Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Bạn đã dùng hết 2 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Bài tập Toán 12 Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ

VnDoc.com xin gửi tới bạn đọc bài viết Trắc nghiệm Toán 12: Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ. Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết bài viết dưới đây nhé!

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao
  • Bài kiểm tra này bao gồm 34 câu
  • Điểm số bài kiểm tra: 34 điểm
  • Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
  • Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu
Bắt đầu!!
00:00:00
  • Câu 1: Vận dụng cao
    Tìm số phần tử của tập hợp các điểm M

    Trong không gian tọa độ OxyzOxyz, cho hai điểm A(1;0;0)A(1;0;0), B(5;6;0)B(5;6;0)MM là điểm thay đổi trên mặt cầu (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1(S):x2+y2+z2=1. Tập hợp các điểm MM trên mặt cầu (S)(S) thỏa mãn 3MA^{2} + MB^{2} = 483MA2+MB2=48 có bao nhiêu phần tử?

    Hướng dẫn:

    Mặt cầu (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} =
1 có tâm O(0;0;0), bán kính R = 1.

    Ta tìm điểm I(x;y;z) thỏa mãn 3\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} =
\overrightarrow{0}.

    \overrightarrow{IA} = (1 - x\ ;\  - y\
;\  - z), \overrightarrow{IB} = (5
- x\ ;\ 6 - y\ ;\  - z); 3\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} =
\overrightarrow{0}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
3(1 - x) + 5 - x = 0 \\
3( - y) + 6 - y = 0 \\
3( - z) - z = 0 \\
\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
- 4x + 8 = 0 \\
- 4y + 6 = 0 \\
- 4z = 0 \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x = 2 \\
y = \frac{3}{2} \\
z = 0 \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow I\left( 2;\frac{3}{2};0
ight).

    Suy ra IA = \frac{\sqrt{13}}{2}, IB = \frac{3\sqrt{13}}{2}.

    Do đó 3MA^{2} + MB^{2} = 48
\Leftrightarrow 3{\overrightarrow{MA}}^{2} + {\overrightarrow{MB}}^{2} =
48

    \Leftrightarrow 3\left(
\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA} ight)^{2} + \left(
\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IB} ight)^{2} = 48

    \Leftrightarrow 4MI^{2} + 3IA^{2} +
IB^{2} + 2\overrightarrow{MI}\left( 3\overrightarrow{IA} +
\overrightarrow{IB} ight) = 48

    \Leftrightarrow 4MI^{2} + 3IA^{2} +
IB^{2} = 48 \Leftrightarrow MI = \frac{3}{2}.

    Ta thấy OI = \frac{5}{2} nên điểm I nằm ngoài mặt cầu (S). Ta có OI
= R + MI = OM + MI, suy ra có một điểm M thuộc đoạn OI thỏa mãn đề bài.

  • Câu 2: Nhận biết
    Chọn đáp án thích hợp

    Trong không gian với hệ trục tọa độ OxyzOxyz cho hai điểm A( - 2;3;4),B(8; - 5;6)A(2;3;4),B(8;5;6). Hình chiếu vuông góc của trung điểm I của đoạn AB trên mặt phẳng (Oyz)(Oyz) là điểm nào dưới đây?

    Hướng dẫn:

    Vì I là trung điểm của đoạn AB nên I(3; -
1;5).

    Khi đó hình chiếu của I lên (Oyz) là M(0; - 1;5).

  • Câu 3: Thông hiểu
    Xác định tọa độ trọng tâm tam giác

    Trong không gian OxyzOxyz, cho \overrightarrow{OA} = \overrightarrow{i} -
2\overrightarrow{j} + 3\overrightarrow{k}OA=i2j+3k, điểm B(3\ ;\  - 4\ ;\ 1)B(3 ; 4 ; 1) và điểm C(2\ ;\ 0\ ;\  - 1)C(2 ; 0 ; 1). Tọa độ trọng tâm tam giác ABCABC

    Hướng dẫn:

    Từ \overrightarrow{OA} =
\overrightarrow{i} - 2\overrightarrow{j} + 3\overrightarrow{k}
\Rightarrow A(1\ ;\  - 2\ ;\ 3)

    Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC\left\{ \begin{matrix}
x_{G} = \dfrac{x_{A} + x_{B} + x_{C}}{3} = 2 \\
y_{G} = \dfrac{y_{A} + y_{B} + y_{C}}{3} = - 2 \\
z_{G} = \dfrac{z_{A} + z_{B} + z_{C}}{3} = 1 \\
\end{matrix} ight.

    Vậy tọa độ trọng tâm (2\ ;\  - 2\ ;\
1).

  • Câu 4: Thông hiểu
    Tính tổng x và y

    Trong không gian OxyzOxyz, cho ba điểmA(3\ ;\ 5\ ;\  - 1)A(3 ; 5 ; 1), B(7\ ;\ x\ ;\ 1)B(7 ; x ; 1)C(9\ ;\ 2\ ;\ y)C(9 ; 2 ; y). Để AA, BB, CC thẳng hàng thì giá trị x + yx+y bằng

    Hướng dẫn:

    Ta có \overrightarrow{AB} = (4\ ;\ x - 5\
;\ 2), \overrightarrow{AC} = (6\
;\  - 3\ ;\ y + 1).

    Ba điểm A, B, C thẳng hàng \Leftrightarrow \exists
k\mathbb{\in R}:\overrightarrow{AB} = k.\overrightarrow{AC}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
4 = 6k \\
x - 5 = - 3k \\
2 = k(y + 1) \\
\end{matrix} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
k = \frac{2}{3} \\
x = 3 \\
y = 2 \\
\end{matrix} ight..

    Vậy x + y = 5.

  • Câu 5: Vận dụng
    Chọn phương án thíchhợp

    Trong không gian với hệ tọa độ OxyzOxyz, cho A(1;0;2)A(1;0;2), B(3;1;4)B(3;1;4), C(3; - 2;1)C(3;2;1). Tìm tọa độ điểm SS, biết SASA vuông góc với (ABC)(ABC), mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S.ABCS.ABC có bán kính bằng \frac{3\sqrt{11}}{2}3112SS có cao độ âm.

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Ta có \overrightarrow{AB} =
(2;1;2), \overrightarrow{AC} = (2;
- 2; - 1) \Rightarrow \left\lbrack
\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} ightbrack = (3;6; -
6).

    Do SA vuông góc với nên một VTCP của đường thẳng SA được chọn là \overrightarrow{u} = \left\lbrack
\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} ightbrack = (3;6; -
6).

    Đường thẳng SA qua A(1;0;2) và có VTCP \overrightarrow{u} = (3;6; - 6) nên có phương trình tham số là:

    \left\{ \begin{matrix}
x = 1 + 3t \\
y = 6t \\
z = 2 - 6t \\
\end{matrix} ight.\ \left( t\mathbb{\in R} ight).

    Do \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = 4 - 2 -
2 = 0 \Rightarrow AB\bot AC \Rightarrow \Delta ABC vuông tại A.

    Gọi M là trung điểm BC, khi đó M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Gọi d là đường thẳng qua M và song song với SA nên d\bot(ABC), suy ra d là trục đường tròn ngoại tiếp \Delta ABC.

    Trong mặt phẳng (SAM) vẽ đường trung trực của SA cắt d tại I và cắt SA tại N.

