Bài tập Toán 12 Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ

Giả sử .

Khi đó mặt phẳng

Ta có:

Vì là trực tâm của tam giác nên

Vậy

Khi đó:

.

Do đó đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi có độ dài ngắn nhất, điều này xảy ra khi và chỉ khi là hình chiếu vuông góc của trên trục tung.

Phương trình mặt phẳng đi qua và vuông góc với trục tung là

hay .

Phương trình tham số của trục tung là .

Tọa độ điểm cần tìm là nghiệm của hệ phương trình:

.

Vậy .

Gọi là trung điểm.

Ta có :

.

Suy ra tập hợp điểm trong không gian là mặt cầu tâm , bán kính bằng 2.

Vậy là một mặt cầu có bán kính bằng .

Ta có: , .

Gọi , lần lượt là trung điểm , .

Gọi là véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng

.

.

là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

.

Vậy .

Ta có: ; .

Để , , thẳng hàng thì và cùng phương , khi đó :

.

Vậy .

Hình vẽ minh họa

Gọi là trung điểm .

Khi đó có tại là hình chiếu của trên trục

và .

Ta có: .

Mà tam giác đều nên .

Vì thuộc trục và không trùng với nên gọi , .

; .

là một véctơ chỉ phương của đường thẳng

cũng là một véctơ chỉ phương của đường thẳng .

Vậy

Vì G là trọng tâm tam giác nên tọa độ .

Ta có:

Tính được

Ta có:

Vậy, , suy ra .

Ta có mặt phẳng nhận vectơ là vectơ pháp tuyến, đường thẳng đi qua điểm và nhận là vectơ chỉ phương

Gọi là mặt phẳng chứa đường thẳng và vuông góc với mặt phẳng.

Ta có .

Khi đó đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng và .

Do đó một vectơ chỉ phương của đường thẳng là .

Mà nên , . Vậy .

Gọi . Ta có:

Ta có: ,

Mà , nên hai vecto , cùng phương, hay ba điểm thẳng hàng.

Nhận xét: Có thể vẽ phát họa lên hệ tọa độ để nhìn nhận dễ dàng hơn.

Ta có , .

Ba điểm , , thẳng hàng

.

Vậy .

Hình vẽ minh họa

Gọi điểm là hình chiếu vuông góc của lên đường thẳng .

Khi đó .

Đường thẳng có vtcp là: . Ta có:

.

Đường thẳng đi qua và song song với phương trình là:

Theo bài ra ta có:

Với . Với

Ta có:

.

, .

với .

Do đó khi .

Khi đó ta có .

Ta có và không cùng phương đồng thời

.

Do .

Mặt khác  tạo với tia  một góc tù nên

.

Suy ra .

Vậy .

Cách 1: Ta có

Do là hình thang cân nên hay

. Vậy .

Lại có

.

Với . Kiểm tra thấy: .

Với .

Kiểm tra thấy: . Do đó, .

Cách 2

Ta có

Do là hình thang cân nên ngược hướng hay

. Vậy với .

Lại có

.

Với .

Do đó, .

Cách 3

+ Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng

+ Gọi mp là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng , suy ra mp đi qua trung điểm của đoạn thẳng và có một vectơ pháp tuyến là , suy ra phương trình của mp là: .

+ Vì đối xứng nhau qua mpnên

Từ

Tọa độ trọng tâm của tam giác là

Vậy tọa độ trọng tâm .

Hình vẽ minh họa

Gọi là trung điểm .

Gọi là hình chiếu của xuống mặt phẳng .

Ta có

.

Do không đổi nên nhỏ nhất khi nhỏ nhất .

Gọi là đường thẳng đi qua và vuông góc với mặt phẳng .

Khi đó nhận làm vectơ chỉ phương.

Do đó có phương trình .

.

.

Vậy .

Ta có , .

Ba điểm thẳng hàng và cùng phương

.

Vì I là trung điểm của đoạn AB nên .

Khi đó hình chiếu của I lên  là .

Hình vẽ minh họa

Ta có ,

Do vuông góc với nên một VTCP của đường thẳng được chọn là

Đường thẳng qua và có VTCP nên có phương trình tham số là:

.

Do vuông tại .

Gọi là trung điểm khi đó là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác . Gọi là đường thẳng qua và song song với nên , suy ra là trục đường tròn ngoại tiếp .

Trong mặt phẳng vẽ đường trung trực của cắt tại và cắt tại .

Mặt phẳng qua và có một VTPT nên có phương trình tổng quát là:

.

Ta có .

Do nên , mà

, mà cao độ của âm nên thỏa mãn.

Hình vẽ minh họa

Ta có:

Ta có

// nên và cùng phương, cùng chiều

So với điều kiện suy ra:

Gọi .

Vì điểm thuộc đoạn sao cho

Vậy .

Ta có: .

Vectơ vuông góc với vectơ khi và chỉ khi:

.

Ta có

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC ta có

.

Vậy

Gọi

là hình hộp

, ,

⇒

. Vậy: .

Do là trọng tâm tam giác .

Gọi là hình chiếu vuông góc của trên mặt phẳng , khi đó là khoảng cách từ đến mặt phẳng , ta có:

Với là điểm thay đổi trên mặt phẳng , ta có , do đó ngắn nhất . Vậy độ dài ngắn nhất bằng .

Mặt cầu có tâm , bán kính .

Ta tìm điểm thỏa mãn .

Có , ;

.

Suy ra , .

Do đó

.

Ta thấy nên điểm nằm ngoài mặt cầu . Ta có , suy ra có một điểm thuộc đoạn thỏa mãn đề bài.

Ta có không đổi.

Do đó chu vi tam giác nhỏ nhất khi đạt giá trị nhỏ nhất.

.

, .

Chọn .

Chọn

.

Theo tính chất vecto .

Dấu xảy ra khi và chỉ khi cùng hướng với .

Suy ra .

Do đó đạt giá trị nhỏ nhất bằng khi .

Vậy .

Do cùng phương và nên ta có .

Suy ra

.

Theo giả thiết vectơ tạo với tia một góc nhọn nên với , do đó.

Mà nên .

Lại có , suy ra

.

Vậy .

Ta có:

Ta có: và cùng hướng

.

Vậy