Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Lớp 12 Toán 12 Chuyên đề Toán 12
Đóng
Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm
Mua VnDoc PRO chỉ từ Đang cập nhật

Bài tập Toán 12 Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ

Ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán

VnDoc.com xin gửi tới bạn đọc bài viết Trắc nghiệm Toán 12: Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ. Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết bài viết dưới đây nhé!

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao
  • Bài kiểm tra này bao gồm 34 câu
  • Điểm số bài kiểm tra: 34 điểm
  • Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
  • Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu
Bắt đầu!!
00:00:00
  • Câu 1: Vận dụng
    Tính giá trị biểu thức

    Trong không gian Oxyz cho hai điểm A(1\ ;\ \ 5\ ;\ 0), B(3\ ;\ 3\ ;\ 6) và đường thẳng d:\ \frac{x + 1}{2} = \frac{y - 1}{- 1} = \frac{z}{2}. Điểm M(a\ ;\ b\ ;\ c) thuộc đường thẳng d sao cho chu vi tam giác MAB nhỏ nhất. Khi đó biểu thức a + 2b + 3c bằng

    Hướng dẫn:

    Ta có AB = \sqrt{44} không đổi.

    Do đó chu vi tam giác MAB nhỏ nhất khi (MA + MB) đạt giá trị nhỏ nhất.

    M \in (d) \Rightarrow M( - 1 + 2t\ ;\ 1 - t\ ;\ 2t).

    MA = \sqrt{9t^{2} + 20} = \sqrt{(3t)^{2} + \left( 2\sqrt{5} ight)^{2}}, MB = \sqrt{9t^{2} - 36t + 56} = \sqrt{(6 - 3t)^{2} + \left( 2\sqrt{5} ight)^{2}}.

    Chọn \overrightarrow{u} = \left( 3t\ ;\ 2\sqrt{5}\ ;\ 0 ight) \Rightarrow \left| \overrightarrow{u} ight| = \sqrt{(3t)^{2} + \left( 2\sqrt{5} ight)^{2}}.

    Chọn \overrightarrow{v} = \left( 6 - 3t\ ;\ 2\sqrt{5}\ ;\ 0 ight) \Rightarrow \left| \overrightarrow{v} ight| = \sqrt{(6 - 3t)^{2} + \left( 2\sqrt{5} ight)^{2}}

    \Rightarrow \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} = \left( 6\ ;\ 4\sqrt{5}\ ;\ 0 ight) \Rightarrow \left| \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} ight| = 2\sqrt{29}.

    Theo tính chất vecto \left| \overrightarrow{u} ight| + \left| \overrightarrow{v} ight| \geq \left| \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} ight| = 2\sqrt{29}.

    Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi \overrightarrow{u} cùng hướng với \overrightarrow{v} \Leftrightarrow t = 1.

    Suy ra MA + MB = \left| \overrightarrow{u} ight| + \left| \overrightarrow{v} ight| \geq 2\sqrt{29}.

    Do đóMA + MB đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2\sqrt{29} khi t = 1 \Rightarrow M(1\ ;\ 0\ ;\ 2).

    Vậy a + 2b + 3c = 1 + 2.0 + 3.2 = 7.

  • Câu 2: Thông hiểu
    Tìm hoành độ điểm A

    Trong hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm H(2;1;1). Gọi các điểm A,\ B,\ C lần lượt ở trên các trục tọa độ Ox,\ Oy,\ Oz sao cho H là trực tâm của tam giác ABC. Khi đó hoành độ điểm A là:

    Hướng dẫn:

    Giả sử A(a;0;0);B(0;b;0);C(0;0;c).

    Khi đó mặt phẳng (ABC):\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AH} = (2 - a;1;1);\ \ \overrightarrow{BH} = (2;1 - b;1) \\ \overrightarrow{BC} = (0; - b;c)\ ;\ \ \ \overrightarrow{AC} = ( - a;0;c) \\ \end{matrix} ight.

