + m - \sqrt{4x^{2} + x + 1} \right) = \lim_{x \rightarrow - \infty}\left( 2x + m + x\sqrt{4 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}} \right)$ $\lim_{x \rightarrow - \infty}\left( 2x + m - \sqrt{4x^{2} + x + 1} \right) = \lim_{x \rightarrow - \infty}\left( 2x + m + x\sqrt{4 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}} \right)$

$= \lim_{x \rightarrow - \infty}x\left( 2 + \frac{m}{x} + \sqrt{4 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}} \right) = - \infty$ $= \lim_{x \rightarrow - \infty}x\left( 2 + \frac{m}{x} + \sqrt{4 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}} \right) = - \infty$

Suy ra đồ thị hàm số có một đường tiệm cận ngang là $y = \frac{4m - 1}{4}$ $y = \frac{4m - 1}{4}$.

Ví dụ 2. Tập hợp các giá trị m để đồ thị hàm $y = \frac{2x - 1}{4x^{2} + 4mx + 1}$ $y = \frac{2x - 1}{4x^{2} + 4mx + 1}$ có đúng một đường tiệm cận là

A. $\lbrack - 1;1\rbrack$ $\lbrack - 1;1\rbrack$. B. $( - \infty; - 1) \cup (1; + \infty)$ $( - \infty; - 1) \cup (1; + \infty)$. C. $( - \infty; - 1\rbrack \cup \lbrack 1; + \infty)$ $( - \infty; - 1\rbrack \cup \lbrack 1; + \infty)$. D. $( - 1;1)$.

Hướng dẫn giải

Chọn D

Ta có: $\lim_{x \rightarrow + \infty}y = 0;\lim_{x \rightarrow - \infty}y = 0 \Rightarrow y = 0$ $\lim_{x \rightarrow + \infty}y = 0;\lim_{x \rightarrow - \infty}y = 0 \Rightarrow y = 0$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

+ Đồ thị hàm số có đúng một đường tiệm cận $\Leftrightarrow 4x^{2} + 4mx + 1 = 0$ $\Leftrightarrow 4x^{2} + 4mx + 1 = 0$ vô nghiệm $\Leftrightarrow \Delta$ $\Leftrightarrow \Delta' = 4m^{2} - 4 < 0 \Leftrightarrow - 1 < m < 1$.

Ví dụ 3. Tìm tất cả giá trị thực của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y = \frac{x - 2}{x^{2} - mx + 1}$ $y = \frac{x - 2}{x^{2} - mx + 1}$ có đúng 3 đường tiệm cận.

A. $\left\lbrack \begin{matrix} m > 2 \\ m < - 2 \end{matrix} \right.\ .$ $\left\lbrack \begin{matrix} m > 2 \\ m < - 2 \end{matrix} \right.\ .$ B. $- 2 < m < 2.$ C. $\left\lbrack \begin{matrix} m > 2 \\ \left\{ \begin{matrix} m < - 2 \\ m \neq - \frac{5}{2} \end{matrix} \right.\ \end{matrix} \right.\ .$ $\left\lbrack \begin{matrix} m > 2 \\ \left\{ \begin{matrix} m < - 2 \\ m \neq - \frac{5}{2} \end{matrix} \right.\ \end{matrix} \right.\ .$ D. $\left\lbrack \begin{matrix} \left\{ \begin{matrix} m > 2 \\ m \neq \frac{5}{2} \end{matrix} \right.\ \\ m < - 2 \end{matrix} \right.\ .$ $\left\lbrack \begin{matrix} \left\{ \begin{matrix} m > 2 \\ m \neq \frac{5}{2} \end{matrix} \right.\ \\ m < - 2 \end{matrix} \right.\ .$

Hướng dẫn giải

Chọn D.

Đồ thị có một tiệm cận ngang vì $\lim_{x \rightarrow \pm \infty}y = \lim_{x \rightarrow \pm \infty}\frac{x - 2}{x^{2} - mx + 1} = 0$ $\lim_{x \rightarrow \pm \infty}y = \lim_{x \rightarrow \pm \infty}\frac{x - 2}{x^{2} - mx + 1} = 0$.

Để đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận đứng thì phương trình $x^{2} - mx + 1 = 0$ $x^{2} - mx + 1 = 0$ phải có hai nghiệm phân biệt khác 2, do đó: $\left\{ \begin{gathered} {m^2} - 4 > 0 \hfill \\ 4 - 2m + 1 \ne 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} m > 2 \hfill \\ m \ne \frac{5}{2} \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ m < - 2 \hfill \\ \end{gathered} \right.$ $\left\{ \begin{gathered} {m^2} - 4 > 0 \hfill \\ 4 - 2m + 1 \ne 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} m > 2 \hfill \\ m \ne \frac{5}{2} \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ m < - 2 \hfill \\ \end{gathered} \right.$.

C. Bài tập vận dụng có đáp án chi tiết

Bài tập 1. Đồ thị hàm số $y = \frac{(2m + 1)x + 3}{x + 1}$ $y = \frac{(2m + 1)x + 3}{x + 1}$ có đường tiệm cận đi qua điểm $A( - 2;7)$ khi và chỉ khi

A. $m = 3$. B. $m = 1$. C. $m = - 3$. D. $m = - 1$.

Bài tập 2. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ sao cho đồ thị của hàm số $y = \frac{mx + 1}{mx - 2}$ $y = \frac{mx + 1}{mx - 2}$ có hai đường tiệm cận tạo với hai trục tọa độ một hình chữ nhật có diện tích bằng $4$.

A. $m = \pm 1$ $m = \pm 1$. B. $m = \pm 8$ $m = \pm 8$. C. $m = \pm 2$ $m = \pm 2$. D. $m = \frac{\pm 1}{2}$ $m = \frac{\pm 1}{2}$.

Bài tập 3. Cho hàm số $y = \frac{x}{x^{2} - m}$ $y = \frac{x}{x^{2} - m}$ (với m là tham số). Giá trị của $m$ để đồ thị hàm số có đúng 3 tiệm cận là

A. $m = 0$. B. $m < 0$. C. $m > 0$. D. $m\mathbb{\in R}$ $m\mathbb{\in R}$.

Bài tập 4. Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y = \frac{x + 1}{\left( mx^{2} - x - 1 \right)\left( 2x^{2} + mx + 2 \right)}$ $y = \frac{x + 1}{\left( mx^{2} - x - 1 \right)\left( 2x^{2} + mx + 2 \right)}$ có đúng một tiệm cận.

A. $\left\{ 0 \right\}$ $\left\{ 0 \right\}$ B. $\left( - 4; - \frac{1}{4} \right) \cup \left\{ 0 \right\}$ $\left( - 4; - \frac{1}{4} \right) \cup \left\{ 0 \right\}$. C. $\left( - 4; - \frac{1}{4} \right)$ $\left( - 4; - \frac{1}{4} \right)$. D. $\left\lbrack - 4; - \frac{1}{4} \right\rbrack \cup \left\{ 0 \right\}$ $\left\lbrack - 4; - \frac{1}{4} \right\rbrack \cup \left\{ 0 \right\}$

Toàn bộ nội dung đã sẵn sàng! Nhấn Tải về để tải đầy đủ tài liệu

---------------------------------------------------

Qua chuyên đề, bạn đã hiểu cách phân tích và xác định m để đồ thị hàm số có đúng n tiệm cận một cách khoa học và chính xác. Việc luyện tập thường xuyên theo từng dạng bài sẽ giúp bạn tránh sai sót khi xét điều kiện và nâng cao kỹ năng làm bài. Hãy tiếp tục khai thác các chuyên đề tiệm cận khác để hoàn thiện kiến thức khảo sát hàm số và đạt kết quả cao hơn.

Xem thử Tải về

Chọn file muốn tải về: