Cách tính Tỉ số thể tích khối hộp
Phương pháp giải bài tỉ số thể tích khối hộp Toán 12
Trong chương trình Ôn thi THPT Quốc gia môn Toán, dạng bài về tỉ số thể tích khối hộp luôn xuất hiện với tần suất cao và là “điểm cộng” dễ lấy nếu nắm vững bản chất. Hiểu cách tính đúng, nhớ mô hình hóa hình học không gian và biết áp dụng công thức nhanh sẽ giúp bạn giải quyết trọn vẹn nhiều câu hỏi phân loại. Bài viết này sẽ hướng dẫn chi tiết cách tính tỉ số thể tích khối hộp, phân tích các dạng bài thường gặp và mẹo làm bài tối ưu để bạn tự tin chinh phục mọi đề thi.
A. Công thức tính nhanh tỉ số thể tích hình hộp
Cho hình hộp
\(ABCD.A'B'C'D'\) . Mặt phẳng \((\alpha)\) cắt các cạnh\(AA',BB',CC',DD'\) lần lượt tại \(M,N,P,Q\) sao cho \(\frac{AM}{AA'} = x,\frac{BN}{BB'} =
y,\frac{CP}{CC'} = z,\frac{DQ}{DD'} = t\). Khi đó ta có:
a) \(x + z = y + t.\)
b)\(\
\frac{V_{ABCDMNQP}}{V_{ABCD.A'B'C'D'}} = \frac{x + y + z
+ t}{4} = \frac{x + z}{2} = \frac{y + t}{2}\).
Chứng minh công thức
a. Dễ thấy tứ giác\(MNPQ\) là hình bình hành. Gọi \(I,O\) lần lượt là tâm của hình bình hành \(MNPQ\) và hình vuông \(ABCD\). Ta có \(OI\) là đường trung bình của hình thang \(AMPC\) nên \(OI = \frac{AM + CP}{2}\). Tương tự \(OI = \frac{BN + DQ}{2}\), do đó \(AM + CP = BN + DQ \Leftrightarrow xAA' +
zCC' = yBB' + tDD' \Leftrightarrow x + z = y +
t\)
b. Áp dụng Tỉ số thể tích khối lăng trụ tam giác ta có:
\(\frac{V_{ABDMNQ}}{V_{ABD.A'B'D'}} =
\frac{x + y + t}{3} \Leftrightarrow
\frac{2V_{ABDMNPQ}}{V_{ABCD.A'B'C'D'}} = \frac{x + y +
t}{3}\)
\(\Leftrightarrow
\frac{V_{ABDMNQ}}{V_{ABCD.A'B'C'D'}} = \frac{x + y +
t}{6}\)
Tương tự \(\frac{V_{BCDNPQ}}{V_{ABCD.A'B'C'D'}}
= \frac{y + z + t}{6}\)
Do đó,
\(\frac{V_{ABCDMNPQ}}{V_{ABCD.A'B'C'D'}}
= \frac{V_{ABDMNQ}}{V_{ABCD.A'B'C'D'}} +
\frac{V_{BCDNPQ}}{V_{ABCD.A'B'C'D'}}\)
\(= \frac{x + y + t}{6} + \frac{y + z +
t}{6}\)
\(= \frac{x + y + z + t + y +
t}{6}\)
\(= \frac{x + y + z + t + \frac{x + y + z
+ t}{2}}{6}\)
\(= \frac{x + y + z + t}{4}\)
Chú ý: \(\frac{V_{ABCDMNQP}}{V_{ABCD.A'B'C'D'}}
= \frac{x + y + z + t}{4} = \frac{OI}{OO'}.\)
Nhận xét. Một kết quả tương tự như Tỉ số thể tích khối lăng trụ tam giác. Ở lăng trụ là tổng ba tỉ số chia ba, còn hình hộp là chia bốn. Và cũng chỉ cần biết \((\alpha)\) cắt đoạn thẳng nối hai tâm đáy ở đâu là ta đã tìm được tỷ số hai khối tạo thành do \((\alpha)\) cắt hình hộp.
Tuy nhiên, tỉ số thể tích khối hộp cũng khẳng định chỉ cần biết hai tỉ số ở hai cạnh bên đối diện của hình hộp mà \((\alpha)\) cắt là ta cũng tìm được tỉ số thể tích các khối.
B. Bài tập minh họa tính tỉ số thể tích khối hộp
Ví dụ 1. Cho khối hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\) có thể tích bằng \(2110\). Biết \(A'M = MA\); \(DN = 3ND'\) và \(CP = 2C'P\). Mặt phẳng \((MNP)\) chia khối hộp đã cho thành hai khối đa diện. Tính thể tích khối đa diện nhỏ hơn.
Hướng dẫn giải
Hình vẽ minh họa:
\((MNP)\) cắt \(BB’\) tại \(Q\) . Từ giải thiết ta có \(\frac{AM}{AA'} = \frac{1}{2};\
\frac{CP}{CC'} = \frac{2}{3}\).
Do đó \(\frac{V_{ABCDMNPQ}}{V_{ABCD.A'B'C'D'}}
= \frac{\frac{AM}{AA'} + \ \frac{CP}{CC'}}{2} =
\frac{\frac{1}{2} + \frac{2}{3}}{2} = \frac{7}{12}\)
\(\Rightarrow V_{ABCDMNPQ} =
\frac{7}{12}.2110 = \frac{7385}{6}\)
Vậy \(V_{A'B'C'D'MNPQ} =
2110 - \frac{7385}{6} = \frac{5275}{6}\).
Ví dụ 2. Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có \(N\) là trung điểm \(CC'.\) Mặt phẳng \((\alpha)\) đi qua \(AN\), cắt các cạnh \(BB',DD'\) lần lượt tại \(M,P\); \((\alpha)\) chia khối lập phương thành hai phần có thể tích tương ứng bằng \(V_{1}\) và \(V_{2}\ \ \left( V_{1} < V_{2} \right)\). Tính tỉ số \(\frac{V_{2}}{V_{1}}\).
Hướng dẫn giải
Hình vẽ minh họa:
Từ giải thiết ta có \(\frac{V_{ABCDPNM}}{V_{ABCD.A'B'C'D'}}
= \frac{\frac{AA}{AA'} + \ \frac{CN}{CC'}}{2} = \frac{0 +
\frac{1}{2}}{2} = \frac{1}{4}\).
Nên \(\frac{V_{ABCDPNM}}{V_{AMNPA'B'C'D'}}
= \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{V_{2}}{V_{1}} = 3\).
C. Bài tập vận dụng có đáp án chi tiết
Bài tập 1. Gọi \(V\) là thể tích của hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\), \(V_{1}\) là thể tích tứ diện \(A'ABD\). Hệ thức nào sau đây đúng?
A. \(V = 6V_{1}.\) B. \(V = 4V_{1}.\)
C. \(V = 3V_{1}.\) D. \(V = 2V_{1}.\)
Bài tập 2. Cho khối hộp \(ABCD.A'B'C'D'\) có thể tích \(V.\) Các điểm \(M,\ \ N,\ \ P\) thỏa mãn điều kiện \(\overrightarrow{AM} =
2\overrightarrow{AC}\), \(\overrightarrow{AN} =
3\overrightarrow{AB'}\) và \(\overrightarrow{AP} =
4\overrightarrow{AD'}\). Tính thể tích của khối tứ diện \(AMNP\) theo \(V.\)
A. \(V_{AMNP} = 8V.\) B. \(V_{AMNP} = 4V.\)
C. \(V_{AMNP} = 6V.\) D. \(V_{AMNP} = 12V.\)
Toàn bộ nội dung đã sẵn sàng! Nhấn Tải về để tải đầy đủ tài liệu.
-----------------------------------------
Nắm chắc cách tính tỉ số thể tích khối hộp không chỉ giúp bạn xử lý nhanh các câu Hình học không gian trong kỳ thi THPT Quốc gia mà còn rèn khả năng phân tích hình, nhận dạng bài toán và tư duy không gian. Hy vọng bài viết đã mang đến cho bạn kiến thức hệ thống, ví dụ minh họa dễ hiểu và phương pháp giải hiệu quả. Hãy lưu lại tài liệu và tiếp tục luyện tập để nâng cao tốc độ, tránh nhầm lẫn, và đạt điểm tối đa trong kỳ thi sắp tới.
