Chuyên đề Toán 12 Tính tích phân có điều kiện
Bài tập trắc nghiệm tích phân có điều kiện Toán 12
Trong chương trình Toán 12, ngoài việc nắm chắc kiến thức về tích phân cơ bản, học sinh cần thành thạo thêm tính tích phân có điều kiện – một dạng toán nâng cao thường xuất hiện trong đề thi THPT quốc gia môn Toán. Đây là phần kiến thức đòi hỏi tư duy linh hoạt, khả năng phân tích đề và áp dụng chính xác các phương pháp tính tích phân. Bài viết này sẽ cung cấp cho bạn hệ thống công thức, phương pháp giải và bài tập minh họa, giúp rèn luyện kỹ năng xử lý nhanh và hiệu quả.
A. Đề bài Trắc nghiệm Tính tích phân có điều kiện
Câu 1: Biết tích phân 
\(I =
\int_{0}^{1}{(2x + 1)e^{x}dx} = a + be\) \(\left( a\mathbb{\in Q};b\mathbb{\in Q}
\right)\). Khi đó tích \(a.b\) có giá trị bằng:
A. 1 B. -1 C. 2 D. 3
Câu 2: Biết \(\int_{0}^{1}{f(x)dx} =
2\) và \(f(x)\) là hàm số lẻ. Khi đó \(I = \int_{- 1}^{0}{f(x)dx}\) có giá trị bằng:
A. \(I = 1\) B. \(I = 0\) C. \(I = - 2\) D. \(I = 2\)
Câu 3: Tích phân \(I =
\int_{0}^{1}{x\sqrt{x^{2} + 1}dx}\) có giá trị bằng:
A. \(I = \frac{2\sqrt{2} -
1}{3}\) B. \(I = \frac{\sqrt{2}}{3}\) C. \(I = \frac{2\sqrt{2}}{3}\) D. \(I = \frac{2}{3}\)
Câu 4: Cho tích phân \(I =
\int_{0}^{3}{\frac{x}{1 + \sqrt{x + 1}}dx}\) nếu đặt \(t = \sqrt{x + 1}\) thì \(I = \int_{1}^{2}{f(t)dt}\) trong đó:
A. \(f(t) = t^{2} + t\) B. \(f(t) = 2t^{2} + 2t\)
C. \(f(t) = t^{2} - t\) D. \(f(t) = 2t^{2} - 2t\)
Câu 5: Tính tích phân \(\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}}{\frac{1 -
sin^{3}x}{sin^{2}x}dx}\)?
A. \(\frac{\sqrt{3} - 2}{2}\) B. \(\frac{\sqrt{3} + \sqrt{2} -
2}{2}\)
C. \(\frac{\sqrt{3} +
\sqrt{2}}{2}\) D. \(\frac{\sqrt{3} + 2\sqrt{2} -
2}{2}\)
Câu 6: Tích phân \(\int_{0}^{1}{xe^{-
x^{2}}dx}\) bằng:
A. \(\frac{e - 1}{2}\) B. \(\frac{e + 1}{2e}\) C. \(\frac{e + 1}{2}\) D. \(\frac{e - 1}{2e}\)
Câu 7: Tính tích phân: \(\int_{0}^{1}{\frac{x}{\sqrt{x +
1}}dx}\)?
A. \(\frac{1}{6} - ln2\) B. \(2ln2 - \frac{5}{3}\) C. \(\frac{4 - 2\sqrt{2}}{3}\) D. \(ln2 - \frac{1}{6}\)
Câu 8: Giá trị dương a sao cho \(\int_{0}^{a}{\frac{x^{2} + 2x + 2}{x + 1}dx} =
\frac{a^{2}}{2} + a + ln3\) là:
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
Câu 9: Giả sử \(\int_{1}^{5}\frac{dx}{2x -
1} = \ln c\). Giá trị của c là:
A. 9 B. 3 C. 81 D. 8
Câu 10: Tích phân \(I =
\int_{0}^{1}{\frac{x}{(x + 1)^{3}}dx}\) có giá trị là:
A. \(\frac{1}{2}\) B. \(\frac{1}{8}\) C. \(- \frac{1}{8}\) D. \(\frac{1}{4}\)
Câu 11: Giả sử \(\int_{- 1}^{1}{f(t)dt} =
5\) và \(\int_{- 1}^{3}{f(r)dr} =
6\). Tính \(I =
\int_{1}^{3}{f(u)du}\)?
