VnDoc.com

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Bài tập Toán 12 Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ

Ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán

VnDoc.com xin gửi tới bạn đọc bài viết Trắc nghiệm Toán 12: Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ. Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết bài viết dưới đây nhé!

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao

Bài kiểm tra này bao gồm 34 câu
Điểm số bài kiểm tra: 34 điểm
Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu

00:00:00

Câu 1: Thông hiểu
Tìm m, n để các vecto cùnghướng
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho các vectơ $\overrightarrow{a} = (2;m - 1;3),\overrightarrow{b} = (1;3; - 2n)$ . Tìm $m,n$ để các vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ cùng hướng.
- A.
  $m = 1;n = 0$ .
- B.
  $m = 4;n = - 3$ .
- C.
  $m = 7;n = - \frac{4}{3}$ .
- D.
  $m = 7;n = - \frac{3}{4}$ .
Hướng dẫn:
Ta có: $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ cùng hướng $\Leftrightarrow \overrightarrow{a} = k\overrightarrow{b\ }(k > 0)$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2 = k \\ m - 1 = 3k \\ 3 = k( - 2n) \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} k = 2 \\ m = 7 \\ n = - \frac{3}{4} \\ \end{matrix} ight.$ .

Vậy $m = 7;n = - \frac{3}{4}$
Câu 2: Thông hiểu
Tính giá trị biểu thức
Trong không gian $Oxyz$ , cho hai điểm $A(1;2; - 2)$ và $B\left( \frac{8}{3};\frac{4}{3};\frac{8}{3} \right)$ . Biết $I(a;b;c)$ là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác $OAB$ . Giá trị của $a - b + c$ bằng
- A.
  2.
- B.
  1.
- C.
  0.
- D.
  3.
Hướng dẫn:
Tính được $OA = 3;OB = 4;AB = 5$

Ta có: $OA.\overrightarrow{IB} + OB.\overrightarrow{IA} + AB.\overrightarrow{IO} = \overrightarrow{0}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 3\left( \dfrac{8}{3} - x ight) + 4(1 - x) + 5( - x) = 0 \\ 3\left( \dfrac{4}{3} - x ight) + 4(2 - y) + 5( - y) = 0 \\ 3\left( \dfrac{8}{3} - x ight) + 4( - 2 - z) + 5( - z) = 0 \\ \end{matrix} ight.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = 1 \\ z = 0 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy, $I(1;1;0)$ , suy ra $a - b + c = 0$ .
Câu 3: Thông hiểu
Tìm tọa độ điểm M
Trong không gian $Oxyz$ , cho hai điểm $A(3;1; - 2)$ , $B(2; - 3;5)$ . Điểm $M$ thuộc đoạn $AB$ sao cho $MA = 2MB$ , tọa độ điểm $M$ là
- A.
  $M(4;5; - 9)$ .
- B.
  $M\left( \frac{7}{3};\frac{- 5}{3};\frac{8}{3} ight)$ .
- C.
  $M\left( \frac{3}{2}; - 5;\frac{17}{2} ight)$ .
- D.
  $M(1; - 7;12)$ .
Hướng dẫn:
Gọi $M(x;\ y;\ z)$ .

Vì điểm $M$ thuộc đoạn $AB$ sao cho $MA = 2MB \Rightarrow \overrightarrow{AM} = 2\overrightarrow{MB}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = \dfrac{7}{3} \\ y = - \dfrac{5}{3} \\ z = \dfrac{8}{3} \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow M\left( \dfrac{7}{3}; -\dfrac{5}{3};\dfrac{8}{3} ight)$

Vậy $M\left( \frac{7}{3};\frac{- 5}{3};\frac{8}{3} ight)$ .
Câu 4: Vận dụng
Xác định giá trị biểuthức
Trong không gian với hệ tọa $Oxyz$ , cho vectơ $\overrightarrow{a} = (1; - 2;4)$ , $\overrightarrow{b} = \left( x_{0};y_{0};z_{0} \right)$ cùng phương với vectơ $\overrightarrow{a}$ . Biết vectơ $\overrightarrow{b}$ tạo với tia $Oy$ một góc nhọn và $\left| \overrightarrow{b} \right| = \sqrt{21}$ . Giá trị của tổng $x_{0} + y_{0} + z_{0}$ bằng
- A.
  $- 3$ .
- B.
  $3$ .
- C.
  $6$ .
- D.
  $- 6$ .
Hướng dẫn:
Do $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ cùng phương và nên ta có $\overrightarrow{b} = k.\overrightarrow{a}(k eq 0) \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} x_{0} = k \\ y_{0} = - 2k \\ z_{0} = 4k \\ \end{matrix} ight.$ .

Suy ra $\frac{x_{0}}{1} = \frac{y_{0}}{- 2} = \frac{z_{0}}{4} = \frac{x_{0} + y_{0} + z_{0}}{3}$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} x_{0} = \dfrac{1}{3}\left( x_{0} + y_{0} + z_{0} ight) \\ y_{0} = - \dfrac{2}{3}\left( x_{0} + y_{0} + z_{0} ight) \\ z_{0} = \dfrac{4}{3}\left( x_{0} + y_{0} + z_{0} ight) \\ \end{matrix} ight.$ .

Theo giả thiết vectơ $\overrightarrow{b}$ tạo với tia $Oy$ một góc nhọn nên $\overrightarrow{b}.\overrightarrow{j} > 0$ với $\overrightarrow{j} = (0;1;0)$ , do đó $y_{0} > 0$ .

Mà $\frac{y_{0}}{- 2} = \frac{x_{0} + y_{0} + z_{0}}{3}$ nên $x_{0} + y_{0} + z_{0} < 0$ .

Lại có $\left| \overrightarrow{b} ight| = \sqrt{21}$ , suy ra

$\sqrt{x_{0}^{2} + y_{0}^{2} + z_{0}^{2}} = \sqrt{\frac{21}{9}\left( x_{0} + y_{0} + z_{0} ight)^{2}}$ $= \sqrt{21} \Rightarrow \left( x_{0} + y_{0} + z_{0} ight)^{2} = 9$ .

Vậy $x_{0} + y_{0} + z_{0} = - 3$ .
Câu 5: Thông hiểu
Xác định tọa độ vectơ
Trong không gian $Oxyz$ , véctơ $\overrightarrow{u}$ vuông góc với hai véctơ $\overrightarrow{a} = (1 ; 1 ;1)$ và $\overrightarrow{b} = (1\ ; - 1\ ;3)$ ; đồng thời $\overrightarrow{u}$ tạo với tia $Oz$ một góc tù và độ dài véctơ $\overrightarrow{u}$ bằng 3. Tìm véctơ $\overrightarrow{u}$ .
- A.
  $\left( \sqrt{6}\ ;\ \frac{\sqrt{6}}{2}\ ;\ - \frac{\sqrt{6}}{2} ight)$ .
- B.
  $\left( - \sqrt{6}\ ; -\frac{\sqrt{6}}{2} ;\frac{\sqrt{6}}{2}ight)$ .
- C.
  $\left( \sqrt{6}\ ;\ - \frac{\sqrt{6}}{2}\ ;\ - \frac{\sqrt{6}}{2} ight)$ .
- D.
  $\left( - \sqrt{6}\ ;\frac{\sqrt{6}}{2}\ ; \frac{\sqrt{6}}{2}ight)$ .
Hướng dẫn:
Ta có $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ không cùng phương đồng thời

$\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{\mathbf{u}}\mathbf{\bot}\overrightarrow{\mathbf{a}} \\ \overrightarrow{\mathbf{u}}\mathbf{\bot}\overrightarrow{\mathbf{b}} \\ \end{matrix} ight.$ $\mathbf{\Rightarrow}\overrightarrow{\mathbf{u}}\mathbf{\ }\mathbf{//}\mathbf{\ }\left\lbrack \overrightarrow{\mathbf{a}}\mathbf{\ }\mathbf{,}\mathbf{\ }\overrightarrow{\mathbf{b}} ightbrack\mathbf{=}\left( \mathbf{4}\mathbf{\ }\mathbf{;}\mathbf{\ -}\mathbf{2}\mathbf{\ }\mathbf{;}\mathbf{\ -}\mathbf{2} ight)$ $\mathbf{\Rightarrow}\overrightarrow{\mathbf{u}}\mathbf{=}\left( \mathbf{2}\mathbf{k\ }\mathbf{;}\mathbf{\ - k\ }\mathbf{;}\mathbf{\ - k} ight)$ .

Do $\left| \overrightarrow{u} ight| = 3\Leftrightarrow \sqrt{4k^{2} + k^{2} + k^{2}} = 3$ $\Leftrightarrow k =\pm \frac{\sqrt{6}}{2}$ .

Mặt khác $\overrightarrow{u}$ tạo với tia $Oz$ một góc tù nên

$\cos\left( \overrightarrow{u},\overrightarrow{k} ight) < 0 \Leftrightarrow \overrightarrow{u}.\overrightarrow{k} < 0$ $\Leftrightarrow 2k.0 + ( - k).1 < 0 \Leftrightarrow ( - k).1 < 0 \Leftrightarrow k > 0$ .

Suy ra $k = \frac{\sqrt{6}}{2}$ .

Vậy $\overrightarrow{u} = \left( \sqrt{6}\ ;\ - \frac{\sqrt{6}}{2}\ ;\ \frac{\sqrt{6}}{2} ight)$ .
Câu 6: Thông hiểu
Xác định tọa độ điểm A’
Trong không gian $Oxyz$ , cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ biết $A(1;0;1)$ , $B(2;1;2)$ , $D(1; - 1;1)$ , $C'(4;5; - 5)$ . Tọa độ của điểm $A'$ là:
- A.
  $A'(4;6; - 5)$ .
- B.
  $A'( - 3;4; - 1)$ .
- C.
  $A'(3;5; - 6)$ .
- D.
  $A'(3;5;6)$ .
Hướng dẫn:
Gọi $A'(a;b;c)$

$ABCD.A'B'C'D'$ là hình hộp $\Rightarrow \overrightarrow{AC'} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AC'} - \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD}$

$\overrightarrow{AB} = (1;1;1)$ , $\overrightarrow{AD} = (0; - 1;0)$ , $\overrightarrow{AC'} = (3;5; - 6)$

⇒ $\overrightarrow{AC'} - \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD} = (2;5; - 7)$

$\overrightarrow{AA'} = (a - 1;b;c - 1)$

$(1) \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a - 1 = 2 \\ b = 5 \\ c - 1 = - 7 \\ \end{matrix} ight.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 3 \\ b = 5 \\ c = - 6 \\ \end{matrix} ight.$ . Vậy: $A'(3;5; - 6)$ .
Câu 7: Thông hiểu
Tính tổng x và y
Trong không gian $Oxyz$ , cho ba điểm $A(3\ ;\ 5\ ;\ - 1)$ , $B(7\ ;\ x\ ;\ 1)$ và $C(9\ ;\ 2\ ;\ y)$ . Để $A$ , $B$ , $C$ thẳng hàng thì giá trị $x + y$ bằng
- A.
  $4$ .
- B.
  $6$ .
- C.
  $5$ .
- D.
  $7$ .
Hướng dẫn:
Ta có $\overrightarrow{AB} = (4\ ;\ x - 5\ ;\ 2)$ , $\overrightarrow{AC} = (6\ ;\ - 3\ ;\ y + 1)$ .

Ba điểm $A$ , $B$ , $C$ thẳng hàng $\Leftrightarrow \exists k\mathbb{\in R}:\overrightarrow{AB} = k.\overrightarrow{AC}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 4 = 6k \\ x - 5 = - 3k \\ 2 = k(y + 1) \\ \end{matrix} ight.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} k = \frac{2}{3} \\ x = 3 \\ y = 2 \\ \end{matrix} ight.$ .

Vậy $x + y = 5$ .
Câu 8: Vận dụng
Xác định mệnh đề đúng
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hình thang $ABCD$ có hai đáy $AB,\ CD$ ; có tọa độ ba đỉnh $A(1;2;1),\ B(2;0; - 1),\ C(6;1;0)$ . Biết hình thang có diện tích bằng $6\sqrt{2}$ . Giả sử đỉnh $D(a;b;c)$ , tìm mệnh đề đúng?
- A.
  $a + b + c = 7$ .
- B.
  $a + b + c = 5$ .
- C.
  $a + b + c = 6$ .
- D.
  $a + b + c = 8$ .
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Ta có:

$\overrightarrow{AB} = (1; - 2; - 2);\overrightarrow{AC} = (5; - 1; - 1);\overrightarrow{DC} = (6 - a;1 - b; - c).$

Ta có $S_{\Delta ABC} = \frac{1}{2}\left| \left\lbrack \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} ightbrack ight| = \frac{9\sqrt{2}}{2}$

$\Rightarrow S_{ACD} = 6\sqrt{2} - \frac{9\sqrt{2}}{2} = \frac{3\sqrt{2}}{2}.$

$AB$ // $CD$ nên $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{DC}$ cùng phương, cùng chiều $\Leftrightarrow \frac{6 - a}{1} = \frac{1 - b}{- 2} = \frac{c}{2} > 0$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} c = 12 - 2a \\ b = 13 - 2a \\ a < 6 \\ b > 1 \\ c > 0 \\ \end{matrix} ight.$

$\left\lbrack \overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD} ightbrack = (0;9a - 54;54 - 9a).$

$S_{\Delta ACD} = \frac{3\sqrt{2}}{2} \Leftrightarrow \frac{1}{2}\left| \left\lbrack \overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD} ightbrack ight| = \frac{3\sqrt{2}}{2}$

$\Leftrightarrow |54 - 9a| = 3 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} a = \frac{19}{3} \\ a = \frac{17}{3} \\ \end{matrix} ight.\ .$

So với điều kiện suy ra: $a = \frac{17}{3} \Rightarrow a + b + c = 8.$
Câu 9: Nhận biết
Chọn đáp án thích hợp
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ cho hai điểm $A( - 2;3;4),B(8; - 5;6)$ . Hình chiếu vuông góc của trung điểm I của đoạn AB trên mặt phẳng $(Oyz)$ là điểm nào dưới đây?
- A.
  $P(3;0;0)$
- B.
  $M(0; - 1;5)$ .
- C.
  $N(3; - 1;5)$ .
- D.
  $Q(0;0;5)$
Hướng dẫn:
Vì I là trung điểm của đoạn AB nên $I(3; - 1;5)$ .

Khi đó hình chiếu của I lên $(Oyz)$ là $M(0; - 1;5)$ .
Câu 10: Vận dụng
Tìm tọa độ điểm D
Trong không gian vói hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho hình thang cân $ABCD$ có hai đáy $AB$ , $CD$ thỏa mãn $CD = 2AB$ và diện tích bằng $27$ , đỉnh $A( - 1; - 1;0)$ , phương trình đường thẳng chứa cạnh $CD$ là $\frac{x - 2}{2} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z - 3}{1}$ . Tìm tọa độ điểm $D$ biết $x_{B} > x_{A}$ .
- A.
  $D( - 3; - 5;1)$ .
- B.
  $D(3; - 5;1)$ .
- C.
  $D( - 2; - 5;1)$ .
- D.
  $D(2;-5;1)$ .
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Gọi điểm $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ lên đường thẳng $CD$ .

Khi đó $H(2 + 2t; - 1 + 2t;3 + t)$ $\Rightarrow \overrightarrow{AH} = (3 + 2t;2t;3 + t)$ .

Đường thẳng $CD$ có vtcp là: $\overrightarrow{u}(2;2;1)$ .

Ta có:

$\overrightarrow{AH}\bot\overrightarrow{u} \Rightarrow \overrightarrow{AH}.\overrightarrow{u} = 0$

$\Rightarrow 2(3 + 2t) + 2.2t + 3 + t = 0$

$\Leftrightarrow t = - 1 \Rightarrow H(0; - 3;2) \Rightarrow AH = 3$ .

Đường thẳng $AB$ đi qua $A$ và song song với $CD \Rightarrow$ phương trình $AB$ là: $\frac{x + 1}{2} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z}{1}$

$B \in AB \Rightarrow B( - 1 + 2a; - 1 + 2a;a)$ $\Rightarrow AB = 3|a| \Rightarrow CD = 6|a|$

Theo bài ra ta có:

$S_{ABCD} = \frac{AB + CD}{2}.AH$ $\Leftrightarrow \frac{3|a| + 6|a|}{2}.3 = 27$ $\Leftrightarrow |a| = 2 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} a = 2 \\ a = - 2 \\ \end{matrix} ight.$

Với $a = - 2 \Rightarrow B( - 5; - 5; - 2)$ .

Với $a = 2 \Rightarrow B(3;3; - 2)$

Ta có: $\overrightarrow{DH} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} \Rightarrow D( - 2; - 5;1)$
Câu 11: Vận dụng
Định tọa độ điểm M
Trong không gian $Oxyz$ cho $A(4; - 2;6)$ , $B(2;4;2)$ , $M \in (\alpha)\ :\ x + 2y - 3z - 7 = 0$ sao cho $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}$ nhỏ nhất. Tọa độ của $M$ bằng
- A.
  $\left( \frac{29}{13};\frac{58}{13};\frac{5}{13} ight)$ .
- B.
  $(4;3;1)$ .
- C.
  $\left( \frac{37}{3};\frac{- 56}{3};\frac{68}{3} ight)$ .
- D.
  $(1;3;4)$ .
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Gọi $I$ là trung điểm $AB \Rightarrow I(3;1;4)$ .

Gọi $H$ là hình chiếu của $I$ xuống mặt phẳng $(\alpha)$ .

Ta có $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB} = \left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA} ight).\left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IB} ight)$

$= MI^{2} + \overrightarrow{MI}.\left( \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} ight) - IA^{2} = MI^{2} - IA^{2}$ .

Do $IA$ không đổi nên $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}$ nhỏ nhất khi $MI$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow MI = IH \Leftrightarrow M \equiv H$ .

Gọi $\Delta$ là đường thẳng đi qua $I$ và vuông góc với mặt phẳng $(\alpha)$ .

Khi đó $\Delta$ nhận $\overrightarrow{n_{(\alpha)}} = (1;2; - 3)$ làm vectơ chỉ phương.

Do đó $\Delta$ có phương trình $\left\{ \begin{matrix} x = 3 + t \\ y = 1 + 2t \\ z = 4 - 3t \\ \end{matrix} ight.$ .

$H \in \Delta \Leftrightarrow H(3 + t;1 + 2t;4 - 3t)$ .

$H \in (\alpha) \Leftrightarrow (3 + t) + 2(1 + 2t) - 3(4 - 3t) - 7 = 0$

$\Leftrightarrow t = 1 \Leftrightarrow H(4;3;1)$ .

Vậy $M(4;3;1)$ .
Câu 12: Thông hiểu
Tìm hoành độ điểm A
Trong hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm $H(2;1;1)$ . Gọi các điểm $A,\ B,\ C$ lần lượt ở trên các trục tọa độ $Ox,\ Oy,\ Oz$ sao cho $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$ . Khi đó hoành độ điểm $A$ là:
- A.
  $- 3$ .
- B.
  $- 5$ .
- C.
  5.
- D.
  3.
Hướng dẫn:
Giả sử $A(a;0;0);B(0;b;0);C(0;0;c)$ .

Khi đó mặt phẳng $(ABC):\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AH} = (2 - a;1;1);\ \ \overrightarrow{BH} = (2;1 - b;1) \\ \overrightarrow{BC} = (0; - b;c)\ ;\ \ \ \overrightarrow{AC} = ( - a;0;c) \\ \end{matrix} ight.$

Vì $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$ nên $\left\{ \begin{matrix} H \in (ABC) \\ \overrightarrow{AH}.\overrightarrow{BC} = 0 \\ \overrightarrow{BH}.\overrightarrow{AC} = 0 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \dfrac{2}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} = 1 \\ - b + c = 0 \\ - 2a + c = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 3 \\ b = 6 \\ c = 6 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy $A(3;\ 0;\ 0)$
Câu 13: Thông hiểu
Tính giá trị biểu thức T
Trong không gian $Oxyz$ , cho hình thang cân $\ ABCD$ có các đáy lần lượt là $AB,CD$ . Biết $A(3;1; - 2)$ , $B( - 1;3;2)$ , $C( - 6;3;6)$ và $D(a;b;c)$ với $a;b;c\mathbb{\in R}$ . Tính $T = a + b + c$ .
- A.
  $T = 3$ .
- B.
  $T = 1$ .
- C.
  $T = - 3$ .
- D.
  $T = - 1$ .
Hướng dẫn:
Cách 1: Ta có $\overrightarrow{AB} = ( - 4;2;4);\overrightarrow{CD} = (a + 6;b - 3;c - 6)$

Do $ABCD$ là hình thang cân nên $\overrightarrow{CD} = k\overrightarrow{AB}\left( k\mathbb{\in R} ight)$ hay $\frac{a + 6}{- 2} = \frac{b - 3}{1} = \frac{c - 6}{2}$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} b = \frac{- a}{2} \\ c = - a \\ \end{matrix} ight.$ . Vậy $D\left( a;\frac{- a}{2}; - a ight)$ .

Lại có

$AC = BD \Leftrightarrow AC^{2} = BD^{2}$

$\Leftrightarrow ( - 9)^{2} + 2^{2} + 8^{2} = (a + 1)^{2} + \left( \frac{a}{2} + 3 ight)^{2} + (a + 2)^{2}$

$\Leftrightarrow a^{2} + 4a - 60 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} a = 6 \\ a = - 10 \\ \end{matrix} ight.$ .

Với $a = - 10 \Rightarrow D( - 10;5;10)$ . Kiểm tra thấy: $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$ .

Với $a = 6 \Rightarrow D(6; - 3; -6)$ .

Kiểm tra thấy: $( - 3).\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$ . Do đó, $T = a + b + c = 6 - 3 - 6 = - 3$ .

Cách 2

Ta có $\overrightarrow{AB} = ( - 4;2;4);\overrightarrow{CD} = (a + 6;b - 3;c - 6)$

Do $ABCD$ là hình thang cân nên $\overrightarrow{AB};_{}\overrightarrow{CD}$ ngược hướng hay $\frac{a + 6}{- 2} = \frac{b - 3}{1} = \frac{c - 6}{2} < 0$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} b = \frac{- a}{2} \\ c = - a \\ a > - 6 \\ \end{matrix} ight.$ . Vậy $D\left( a;\frac{- a}{2}; - a ight)$ với $a > - 6$ .

Lại có

$AC = BD \Leftrightarrow AC^{2} = BD^{2}$

$\Leftrightarrow ( - 9)^{2} + 2^{2} + 8^{2} = (a + 1)^{2} + \left( \frac{a}{2} + 3 ight)^{2} + (a + 2)^{2}$

$\Leftrightarrow a^{2} + 4a - 60 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} a = 6 \\ a = - 10(L) \\ \end{matrix} ight.$ .

Với $a = 6 \Rightarrow D(6; - 3; - 6)$ .

Do đó, $T = a + b + c = 6 - 3 - 6 = - 3$ .

Cách 3

+ Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng $AB$

+ Gọi mp $(\alpha)$ là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng $AB$ , suy ra mp $(\alpha)$ đi qua trung điểm $I(1\ ;\ 2\ ;0)$ của đoạn thẳng $AB$ và có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} = ( - 2\ ;1\ ;\ 2)$ , suy ra phương trình của mp $(\alpha)$ là: $(\alpha): - 2x + y + 2z = 0$ .

+ Vì $C,D$ đối xứng nhau qua mp $(\alpha)$ nên

$D(6\ ;\ - 3\ ;\ - 6) \Rightarrow a = 6;b = - 3;c = - 6$ $\Rightarrow T = a + b + c = - 3$
Câu 14: Thông hiểu
Xác định tọa độ trọng tâm tam giác
Trong không gian $Oxyz$ , cho $\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{i} - 2\overrightarrow{j} + 3\overrightarrow{k}$ , điểm $B(3\ ;\ - 4\ ;\ 1)$ và điểm $C(2\ ;\ 0\ ;\ - 1)$ . Tọa độ trọng tâm tam giác $ABC$ là
- A.
  $(2\ ;\ - 2\ ;\ 1)$ .
- B.
  $( - 1\ ;\ 2\ ;\ - 3)$ .
- C.
  $( - 2\ ;\ 2\ ;\ - 1)$ .
- D.
  $(1\ ;\ - 2\ ;\ 3)$ .
Hướng dẫn:
Từ $\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{i} - 2\overrightarrow{j} + 3\overrightarrow{k} \Rightarrow A(1\ ;\ - 2\ ;\ 3)$

Tọa độ trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$ là $\left\{ \begin{matrix} x_{G} = \dfrac{x_{A} + x_{B} + x_{C}}{3} = 2 \\ y_{G} = \dfrac{y_{A} + y_{B} + y_{C}}{3} = - 2 \\ z_{G} = \dfrac{z_{A} + z_{B} + z_{C}}{3} = 1 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy tọa độ trọng tâm $(2\ ;\ - 2\ ;\ 1)$ .
Câu 15: Vận dụng
Tính giá trị biểu thức
Trong không gian $Oxyz$ cho hai điểm $A(1\ ;\ \ 5\ ;\ 0)$ , $B(3\ ;\ 3\ ;\ 6)$ và đường thẳng $d:\ \frac{x + 1}{2} = \frac{y - 1}{- 1} = \frac{z}{2}$ . Điểm $M(a\ ;\ b\ ;\ c)$ thuộc đường thẳng $d$ sao cho chu vi tam giác $MAB$ nhỏ nhất. Khi đó biểu thức $a + 2b + 3c$ bằng
- A.
  $5$ .
- B.
  $9$ .
- C.
  $3$ .
- D.
  $7$ .
Hướng dẫn:
Ta có $AB = \sqrt{44}$ không đổi.

Do đó chu vi tam giác $MAB$ nhỏ nhất khi $(MA + MB)$ đạt giá trị nhỏ nhất.

$M \in (d) \Rightarrow M( - 1 + 2t\ ;\ 1 - t\ ;\ 2t)$ .

$MA = \sqrt{9t^{2} + 20} = \sqrt{(3t)^{2} + \left( 2\sqrt{5} ight)^{2}}$ , $MB = \sqrt{9t^{2} - 36t + 56} = \sqrt{(6 - 3t)^{2} + \left( 2\sqrt{5} ight)^{2}}$ .

Chọn $\overrightarrow{u} = \left( 3t\ ;\ 2\sqrt{5}\ ;\ 0 ight) \Rightarrow \left| \overrightarrow{u} ight| = \sqrt{(3t)^{2} + \left( 2\sqrt{5} ight)^{2}}$ .

Chọn $\overrightarrow{v} = \left( 6 - 3t\ ;\ 2\sqrt{5}\ ;\ 0 ight) \Rightarrow \left| \overrightarrow{v} ight| = \sqrt{(6 - 3t)^{2} + \left( 2\sqrt{5} ight)^{2}}$

$\Rightarrow \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} = \left( 6\ ;\ 4\sqrt{5}\ ;\ 0 ight) \Rightarrow \left| \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} ight| = 2\sqrt{29}$ .

Theo tính chất vecto $\left| \overrightarrow{u} ight| + \left| \overrightarrow{v} ight| \geq \left| \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} ight| = 2\sqrt{29}$ .

Dấu $" = "$ xảy ra khi và chỉ khi $\overrightarrow{u}$ cùng hướng với $\overrightarrow{v}$ $\Leftrightarrow t = 1$ .

Suy ra $MA + MB = \left| \overrightarrow{u} ight| + \left| \overrightarrow{v} ight| \geq 2\sqrt{29}$ .

Do đó $MA + MB$ đạt giá trị nhỏ nhất bằng $2\sqrt{29}$ khi $t = 1$ $\Rightarrow$ $M(1\ ;\ 0\ ;\ 2)$ .

Vậy $a + 2b + 3c = 1 + 2.0 + 3.2 = 7$ .
Câu 16: Vận dụng
Tìm tọa độ điểm D
Trong không gian vói hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho hình thang cân $ABCD$ có hai đáy $AB$ , $CD$ thỏa mãn $CD = 2AB$ và diện tích bằng $27$ , đỉnh $A( - 1; - 1;0)$ , phương trình đường thẳng chứa cạnh $CD$ là $\frac{x - 2}{2} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z - 3}{1}$ . Tìm tọa độ điểm $D$ biết hoành độ điểm $B$ lớn hơn hoành độ điểm $A$ .
- A.
  $D( - 3; - 5;1)$ .
- B.
  $D(3; - 5;1)$ .
- C.
  $D( - 2; - 5;1)$ .
- D.
  $D(2;-5;1)$ .
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Gọi điểm $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ lên đường thẳng $CD$ .

Khi đó $H(2 + 2t; - 1 + 2t;3 + t) \Rightarrow \overrightarrow{AH}(3 + 2t;2t;3 + t)$ .

Đường thẳng $CD$ có vtcp là: $\overrightarrow{u}(2;2;1)$ . Ta có:

$\overrightarrow{AH}\bot\overrightarrow{u} \Rightarrow \overrightarrow{AH}.\overrightarrow{u} = 0 \Rightarrow 2(3 + 2t) + 2.2t + 3 + t = 0 \Leftrightarrow t = - 1 \Rightarrow H(0; - 3;2) \Rightarrow AH = 3$ .

Đường thẳng $AB$ đi qua $A$ và song song với $CD \Rightarrow$ phương trình $AB$ là: $\frac{x + 1}{2} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z}{1}$

$B \in AB \Rightarrow B( - 1 + 2a; - 1 + 2a;a) \Rightarrow AB = 3|a| \Rightarrow CD = 6|a|$

Theo bài ra ta có: $S_{ABCD} = \frac{AB + CD}{2}.AH$ $\Leftrightarrow \frac{3|a| + 6|a|}{2}.3 = 27$ $\Leftrightarrow |a| = 2 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} a = 2 \\ a = - 2 \\ \end{matrix} ight.$

Với $a = - 2 \Rightarrow B( - 5; - 5; - 2)$ . Với $a = 2 \Rightarrow B(3;3; - 2)$

Ta có: $\overrightarrow{DH} = 2\overrightarrow{AB} \Rightarrow D( - 2; - 5;1)$
Câu 17: Vận dụng
Tính giá trị của biểuthức
Trong không gian $Oxyz$ cho các điểm $A(5\ ;\ 1\ ;\ 5)$ , $B(4\ ;\ 3\ ;\ 2)$ , $C( - 3\ ;\ - 2\ ;\ 1)$ . Điểm $I(a\ ;\ b\ ;\ c)$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ . Tính $a + 2b + c$ ?
- A.
  $6$ .
- B.
  $3$ .
- C.
  $- 9$ .
- D.
  $1$ .
Hướng dẫn:
Ta có: $\overrightarrow{AB} = ( - 1\ ;\ 2\ ;\ - 3)$ , $\overrightarrow{AC} = ( - 8\ ;\ - 3\ ;\ - 4)$ .

Gọi $M$ , $N$ lần lượt là trung điểm $AB$ , $AC \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} M\left( \frac{9}{2}\ ;\ 2\ ;\ \frac{7}{2} ight) \\ N\left( 1\ ;\ - \frac{1}{2}\ ;\ 3 ight) \\ \end{matrix} ight.$ .

Gọi $\overrightarrow{n}$ là véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng $(ABC)$

$\Rightarrow \overrightarrow{n} = \left\lbrack \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} ightbrack = ( - 17\ ;\ 20\ ;\ 19)$ .

$(ABC): - 17x + 20y + 19z - 30 = 0$ .

$I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{IM}\bot\overrightarrow{AB} \\ \overrightarrow{IN}\bot\overrightarrow{AC} \\ I \in (ABC) \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \left( \frac{9}{2} - a ight).( - 1) + (2 - b).2 + \left( \frac{7}{2} - c ight).( - 3) = 0 \\ (1 - a).( - 8) + \left( - \frac{1}{2} - b ight).( - 3) + (3 - c).( - 4) = 0 \\ - 17a + 20b + 19c - 30 = 0 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \left( \dfrac{9}{2} - a ight).( - 1) + (2 - b).2 + \left( \dfrac{7}{2} - c ight).( - 3) = 0 \\ (1 - a).( - 8) + \left( - \dfrac{1}{2} - b ight).( - 3) + (3 - c).( - 4) = 0 \\ - 17a + 20b + 19c - 30 = 0 \\ \end{matrix} ight.$ .

Vậy $a + 2b + c = 1 + 2.\left( - \frac{1}{2} ight) + 3 = 3$ .
Câu 18: Thông hiểu
Xác định giá trị tham sốk
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , biết $\left| \overrightarrow{u} \right| = 2$ ; $\left| \overrightarrow{v} \right| = 1$ và góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ bằng $\frac{2\pi}{3}$ . Tìm $k$ để vectơ $\overrightarrow{p} = k\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}$ vuông góc với vectơ $\overrightarrow{q} = \overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}$ .
- A.
  $k = - \frac{2}{5}$ .
- B.
  $k = \frac{2}{5}$ .
- C.
  $k = \frac{5}{2}$ .
- D.
  $k = 2$ .
Hướng dẫn:
Ta có: $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = 2.1.cos\left( \overrightarrow{u},\ \overrightarrow{v} ight) = 2.cos\frac{2\pi}{3} = - 1$ .

Vectơ $\overrightarrow{p} = k\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}$ vuông góc với vectơ $\overrightarrow{q} = \overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}$ khi và chỉ khi:

$\overrightarrow{p}.\overrightarrow{q} = \left( k\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} ight)\left( \overrightarrow{u} - \overrightarrow{v} ight) = 0$

$\Leftrightarrow k{\overrightarrow{u\ }}^{2} + (1 - k)\overrightarrow{u\ }.\overrightarrow{v\ } - {\overrightarrow{v\ }}^{2} = 0$

$\Leftrightarrow 4k - (1 - k) - 1 = 0 \Leftrightarrow k = \frac{2}{5}$ .
Câu 19: Nhận biết
Tính độ dài vectơ
Trong không gian $Oxyz$ , cho $A(1;1; - 3)$ , $B(3; - 1;1)$ . Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $OAB$ , vectơ $\overrightarrow{OG}$ có độ dài bằng:
- A.
  $\frac{2\sqrt{5}}{3}$ .
- B.
  $\frac{3\sqrt{5}}{2}$ .
- C.
  $\frac{3\sqrt{5}}{3}$ .
- D.
  $\frac{2\sqrt{5}}{5}$ .
Hướng dẫn:
Vì G là trọng tâm tam giác $OAB$ nên tọa độ $G\left( \frac{4}{3};0;\frac{- 2}{3} ight)$ .

Ta có: $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2 = k \\ m - 1 = 3k \\ 3 = k( - 2n) \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} k = 2 \\ m = 7 \\ n = - \dfrac{3}{4} \\ \end{matrix} ight.$
Câu 20: Vận dụng
Tính tổng a và b
Trong không gian $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(P)$ : $x - y + 2 = 0$ và hai điểm $A(1;\ 2;\ 3)$ , $B(1;0;1)$ . Điểm $C(a;\ b;\ - 2) \in (P)$ sao cho tam giác $ABC$ có diện tích nhỏ nhất. Tính $a + b$
- A.
  $- 3$ .
- B.
  0.
- C.
  1.
- D.
  2.
Hướng dẫn:
$C(a;\ b;\ - 2) \in (P) \Rightarrow a - b + 2 = 0 \Rightarrow b = a + 2 \Rightarrow C(a;\ a + 2;\ - 2)$ .

$\overrightarrow{AB} = (0;\ - 2;\ - 2)$ , $\overrightarrow{AC} = (a - 1\ ;\ a\ ;\ - 5) \Rightarrow \left\lbrack \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} ightbrack = (10 + 2a\ ;\ - 2a + 2\ ;\ 2a - 2)$ .

$S_{\Delta ABC} = \frac{1}{2}\left| \left\lbrack \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} ightbrack ight| = \frac{\sqrt{(2a + 10)^{2} + 2(2a - 2)^{2}}}{2}$

$= \frac{\sqrt{12a^{2} + 24a + 108}}{2} = \sqrt{3\left( a^{2} + 2a + 9 ight)}$

$= \sqrt{3(a + 1)^{2} + 24} \geq 2\sqrt{6}$ với $\forall a$ .

Do đó $\min S_{\Delta ABC} = 2\sqrt{6}$ khi $a = - 1$ .

Khi đó ta có $C( - 1;\ 1; - 2) \Rightarrow a + b = 0$ .
Câu 21: Vận dụng cao
Tìm số phần tử của tập hợp các điểm M
Trong không gian tọa độ $Oxyz$ , cho hai điểm $A(1;0;0)$ , $B(5;6;0)$ và $M$ là điểm thay đổi trên mặt cầu $(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1$ . Tập hợp các điểm $M$ trên mặt cầu $(S)$ thỏa mãn $3MA^{2} + MB^{2} = 48$ có bao nhiêu phần tử?
- A.
  $3$ .
- B.
  $2$ .
- C.
  $1$ .
- D.
  $0$ .
Hướng dẫn:
Mặt cầu $(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1$ có tâm $O(0;0;0)$ , bán kính $R = 1$ .

Ta tìm điểm $I(x;y;z)$ thỏa mãn $3\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \overrightarrow{0}$ .

Có $\overrightarrow{IA} = (1 - x\ ;\ - y\ ;\ - z)$ , $\overrightarrow{IB} = (5 - x\ ;\ 6 - y\ ;\ - z)$ ; $3\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \overrightarrow{0}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 3(1 - x) + 5 - x = 0 \\ 3( - y) + 6 - y = 0 \\ 3( - z) - z = 0 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} - 4x + 8 = 0 \\ - 4y + 6 = 0 \\ - 4z = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 2 \\ y = \frac{3}{2} \\ z = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow I\left( 2;\frac{3}{2};0 ight)$ .

Suy ra $IA = \frac{\sqrt{13}}{2}$ , $IB = \frac{3\sqrt{13}}{2}$ .

Do đó $3MA^{2} + MB^{2} = 48 \Leftrightarrow 3{\overrightarrow{MA}}^{2} + {\overrightarrow{MB}}^{2} = 48$

$\Leftrightarrow 3\left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA} ight)^{2} + \left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IB} ight)^{2} = 48$

$\Leftrightarrow 4MI^{2} + 3IA^{2} + IB^{2} + 2\overrightarrow{MI}\left( 3\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} ight) = 48$

$\Leftrightarrow 4MI^{2} + 3IA^{2} + IB^{2} = 48 \Leftrightarrow MI = \frac{3}{2}$ .

Ta thấy $OI = \frac{5}{2}$ nên điểm $I$ nằm ngoài mặt cầu $(S)$ . Ta có $OI = R + MI = OM + MI$ , suy ra có một điểm $M$ thuộc đoạn $OI$ thỏa mãn đề bài.
Câu 22: Nhận biết
Tìm ba điểm thẳng hàng trong 4 điểm đã cho
Trong không gian $Oxyz$ , cho bốn điểm $A( - 1;\ 2;\ 0)$ , $B(3;\ 1;\ 0)$ , $C(0;\ 2;\ 1)$ và $D(1;\ 2;\ 2)$ . Trong đó có ba điểm thẳng hàng là
- A.
  $A$ , $B$ , $D$ .
- B.
  $B$ , $C$ , $D$ .
- C.
  $A$ , $B$ , $C$ .
- D.
  $A$ , $C$ , $D$ .
Hướng dẫn:
Ta có: $\overrightarrow{AC} = (1;\ 0;\ 1)$ , $\overrightarrow{AD} = (2;\ 0;\ 2)$

Mà $\overrightarrow{AC} \land \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{0}$ , nên hai vecto $\overrightarrow{AC}$ , $\overrightarrow{AD}$ cùng phương, hay ba điểm $\mathbf{A}\mathbf{,}\mathbf{C}\mathbf{,}\mathbf{D}$ thẳng hàng.

Nhận xét: Có thể vẽ phát họa lên hệ tọa độ $Oxyz$ để nhìn nhận dễ dàng hơn.
Câu 23: Thông hiểu
Định tọa độ trọng tâm tam giác ABC
Trong không gian $(Oxyz)$ cho $\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{i} - 2\overrightarrow{j} + 3\overrightarrow{k},$ điểm $B(3; - 4;1)$ và điểm $C(2;0; - 1).$ Tọa độ trọng tâm của tam giác ABC là
- A.
  $( - 1;2; - 3).$
- B.
  $( - 2;2; - 1).$
- C.
  $(1; - 2;3).$
- D.
  $(2; - 2;1).$
Hướng dẫn:
Ta có $\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{i} - 2\overrightarrow{j} + 3\overrightarrow{k} = > A(1; - 2;3).$

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC ta có

$\left\{ \begin{matrix} x_{G} = \dfrac{x_{A} + x_{B} + x_{C}}{3} = \dfrac{1 + 3 + 2}{3} = 2 \\ y_{G} = \dfrac{y_{A} + y_{B} + y_{C}}{3} = \dfrac{- 2 - 4 + 0}{3} = - 2 \\ z_{G} = \dfrac{z_{A} + z_{B} + z_{C}}{3} = \dfrac{3 + 1 - 1}{3} = 1 \\ \end{matrix} ight.$ .

Vậy $G(2; - 2;1).$
Câu 24: Vận dụng
Chọn đáp án đúng
Trong không gian $Oxyz$ , cho hình lăng trụ tam giác đều $ABC.A'B'C'$ có $A'\left( \sqrt{3}\ ;\ - 1\ ;\ 1 \right)$ , hai đỉnh $B\ ,\ C$ thuộc trục $Oz$ và $AA' = 1$ ( $C$ không trùng với $O$ ). Biết véctơ $\overrightarrow{u} = (a\ ;\ b\ ;\ 2)$ với $a\ ,\ b\mathbb{\in R}$ là một véctơ chỉ phương của đường thẳng $A'C$ . Tính $T = a^{2} + b^{2}$ .
- A.
  $T = 16$ .
- B.
  $T = 4$ .
- C.
  $T = 5$ .
- D.
  $T = 9$ .
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Gọi $M$ là trung điểm $BC$ .

Khi đó có $\left\{ \begin{matrix} AM\bot BC \\ AA'\bot BC \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow BC\bot A'M$ tại $M \Rightarrow M$ là hình chiếu của $A'$ trên trục $Oz$

$A'\left( \sqrt{3}\ ;\ - 1\ ;\ 1 ight) \Rightarrow M(0\ ;\ 0\ ;\ 1)$ và $A'M = 2$ .

Ta có: $AM = \sqrt{A'M^{2} - A{A'}^{2}} = \sqrt{3}$ .

Mà tam giác $ABC$ đều nên $AM = \frac{\sqrt{3}}{2}BC = \sqrt{3} \Rightarrow BC = 2 \Rightarrow MC = 1$ .

Vì $C$ thuộc trục $Oz$ và $C$ không trùng với $O$ nên gọi $C(0\ ;\ 0\ ;\ c)$ , $c eq 0$ .

$\overrightarrow{MC} = (0\ ;\ 0\ ;\ c - 1)$ $\Rightarrow MC = |c - 1|$ ; $MC = 1$ $\Leftrightarrow |c - 1| = 1$ $\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} c = 0\ (L) \\ c = 2 \\ \end{matrix} ight.$ $\Rightarrow C(0\ ;\ 0\ ;\ 2)$ .

$\overrightarrow{A'C} = \left( -\sqrt{3} ; 1 ;1 ight)$ là một véctơ chỉ phương của đường thẳng $A'C$

$\Rightarrow$ $\overrightarrow{u} = \left( - 2\sqrt{3}\ ;\ 2\ ;\ 2 ight)$ cũng là một véctơ chỉ phương của đường thẳng $A'C$ .

Vậy $a = - 2\sqrt{3};\ \ b = 2 \Rightarrow T = a^{2} + b^{2} = 16.$
Câu 25: Vận dụng
Tính độ dài đoạn thẳng
Trong không gian $Oxyz$ , cho đường thẳng $d:\frac{x - 3}{2} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z - 1}{2}$ và điểm $M(1\ ;2\ ;\ - 3)$ . Gọi $M_{1}$ là hình chiếu vuông góc của $M$ lên đường thẳng $d$ . Độ dài đoạn thẳng $OM_{1}$ bằng
- A.
  $3$ .
- B.
  $2$ .
- C.
  $2\sqrt{2}$ .
- D.
  $\sqrt{6}$ .
Hướng dẫn:
Cách 1: Phương trình tham số của đường thẳng $d$ là: $\left\{ \begin{matrix} x = 3 + 2t \\ y = - 1 + t \\ z = 1 + 2t \\ \end{matrix} ight.$ .

Một vtcp của $d$ là $\overrightarrow{u} = (2\ ;\ 1\ ;\ 2)$ .

Gọi $(\alpha)$ là mặt phẳng đi qua điểm $M(1\ ;2\ ;\ - 3)$ và vuông góc với đường thẳng $d$ . Khi đó $(\alpha)$ có vtpt là $\overrightarrow{n} = \overrightarrow{u} = (2\ ;\ 1\ ;\ 2)$ .

Phương trình mặt phẳng $(\alpha)$ : $2(x - 1) + 1(y - 2) + 2(z + 3) = 0$ $\Leftrightarrow 2x + y + 2z + 2 = 0$ .

$M_{1}$ là hình chiếu vuông góc của $M$ lên đường thẳng $d$ nên $M_{1}$ là giao điểm của $d$ và $(\alpha)$ .

Xét hệ phương trình: $\left\{ \begin{matrix} x = 3 + 2t\ \ \ \ \ (1) \\ y = - 1 + t\ \ \ \ \ (2) \\ z = 1 + 2t\ \ \ \ \ \ (3) \\ 2x + y + 2z + 2 = 0\ (4) \\ \end{matrix} ight.$

Thay $(1),(2),(3)$ vào $(4)$ ta được: $2(3 + 2t) - 1 + t + 2(1 + 2t) + 2 = 0$

$\Leftrightarrow 9t + 9 = 0 \Leftrightarrow t = - 1$ .

Suy ra $\left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = - 2 \\ z = - 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow M_{1}(1\ ;\ - 2\ ;\ -1)$ .

Độ dài đoạn thẳng $OM_{1}$ là: $OM_{1} = \sqrt{1^{2} + ( - 2)^{2} + ( -1)^{2}} = \sqrt{6}$ .

Cách 2: Phương trình tham số của đường thẳng $d$ là: $\left\{ \begin{matrix} x = 3 + 2t \\ y = - 1 + t \\ z = 1 + 2t \\ \end{matrix} ight.$ .

Một vtcp của $d$ là $\overrightarrow{u} = (2\ ;\ 1\ ;\ 2)$ .

$M_{1} \in d \Rightarrow M_{1}(3 + 2t\ ;\ - 1 + t\ ;\ 1 + 2t)$

$\Rightarrow \overrightarrow{MM_{1}} = (2 + 2t\ ;\ - 3 + t\ ;\ 4 + 2t)$ .

Ta có $\overrightarrow{MM_{1}}\bot\overrightarrow{u} \Leftrightarrow \overrightarrow{MM_{1}}.\overrightarrow{u} = 0$ $\Leftrightarrow 4 + 4t - 3 + t + 8 + 4t = 0 \Leftrightarrow t = - 1$ .

Suy ra $M_{1}(1\ ;\ - 2\ ;\ - 1)$

Độ dài đoạn thẳng $OM_{1}$ là: $OM_{1} = \sqrt{1^{2} + ( - 2)^{2} + ( -1)^{2}} = \sqrt{6}$ .
Câu 26: Thông hiểu
Tính giá trị của biểu thức
Trong không gian $Oxyz$ , cho $\overrightarrow{AO} = \overrightarrow{i} - 2\overrightarrow{j} + 3\overrightarrow{k}$ , điểm $B(3\ ;\ - 4\ ;\ 1)$ $C(2\ ;\ 0\ ;\ - 1)$ và

điểm $D(a\ ;\ b\ ;\ c)$ sao cho $B$ là trọng tâm tam giác $ACD$ . Khi đó $P = a + b + c$ bằng
- A.
  $- 3$ .
- B.
  $3$ .
- C.
  $1$ .
- D.
  $- 1$ .
Hướng dẫn:
Ta có: $P = a + b + c = 1$
Câu 27: Thông hiểu
Chọn phát biểu đúng
Trong không gian tọa độ $Oxyz$ , cho hai điểm $A(1;0;0)$ , $B(5;0;0)$ . Gọi $(H)$ là tập hợp các điểm $M$ trong không gian thỏa mãn $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB} = 0$ . Khẳng định nào sau đây là đúng?
- A.
  $(H)$ là một mặt cầu có bán kính bằng $4$ .
- B.
  $(H)$ là một đường tròn có bán kính bằng $2$ .
- C.
  $(H)$ là một đường tròn có bán kính bằng $4$ .
- D.
  $(H)$ là một mặt cầu có bán kính bằng $2$ .
Hướng dẫn:
Gọi $I$ là trung điểm $AB \Rightarrow I(3;0;0)$ .

Ta có :

$\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB} = 0 \Leftrightarrow \left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA} ight).\left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IB} ight) = 0$

$\Leftrightarrow \left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA} ight).\left( \overrightarrow{MI} - \overrightarrow{IA} ight) = 0$

$\Leftrightarrow MI^{2} - IA^{2} = 0 \Leftrightarrow MI^{2} = IA^{2} \Leftrightarrow MI = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}.|5 - 1| = 2$ .

Suy ra tập hợp điểm $M$ trong không gian là mặt cầu tâm $I$ , bán kính bằng 2.

Vậy $(H)$ là một mặt cầu có bán kính bằng $2$ .
Câu 28: Thông hiểu
Chọn phương án thíchhợp
Trong không gian $Oxyz$ , cho hai điểm $A(2 ; - 2 ; 1)$ , $B(0; 1 ;2)$ . Tọa độ điểm $M$ thuộc mặt phẳng $(Oxy)$ sao cho ba điểm $A$ , $B$ , $M$ thẳng hàng là
- A.
  $M(4 ; 5; 0)$ .
- B.
  $M(4\ ;\ - 5\ ;\ 0)$ .
- C.
  $M(0 ; 0 ;1)$ .
- D.
  $M(2 ; - 3 ;0)$ .
Hướng dẫn:
Ta có: $M \in (Oxy) \Rightarrow M(x\ ;\ y\ ;\ 0)$ ; $\overrightarrow{AB} = ( - 2\ ;\ 3\ ;\ 1);\overrightarrow{AM} = (x - 2\ ;\ y + 2\ ;\ - 1)$ .

Để $A$ , $B$ , $M$ thẳng hàng thì $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AM}$ cùng phương , khi đó :

$\frac{x - 2}{- 2} = \frac{y + 2}{3} = \frac{- 1}{1} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 4 \\ y = - 5 \\ \end{matrix} ight.$ .

Vậy $M(4\ ;\ - 5\ ;\ 0)$ .
Câu 29: Thông hiểu
Định điều kiện tọa độ điểm E
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ cho hai điểm $A(2;3;2)$ , $B( - 2; - 1;4)$ . Tìm tọa độ điểm $E$ thuộc trục $Oz$ sao cho $E$ cách đều hai điểm $A,B$ .
- A.
  $\left( 0\ ;0\ ;\frac{1}{3} ight)$ .
- B.
  $(0\ ;0\ ; - 1)$ .
- C.
  $(0\ ;0\ ;1)$ .
- D.
  $\left( 0\ ;0\ ;\frac{1}{2} ight)$ .
Hướng dẫn:
Gọi $E(0;\ 0;\ t)\ \in Oz$ . Ta có:

$AE = BE$

$\Leftrightarrow \sqrt{t^{2} - 4t + 17} = \sqrt{t^{2} - 8t + 21}$

$\Leftrightarrow t = 1 \Rightarrow E(0;0;1)$
Câu 30: Vận dụng
Chọn phương án thíchhợp
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho $A(1;0;2)$ , $B(3;1;4)$ , $C(3; - 2;1)$ . Tìm tọa độ điểm $S$ , biết $SA$ vuông góc với $(ABC)$ , mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $S.ABC$ có bán kính bằng $\frac{3\sqrt{11}}{2}$ và $S$ có cao độ âm.
- A.
  $S(4; - 6; - 4)$ .
- B.
  $S( - 4;6; - 4)$ .
- C.
  $S(4;6; - 4)$ .
- D.
  $S( - 4; - 6; - 4)$ .
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Ta có $\overrightarrow{AB} = (2;1;2)$ , $\overrightarrow{AC} = (2; - 2; - 1) \Rightarrow \left\lbrack \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} ightbrack = (3;6; - 6).$

Do $SA$ vuông góc với nên một VTCP của đường thẳng $SA$ được chọn là $\overrightarrow{u} = \left\lbrack \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} ightbrack = (3;6; - 6).$

Đường thẳng $SA$ qua $A(1;0;2)$ và có VTCP $\overrightarrow{u} = (3;6; - 6)$ nên có phương trình tham số là:

$\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 3t \\ y = 6t \\ z = 2 - 6t \\ \end{matrix} ight.\ \left( t\mathbb{\in R} ight)$ .

Do $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = 4 - 2 - 2 = 0 \Rightarrow AB\bot AC \Rightarrow \Delta ABC$ vuông tại $A$ .

Gọi $M$ là trung điểm $BC,$ khi đó $M$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ . Gọi $d$ là đường thẳng qua $M$ và song song với $SA$ nên $d\bot(ABC)$ , suy ra $d$ là trục đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$ .

Trong mặt phẳng $(SAM)$ vẽ đường trung trực của $SA$ cắt $d$ tại $I$ và cắt $SA$ tại $N$ .

Mặt phẳng $(ABC)$ qua $A$ và có một VTPT $\overrightarrow{n} = \left\lbrack \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} ightbrack = (3;6; - 6)$ nên có phương trình tổng quát là:

$3(x - 1) + 6y - 6(z - 2) = 0 \Leftrightarrow x + 2y - 2z + 3 = 0$

$\overrightarrow{BC} = (0; - 3; - 3) \Rightarrow BC = \sqrt{18} \Rightarrow BC^{2} = 18$ .

Ta có $R^{2} = IA^{2} + AM^{2} \Leftrightarrow \frac{99}{4} = IM^{2} + \frac{1}{4}BC^{2} \Rightarrow IM = \frac{9}{2}$ .

Do $S \in SA$ nên $S(1 + 3t;6t;2 - 6t)$ , mà $SA = 2IM \Rightarrow SA = 9$

$\Leftrightarrow d\left( S,(ABC) ight) = 9$

$\Leftrightarrow \frac{\left| 1 + 3t + 12t - 2(2 - 6t) + 3 ight|}{\sqrt{1^{2} + ( - 2)^{2} + 2^{2}}} = 9$

$\Leftrightarrow |27t| = 27 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} t = 1 \Rightarrow S(4;6; - 4) \\ t = - 1 \Rightarrow S( - 2; - 6;8) \\ \end{matrix} ight.$ , mà cao độ của $S$ âm nên $S(4;6; - 4)$ thỏa mãn.
Câu 31: Vận dụng cao
Tìm tọa độ điểm M thỏa mãn điều kiện
Trong không gian $Oxyz$ , cho $\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{i} + \overrightarrow{j} - 3\overrightarrow{k}$ , $B(2;2;1)$ . Tìm tọa độ điểm $M$ thuộc trục tung sao cho $MA^{2} + MB^{2}$ nhỏ nhất.
- A.
  $M(0 ; - 3 ;0)$ .
- B.
  $M(0\ ; - 2\ ;0)$ .
- C.
  $M(0\ ; - 4\ ;0)$ .
- D.
  $M\left( 0\ ;\frac{3}{2}\ ;0 ight)$ .
Hướng dẫn:
Khi đó:

$MA^{2} + MB^{2} = {\overrightarrow{MA}}^{2} + {\overrightarrow{MB}}^{2}$

$= \left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA} ight)^{2} + \left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IB} ight)^{2}$

$= 2{\overrightarrow{MI}}^{2} + {\overrightarrow{IA}}^{2} + {\overrightarrow{IB}}^{2} + 2\overrightarrow{MI}.\left( \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} ight)$

$= 2MI^{2} + IA^{2} + IB^{2} = 2MI^{2} + 9$ .

Do đó $MA^{2} + MB^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi $MI$ có độ dài ngắn nhất, điều này xảy ra khi và chỉ khi $M$ là hình chiếu vuông góc của $I$ trên trục tung.

Phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua $I$ và vuông góc với trục tung là

$0.\left( x - \frac{3}{2} ight) + 1.\left( y - \frac{3}{2} ight) + 0.(z + 1) = 0$ hay $(P):y - \frac{3}{2} = 0$ .

Phương trình tham số của trục tung là $\left\{ \begin{matrix} x = 0 \\ y = t \\ z = 0 \\ \end{matrix} ight.$ .

Tọa độ điểm $M$ cần tìm là nghiệm $(x\ ;y\ ;z)$ của hệ phương trình:

$\left\{ \begin{matrix} x = 0 \\ y = t \\ z = 0 \\ y - \frac{3}{2} = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 0 \\ y = \frac{3}{2} \\ z = 0 \\ \end{matrix} ight.$ .

Vậy $M\left( 0\ ;\frac{3}{2}\ ;0 ight)$ .
Câu 32: Thông hiểu
Tìm tổng x và y
Trong không gian $Oxyz$ cho ba điểm $A( - 1\ ;\ 1\ ;\ 2)$ , $B(0\ ;\ 1\ ;\ - 1)$ , $C(x + 2;y; - 2)$ thẳng hàng. Tổng $x + y$ bằng
- A.
  $- \frac{2}{3}$ .
- B.
  $\frac{7}{3}$ .
- C.
  $- \frac{1}{3}$ .
- D.
  $- \frac{8}{3}$ .
Hướng dẫn:
Ta có $\overrightarrow{AB} = (1;0; - 3)$ , $\overrightarrow{BC} = (x + 2;y - 1; - 1)$ .

Ba điểm $A,B,C$ thẳng hàng $\Leftrightarrow$ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{BC}$ cùng phương $\Leftrightarrow \exists k:\overrightarrow{BC} = k\overrightarrow{AB}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x + 2 = k \\ y - 1 = 0 \\ - 1 = - 3k \\ \end{matrix} ight.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = \dfrac{- 5}{3} \\ y = 1 \\ k = \dfrac{1}{3} \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow x + y = - \dfrac{2}{3}$ .
Câu 33: Thông hiểu
Tính độ dài đoạn thẳng
Trong không gian $Oxyz$ , cho tam giác $ABC$ với $A(1\ ;2\ ;5)$ , $B(3\ ;4\ ;1)$ , $C(2\ ;3\ ; - 3)$ . Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ và $M$ là điểm thay đổi trên $mp(Oxz)$ . Độ dài $GM$ ngắn nhất bằng
- A.
  $4$ .
- B.
  $3$ .
- C.
  $1$ .
- D.
  $2$ .
Hướng dẫn:
Do $G$ là trọng tâm tam giác $ABC \Rightarrow G(2\ ;3\ ;1)$ .

Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $G$ trên mặt phẳng $(Oxz)$ , khi đó $GH$ là khoảng cách từ $G$ đến mặt phẳng $(Oxz)$ , ta có: $GH = d\left( G,(Oxz) ight) = 3$

Với $M$ là điểm thay đổi trên mặt phẳng $(Oxz)$ , ta có $GM \geq GH = 3$ , do đó $GM$ ngắn nhất $\Leftrightarrow M \equiv H$ . Vậy độ dài $GM$ ngắn nhất bằng $3$ .
Câu 34: Thông hiểu
Tính tổng a và b
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(\alpha):\ x + y + z - 3 = 0$ và đường thẳng $d:\frac{x}{1} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z - 2}{- 1}$ . Gọi $\Delta$ là hình chiếu vuông góc của $d$ trên $(\alpha)$ và $\overrightarrow{u} = (1;\ a;\ b)$ là một vectơ chỉ phương của $\Delta$ với $a,\ b\mathbb{\in Z}$ . Tính tổng $a + b$ .
- A.
  $- 2$ .
- B.
  $1$ .
- C.
  $- 1$ .
- D.
  $0$ .
Hướng dẫn:

Ta có mặt phẳng $(\alpha)$ nhận vectơ $\overrightarrow{n_{\alpha}} = (1;\ 1;\ 1)$ là vectơ pháp tuyến, đường thẳng $d$ đi qua điểm $A = (0;\ - 1;\ 2)$ và nhận $\overrightarrow{u_{d}} = (1;\ 2;\ - 1)$ là vectơ chỉ phương

Gọi $(\beta)$ là mặt phẳng chứa đường thẳng $d$ và vuông góc với mặt phẳng $(\alpha)$ .

Ta có $\overrightarrow{n_{\beta}} = \overrightarrow{n_{\alpha}} \land \overrightarrow{u_{d}} = ( - 3;\ 2;\ 1)$ .

Khi đó đường thẳng $\Delta$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $(\alpha)$ và $(\beta)$ .

Do đó một vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ là $\overrightarrow{u_{\Delta}} = \overrightarrow{n_{\alpha}} \land \overrightarrow{n_{\beta}} = ( - 1;\ - 4;\ 5)$ .

Mà $\overrightarrow{u} = (1;\ a;\ b)$ nên $a = 4$ , $b = - 5$ . Vậy $a + b = - 1$ .

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:

Nhận biết (9%):

2/3
Thông hiểu (53%):

2/3
Vận dụng (32%):

2/3
Vận dụng cao (6%):

2/3

Thời gian làm bài: 00:00:00
Số câu làm đúng: 0
Số câu làm sai: 0
Điểm số: 0
Điểm thưởng: 0

Làm lại

Chia sẻ bởi:
Su kem

1

22

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Chuyên đề Toán 12

Xem thêm

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Bài tập Toán 12 Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

A. CHUYÊN ĐỀ TRỌNG TÂM

B. CHUYÊN ĐỀ TRẮC NGHIỆM

Lớp 12

Toán 12

Chuyên đề Toán 12

Chuyên đề Toán 12

Chuyên đề Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm hợp, hàm ẩn

Cho hàm số y = f(x) tìm cực trị của hàm g(x) = f(u(x)) + h(x)

Cho hàm số y = f(u(x)) xét sự đơn điệu của hàm y = f(x)

Cho đồ thị hàm số tìm số nghiệm của phương trình f(u(x)) = a

Chuyên đề Tìm cực trị của hàm hợp, hàm ẩn

Cho hàm số y = f(x) tìm cực trị của hàm g(x) = f(u(x))