Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

Đóng

Điểm danh hàng ngày

Hôm nay +3
Ngày 2 +3
Ngày 3 +3
Ngày 4 +3
Ngày 5 +3
Ngày 6 +3
Ngày 7 +5

Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm! Đăng nhập ngay để nhận điểm

Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169

VnDoc.com

Hướng dẫn giải chi tiết các bài toán cực trị trong không gian Oxyz

Ôn thi THPT Quốc gia môn Toán

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 12

Môn: Toán

Dạng tài liệu: Chuyên đề

Mức độ: Khó

Loại File: Word + PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Giải bài toán cực trị hình học không gian Oxyz

A. Phương pháp chung giải bài toán cực trị hình học không gian Oxyz
B. Các dạng toán cực trị thường gặp trong đề thi THPT Quốc gia

Trong chương trình ôn thi THPT Quốc gia môn Toán, dạng bài cực trị trong không gian Oxyz luôn khiến nhiều học sinh gặp khó khăn do yêu cầu vận dụng tổng hợp kiến thức về vectơ, mặt phẳng, đường thẳng và khoảng cách. Hiểu rõ bản chất các bài toán cực trị và nắm được phương pháp giải nhanh sẽ giúp bạn tiết kiệm thời gian, tăng độ chính xác và làm chủ toàn bộ các dạng bài hình học không gian. Bài viết này cung cấp hướng dẫn chi tiết, tư duy tổng quát và những ví dụ minh họa dễ hiểu để bạn chinh phục dạng toán cực trị Oxyz một cách hiệu quả nhất.

A. Phương pháp chung giải bài toán cực trị hình học không gian Oxyz

Để tìm cực trị trong không gian chúng ta thường sử dụng hai cách làm:

Cách 1: Sử dụng phương pháp hình học
Cách 2: Sử dụng phương pháp đại số.

B. Các dạng toán cực trị thường gặp trong đề thi THPT Quốc gia

Bài toán 1: Trong không gian Oxyz cho các điểm $A\left( x_{A};y_{A};z_{A} \right),B\left( x_{B};y_{B};z_{B} \right)$ và mặt phẳng (P): ax + by + cz + d = 0 Tìm điểm M ∈ (P) sao cho

a) MA + MB nhỏ nhất.

b) |MA - MB| lớn nhất với d(A; (P)) ≠ d(B; (P)).

Phương pháp giải

Xét vị trí tương đối của các điểm A; B so với mặt phẳng (P).

Nếu $\left( ax_{A} + by_{A} + cz_{A} + d \right)\left( ax_{B} + by + cz_{B} + d \right) > 0$ thì hai điểm A; B cùng phía với mặt phẳng (P).
Nếu $\left( ax_{A} + by_{A} + cz_{A} + d \right)\left( ax_{B} + by + cz_{B} + d \right) < 0$ thì hai điểm A; B nằm khác phía với mặt phẳng (P)..

Hướng dẫn giải chi tiết

a) MA + MB nhỏ nhất.

Trường hợp 1: Hai điểm A;; B ở khác phía so với mặt phẳng (P)

Vì A; B ở khác phía so với mặt phẳng (P) nên MA + MB nhỏ nhất bằng AB khi và chỉ khi $M = (P) \cap AB$

Trường hợp 2: Hai điểm A; B ở cùng phía so với mặt phẳng (P)

Gọi A’ đối xứng với A qua mặt phẳng (P) khi đó A’ và B ở khác phía (P) và MA = MA' nên MA + MB = MA' + MB ≥ A'B.

Vậy MA + MB nhỏ nhất bằng A'B khi $M = (P) \cap A'B$

2. |MA - MB| lớn nhất

Trường hợp 1: Hai điểm A; B ở cùng phía so với mặt phẳng (P).

Vì A; B ở cùng phía so với mặt phẳng (P) nên |MA - MB| lớn nhất bằng AB khi và chỉ khi M = (P) ∩ AB.

Trường hợp 2: Hai điểm A; B ở khác phía so với mặt phẳng (P).

Gọi A’ đối xứng với A qua mặt phẳng (P), khi đó A’ và B ở cùng phía (P) và

nên |MA - MB| = |MA' - MB| ≤ A'B.

Vậy |MA - MB| lớn nhất bằng A'B khi M = (P) ∩ AB

Ví dụ 1. Trong không gian A; B cho mặt phẳng (P): 2x - y + 2z - 6 = 0 và hai điểm A(5; -2; 6), B(3; -2; 1). Tìm điểm M thuộc (P) sao cho:

MA + MB nhỏ nhất
|MA - MB| lớn nhất

Hướng dẫn giải

Mặt phẳng (P) có $\overrightarrow{n_{P}} = (2; - 1;2)$ là VTPT

Thay tọa độ hai điểm A; B vào vế trái phương trình của (P) ta được 18 và 4 nên hai điểm nằm về cùng một phía so với (P).

1. Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua (P), khi đó A’ và B ở khác phía so với (P) và với mọi điểm $M \in (P)$ , ta có MA = MA'.

Do đó ∀M ∈ (P): MA + MB = A'M + MB ≥ A'B, mà A'B không đổi và đẳng thức xảy ra khi M = (P) ∩ A'B, suy ra MA + MB nhỏ nhất ⇔ M = (P) ∩ A'B.

Ta có: $AA'\bot(P) \Rightarrow AA':\left\{ \begin{matrix} x = 5 + 2t \\ y = - 2 - t \\ z = 6 + 2t \end{matrix} \right.$

Tọa độ giao điểm H của AA’ và (P) là nghiệm của hệ:

$\left\{ \begin{matrix} x = 5 + 2t \\ y = - 2 - t \\ z = 6 + 2t \\ 2x - 2y + 2z - 6 = 0 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = 0 \\ z = 2 \end{matrix} \right.\ \Rightarrow H(1; - 1;2)$

H là trung điểm của $AA' \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} x_{A'} = 2x_{H} - x_{A} \\ y_{A'} = 2y_{H} - y_{A} \\ z_{A'} = 2z_{H} - z_{A} \end{matrix} \right.\ \Rightarrow A'( - 3;2; - 2)$

Suy ra $\overrightarrow{A'B} = (6; - 4;3)$ , phương trình $A'B:\left\{ \begin{matrix} x = - 3 + 6t \\ y = 2 - 4t \\ z = - 2 + 3t \end{matrix} \right.\ ;\left( t\mathbb{\in R} \right)$

Tọa độ M là nghiệm của hệ $\left\{ \begin{matrix} x = - 3 + 6t \\ y = 2 - 4t \\ z = - 2 + 3t \\ 2x - y + 2z - 6 = 0 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = \frac{21}{11} \\ y = - \frac{14}{11} \\ z = \frac{5}{11} \end{matrix} \right.$

Vậy $M\left( \frac{21}{11}; - \frac{14}{11};\frac{5}{11} \right)$ là điểm cần tìm.

2. Vì A'B nằm về cùng một phía so với (P) nên với mọi M ∈ (P) ta luôn có

|AM - MB| ≤ AB, đẳng thức xảy ra khi M = (P) ∩ AB.

Phương trình $AB:\left\{ \begin{matrix} x = 5 - 2t \\ y = - 2 \\ z = 6 - 5t \end{matrix} \right.$

Tọa độ $M:\left\{ \begin{matrix} x = 5 - 2t \\ y = - 2 \\ z = 6 - 5t \\ 2x - y + 2z - 6 = 0 \end{matrix} \right.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} x = \frac{17}{7} \\ y = - 2 \\ z = - \frac{3}{7} \end{matrix} \right.$ . Vậy $M\left( \frac{17}{7}; - 2; - \frac{3}{7} \right)$ .

Bài toán 2: Lập phương trình mặt phẳng (P) biết

1. (P) đi qua đường thẳng $\Delta$ và khoảng cách từ $A \notin \Delta$ đến (P) lớn nhất.

2. (P) đi qua $\Delta$ và tạo với mặt phẳng (Q) một góc nhỏ nhất.

3. (P) đi qua $\Delta$ và tạo với đường thẳng d một góc lớn nhất.

Cách giải chi tiết

Cách 1: Dùng phương pháp đại số

1. Giả sử đường thẳng $\Delta:\frac{x - x_{1}}{a} = \frac{y - y_{1}}{b} = \frac{z - z_{1}}{c}$ và $A\left( x_{0};y_{0};z_{0} \right)$

Khi đó phương trình (P) có dạng: A(x - x₁) + B(y - y₁) + C(z - z₁) = 0

Trong đó $Aa + Bb + Cc = 0 \Rightarrow A = \frac{- Bb - Cc}{a}$ $(a \neq 0)\ \ (1)$

Khi đó $d\left( A;(P) \right) = \frac{\left| A\left( x - x_{1} \right) + B\left( y - y_{1} \right) + C\left( z - z_{1} \right) \right|}{\sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}}}\ \ \ (2)$

Thay (1) vào (2) và đặt $t = \frac{B}{C}$ , ta đươc $d\left( A;(P) \right) = \sqrt{f(t)}$

Trong đó $f(t) = \frac{mt^{2} + nt + p}{m't^{2} + n't + p'}$ , khảo sát hàm f(t) ta tìm được maxf(t). Từ đó suy ra được sự biểu diễn của A; B qua C rồi cho C giá trị bất kì ta tìm được A; B.

2. và 3. làm tương tự

Cách 2: Dùng hình học

1. Gọi K; H lần lượt là hình chiếu của A lên $\Delta$ và (P), khi đó ta có:

d(A; (P) = AH ≤ AK, mà AK không đổi. Do đó d(A; (P)) lớn nhất ⇔ H ≡ K.

Hay (P) là mặt phẳng đi qua K, nhận $\overrightarrow{AK}$ làm VTPT.

2. Nếu $\Delta\bot(Q) \Rightarrow \widehat{\left( (P);(Q) \right)} = 90^{0}$ nên ta xét $\Delta$ và (Q) không vuông góc với nhau.

Gọi B là một điểm nào đó thuộc $\Delta$ , dựng đường thẳng qua B và vuông góc với (Q). Lấy điểm cố định trên đường thẳng đó.

Hạ $CH\bot(P);CK\bot d$

Góc giữa mặt phẳng (P) và mặt phẳng (Q) là $\widehat{BCH}$ Ta có $\sin\widehat{BCH} = \frac{BH}{BC} \geq \frac{BK}{BC}$

Mà $\frac{BK}{BC}$ không đổi, nên $\widehat{BCH}$ nhỏ nhất khi H ≡ K. Mặt phẳng (P) cần tìm là mặt phẳng chứa và vuông góc với mặt phẳng (BCK). Suy ra $\overrightarrow{n_{P}} = \left\lbrack \overrightarrow{u_{\Delta}},\left\lbrack \overrightarrow{u_{\Delta}};\overrightarrow{n_{Q}} \right\rbrack \right\rbrack$ là VTPT của (P).

3. Gọi M là một điểm nào đó thuộc $\Delta$ , dựng đường thẳng d' qua M và song song với d. Lấy điểm A cố định trên đường thẳng đó. Hạ $AH\bot(P);AK\bot d$ Góc giữa mặt phẳng (P) và đường thẳng d' là $\widehat{AMH}$ . Ta có $\cos\widehat{AMH} = \frac{HM}{AM} \geq \frac{KM}{AM}$

Mà $\frac{KM}{AM}$ không đổi, nên $\widehat{AMH}$ lớn nhất khi H ≡ K.

Mặt phẳng (P) cần tìm là mặt phẳng chứa $\Delta$ và vuông góc với mặt phẳng $(d';\Delta)$ . Suy ra $\overrightarrow{n_{P}} = \left\lbrack \overrightarrow{u_{\Delta}},\left\lbrack \overrightarrow{u_{\Delta}};\overrightarrow{u_{d'}} \right\rbrack \right\rbrack$ là VTPT của (P).

Chú ý: Trong không gian cho điểm $A_{1};A_{2};...;A_{n}$ .

1. Tìm sao cho $P = \alpha_{1}M{A_{1}}^{2} + \alpha_{2}M{A_{2}}^{2} + ... + \alpha_{n}M{A_{n}}^{2}$

a) Nhỏ nhất khi $\alpha_{1} + \alpha_{2} + ... + \alpha_{n} > 0$

b) Lớn nhất khi $\alpha_{1} + \alpha_{2} + ... + \alpha_{n} < 0$

2. Tìm sao cho $P = \left| \alpha_{1}\overrightarrow{MA_{1}} + \alpha_{2}\overrightarrow{MA_{2}} + ... + \alpha_{n}{\overrightarrow{MA}}_{n} \right|$ nhỏ nhất hoặc lớn nhất, trong đó $\sum_{i = 1}^{n}\alpha_{i} \neq 0$ .

Ví dụ 1. Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (α): x + y + z - 3 = 0 và điểm A(1; 2; 3). Lập phương trình đường thẳng $\Delta$ nằm trong (α) và

a. $\Delta$ đi qua M(1; 1; 1) và khoảng cách từ A đến $\Delta$ lớn nhất, nhỏ nhất

b. $\Delta$ đi qua M và khoảng cách giữa $\Delta$ và $d:\frac{x - 2}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z}{- 1}$ lớn nhất.