    Vì H là trực tâm của tam giác ABCnên \left\{ \begin{matrix} H \in (ABC) \\ \overrightarrow{AH}.\overrightarrow{BC} = 0 \\ \overrightarrow{BH}.\overrightarrow{AC} = 0 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \dfrac{2}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} = 1 \\ - b + c = 0 \\ - 2a + c = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 3 \\ b = 6 \\ c = 6 \\ \end{matrix} ight.

    Vậy A(3;\ 0;\ 0)

  • Câu 3: Nhận biết
    Tính độ dài vectơ

    Trong không gian Oxyz, cho A(1;1; - 3), B(3; - 1;1). Gọi G là trọng tâm tam giác OAB, vectơ \overrightarrow{OG} có độ dài bằng:

    Hướng dẫn:

    Vì G là trọng tâm tam giác OAB nên tọa độ G\left( \frac{4}{3};0;\frac{- 2}{3} ight).

    Ta có: \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2 = k \\ m - 1 = 3k \\ 3 = k( - 2n) \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} k = 2 \\ m = 7 \\ n = - \dfrac{3}{4} \\ \end{matrix} ight.

  • Câu 4: Thông hiểu
    Tính tổng x và y

    Trong không gian Oxyz, cho ba điểmA(3\ ;\ 5\ ;\ - 1), B(7\ ;\ x\ ;\ 1)và C(9\ ;\ 2\ ;\ y). Để A, B, C thẳng hàng thì giá trị x + y bằng

    Hướng dẫn:

    Ta có \overrightarrow{AB} = (4\ ;\ x - 5\ ;\ 2), \overrightarrow{AC} = (6\ ;\ - 3\ ;\ y + 1).

    Ba điểm A, B, C thẳng hàng \Leftrightarrow \exists k\mathbb{\in R}:\overrightarrow{AB} = k.\overrightarrow{AC}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 4 = 6k \\ x - 5 = - 3k \\ 2 = k(y + 1) \\ \end{matrix} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} k = \frac{2}{3} \\ x = 3 \\ y = 2 \\ \end{matrix} ight..

    Vậy x + y = 5.

  • Câu 5: Vận dụng cao
    Tìm số phần tử của tập hợp các điểm M

    Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;0;0), B(5;6;0) và M là điểm thay đổi trên mặt cầu (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1. Tập hợp các điểm M trên mặt cầu (S) thỏa mãn 3MA^{2} + MB^{2} = 48 có bao nhiêu phần tử?

    Hướng dẫn:

    Mặt cầu (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1 có tâm O(0;0;0), bán kính R = 1.

    Ta tìm điểm I(x;y;z) thỏa mãn 3\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \overrightarrow{0}.

    Có \overrightarrow{IA} = (1 - x\ ;\ - y\ ;\ - z), \overrightarrow{IB} = (5 - x\ ;\ 6 - y\ ;\ - z); 3\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \overrightarrow{0}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 3(1 - x) + 5 - x = 0 \\ 3( - y) + 6 - y = 0 \\ 3( - z) - z = 0 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} - 4x + 8 = 0 \\ - 4y + 6 = 0 \\ - 4z = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 2 \\ y = \frac{3}{2} \\ z = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow I\left( 2;\frac{3}{2};0 ight).

    Suy ra IA = \frac{\sqrt{13}}{2}, IB = \frac{3\sqrt{13}}{2}.

    Do đó 3MA^{2} + MB^{2} = 48 \Leftrightarrow 3{\overrightarrow{MA}}^{2} + {\overrightarrow{MB}}^{2} = 48

    \Leftrightarrow 3\left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA} ight)^{2} + \left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IB} ight)^{2} = 48

    \Leftrightarrow 4MI^{2} + 3IA^{2} + IB^{2} + 2\overrightarrow{MI}\left( 3\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} ight) = 48

    \Leftrightarrow 4MI^{2} + 3IA^{2} + IB^{2} = 48 \Leftrightarrow MI = \frac{3}{2}.

    Ta thấy OI = \frac{5}{2} nên điểm I nằm ngoài mặt cầu (S). Ta có OI = R + MI = OM + MI, suy ra có một điểm M thuộc đoạn OI thỏa mãn đề bài.

  • Câu 6: Thông hiểu
    Tính giá trị của biểu thức

    Trong không gian Oxyz, cho \overrightarrow{AO} = \overrightarrow{i} - 2\overrightarrow{j} + 3\overrightarrow{k}, điểm B(3\ ;\ - 4\ ;\ 1) C(2\ ;\ 0\ ;\ - 1)và

    điểm D(a\ ;\ b\ ;\ c) sao cho B là trọng tâm tam giác ACD. Khi đó P = a + b + c bằng

    Hướng dẫn:

    Ta có: P = a + b + c = 1

  • Câu 7: Thông hiểu
    Xác định tọa độ trọng tâm tam giác

    Trong không gian Oxyz, cho \overrightarrow{OA} = \overrightarrow{i} - 2\overrightarrow{j} + 3\overrightarrow{k}, điểm B(3\ ;\ - 4\ ;\ 1) và điểm C(2\ ;\ 0\ ;\ - 1). Tọa độ trọng tâm tam giác ABC là

    Hướng dẫn:

    Từ \overrightarrow{OA} = \overrightarrow{i} - 2\overrightarrow{j} + 3\overrightarrow{k} \Rightarrow A(1\ ;\ - 2\ ;\ 3)

    Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là \left\{ \begin{matrix} x_{G} = \dfrac{x_{A} + x_{B} + x_{C}}{3} = 2 \\ y_{G} = \dfrac{y_{A} + y_{B} + y_{C}}{3} = - 2 \\ z_{G} = \dfrac{z_{A} + z_{B} + z_{C}}{3} = 1 \\ \end{matrix} ight.

    Vậy tọa độ trọng tâm (2\ ;\ - 2\ ;\ 1).

  • Câu 8: Thông hiểu
    Xác định tọa độ điểm A’

    Trong không gian Oxyz, cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' biết A(1;0;1), B(2;1;2), D(1; - 1;1), C'(4;5; - 5). Tọa độ của điểm A' là:

    Hướng dẫn:

    Gọi A'(a;b;c)

    ABCD.A'B'C'D' là hình hộp \Rightarrow \overrightarrow{AC'} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'}

    \Leftrightarrow \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AC'} - \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD}

    \overrightarrow{AB} = (1;1;1), \overrightarrow{AD} = (0; - 1;0), \overrightarrow{AC'} = (3;5; - 6)

    ⇒ \overrightarrow{AC'} - \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD} = (2;5; - 7)

    \overrightarrow{AA'} = (a - 1;b;c - 1)

    (1) \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a - 1 = 2 \\ b = 5 \\ c - 1 = - 7 \\ \end{matrix} ight.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 3 \\ b = 5 \\ c = - 6 \\ \end{matrix} ight.. Vậy: A'(3;5; - 6).

  • Câu 9: Thông hiểu
    Định tọa độ trọng tâm tam giác ABC

    Trong không gian (Oxyz) cho \overrightarrow{OA} = \overrightarrow{i} - 2\overrightarrow{j} + 3\overrightarrow{k},điểm B(3; - 4;1) và điểm C(2;0; - 1). Tọa độ trọng tâm của tam giác ABC là

    Hướng dẫn:

    Ta có \overrightarrow{OA} = \overrightarrow{i} - 2\overrightarrow{j} + 3\overrightarrow{k} = > A(1; - 2;3).

    Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC ta có

    \left\{ \begin{matrix} x_{G} = \dfrac{x_{A} + x_{B} + x_{C}}{3} = \dfrac{1 + 3 + 2}{3} = 2 \\ y_{G} = \dfrac{y_{A} + y_{B} + y_{C}}{3} = \dfrac{- 2 - 4 + 0}{3} = - 2 \\ z_{G} = \dfrac{z_{A} + z_{B} + z_{C}}{3} = \dfrac{3 + 1 - 1}{3} = 1 \\ \end{matrix} ight..

    Vậy G(2; - 2;1).

  • Câu 10: Vận dụng
    Xác định giá trị biểuthức

    Trong không gian với hệ tọa Oxyz, cho vectơ \overrightarrow{a} = (1; - 2;4), \overrightarrow{b} = \left( x_{0};y_{0};z_{0} \right) cùng phương với vectơ \overrightarrow{a}. Biết vectơ \overrightarrow{b} tạo với tia Oy một góc nhọn và \left| \overrightarrow{b} \right| = \sqrt{21}. Giá trị của tổng x_{0} + y_{0} + z_{0} bằng

    Hướng dẫn:

    Do \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} cùng phương và nên ta có \overrightarrow{b} = k.\overrightarrow{a}(k eq 0) \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} x_{0} = k \\ y_{0} = - 2k \\ z_{0} = 4k \\ \end{matrix} ight..

    Suy ra \frac{x_{0}}{1} = \frac{y_{0}}{- 2} = \frac{z_{0}}{4} = \frac{x_{0} + y_{0} + z_{0}}{3}

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} x_{0} = \dfrac{1}{3}\left( x_{0} + y_{0} + z_{0} ight) \\ y_{0} = - \dfrac{2}{3}\left( x_{0} + y_{0} + z_{0} ight) \\ z_{0} = \dfrac{4}{3}\left( x_{0} + y_{0} + z_{0} ight) \\ \end{matrix} ight..

    Theo giả thiết vectơ \overrightarrow{b} tạo với tia Oy một góc nhọn nên \overrightarrow{b}.\overrightarrow{j} > 0 với \overrightarrow{j} = (0;1;0), do đóy_{0} > 0.

    Mà \frac{y_{0}}{- 2} = \frac{x_{0} + y_{0} + z_{0}}{3} nên x_{0} + y_{0} + z_{0} < 0.

    Lại có \left| \overrightarrow{b} ight| = \sqrt{21}, suy ra

    \sqrt{x_{0}^{2} + y_{0}^{2} + z_{0}^{2}} = \sqrt{\frac{21}{9}\left( x_{0} + y_{0} + z_{0} ight)^{2}}= \sqrt{21} \Rightarrow \left( x_{0} + y_{0} + z_{0} ight)^{2} = 9.

    Vậy x_{0} + y_{0} + z_{0} = - 3.

  • Câu 11: Vận dụng
    Tính giá trị của biểuthức

    Trong không gian Oxyz cho các điểm A(5\ ;\ 1\ ;\ 5), B(4\ ;\ 3\ ;\ 2), C( - 3\ ;\ - 2\ ;\ 1). Điểm I(a\ ;\ b\ ;\ c) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tính a + 2b + c?

    Hướng dẫn:

    Ta có: \overrightarrow{AB} = ( - 1\ ;\ 2\ ;\ - 3), \overrightarrow{AC} = ( - 8\ ;\ - 3\ ;\ - 4).

    Gọi M, N lần lượt là trung điểm AB, AC \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} M\left( \frac{9}{2}\ ;\ 2\ ;\ \frac{7}{2} ight) \\ N\left( 1\ ;\ - \frac{1}{2}\ ;\ 3 ight) \\ \end{matrix} ight..

    Gọi \overrightarrow{n} là véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC)

    \Rightarrow \overrightarrow{n} = \left\lbrack \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} ightbrack = ( - 17\ ;\ 20\ ;\ 19).

    (ABC): - 17x + 20y + 19z - 30 = 0.

    I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{IM}\bot\overrightarrow{AB} \\ \overrightarrow{IN}\bot\overrightarrow{AC} \\ I \in (ABC) \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \left( \frac{9}{2} - a ight).( - 1) + (2 - b).2 + \left( \frac{7}{2} - c ight).( - 3) = 0 \\ (1 - a).( - 8) + \left( - \frac{1}{2} - b ight).( - 3) + (3 - c).( - 4) = 0 \\ - 17a + 20b + 19c - 30 = 0 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \left( \dfrac{9}{2} - a ight).( - 1) + (2 - b).2 + \left( \dfrac{7}{2} - c ight).( - 3) = 0 \\ (1 - a).( - 8) + \left( - \dfrac{1}{2} - b ight).( - 3) + (3 - c).( - 4) = 0 \\ - 17a + 20b + 19c - 30 = 0 \\ \end{matrix} ight..