A. \(I = 4\) B. \(I = 3\) C. \(I = 2\) D. \(I = 1\)
Câu 12: Nếu \(\int_{0}^{a}{xe^{x}dx =
1}\) thì giá trị của a bằng:
A. 0 B. 1 C. 2 D. e
Câu 13: Giá trị của \(\lim_{n \rightarrow +
\infty}\int_{n}^{n + 1}{\frac{1}{1 + e^{x}}dx}\) bằng:
A. -1 B. 1 C. e D. 0
Câu 14: Tích phân \(\int_{0}^{2}{\sqrt{4 -
x^{2}}xdx}\) có giá trị bằng;
A. \(\frac{2}{3}\) B. \(\frac{5}{3}\) C. \(\frac{8}{3}\) D. \(\frac{10}{3}\)
Câu 15: Tích phân \(\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}}{\cot
x.dx}\) có giá trị bằng;
A. \(- \ln\sqrt{2}\) B. \(ln2\) C. \(ln4\) D. \(\ln\sqrt{2}\)
Câu 16: Tích phân \(I =
\int_{1}^{e}{2x\left( 1 - \ln x \right)dx}\) bằng:
A. \(\frac{e^{2} - 1}{2}\) B. \(\frac{e^{2}}{2}\) C. \(\frac{e^{2} - 3}{4}\) D. \(\frac{e^{2} - 3}{2}\)
Câu 17: Hàm số nào sau đây không là nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \frac{x(x + 2)}{(x + 1)^{2}}\)?
A. \(\frac{x^{2} + x - 1}{x +
1}\) B. \(\frac{x^{2} - x - 1}{x +
1}\) C. \(\frac{x^{2} + x + 1}{x +
1}\) D. \(\frac{x^{2}}{x + 1}\)
Câu 18: Biết \(\int_{0}^{1}{\frac{x +
2}{x^{2} + 4x + 7}dx} = a\ln\sqrt{12} + b\ln\sqrt{7}\), với a, b là các số nguyên. Tính tổng \(a
+ b\) bằng:
A. -1 B. 1 C. \(\frac{1}{2}\) D. 0
B. Đáp án tổng quan bài tập trắc nghiệm
|
1 - A |
2 - C |
3 - C |
4 - D |
5 - B |
6 – D |
|
7 - C |
8 - D |
9 - B |
10 - B |
11 - D |
12 – B |
|
13 - D |
14 - C |
15 - D |
16 - D |
17 - A |
18 – D |
|
19 - D |
20 - D |
21 - B |
22 - A |
23 - A |
24 – C |
|
25 - D |
26 - C |
27 - B |
28 - D |
29 - D |
30 - C |
C. Hướng dẫn giải chi tiết bài tập trắc nghiệm
Câu 1:
Ta có:
\(I = \int_{0}^{1}{(2x + 1)e^{x}dx} =
\int_{0}^{1}{2xe^{x}dx} + \int_{0}^{1}{e^{x}dx}\)
\(= \int_{0}^{1}{2xe^{x}dx} + e -
1\)
Đặt \(\left\{ \begin{matrix}
e^{x}dx = dv \\
x = u
\end{matrix} \right.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}
v = e^{x} \\
dx = du
\end{matrix} \right.\)
\(I = 2\int_{0}^{1}{udv} + e - 1 = \left. \
2uv \right|_{0}^{1} - 2\int_{0}^{1}{vdu} + e - 1\)
\(= \left. \ 2x.e^{x} \right|_{0}^{1} -
e\int_{0}^{1}{e^{x}dx} + e - 1 = e + 1\)
\(\Rightarrow a = b = 1 \Rightarrow ab =
1\).
Câu 2:
Ta có:
\(f(x)\) là hàm số lẻ
\(\Rightarrow \int_{- 1}^{0}{f(x)dx} = -
\int_{0}^{1}{f(x)dx} = - 2\)
Câu 3:
Ta có:
\(I = \int_{0}^{1}{x\sqrt{x^{2} +
1}dx}\)
Ta thử bằng máy tính để tìm ra kết quả.
Câu 4:
Ta có: \(I = \int_{0}^{3}{\frac{x}{1 +
\sqrt{x + 1}}dx}\)
\(t = \sqrt{x + 1} \Rightarrow t^{2} = x +
1 \Rightarrow 2tdt = dx\)
\(I = \int_{0}^{3}{\frac{x\left( 1 -
\sqrt{x + 1} \right)}{1 - (x + 1)}dx} = \int_{0}^{3}{\left( \sqrt{x + 1}
- 1 \right)dx}\)
\(I = 2\int_{1}^{2}{(t - 1)tdt} =
\int_{1}^{2}{\left( t^{2} - 1 \right)2dt} \Rightarrow f(t) = 2t^{2} -
2t\)
Câu 5:
Ta có:
\(\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}}{\left(
\frac{1}{sin^{2}x} - \sin x \right)dx} = - \left. \ \cot x
\right|_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}} + \left. \ \cos x
\right|_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}}\)
\(= \frac{- 2 + \sqrt{2}}{2} +
\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{2} - 2}{2}\).
Câu 6:
Ta có:
Cách 1: Thử bằng máy tính
Cách 2: \(I = \int_{0}^{1}{x.e^{- x^{2}}dx}
= - \frac{1}{2}\int_{0}^{1}{( - 2x)e^{- x^{2}}dx}\)
\(= - \frac{1}{2}\int_{0}^{1}{e^{-
x^{2}}d\left( - x^{2} \right)} = \left. \ - \frac{1}{2}e^{- x^{2}}
\right|_{0}^{1} = - \frac{1}{2}.e^{- 1} + \frac{1}{2}\)
\(= \frac{1}{2} - \frac{1}{2e} = \frac{e -
1}{2e}\)
Câu 7:
Ta có hai cách giải bài toán như sau:
Cách 1: Thử trực tiếp bằng máy tính
Cách 2: Đặt \(\sqrt{x + 1} = t\), biến đổi
Câu 8:
Ta có:
\(I = \int_{0}^{a}{\frac{x^{2} + 2x + 2}{x
+ 1}dx} = \int_{0}^{a}{\frac{(x + 1)^{2} + 1}{x + 1}dx}\)
\(= \int_{0}^{a}{x + 1 + \frac{1}{x + 1}d(x
+ 1)}\)
\(= \left. \ \frac{(x + 1)^{2}}{2}
\right|_{0}^{a} + \left. \ \ln|x + 1| \right|_{0}^{a} = \frac{(a +
1)^{2}}{2} - \frac{1}{2} + \ln|a + 1|\)
\(= \frac{a^{2}}{2} + a + \ln|a +
1|\)
\(\Rightarrow a + 1 = 3 \Rightarrow a =
2\).
--------------------------------------------------------------------
Có thể thấy, chuyên đề Toán 12 tính tích phân có điều kiện không chỉ giúp học sinh củng cố và nâng cao kiến thức về giải tích mà còn rèn luyện sự nhạy bén trong tư duy toán học. Đây là dạng toán gắn liền với thực hành, đòi hỏi sự kết hợp nhuần nhuyễn giữa công thức, phương pháp đổi biến, tích phân từng phần và các kỹ thuật xử lý điều kiện của hàm số.
Hy vọng bài viết đã mang đến cho bạn tài liệu ôn luyện hữu ích, hỗ trợ việc ôn thi THPT quốc gia môn Toán một cách có hệ thống. Hãy thường xuyên luyện tập với các bài tập trắc nghiệm và tự luận để tăng tốc độ giải, nâng cao độ chính xác, từ đó tự tin chinh phục phần tích phân trong đề thi và đạt kết quả cao nhất.