    Mặt phẳng (ABC) qua A và có một VTPT \overrightarrow{n} = \left\lbrack
\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} ightbrack = (3;6; -
6) nên có phương trình tổng quát là:

    3(x - 1) + 6y - 6(z - 2) = 0
\Leftrightarrow x + 2y - 2z + 3 = 0

    \overrightarrow{BC} = (0; - 3; - 3)
\Rightarrow BC = \sqrt{18} \Rightarrow BC^{2} = 18.

    Ta có R^{2} = IA^{2} + AM^{2}
\Leftrightarrow \frac{99}{4} = IM^{2} + \frac{1}{4}BC^{2} \Rightarrow IM
= \frac{9}{2}.

    Do S \in SA nên S(1 + 3t;6t;2 - 6t), mà SA = 2IM \Rightarrow SA = 9

    \Leftrightarrow d\left( S,(ABC) ight)
= 9

    \Leftrightarrow \frac{\left| 1 + 3t +
12t - 2(2 - 6t) + 3 ight|}{\sqrt{1^{2} + ( - 2)^{2} + 2^{2}}} =
9

    \Leftrightarrow |27t| = 27
\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
t = 1 \Rightarrow S(4;6; - 4) \\
t = - 1 \Rightarrow S( - 2; - 6;8) \\
\end{matrix} ight., mà cao độ của S âm nên S(4;6; - 4) thỏa mãn.

  • Câu 6: Thông hiểu
    Tính giá trị biểu thức

    Trong không gian OxyzOxyz, cho hai điểm A(1;2; - 2)A(1;2;2)B\left( \frac{8}{3};\frac{4}{3};\frac{8}{3}
ight)Extra \left or missing \right. Biết I(a;b;c)I(a;b;c) là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác OABOAB. Giá trị của a - b + cab+c bằng

    Hướng dẫn:

    Tính được OA = 3;OB = 4;AB =
5

    Ta có: OA.\overrightarrow{IB} +
OB.\overrightarrow{IA} + AB.\overrightarrow{IO} =
\overrightarrow{0}

    \Leftrightarrow
\left\{ \begin{matrix}
3\left( \dfrac{8}{3} - x ight) + 4(1 - x) + 5( - x) = 0 \\
3\left( \dfrac{4}{3} - x ight) + 4(2 - y) + 5( - y) = 0 \\
3\left( \dfrac{8}{3} - x ight) + 4( - 2 - z) + 5( - z) = 0 \\
\end{matrix} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x = 1 \\
y = 1 \\
z = 0 \\
\end{matrix} ight.

    Vậy, I(1;1;0) , suy ra a - b + c = 0.

  • Câu 7: Thông hiểu
    Xác định giá trị tham sốk

    Trong không gian với hệ tọa độ OxyzOxyz, biết \left| \overrightarrow{u} ight| = 2Extra \left or missing \right; \left| \overrightarrow{v} ight| =
1Extra \left or missing \right và góc giữa hai vectơ \overrightarrow{u}u\overrightarrow{v}v bằng \frac{2\pi}{3}2π3. Tìm kk để vectơ \overrightarrow{p} = k\overrightarrow{u} +
\overrightarrow{v}p=ku+v vuông góc với vectơ \overrightarrow{q} = \overrightarrow{u} -
\overrightarrow{v}q=uv.

    Hướng dẫn:

    Ta có: \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} =
2.1.cos\left( \overrightarrow{u},\ \overrightarrow{v} ight) =
2.cos\frac{2\pi}{3} = - 1.

    Vectơ \overrightarrow{p} =
k\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} vuông góc với vectơ \overrightarrow{q} = \overrightarrow{u} -
\overrightarrow{v} khi và chỉ khi:

    \overrightarrow{p}.\overrightarrow{q} =
\left( k\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} ight)\left(
\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v} ight) = 0

    \Leftrightarrow k{\overrightarrow{u\
}}^{2} + (1 - k)\overrightarrow{u\ }.\overrightarrow{v\ } -
{\overrightarrow{v\ }}^{2} = 0

    \Leftrightarrow 4k - (1 - k) - 1 = 0
\Leftrightarrow k = \frac{2}{5}.

  • Câu 8: Thông hiểu
    Tính tổng a và b

    Trong không gian với hệ tọa độ OxyzOxyz, cho mặt phẳng (\alpha):\ x + y + z - 3 = 0(α): x+y+z3=0 và đường thẳng d:\frac{x}{1} = \frac{y + 1}{2} =
\frac{z - 2}{- 1}d:x1=y+12=z21. Gọi \DeltaΔ là hình chiếu vuông góc của dd trên (\alpha)(α)\overrightarrow{u} = (1;\ a;\ b)u=(1; a; b) là một vectơ chỉ phương của \DeltaΔ với a,\ b\mathbb{\in Z}a, bZ. Tính tổng a + ba+b.

    Hướng dẫn:

    Ta có mặt phẳng (\alpha) nhận vectơ \overrightarrow{n_{\alpha}} = (1;\ 1;\
1) là vectơ pháp tuyến, đường thẳng d đi qua điểm A = (0;\  - 1;\ 2) và nhận \overrightarrow{u_{d}} = (1;\ 2;\  - 1) là vectơ chỉ phương

    Gọi (\beta) là mặt phẳng chứa đường thẳng d và vuông góc với mặt phẳng(\alpha).

    Ta có \overrightarrow{n_{\beta}} =
\overrightarrow{n_{\alpha}} \land \overrightarrow{u_{d}} = ( - 3;\ 2;\
1).

    Khi đó đường thẳng \Delta là giao tuyến của hai mặt phẳng (\alpha)(\beta).

    Do đó một vectơ chỉ phương của đường thẳng \Delta\overrightarrow{u_{\Delta}} =
\overrightarrow{n_{\alpha}} \land \overrightarrow{n_{\beta}} = ( -
1;\  - 4;\ 5).

    \overrightarrow{u} = (1;\ a;\
b) nên a = 4, b = - 5. Vậy a + b = - 1.

  • Câu 9: Vận dụng
    Xác định giá trị biểuthức

    Trong không gian với hệ tọa OxyzOxyz, cho vectơ \overrightarrow{a} = (1; - 2;4)a=(1;2;4), \overrightarrow{b} = \left( x_{0};y_{0};z_{0}
ight)Extra \left or missing \right cùng phương với vectơ \overrightarrow{a}a. Biết vectơ \overrightarrow{b}b tạo với tia OyOy một góc nhọn và \left| \overrightarrow{b} ight| =
\sqrt{21}Extra \left or missing \right. Giá trị của tổng x_{0} +
y_{0} + z_{0}x0+y0+z0 bằng

    Hướng dẫn:

    Do \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} cùng phương và nên ta có \overrightarrow{b}
= k.\overrightarrow{a}(k eq 0) \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}
x_{0} = k \\
y_{0} = - 2k \\
z_{0} = 4k \\
\end{matrix} ight..

    Suy ra \frac{x_{0}}{1} = \frac{y_{0}}{-
2} = \frac{z_{0}}{4} = \frac{x_{0} + y_{0} + z_{0}}{3}

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}
x_{0} = \dfrac{1}{3}\left( x_{0} + y_{0} + z_{0} ight) \\
y_{0} = - \dfrac{2}{3}\left( x_{0} + y_{0} + z_{0} ight) \\
z_{0} = \dfrac{4}{3}\left( x_{0} + y_{0} + z_{0} ight) \\
\end{matrix} ight..

    Theo giả thiết vectơ \overrightarrow{b} tạo với tia Oy một góc nhọn nên \overrightarrow{b}.\overrightarrow{j} >
0 với \overrightarrow{j} =
(0;1;0), do đóy_{0} >
0.

    \frac{y_{0}}{- 2} = \frac{x_{0} +
y_{0} + z_{0}}{3} nên x_{0} + y_{0}
+ z_{0} < 0.

    Lại có \left| \overrightarrow{b} ight|
= \sqrt{21}, suy ra

    \sqrt{x_{0}^{2}
+ y_{0}^{2} + z_{0}^{2}} = \sqrt{\frac{21}{9}\left( x_{0} + y_{0} +
z_{0} ight)^{2}}= \sqrt{21} \Rightarrow \left( x_{0} + y_{0} + z_{0}
ight)^{2} = 9.

    Vậy x_{0} + y_{0} + z_{0} = -
3.

  • Câu 10: Vận dụng
    Chọn đáp án đúng

    Trong không gian OxyzOxyz, cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.AABC.ABCAExtra \left or missing \right, hai đỉnh B\ ,\ CB , C thuộc trục OzOzAAAA=1 (CC không trùng với OO). Biết véctơ \overrightarrow{u} = (a\ ;\ b\ ;\ 2)u=(a ; b ; 2) với a\ ,\ b\mathbb{\in R}a , bR là một véctơ chỉ phương của đường thẳng AAC. Tính T = a^{2} + b^{2}T=a2+b2.

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Gọi M là trung điểm BC.

    Khi đó có \left\{ \begin{matrix}
AM\bot BC \\
AA'\bot BC \\
\end{matrix} ight.\  \Rightarrow BC\bot A'M tại M \Rightarrow M là hình chiếu của A' trên trục Oz

    A'\left( \sqrt{3}\ ;\  - 1\ ;\ 1
ight) \Rightarrow M(0\ ;\ 0\ ;\ 1)A'M = 2.

    Ta có: AM = \sqrt{A'M^{2} -
A{A'}^{2}} = \sqrt{3}.

    Mà tam giác ABC đều nên AM = \frac{\sqrt{3}}{2}BC = \sqrt{3} \Rightarrow
BC = 2 \Rightarrow MC = 1.

    C thuộc trục OzC không trùng với O nên gọi C(0\ ;\ 0\ ;\ c), c eq 0.

    \overrightarrow{MC} = (0\ ;\ 0\ ;\ c -
1) \Rightarrow MC = |c -
1|; MC = 1 \Leftrightarrow |c - 1| = 1 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
c = 0\ (L) \\
c = 2 \\
\end{matrix} ight. \Rightarrow
C(0\ ;\ 0\ ;\ 2).

    \overrightarrow{A'C} = \left( -\sqrt{3} ; 1 ;1 ight) là một véctơ chỉ phương của đường thẳng A'C

    \Rightarrow \overrightarrow{u} = \left( - 2\sqrt{3}\ ;\ 2\ ;\
2 ight)cũng là một véctơ chỉ phương của đường thẳng A'C.

    Vậy a = - 2\sqrt{3};\ \ b = 2 \Rightarrow
T = a^{2} + b^{2} = 16.

  • Câu 11: Vận dụng
    Xác định mệnh đề đúng

    Trong không gian với hệ tọa độ OxyzOxyz, cho hình thang ABCDABCD có hai đáy AB,\ CDAB, CD; có tọa độ ba đỉnh A(1;2;1),\ B(2;0; - 1),\ C(6;1;0)A(1;2;1), B(2;0;1), C(6;1;0). Biết hình thang có diện tích bằng 6\sqrt{2}62. Giả sử đỉnh D(a;b;c)D(a;b;c), tìm mệnh đề đúng?

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Ta có:

    \overrightarrow{AB} = (1; - 2; -
2);\overrightarrow{AC} = (5; - 1; - 1);\overrightarrow{DC} = (6 - a;1 -
b; - c).

    Ta có S_{\Delta ABC} = \frac{1}{2}\left|
\left\lbrack \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} ightbrack
ight| = \frac{9\sqrt{2}}{2}

    \Rightarrow S_{ACD} = 6\sqrt{2} -
\frac{9\sqrt{2}}{2} = \frac{3\sqrt{2}}{2}.

    AB//CD nên \overrightarrow{AB}\overrightarrow{DC} cùng phương, cùng chiều \Leftrightarrow \frac{6 - a}{1} =
\frac{1 - b}{- 2} = \frac{c}{2} > 0

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
c = 12 - 2a \\
b = 13 - 2a \\
a < 6 \\
b > 1 \\
c > 0 \\
\end{matrix} ight.

    \left\lbrack
\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD} ightbrack = (0;9a - 54;54 -
9a).

    S_{\Delta ACD} = \frac{3\sqrt{2}}{2}
\Leftrightarrow \frac{1}{2}\left| \left\lbrack
\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD} ightbrack ight| =
\frac{3\sqrt{2}}{2}

    \Leftrightarrow |54 - 9a| = 3
\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
a = \frac{19}{3} \\
a = \frac{17}{3} \\
\end{matrix} ight.\ .

    So với điều kiện suy ra: a = \frac{17}{3}
\Rightarrow a + b + c = 8.

  • Câu 12: Vận dụng
    Tính tổng a và b

    Trong không gian OxyzOxyz, cho mặt phẳng (P)(P): x - y + 2 = 0xy+2=0 và hai điểm A(1;\ 2;\ 3)A(1; 2; 3), B(1;0;1)B(1;0;1). Điểm C(a;\ b;\  - 2) \in (P)C(a; b; 2)(P) sao cho tam giác ABCABC có diện tích nhỏ nhất. Tính a + ba+b

    Hướng dẫn:

    C(a;\ b;\  - 2) \in (P) \Rightarrow a - b
+ 2 = 0 \Rightarrow b = a + 2 \Rightarrow C(a;\ a + 2;\  -
2).

    \overrightarrow{AB} = (0;\  - 2;\  -
2), \overrightarrow{AC} = (a - 1\
;\ a\ ;\  - 5) \Rightarrow \left\lbrack
\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} ightbrack = (10 + 2a\ ;\  -
2a + 2\ ;\ 2a - 2).

    S_{\Delta ABC} = \frac{1}{2}\left|
\left\lbrack \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} ightbrack
ight| = \frac{\sqrt{(2a + 10)^{2} + 2(2a - 2)^{2}}}{2}

    = \frac{\sqrt{12a^{2} + 24a + 108}}{2} =
\sqrt{3\left( a^{2} + 2a + 9 ight)}

    = \sqrt{3(a + 1)^{2} + 24} \geq
2\sqrt{6} với \forall
a.

    Do đó \min S_{\Delta ABC} =
2\sqrt{6} khi a = - 1.

    Khi đó ta có C( - 1;\ 1; - 2) \Rightarrow
a + b = 0.

  • Câu 13: Vận dụng
    Tính giá trị biểu thức

    Trong không gian OxyzOxyz cho hai điểm A(1\ ;\ \ 5\ ;\ 0)A(1 ;  5 ; 0), B(3\ ;\ 3\ ;\ 6)B(3 ; 3 ; 6) và đường thẳng d:\ \frac{x + 1}{2} = \frac{y - 1}{- 1} =
\frac{z}{2}d: x+12=y11=z2. Điểm M(a\ ;\ b\ ;\
c)M(a ; b ; c) thuộc đường thẳng dd sao cho chu vi tam giác MABMAB nhỏ nhất. Khi đó biểu thức a + 2b + 3ca+2b+3c bằng

    Hướng dẫn:

    Ta có AB = \sqrt{44} không đổi.

    Do đó chu vi tam giác MAB nhỏ nhất khi (MA + MB) đạt giá trị nhỏ nhất.

    M \in (d) \Rightarrow M( - 1 + 2t\ ;\ 1 -
t\ ;\ 2t).

    MA = \sqrt{9t^{2} + 20} = \sqrt{(3t)^{2}
+ \left( 2\sqrt{5} ight)^{2}}, MB
= \sqrt{9t^{2} - 36t + 56} = \sqrt{(6 - 3t)^{2} + \left( 2\sqrt{5}
ight)^{2}}.

    Chọn \overrightarrow{u} = \left( 3t\ ;\
2\sqrt{5}\ ;\ 0 ight) \Rightarrow \left| \overrightarrow{u} ight| =
\sqrt{(3t)^{2} + \left( 2\sqrt{5} ight)^{2}}.

    Chọn \overrightarrow{v} = \left( 6 - 3t\
;\ 2\sqrt{5}\ ;\ 0 ight) \Rightarrow \left| \overrightarrow{v} ight|
= \sqrt{(6 - 3t)^{2} + \left( 2\sqrt{5} ight)^{2}}

    \Rightarrow \overrightarrow{u} +
\overrightarrow{v} = \left( 6\ ;\ 4\sqrt{5}\ ;\ 0 ight) \Rightarrow
\left| \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} ight| =
2\sqrt{29}.

    Theo tính chất vecto \left|
\overrightarrow{u} ight| + \left| \overrightarrow{v} ight| \geq
\left| \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} ight| =
2\sqrt{29}.

    Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi \overrightarrow{u} cùng hướng với \overrightarrow{v} \Leftrightarrow t = 1.

    Suy ra MA + MB = \left|
\overrightarrow{u} ight| + \left| \overrightarrow{v} ight| \geq
2\sqrt{29}.

    Do đóMA + MB đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2\sqrt{29} khi t = 1 \Rightarrow M(1\ ;\ 0\ ;\ 2).

    Vậy a + 2b + 3c = 1 + 2.0 + 3.2 =
7.

  • Câu 14: Thông hiểu
    Định điều kiện tọa độ điểm E

    Trong không gian với hệ trục tọa độ OxyzOxyz cho hai điểm A(2;3;2)A(2;3;2), B(
- 2; - 1;4)B(2;1;4). Tìm tọa độ điểm EE thuộc trục OzOz sao cho EE cách đều hai điểm A,BA,B.

    Hướng dẫn:

    Gọi E(0;\ 0;\ t)\  \in Oz. Ta có:

    AE = BE

    \Leftrightarrow \sqrt{t^{2} - 4t + 17} =
\sqrt{t^{2} - 8t + 21}

    \Leftrightarrow t = 1 \Rightarrow
E(0;0;1)

  • Câu 15: Nhận biết
    Tìm ba điểm thẳng hàng trong 4 điểm đã cho

    Trong không gian OxyzOxyz, cho bốn điểm A( - 1;\ 2;\ 0)A(1; 2; 0), B(3;\ 1;\ 0)B(3; 1; 0), C(0;\ 2;\ 1)C(0; 2; 1)D(1;\ 2;\ 2)D(1; 2; 2). Trong đó có ba điểm thẳng hàng là

    Hướng dẫn:

    Ta có: \overrightarrow{AC} = (1;\ 0;\
1), \overrightarrow{AD} = (2;\ 0;\
2)

    \overrightarrow{AC} \land
\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{0}, nên hai vecto \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD} cùng phương, hay ba điểm \mathbf{A}\mathbf{,}\mathbf{C}\mathbf{,}\mathbf{D} thẳng hàng.

    Nhận xét: Có thể vẽ phát họa lên hệ tọa độ Oxyz để nhìn nhận dễ dàng hơn.

  • Câu 16: Vận dụng
    Tìm tọa độ điểm D

    Trong không gian vói hệ trục tọa độ OxyzOxyz, cho hình thang cân ABCDABCD có hai đáy ABAB, CDCD thỏa mãn CD = 2ABCD=2AB và diện tích bằng 2727, đỉnh A( -
1; - 1;0)A(1;1;0), phương trình đường thẳng chứa cạnh CDCD\frac{x
- 2}{2} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z - 3}{1}x22=y+12=z31 . Tìm tọa độ điểm DD biết hoành độ điểm BB lớn hơn hoành độ điểm AA .

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Gọi điểm H là hình chiếu vuông góc của A lên đường thẳng CD.

    Khi đó H(2 + 2t; - 1 + 2t;3 + t)
\Rightarrow \overrightarrow{AH}(3 + 2t;2t;3 + t) .

    Đường thẳng CDcó vtcp là: \overrightarrow{u}(2;2;1). Ta có:

    \overrightarrow{AH}\bot\overrightarrow{u}
\Rightarrow \overrightarrow{AH}.\overrightarrow{u} = 0 \Rightarrow 2(3 +
2t) + 2.2t + 3 + t = 0 \Leftrightarrow t = - 1 \Rightarrow H(0; - 3;2)
\Rightarrow AH = 3.

    Đường thẳng AB đi qua A và song song với CD \Rightarrow phương trình ABlà: \frac{x
+ 1}{2} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z}{1}

    B \in AB \Rightarrow B( - 1 + 2a; - 1 +
2a;a) \Rightarrow AB = 3|a| \Rightarrow CD = 6|a|

    Theo bài ra ta có: S_{ABCD} = \frac{AB +
CD}{2}.AH\Leftrightarrow \frac{3|a| + 6|a|}{2}.3 = 27\Leftrightarrow
|a| = 2 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
a = 2 \\
a = - 2 \\
\end{matrix} ight.

    Với a = - 2 \Rightarrow B( - 5; - 5; -
2) . Với a = 2 \Rightarrow B(3;3; -
2)

    Ta có: \overrightarrow{DH} =
2\overrightarrow{AB} \Rightarrow D( - 2; - 5;1)

  • Câu 17: Thông hiểu
    Xác định tọa độ vectơ

    Trong không gian OxyzOxyz, véctơ \overrightarrow{u}u vuông góc với hai véctơ \overrightarrow{a} = (1 ; 1 ;1)a=(1;1;1) và \overrightarrow{b} = (1\ ; -
1\ ;3)b=(1 ;1 ;3); đồng thời \overrightarrow{u}u tạo với tia OzOz một góc tù và độ dài véctơ \overrightarrow{u}u bằng 3. Tìm véctơ \overrightarrow{u}u.

    Hướng dẫn:

    Ta có \overrightarrow{a}\overrightarrow{b} không cùng phương đồng thời

    \left\{ \begin{matrix}
\overrightarrow{\mathbf{u}}\mathbf{\bot}\overrightarrow{\mathbf{a}} \\
\overrightarrow{\mathbf{u}}\mathbf{\bot}\overrightarrow{\mathbf{b}} \\
\end{matrix} ight.\mathbf{\Rightarrow}\overrightarrow{\mathbf{u}}\mathbf{\
}\mathbf{//}\mathbf{\ }\left\lbrack \overrightarrow{\mathbf{a}}\mathbf{\
}\mathbf{,}\mathbf{\ }\overrightarrow{\mathbf{b}}
ightbrack\mathbf{=}\left( \mathbf{4}\mathbf{\
}\mathbf{;}\mathbf{\  -}\mathbf{2}\mathbf{\
}\mathbf{;}\mathbf{\  -}\mathbf{2}
ight)\mathbf{\Rightarrow}\overrightarrow{\mathbf{u}}\mathbf{=}\left(
\mathbf{2}\mathbf{k\ }\mathbf{;}\mathbf{\  - k\ }\mathbf{;}\mathbf{\  -
k} ight).

    Do \left| \overrightarrow{u} ight| = 3\Leftrightarrow \sqrt{4k^{2} + k^{2} + k^{2}} = 3\Leftrightarrow k =\pm \frac{\sqrt{6}}{2}.

    Mặt khác \overrightarrow{u} tạo với tia Oz một góc tù nên

    \cos\left(
\overrightarrow{u},\overrightarrow{k} ight) < 0 \Leftrightarrow
\overrightarrow{u}.\overrightarrow{k} < 0\Leftrightarrow 2k.0 + ( -
k).1 < 0 \Leftrightarrow ( - k).1 < 0 \Leftrightarrow k >
0.

    Suy ra k =
\frac{\sqrt{6}}{2}.

    Vậy \overrightarrow{u} = \left( \sqrt{6}\
;\  - \frac{\sqrt{6}}{2}\ ;\ \frac{\sqrt{6}}{2} ight).

  • Câu 18: Thông hiểu
    Chọn phương án thíchhợp

    Trong không gian OxyzOxyz, cho hai điểm A(2 ;  - 2 ; 1)A(2;2;1), B(0; 1 ;2)B(0;1;2). Tọa độ điểm MM thuộc mặt phẳng (Oxy)(Oxy) sao cho ba điểm AA, BB, MM thẳng hàng là

    Hướng dẫn:

    Ta có: M \in (Oxy) \Rightarrow M(x\ ;\ y\
;\ 0); \overrightarrow{AB} = ( - 2\
;\ 3\ ;\ 1);\overrightarrow{AM} = (x - 2\ ;\ y + 2\ ;\  -
1).

    Để A, B, M thẳng hàng thì \overrightarrow{AB}\overrightarrow{AM} cùng phương , khi đó :

    \frac{x - 2}{- 2} = \frac{y +
2}{3} = \frac{- 1}{1} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x = 4 \\
y = - 5 \\
\end{matrix} ight. .

    Vậy M(4\ ;\  - 5\ ;\ 0).

  • Câu 19: Thông hiểu
    Tính độ dài đoạn thẳng

    Trong không gian OxyzOxyz, cho tam giác ABCABC với A(1\ ;2\ ;5)A(1 ;2 ;5), B(3\ ;4\ ;1)B(3 ;4 ;1), C(2\ ;3\ ; - 3)C(2 ;3 ;3). Gọi GG là trọng tâm tam giác ABCABC và MM là điểm thay đổi trên mp(Oxz)mp(Oxz). Độ dài GMGM ngắn nhất bằng

    Hướng dẫn:

    Do G là trọng tâm tam giác ABC \Rightarrow G(2\ ;3\ ;1).

    Gọi H là hình chiếu vuông góc của G trên mặt phẳng (Oxz), khi đó GH là khoảng cách từ G đến mặt phẳng (Oxz), ta có: GH = d\left( G,(Oxz) ight) = 3

    Với M là điểm thay đổi trên mặt phẳng (Oxz), ta có GM \geq GH = 3, do đó GM ngắn nhất \Leftrightarrow M \equiv H. Vậy độ dài GM ngắn nhất bằng 3.

  • Câu 20: Thông hiểu
    Tìm m, n để các vecto cùnghướng

    Trong không gian với hệ tọa độ OxyzOxyz, cho các vectơ \overrightarrow{a} = (2;m -
1;3),\overrightarrow{b} = (1;3; - 2n)a=(2;m1;3),b=(1;3;2n). Tìm m,nm,n để các vectơ \overrightarrow{a},\overrightarrow{b}a,b cùng hướng.

    Hướng dẫn:

    Ta có: \overrightarrow{a}\overrightarrow{b} cùng hướng\Leftrightarrow \overrightarrow{a} =
k\overrightarrow{b\ }(k > 0)

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
2 = k \\
m - 1 = 3k \\
3 = k( - 2n) \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
k = 2 \\
m = 7 \\
n = - \frac{3}{4} \\
\end{matrix} ight..

    Vậy m = 7;n = - \frac{3}{4}

  • Câu 21: Thông hiểu
    Tìm tổng x và y

    Trong không gian OxyzOxyz cho ba điểm A( - 1\ ;\ 1\ ;\ 2)A(1 ; 1 ; 2), B(0\ ;\ 1\ ;\  - 1)B(0 ; 1 ; 1), C(x + 2;y; - 2)C(x+2;y;2) thẳng hàng. Tổng x + yx+y bằng

    Hướng dẫn:

    Ta có \overrightarrow{AB} = (1;0; -
3), \overrightarrow{BC} = (x + 2;y
- 1; - 1).

    Ba điểm A,B,C thẳng hàng \Leftrightarrow \overrightarrow{AB}\overrightarrow{BC} cùng phương \Leftrightarrow \exists k:\overrightarrow{BC} =
k\overrightarrow{AB}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x + 2 = k \\
y - 1 = 0 \\
- 1 = - 3k \\
\end{matrix} ight.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x = \dfrac{- 5}{3} \\
y = 1 \\
k = \dfrac{1}{3} \\
\end{matrix} ight.\  \Rightarrow x + y = - \dfrac{2}{3}.

  • Câu 22: Thông hiểu
    Xác định tọa độ điểm A’

    Trong không gian OxyzOxyz, cho hình hộp ABCD.AABCD.ABCD biết A(1;0;1)A(1;0;1), B(2;1;2)B(2;1;2), D(1; - 1;1)D(1;1;1), CC(4;5;5). Tọa độ của điểm AA là:

    Hướng dẫn:

    Gọi A'(a;b;c)

    ABCD.A'B'C'D' là hình hộp \Rightarrow
\overrightarrow{AC'} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} +
\overrightarrow{AA'}

    \Leftrightarrow \overrightarrow{AA'}
= \overrightarrow{AC'} - \overrightarrow{AB} -
\overrightarrow{AD}

    \overrightarrow{AB} = (1;1;1), \overrightarrow{AD} = (0; - 1;0), \overrightarrow{AC'} = (3;5; -
6)

    \overrightarrow{AC'} -
\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD} = (2;5; - 7)

    \overrightarrow{AA'} = (a - 1;b;c -
1)

    (1) \Leftrightarrow \left\{
\begin{matrix}
a - 1 = 2 \\
b = 5 \\
c - 1 = - 7 \\
\end{matrix} ight.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
a = 3 \\
b = 5 \\
c = - 6 \\
\end{matrix} ight.. Vậy: A'(3;5; - 6).

  • Câu 23: Thông hiểu
    Tìm tọa độ điểm M

    Trong không gian OxyzOxyz, cho hai điểm A(3;1; - 2)A(3;1;2), B(2; - 3;5)B(2;3;5). Điểm MM thuộc đoạn ABAB sao cho MA
= 2MBMA=2MB, tọa độ điểm MM

    Hướng dẫn:

    Gọi M(x;\ y;\ z).

    Vì điểm M thuộc đoạn AB sao cho MA
= 2MB \Rightarrow \overrightarrow{AM} =
2\overrightarrow{MB}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x = \dfrac{7}{3} \\
y = - \dfrac{5}{3} \\
z = \dfrac{8}{3} \\
\end{matrix} ight.\  \Rightarrow M\left( \dfrac{7}{3}; -\dfrac{5}{3};\dfrac{8}{3} ight)

    Vậy M\left( \frac{7}{3};\frac{-
5}{3};\frac{8}{3} ight).

  • Câu 24: Nhận biết
    Tính độ dài vectơ

    Trong không gian OxyzOxyz, cho A(1;1; - 3)A(1;1;3), B(3; - 1;1)B(3;1;1). Gọi GG là trọng tâm tam giác OABOAB, vectơ \overrightarrow{OG}OG có độ dài bằng:

    Hướng dẫn:

    Vì G là trọng tâm tam giác OAB nên tọa độ G\left( \frac{4}{3};0;\frac{-
2}{3} ight).

    Ta có: \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
2 = k \\
m - 1 = 3k \\
3 = k( - 2n) \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
k = 2 \\
m = 7 \\
n = - \dfrac{3}{4} \\
\end{matrix} ight.

  • Câu 25: Thông hiểu
    Tính giá trị của biểu thức

    Trong không gian OxyzOxyz, cho \overrightarrow{AO} = \overrightarrow{i} -
2\overrightarrow{j} + 3\overrightarrow{k}AO=i2j+3k, điểm B(3\ ;\  - 4\ ;\ 1)B(3 ; 4 ; 1) C(2\ ;\ 0\ ;\  - 1)C(2 ; 0 ; 1)

    điểm D(a\ ;\ b\ ;\ c)D(a ; b ; c) sao cho BB là trọng tâm tam giác ACDACD. Khi đó P
= a + b + cP=a+b+c bằng

    Hướng dẫn:

    Ta có: P = a + b + c = 1

  • Câu 26: Vận dụng
    Tìm tọa độ điểm D

    Trong không gian vói hệ trục tọa độ OxyzOxyz, cho hình thang cân ABCDABCD có hai đáy ABAB, CDCD thỏa mãn CD = 2ABCD=2AB và diện tích bằng 2727, đỉnh A( -
1; - 1;0)A(1;1;0), phương trình đường thẳng chứa cạnh CDCD\frac{x
- 2}{2} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z - 3}{1}x22=y+12=z31 . Tìm tọa độ điểm DD biết x_{B} > x_{A}xB>xA.

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Gọi điểm H là hình chiếu vuông góc của A lên đường thẳng CD.

    Khi đó H(2 + 2t; - 1 + 2t;3 + t)\Rightarrow \overrightarrow{AH} = (3 + 2t;2t;3 + t) .

    Đường thẳng CD có vtcp là: \overrightarrow{u}(2;2;1).

    Ta có:

    \overrightarrow{AH}\bot\overrightarrow{u}
\Rightarrow \overrightarrow{AH}.\overrightarrow{u} = 0

    \Rightarrow 2(3 + 2t) + 2.2t + 3 + t = 0

    \Leftrightarrow t = - 1 \Rightarrow H(0; -
3;2) \Rightarrow AH = 3.

    Đường thẳng AB đi qua A và song song với CD \Rightarrow phương trình ABlà: \frac{x
+ 1}{2} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z}{1}

    B \in AB \Rightarrow B( - 1 + 2a; - 1 +
2a;a) \Rightarrow AB = 3|a|
\Rightarrow CD = 6|a|

    Theo bài ra ta có:

    S_{ABCD} = \frac{AB +
CD}{2}.AH\Leftrightarrow \frac{3|a| + 6|a|}{2}.3 =
27 \Leftrightarrow |a| = 2
\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
a = 2 \\
a = - 2 \\
\end{matrix} ight.

    Với a = - 2 \Rightarrow B( - 5; - 5; -
2) .

    Với a = 2 \Rightarrow B(3;3; -
2)

    Ta có: \overrightarrow{DH} =
\frac{1}{2}\overrightarrow{AB} \Rightarrow D( - 2; - 5;1)

  • Câu 27: Vận dụng cao
    Tìm tọa độ điểm M thỏa mãn điều kiện

    Trong không gian OxyzOxyz, cho \overrightarrow{OA} = \overrightarrow{i} +
\overrightarrow{j} - 3\overrightarrow{k}OA=i+j3k, B(2;2;1)B(2;2;1). Tìm tọa độ điểm MM thuộc trục tung sao cho MA^{2} + MB^{2}MA2+MB2 nhỏ nhất.

    Hướng dẫn:

    Khi đó:

    MA^{2} + MB^{2} =
{\overrightarrow{MA}}^{2} + {\overrightarrow{MB}}^{2}

    = \left( \overrightarrow{MI} +
\overrightarrow{IA} ight)^{2} + \left( \overrightarrow{MI} +
\overrightarrow{IB} ight)^{2}

    = 2{\overrightarrow{MI}}^{2} +
{\overrightarrow{IA}}^{2} + {\overrightarrow{IB}}^{2} +
2\overrightarrow{MI}.\left( \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB}
ight)

    = 2MI^{2} + IA^{2} + IB^{2} = 2MI^{2} +
9.

    Do đó MA^{2} + MB^{2} đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi MI có độ dài ngắn nhất, điều này xảy ra khi và chỉ khi M là hình chiếu vuông góc của I trên trục tung.

    Phương trình mặt phẳng (P) đi qua I và vuông góc với trục tung là

    0.\left( x - \frac{3}{2} ight) +
1.\left( y - \frac{3}{2} ight) + 0.(z + 1) = 0 hay (P):y - \frac{3}{2} = 0.

    Phương trình tham số của trục tung là \left\{ \begin{matrix}
x = 0 \\
y = t \\
z = 0 \\
\end{matrix} ight..

    Tọa độ điểm M cần tìm là nghiệm (x\ ;y\ ;z) của hệ phương trình:

    \left\{ \begin{matrix}
x = 0 \\
y = t \\
z = 0 \\
y - \frac{3}{2} = 0 \\
\end{matrix} ight.\  \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}
x = 0 \\
y = \frac{3}{2} \\
z = 0 \\
\end{matrix} ight..

    Vậy M\left( 0\ ;\frac{3}{2}\ ;0
ight).

  • Câu 28: Thông hiểu
    Tính giá trị biểu thức T

    Trong không gian OxyzOxyz, cho hình thang cân\ ABCD ABCD có các đáy lần lượt là AB,CDAB,CD. Biết A(3;1; - 2)A(3;1;2), B( - 1;3;2)B(1;3;2), C( - 6;3;6)C(6;3;6)D(a;b;c)D(a;b;c) với a;b;c\mathbb{\in R}a;b;cR. Tính T = a + b + cT=a+b+c.

    Hướng dẫn:

    Cách 1: Ta có \overrightarrow{AB} = ( -
4;2;4);\overrightarrow{CD} = (a + 6;b - 3;c - 6)

    Do ABCD là hình thang cân nên \overrightarrow{CD} =
k\overrightarrow{AB}\left( k\mathbb{\in R} ight) hay \frac{a + 6}{- 2} = \frac{b - 3}{1} = \frac{c -
6}{2}

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}
b = \frac{- a}{2} \\
c = - a \\
\end{matrix} ight.. Vậy D\left(
a;\frac{- a}{2}; - a ight).

    Lại có

    AC = BD \Leftrightarrow AC^{2} =
BD^{2}

    \Leftrightarrow ( - 9)^{2} + 2^{2} +
8^{2} = (a + 1)^{2} + \left( \frac{a}{2} + 3 ight)^{2} + (a +
2)^{2}

    \Leftrightarrow a^{2} + 4a - 60 = 0
\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
a = 6 \\
a = - 10 \\
\end{matrix} ight..

    Với a = - 10 \Rightarrow D( -
10;5;10). Kiểm tra thấy: \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} .

    Với a = 6 \Rightarrow D(6; - 3; -6).

    Kiểm tra thấy: ( - 3).\overrightarrow{AB}
= \overrightarrow{CD} . Do đó, T =
a + b + c = 6 - 3 - 6 = - 3.

    Cách 2

    Ta có \overrightarrow{AB} = ( -
4;2;4);\overrightarrow{CD} = (a + 6;b - 3;c - 6)

    Do ABCD là hình thang cân nên \overrightarrow{AB};_{}\overrightarrow{CD} ngược hướng hay \frac{a + 6}{- 2} = \frac{b
- 3}{1} = \frac{c - 6}{2} < 0

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
b = \frac{- a}{2} \\
c = - a \\
a > - 6 \\
\end{matrix} ight.. Vậy D\left(
a;\frac{- a}{2}; - a ight) với a
> - 6 .

    Lại có

    AC = BD \Leftrightarrow AC^{2} =
BD^{2}

    \Leftrightarrow ( - 9)^{2} + 2^{2} +
8^{2} = (a + 1)^{2} + \left( \frac{a}{2} + 3 ight)^{2} + (a +
2)^{2}

    \Leftrightarrow a^{2} + 4a - 60 = 0
\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
a = 6 \\
a = - 10(L) \\
\end{matrix} ight..

    Với a = 6 \Rightarrow D(6; - 3; -
6).

    Do đó, T = a + b + c = 6 - 3 - 6 = -
3.

    Cách 3

    + Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB

    + Gọi mp (\alpha) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB, suy ra mp (\alpha) đi qua trung điểm I(1\ ;\ 2\ ;0) của đoạn thẳng AB và có một vectơ pháp tuyến là \overrightarrow{n} =
\frac{1}{2}\overrightarrow{AB} = ( - 2\ ;1\ ;\ 2), suy ra phương trình của mp (\alpha)là: (\alpha): - 2x + y + 2z = 0.

    + Vì C,D đối xứng nhau qua mp(\alpha)nên

    D(6\ ;\  - 3\ ;\  - 6) \Rightarrow a =
6;b = - 3;c = - 6 \Rightarrow T = a
+ b + c = - 3

  • Câu 29: Thông hiểu
    Tìm hoành độ điểm A

    Trong hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm H(2;1;1)H(2;1;1). Gọi các điểm A,\ B,\ CA, B, C lần lượt ở trên các trục tọa độ Ox,\ Oy,\ OzOx, Oy, Oz sao cho HH là trực tâm của tam giác ABCABC. Khi đó hoành độ điểm AA là:

    Hướng dẫn:

    Giả sử A(a;0;0);B(0;b;0);C(0;0;c).

    Khi đó mặt phẳng (ABC):\frac{x}{a} +
\frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}
\overrightarrow{AH} = (2 - a;1;1);\ \ \overrightarrow{BH} = (2;1 - b;1)
\\
\overrightarrow{BC} = (0; - b;c)\ ;\ \ \ \overrightarrow{AC} = ( -
a;0;c) \\
\end{matrix} ight.

    H là trực tâm của tam giác ABCnên \left\{ \begin{matrix}
H \in (ABC) \\
\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{BC} = 0 \\
\overrightarrow{BH}.\overrightarrow{AC} = 0 \\
\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
\dfrac{2}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} = 1 \\
- b + c = 0 \\
- 2a + c = 0 \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
a = 3 \\
b = 6 \\
c = 6 \\
\end{matrix} ight.

    Vậy A(3;\ 0;\ 0)

  • Câu 30: Thông hiểu
    Định tọa độ trọng tâm tam giác ABC

    Trong không gian (Oxyz)(Oxyz) cho \overrightarrow{OA} = \overrightarrow{i} -
2\overrightarrow{j} + 3\overrightarrow{k},OA=i2j+3k,điểm B(3; - 4;1)B(3;4;1) và điểm C(2;0; - 1).C(2;0;1). Tọa độ trọng tâm của tam giác ABC

    Hướng dẫn:

    Ta có \overrightarrow{OA} =
\overrightarrow{i} - 2\overrightarrow{j} + 3\overrightarrow{k} = >
A(1; - 2;3).

    Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC ta có

    \left\{ \begin{matrix}
x_{G} = \dfrac{x_{A} + x_{B} + x_{C}}{3} = \dfrac{1 + 3 + 2}{3} = 2 \\
y_{G} = \dfrac{y_{A} + y_{B} + y_{C}}{3} = \dfrac{- 2 - 4 + 0}{3} = - 2 \\
z_{G} = \dfrac{z_{A} + z_{B} + z_{C}}{3} = \dfrac{3 + 1 - 1}{3} = 1 \\
\end{matrix} ight..

    Vậy G(2; - 2;1).

  • Câu 31: Vận dụng
    Định tọa độ điểm M

    Trong không gian OxyzOxyzcho A(4; - 2;6)A(4;2;6), B(2;4;2)B(2;4;2),M
\in (\alpha)\ :\ x + 2y - 3z - 7 = 0M(α) : x+2y3z7=0 sao cho\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}MA.MB nhỏ nhất. Tọa độ của MM bằng

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Gọi I là trung điểm AB \Rightarrow I(3;1;4).

    Gọi H là hình chiếu của I xuống mặt phẳng (\alpha).

    Ta có \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB} = \left(
\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA} ight).\left(
\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IB} ight)

    = MI^{2} + \overrightarrow{MI}.\left(
\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} ight) - IA^{2} = MI^{2} -
IA^{2}.

    Do IA không đổi nên \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB} nhỏ nhất khi MI nhỏ nhất \Leftrightarrow MI = IH \Leftrightarrow M \equiv
H.

    Gọi \Delta là đường thẳng đi qua I và vuông góc với mặt phẳng (\alpha).

    Khi đó \Delta nhận \overrightarrow{n_{(\alpha)}} = (1;2; -
3)làm vectơ chỉ phương.

    Do đó \Delta có phương trình \left\{ \begin{matrix}
x = 3 + t \\
y = 1 + 2t \\
z = 4 - 3t \\
\end{matrix} ight..

    H \in \Delta \Leftrightarrow H(3 + t;1 +
2t;4 - 3t).

    H \in (\alpha) \Leftrightarrow (3 + t) +
2(1 + 2t) - 3(4 - 3t) - 7 = 0

    \Leftrightarrow t = 1 \Leftrightarrow
H(4;3;1).

    Vậy M(4;3;1).

  • Câu 32: Thông hiểu
    Chọn phát biểu đúng

    Trong không gian tọa độ OxyzOxyz, cho hai điểm A(1;0;0)A(1;0;0), B(5;0;0)B(5;0;0). Gọi (H)(H) là tập hợp các điểm MM trong không gian thỏa mãn \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB} =
0MA.MB=0. Khẳng định nào sau đây là đúng?

    Hướng dẫn:

    Gọi I là trung điểmAB \Rightarrow I(3;0;0).

    Ta có :

    \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB} =
0 \Leftrightarrow \left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA}
ight).\left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IB} ight) =
0

    \Leftrightarrow \left(
\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA} ight).\left(
\overrightarrow{MI} - \overrightarrow{IA} ight) = 0

    \Leftrightarrow MI^{2} - IA^{2} = 0
\Leftrightarrow MI^{2} = IA^{2} \Leftrightarrow MI = \frac{1}{2}AB =
\frac{1}{2}.|5 - 1| = 2.

    Suy ra tập hợp điểm M trong không gian là mặt cầu tâm I, bán kính bằng 2.

    Vậy (H) là một mặt cầu có bán kính bằng 2.

  • Câu 33: Vận dụng
    Tính độ dài đoạn thẳng

    Trong không gian OxyzOxyz, cho đường thẳng d:\frac{x - 3}{2} = \frac{y + 1}{1} =
\frac{z - 1}{2}d:x32=y+11=z12 và điểm M(1\ ;2\
;\  - 3)M(1 ;2 ; 3). Gọi M_{1}M1 là hình chiếu vuông góc của MM lên đường thẳng dd. Độ dài đoạn thẳng OM_{1}OM1 bằng

    Hướng dẫn:

    Cách 1: Phương trình tham số của đường thẳng d là: \left\{
\begin{matrix}
x = 3 + 2t \\
y = - 1 + t \\
z = 1 + 2t \\
\end{matrix} ight..

    Một vtcp của d\overrightarrow{u} = (2\ ;\ 1\ ;\ 2).

    Gọi (\alpha) là mặt phẳng đi qua điểm M(1\ ;2\ ;\  - 3) và vuông góc với đường thẳng d. Khi đó (\alpha) có vtpt là \overrightarrow{n} = \overrightarrow{u} = (2\ ;\
1\ ;\ 2).

    Phương trình mặt phẳng (\alpha): 2(x - 1) + 1(y - 2) + 2(z + 3) = 0 \Leftrightarrow 2x + y + 2z + 2 =
0.

    M_{1} là hình chiếu vuông góc của M lên đường thẳng d nên M_{1} là giao điểm của d(\alpha).

    Xét hệ phương trình: \left\{
\begin{matrix}
x = 3 + 2t\ \ \ \ \ (1) \\
y = - 1 + t\ \ \ \ \ (2) \\
z = 1 + 2t\ \ \ \ \ \ (3) \\
2x + y + 2z + 2 = 0\ (4) \\
\end{matrix} ight.

    Thay (1),(2),(3) vào (4) ta được: 2(3 + 2t) - 1 + t + 2(1 + 2t) + 2 = 0

    \Leftrightarrow 9t + 9 = 0 \Leftrightarrow t = - 1.

    Suy ra \left\{ \begin{matrix}
x = 1 \\
y = - 2 \\
z = - 1 \\
\end{matrix} ight.\  \Rightarrow M_{1}(1\ ;\  - 2\ ;\  -1).

    Độ dài đoạn thẳng OM_{1} là: OM_{1} = \sqrt{1^{2} + ( - 2)^{2} + ( -1)^{2}} = \sqrt{6}.

    Cách 2: Phương trình tham số của đường thẳng d là: \left\{
\begin{matrix}
x = 3 + 2t \\
y = - 1 + t \\
z = 1 + 2t \\
\end{matrix} ight..

    Một vtcp của d\overrightarrow{u} = (2\ ;\ 1\ ;\ 2).

    M_{1} \in d \Rightarrow M_{1}(3 + 2t\
;\  - 1 + t\ ;\ 1 + 2t)

    \Rightarrow \overrightarrow{MM_{1}} = (2
+ 2t\ ;\  - 3 + t\ ;\ 4 + 2t).

    Ta có \overrightarrow{MM_{1}}\bot\overrightarrow{u}
\Leftrightarrow \overrightarrow{MM_{1}}.\overrightarrow{u} = 0\Leftrightarrow 4 + 4t - 3 + t + 8 + 4t = 0 \Leftrightarrow t = -
1.

    Suy ra M_{1}(1\ ;\  - 2\ ;\  -
1)

    Độ dài đoạn thẳng OM_{1} là: OM_{1} = \sqrt{1^{2} + ( - 2)^{2} + ( -1)^{2}} = \sqrt{6}.

  • Câu 34: Vận dụng
    Tính giá trị của biểuthức

    Trong không gian OxyzOxyz cho các điểm A(5\ ;\ 1\ ;\ 5)A(5 ; 1 ; 5), B(4\ ;\ 3\ ;\ 2)B(4 ; 3 ; 2), C( - 3\ ;\  - 2\ ;\ 1)C(3 ; 2 ; 1). Điểm I(a\ ;\ b\ ;\ c)I(a ; b ; c) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABCABC. Tính a + 2b + ca+2b+c?

    Hướng dẫn:

    Ta có: \overrightarrow{AB} = ( - 1\ ;\ 2\
;\  - 3), \overrightarrow{AC} = ( -
8\ ;\  - 3\ ;\  - 4).

    Gọi M, N lần lượt là trung điểm AB, AC
\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}
M\left( \frac{9}{2}\ ;\ 2\ ;\ \frac{7}{2} ight) \\
N\left( 1\ ;\  - \frac{1}{2}\ ;\ 3 ight) \\
\end{matrix} ight..

    Gọi \overrightarrow{n} là véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC)

    \Rightarrow \overrightarrow{n} =
\left\lbrack \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} ightbrack = ( -
17\ ;\ 20\ ;\ 19).

    (ABC): - 17x + 20y + 19z - 30 =
0.

    I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
\overrightarrow{IM}\bot\overrightarrow{AB} \\
\overrightarrow{IN}\bot\overrightarrow{AC} \\
I \in (ABC) \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
\left( \frac{9}{2} - a ight).( - 1) + (2 - b).2 + \left( \frac{7}{2} -
c ight).( - 3) = 0 \\
(1 - a).( - 8) + \left( - \frac{1}{2} - b ight).( - 3) + (3 - c).( -
4) = 0 \\
- 17a + 20b + 19c - 30 = 0 \\
\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
\left( \dfrac{9}{2} - a ight).( - 1) + (2 - b).2 + \left( \dfrac{7}{2} -
c ight).( - 3) = 0 \\
(1 - a).( - 8) + \left( - \dfrac{1}{2} - b ight).( - 3) + (3 - c).( -
4) = 0 \\
- 17a + 20b + 19c - 30 = 0 \\
\end{matrix} ight..

    Vậy a + 2b + c = 1 + 2.\left( -
\frac{1}{2} ight) + 3 = 3.

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:
  • Nhận biết (9%):
    2/3
  • Thông hiểu (53%):
    2/3
  • Vận dụng (32%):
    2/3
  • Vận dụng cao (6%):
    2/3
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu làm đúng: 0
  • Số câu làm sai: 0
  • Điểm số: 0
Làm lại
Bạn còn 2 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã dùng hết 2 lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé! Mua ngay
Chia sẻ, đánh giá bài viết
1
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo

Nhiều người đang xem

🖼️

Chuyên đề Toán 12

Xem thêm
Chia sẻ
Chia sẻ FacebookChia sẻ TwitterSao chép liên kếtQuét bằng QR Code
Mã QR Code
Đóng