Hướng dẫn giải

Mặt phẳng (α) có $\overrightarrow{n} = (1;1;1)$ là VTPT

Gọi $\overrightarrow{u} = (a;b;c)$ là VTCP của $\Delta$ , do Δ ⊂ (P) => a + b + c = 0 => c = -a - b (1)

a. Ta có: $\overrightarrow{AM} = (0; - 1; - 2) \Rightarrow \left\lbrack \overrightarrow{u};\overrightarrow{AM} \right\rbrack = (c + 2b;2a; - a)$

Do đó:

$d(A;\Delta) = \frac{\left\lbrack\overrightarrow{u};\overrightarrow{AM} \right\rbrack}{\left|\overrightarrow{u} \right|}$ $= \sqrt{\frac{(c + 2b)^{2} + 5a^{2}}{a^{2} +b^{2} + c^{2}}} = \sqrt{\frac{(b - a)^{2} + 5a^{2}}{a^{2} + b^{2} + (a +b)^{2}}}$

$d = \frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{\frac{b^{2} - 2ab + 6a^{2}}{b^{2} + 2ab + a^{2}}}$

Nếu $a = 0 \Leftrightarrow d(A;\Delta) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ , với a ≠ 0 đặt $t = \frac{b}{a};\left( t\mathbb{\in R} \right)$

Xét hàm số $f(t) = \frac{t^{2} - 2t + 6}{t^{2} + t + 1}$ , khảo sát hàm số f(t) ta tìm được

$\left\{ \begin{matrix} \max f(t) = f\left( - \frac{2}{3} \right) = 10 \\ \min f(t) = f(4) = \frac{2}{3} \end{matrix} \right.$

Khoảng cách từ A đến $\Delta$ lớn nhất khi $t = - \frac{2}{3} \Leftrightarrow \frac{b}{a} = - \frac{2}{3}$ , chọn b = -2 => a = -3; c = -1, suy ra phương trình đường thẳng : $\Delta:\frac{x - 1}{3} = \frac{y - 1}{- 2} = \frac{z - 1}{- 1}$

Khoảng cách từ đến $\Delta$ nhỏ nhất khi $t = 4 \Leftrightarrow \frac{b}{a} = 4$ , chọn b = 4 => a = 1; c = -5, suy ra phương trình đường thẳng : $\Delta:\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 1}{4} = \frac{z - 1}{- 5}$ .

b. Đường thẳng d đi qua N(2; 0; 0) và có $\overrightarrow{u_{1}} = (1;2; - 1)$ là VTCP

$\overrightarrow{MN} = (1; - 1; - 1)\left\lbrack \overrightarrow{u};\overrightarrow{u_{1}} \right\rbrack = (2a + b; - b;2a - b) \Rightarrow \left\lbrack \overrightarrow{u};\overrightarrow{u_{1}} \right\rbrack.\overrightarrow{MN} = 3b$

Do đó

$d(\Delta;d) = \frac{\left\lbrack\overrightarrow{u};\overrightarrow{u_{1}}\right\rbrack.\overrightarrow{MN}}{\left| \left\lbrack\overrightarrow{u};\overrightarrow{u_{1}} \right\rbrack \right|}$ $=\frac{3|b|}{\sqrt{(2a + b)^{2} + b^{2} + (2a - b)^{2}}}$ $=3\sqrt{\frac{b^{2}}{4a^{2} + 3b^{2}}} \leq \sqrt{3}$

Đẳng thức xảy ra khi $a = 0 \Rightarrow c = - b \Rightarrow \overrightarrow{u} = b(0;1; - 1)$

Vậy phương trình $\Delta:\left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = 1 + t \\ z = 1 - t \end{matrix} \right.$ .

Ví dụ 2. Cho đường thẳng $d:\frac{x - 1}{- 1} = \frac{y + 2}{1} = \frac{z}{2}$ và điểm A(1; 4; 2).

B(-1; 2; 4). Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng và

a. Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P) là lớn nhất.

b. Góc giữa mặt phẳng (P) và mặt phẳng (xOy) là nhỏ nhất.

Phương pháp giải:

Gọi I là điểm thỏa mãn: $\alpha_{1}\overrightarrow{MA_{1}} + \alpha_{2}\overrightarrow{MA_{2}} + ... + \alpha_{n}\overrightarrow{MA_{n}} = \overrightarrow{0}$ điểm I tồn tại và duy nhất nếu $\sum_{i = 1}^{n}\alpha_{i} \neq 0$ . Khi đó:

a. $P = \alpha_{1}\left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA_{1}} \right)^{2} + \alpha_{2}\left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA_{2}} \right)^{2} + ... + \alpha_{n}\left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA_{n}} \right)^{2}$

$= \left( \alpha_{1} + \alpha_{2} + ... + \alpha_{n} \right).IM^{2} + \sum_{i = 1}^{n}\alpha_{i}I{A_{I}}^{2}$

Do $\sum_{i = 1}^{n}\alpha_{i}I{A_{I}}^{2}$ không đổi nên:

Nếu $\alpha_{1} + \alpha_{2} + ... + \alpha_{n} > 0$ thì P nhỏ nhất ⇔ MI nhỏ nhất

Nếu $\alpha_{1} + \alpha_{2} + ... + \alpha_{n} < 0$ thì P lớn nhất ⇔ MI nhỏ nhất

Tài liệu quá dài để hiển thị hết — hãy nhấn Tải về để xem trọn bộ!

-----------------------------------------

FAQ – Hướng Dẫn Giải Chi Tiết Các Bài Toán Cực Trị Trong Không Gian Oxyz

1. Bài toán cực trị trong không gian Oxyz là gì?

Bài toán cực trị trong không gian Oxyz là dạng toán yêu cầu tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất hoặc xác định vị trí tối ưu của điểm, đường thẳng, mặt phẳng và mặt cầu trong hệ tọa độ không gian. Đây là chuyên đề quan trọng trong chương trình Toán 12 và ôn thi THPT Quốc gia.

2. Những dạng bài toán cực trị Oxyz thường gặp là gì?

Các dạng phổ biến gồm:

Tìm khoảng cách nhỏ nhất.
Tìm khoảng cách lớn nhất.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức tọa độ.
Bài toán cực trị liên quan đến mặt phẳng.
Bài toán cực trị liên quan đến đường thẳng.
Bài toán cực trị mặt cầu trong không gian.

3. Vì sao bài toán cực trị Oxyz thường xuất hiện trong đề thi THPT Quốc gia?

Dạng toán này giúp đánh giá khả năng:

Tư duy hình học không gian.
Vận dụng tọa độ vào giải toán.
Kết hợp kiến thức đại số và hình học.
Phân tích và tối ưu hóa các đại lượng hình học.

4. Làm sao xác định khoảng cách ngắn nhất trong không gian Oxyz?

Thông thường cần:

Xác định đúng đối tượng hình học.
Sử dụng công thức khoảng cách phù hợp.
Chuyển bài toán hình học về bài toán đại số.
Áp dụng bất đẳng thức hoặc phương pháp tọa độ để tìm giá trị nhỏ nhất.

5. Khi nào nên sử dụng phương pháp hình chiếu trong bài toán cực trị?

Phương pháp hình chiếu thường được sử dụng khi:

Tìm khoảng cách từ điểm đến đường thẳng.
Tìm khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng.
Tìm vị trí điểm tối ưu trên một đối tượng hình học cho trước.

Đây là kỹ thuật giải nhanh thường gặp trong các bài tập Oxyz có đáp án.

6. Bài toán cực trị liên quan đến mặt phẳng thường xuất hiện dưới dạng nào?

Một số dạng tiêu biểu:

Tìm mặt phẳng gần nhất hoặc xa nhất.
Tìm điểm thuộc mặt phẳng để khoảng cách đạt cực trị.
Xác định mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu.
Tìm tham số để thỏa mãn điều kiện cực trị.

7. Cực trị liên quan đến đường thẳng trong Oxyz được giải như thế nào?

Tùy từng bài toán có thể sử dụng:

Phương trình tham số.
Vectơ chỉ phương.
Công thức khoảng cách.
Phép chiếu vuông góc.
Kỹ thuật tham số hóa điểm chuyển động.

8. Làm sao nhận biết một bài toán Oxyz có thể sử dụng bất đẳng thức để giải?

Nếu đề bài yêu cầu:

Tìm giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất của biểu thức tọa độ.
Tối ưu hóa tổng khoảng cách.
Tối ưu hóa tích hoặc tổng bình phương khoảng cách.

thì thường có thể áp dụng các bất đẳng thức quen thuộc như Cauchy, Bunhiacopxki hoặc AM-GM.

---------------------------------------------------

Hy vọng chuyên đề giải chi tiết các bài toán cực trị trong không gian Oxyz đã giúp bạn củng cố kiến thức trọng tâm và hiểu rõ phương pháp tiếp cận từng dạng bài. Đây là nội dung quan trọng trong đề thi THPT Quốc gia, vì vậy hãy luyện tập thêm các ví dụ mở rộng để nâng cao tốc độ và kỹ năng suy luận hình học. Chúc bạn học tốt và đạt kết quả cao trong kỳ thi!

Xem thử Tải về

Chọn file muốn tải về: