Tìm nhanh khoảng đơn điệu của hàm số bằng máy tính cầm tay
CASIO tìm khoảng đơn điệu
Trong chương trình Toán 12, khoảng đơn điệu của hàm số là phần kiến thức quan trọng giúp học sinh xác định sự tăng/giảm của đồ thị – nền tảng để giải quyết các bài toán cực trị, khảo sát và vẽ đồ thị. Tuy nhiên, việc xét dấu đạo hàm và giải bất phương trình thường khiến học sinh mất nhiều thời gian.
May mắn là với máy tính cầm tay CASIO FX-570VN Plus hoặc FX-580VN X, bạn hoàn toàn có thể tìm nhanh khoảng đơn điệu của hàm số một cách chính xác và tiết kiệm thời gian trong phòng thi. Bài viết này sẽ hướng dẫn chi tiết cách sử dụng máy tính để hỗ trợ xác định nhanh các khoảng tăng – giảm của hàm số thông qua các thao tác cụ thể và ví dụ minh họa dễ hiểu.
A. Cách bấm máy tính cầm tay tìm khoảng đồng biến nghịch biến của hàm số
1. Tính đồng biến nghịch biến: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng I.
Nếu f'(x) ≥ 0 với mọi 
\(x \in I\) (hoặc f'(x) ≤ 0 với mọi \(x \in I\)) và f'(x)=0 tại hữu hạn điểm của I thì hàm số y = f(x) đồng biến (hoặc nghịch biến) trên I.
2. Cách 1 Casio: Sử dụng chức năng lập bảng giá trị MODE 7 của máy tính Casio. Quan sát bảng kết quả nhận được, khoảng nào làm cho hàm sốluôn tăng thì là khoảng đồng biến, khoảng nào làm cho hàm số luôn giảm là khoảng nghịch biến.
3. Cách 2 Casio: Tính đạo hàm, thiết lập bật phương trình đạo hàm, cô lập m m và đưa về dạng m ≥ f(x) hoặc m ≤ f(x). Tìm Min, Max của hàm f(x) rồi kết luận.
4. Cách 3 Casio: Tính đạo hàm, thiết lập bất phương trình đạo hàm. Sử dụng tính năng giải bất phương trình INEQ của máy tính Casio (đối với bất phương trình bậc hai, bậc ba).
B. Bài tập ví dụ minh họa Casio tìm khoảng đơn điệu của hàm số
Ví dụ 1. Hỏi hàm số \(y = 2x^{4} +
1\) đồng biến trên khoảng nào?
A. \(\left( - \infty; - \frac{1}{2}
\right)\) B. \((0; + \infty)\) C. \(\left( - \frac{1}{2}; + \infty
\right)\) D. \(( -
\infty;0)\)
Hướng dẫn giải
Cách 1: CASIO MODE 7
Để kiểm tra đáp án A ta sử dụng chức năng lập bảng giá trị MODE 7 với thiết lập Start -10 End -1/2 Step 0.5.
Ta thấy ngay khi x càng tăng thì f(x) càng giảm → Đáp án A sai
Tương tự như vậy, để kiểm tra đáp án B ta cũng sử dụng chức năng MODE 7 với thiết lập Start 0 End 9 Step 0.5.
Ta thấy khi x càng tăng thì tương ứng f(x) càng tăng ⇒ Đáp án B đúng
Cách 2: CASIO ĐẠO HÀM
Kiểm tra khoảng \(\left( - \frac{1}{2}; +
\infty \right)\) ta tính \(f'\left(
- \frac{1}{2} - 0,1 \right)\)
Đạo hàm ra âm (hàm số nghịch biến) ⇒ Giá trị \(- \frac{1}{2} - 0,1\) vi phạm ⇒ Đáp án A sai
Kiểm tra khoảng \(( - \infty;0)\) ta tính \(f'(0 - 0,1)\).
\(0 - 0,1\) vi phạm ⇒ Đáp án D sai và C cũng sai ⇒ Đáp án chính xác là B
Xác minh thêm 1 lần nữa xem B đúng không.
Ta tính f'(1+0.1) \(=
\frac{1331}{125}\)=> Chính xác.
Cách 3: CASIO MODE 5 INEQ
Hàm số bậc 4 khi đạo hàm sẽ ra bậc 3. Ta nhẩm các hệ số này trong đầu. Sử dụng máy tính Casio để giải bất phương trình bậc 3
Rõ ràng \(x \geq 0\).
Cách tham khảo: Tự luận
- Tính đạo hàm y'=8x³
Để hàm số đồng biến thì y' ≥ 0 <=> x ≥ 0.
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng \((0; +
\infty)\)
Bình luận: Khi sử dụng Casio ta phải để ý: Hàm số đồng biến trên khoảng (a:b) thì sẽ luôn tăng khi x tăng. Nếu lúc tăng lúc giảm thì không đúng.
Ví dụ 2. Hàm số y = x³ + 3x² + mx + m đồng biến trên tập xác định khi giá trị của m là:
A. \(m \leq 1\) B. \(m \geq 3\) C. \(-
1 \leq m \leq 3\) D. \(m <
3\)
Hướng dẫn giải
Cách 1: CASIO
Để giải các bài toán liên quan đến tham số m thì ta phải cô lập m
Hàm số đồng biến y'≥ 0 \(\Leftrightarrow\) 3x² + 6x + m ≥ 0 \(\Leftrightarrow m \geq - 3x^{3} - 6x =
f(x)\)
Vậy để hàm số \(\mathbb{R}\) đồng biến trên tập xác định thì m ≥ f(x) hay m ≥ f(max) với mọi thuộc R.
Để tìm Giá trị lớn nhất của f(.x) ta vẫn dùng chức năng MODE 7 nhưng theo cách dùng của kỹ thuật Casio tìm min max
Quan sát bảng giá trị ta thấy giá trị lớn nhất của f(x) là 3 khi x = -1
Vậy \(m \geq 3\)
Cách tham khảo: Tự luận
Tính đạo hàm y' = 3x² + 6x + m
Để hàm số đồng biến thì y'≥ 0 \(\Leftrightarrow\) 3x² + 6x + m ≥ 0 với mọi x thuộc R (*)
\(\Rightarrow \Delta' \leq 0
\Leftrightarrow 9 - 3m \leq 0 \Leftrightarrow m \geq 3\)
Bình luận:
Kiến thức (*) áp dụng định lý về dấu của tam thức bậc 2: “Nếu tam thức bậc hai ax2 + bx + c có \(\Delta \leq 0\) thì dấu của tam thức bậc 2 luôn cùng dấu với a".
Ví dụ 3. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số \(y = \frac{\tan x - 2}{\tan x - m}\) khoảng \(\left( 0;\frac{\pi}{4}
\right)\)?
A. \(\left\lbrack \begin{matrix}
m \leq 0 \\
1 \leq m < 2
\end{matrix} \right.\) B. \(m <
2\) C. \(1 \leq m < 2\) D. \(m \geq 2\)
Hướng dẫn giải
Cách 1: CASIO
Để bài toán dễ nhìn hơn ta tiến hành đặt ẩn phụ: Đặt tanx = t. Đổi biến thì phải tìm miền giá trị của biến mới. Để làm điều này ta sử dụng chức năng MODE 7 cho hàm f(x) = tanx.
Ta thấy \(0 \leq \tan x \leq 1\), vậy \(t \in (0;1)\)
Bài toán trở thành tìm m để hàm số \(y =
\frac{t - 2}{t - m}\) đồng biến trên khoảng (0; 1)
Tính đạo hàm \(y' = \frac{(t - m) - (t
- 2)}{(t - m)^{2}} = \frac{2 - m}{(t - m)^{2}}\)
\(y' > 0 \Leftrightarrow \frac{2 -
m}{(t - m)^{2}} > 0 \Leftrightarrow m < 2\ \ \ \ (1)\)
Kết hợp điều kiện xác định \(t - m \neq 0
\Leftrightarrow m \neq 1 \Rightarrow m \notin (0;1)\ \ \ \
(2)\)
Từ (1) và (2) ta được \(\left\lbrack
\begin{matrix}
m \leq 0 \\
1 \leq m < 2
\end{matrix} \right.\). Suy ra đáp án A đúng.
Nhận xét:
Bài toán chứa tham số m ở dưới mẫu thường đánh lừa chúng ta.
Nếu không tỉnh táo chúng ta sẽ chọn luôn đáp án B
Tuy nhiên điểm nhấn của bài toán này là phải kết hợp điều kiện ở mẫu số. m≠1 mà \(t \in (0;1)\) vậy \(m \notin (0;1)\).
Ví dụ 4. Tìm m để hàm số y= x³ +3x² + mx + m nghịch biến trên đoạn có độ dài đúng bằng 2.
Hướng dẫn giải
Cách 1: CASIO
Tính y'= 3x³ + 6x² +m
Ta nhớcông thức tính nhanh “Nếu hàm bậc 3 nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng a thì phương trình đạo hàm có hai nghiệm và hiệu hai nghiệm bằng a”
Với a là một số xác định thì m cũng là 1 số xác định chứ không thể là khoảng Đáp số phải là A hoặc C.
Với m = 0 phương trình đạo hàm \(3x^{2} +
6x = 0\) có hai nghiệm phân biệt \(\left\lbrack \begin{matrix}
x = - 2 \\
x = 0
\end{matrix} \right.\)và khoảng cách giữa chúng bằng 2
Vậy đáp án A là chính xác.
Cách 2: Tự luận
Tính y'=3x³ +6x² +m.
Để hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 2 thì phương trình đạo hàm có 2 nghiệm \(x_{1};x_{2}\) và \(\left| x_{1} - x_{2} \right| =
0\).
Theo Viete ta có: \(\left\{ \begin{matrix}
x_{1} + x_{2} = - 2 \\
x_{1}.x_{2} = \frac{m}{3}
\end{matrix} \right.\)
Ta có: \(\left| x_{1} - x_{2} \right| = 2
\Leftrightarrow \left( x_{1} - x_{2} \right)^{2} = 4\)
\(\Leftrightarrow \left( x_{1} + x_{2}
\right)^{2} - 4x_{1}.x_{2} = 4\)
\(\Leftrightarrow 4 - \frac{4m}{3} = 4
\Leftrightarrow m = 0\)
C. Bài tập tự rèn luyện có hướng dẫn giải chi tiết
Bài tập 1. Cho hàm số y = -x4 +2x² +1. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng (– ∞; -1)
B. Hàm số đồng biến trên khoảng (- ∞; 0)
C. Hàm số đồng biến trên khoảng (0;+ ∞)
D. Hàm số đồng biến trên khoảng (1; +∞)
Bài tập 2. Trong các hàm số sau, hãy chỉ ra hàm số giảm (nghịch biến) trên \(\mathbb{R}\)?
A. \(y = \left( \frac{\pi}{3}
\right)^{x}\) B. \(y = \left(
\frac{5}{3e} \right)^{- x}\) C. \(y =
(\pi)^{3x}\) D. \(y = \left(
\frac{1}{2\sqrt{2}} \right)^{x}\)
Bài tập 3. Tìm các giá trị thực của tham số m để hàm số \(y = \frac{(m - 1)x + 1}{2x + m}\) đồng biến trên từng khoảng xác định?
A. \(m < 2\) B. \(\left\lbrack \begin{matrix}
m < - 1 \\
m > 2
\end{matrix} \right.\) C. \(m \neq
2\) D. \(- 1 < m < 2\)
Bài tập 4. Tìm các giá trị thực của tham số m để hàm số \(y = \frac{m - \sin x}{cos^{2}x}\) nghịch biến trên khoảng \(\left( 0;\frac{\pi}{6}
\right)\)?
A. \(m \geq \frac{5}{2}\) B. \(m \leq \frac{5}{2}\) C. \(m \leq \frac{5}{4}\) D. \(m \geq \frac{5}{4}\)
Bài tập 5. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y = 2sin³x- 3sin² x+ msinx đồng biến trên khoảng \(\left( 0;\frac{\pi}{2} \right)\).
A. \(m \geq \frac{5}{2}\) B. \(m \leq \frac{5}{2}\) C. \(m \leq \frac{5}{4}\) D. \(m \geq \frac{5}{4}\)
Không thể hiển thị hết nội dung tại đây — bấm Tải về để lấy toàn bộ tài liệu.
------------------------------------------------------------------------------
Việc áp dụng máy tính cầm tay trong việc tìm nhanh khoảng đơn điệu của hàm số không chỉ là mẹo thi thông minh mà còn là công cụ hỗ trợ đắc lực giúp học sinh tự tin trong quá trình ôn thi THPT Quốc gia môn Toán. Tuy nhiên, để sử dụng hiệu quả phương pháp này, bạn cần luyện tập kỹ các thao tác như xét bảng giá trị (TABLE), kiểm tra đạo hàm tại các điểm nghi ngờ, và kết hợp với tư duy logic để đưa ra kết luận chính xác.
Đừng quên rằng, máy tính là công cụ hỗ trợ, còn tư duy toán học vẫn là yếu tố quyết định trong các bài toán vận dụng cao. Vì vậy, hãy luyện tập cả hai – vừa nắm chắc lý thuyết, vừa thành thạo thao tác CASIO. Nếu bạn muốn tiếp cận thêm nhiều thủ thuật giải toán bằng máy tính CASIO, chuyên đề hàm số lớp 12, và bộ đề ôn thi chuẩn theo cấu trúc của Bộ GD&ĐT, hãy thường xuyên theo dõi VnDoc.com. Chúc bạn ôn thi hiệu quả và đạt được mục tiêu điểm số mong muốn!