    Vậy a + 2b + c = 1 + 2.\left( - \frac{1}{2} ight) + 3 = 3.

  • Câu 12: Nhận biết
    Tìm ba điểm thẳng hàng trong 4 điểm đã cho

    Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A( - 1;\ 2;\ 0), B(3;\ 1;\ 0), C(0;\ 2;\ 1) và D(1;\ 2;\ 2). Trong đó có ba điểm thẳng hàng là

    Hướng dẫn:

    Ta có: \overrightarrow{AC} = (1;\ 0;\ 1), \overrightarrow{AD} = (2;\ 0;\ 2)

    Mà \overrightarrow{AC} \land \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{0}, nên hai vecto \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD} cùng phương, hay ba điểm \mathbf{A}\mathbf{,}\mathbf{C}\mathbf{,}\mathbf{D} thẳng hàng.

    Nhận xét: Có thể vẽ phát họa lên hệ tọa độ Oxyz để nhìn nhận dễ dàng hơn.

  • Câu 13: Thông hiểu
    Chọn phát biểu đúng

    Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;0;0), B(5;0;0). Gọi (H) là tập hợp các điểm M trong không gian thỏa mãn \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB} = 0. Khẳng định nào sau đây là đúng?

    Hướng dẫn:

    Gọi I là trung điểmAB \Rightarrow I(3;0;0).

    Ta có :

    \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB} = 0 \Leftrightarrow \left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA} ight).\left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IB} ight) = 0

    \Leftrightarrow \left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA} ight).\left( \overrightarrow{MI} - \overrightarrow{IA} ight) = 0

    \Leftrightarrow MI^{2} - IA^{2} = 0 \Leftrightarrow MI^{2} = IA^{2} \Leftrightarrow MI = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}.|5 - 1| = 2.

    Suy ra tập hợp điểm M trong không gian là mặt cầu tâm I, bán kính bằng 2.

    Vậy (H) là một mặt cầu có bán kính bằng 2.

  • Câu 14: Vận dụng
    Định tọa độ điểm M

    Trong không gian Oxyzcho A(4; - 2;6), B(2;4;2),M \in (\alpha)\ :\ x + 2y - 3z - 7 = 0 sao cho\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB} nhỏ nhất. Tọa độ của M bằng

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Gọi I là trung điểm AB \Rightarrow I(3;1;4).

    Gọi H là hình chiếu của I xuống mặt phẳng (\alpha).

    Ta có \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB} = \left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA} ight).\left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IB} ight)

    = MI^{2} + \overrightarrow{MI}.\left( \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} ight) - IA^{2} = MI^{2} - IA^{2}.

    Do IA không đổi nên \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB} nhỏ nhất khi MI nhỏ nhất \Leftrightarrow MI = IH \Leftrightarrow M \equiv H.

    Gọi \Delta là đường thẳng đi qua I và vuông góc với mặt phẳng (\alpha).

    Khi đó \Delta nhận \overrightarrow{n_{(\alpha)}} = (1;2; - 3)làm vectơ chỉ phương.

    Do đó \Delta có phương trình \left\{ \begin{matrix} x = 3 + t \\ y = 1 + 2t \\ z = 4 - 3t \\ \end{matrix} ight..

    H \in \Delta \Leftrightarrow H(3 + t;1 + 2t;4 - 3t).

    H \in (\alpha) \Leftrightarrow (3 + t) + 2(1 + 2t) - 3(4 - 3t) - 7 = 0

    \Leftrightarrow t = 1 \Leftrightarrow H(4;3;1).

    Vậy M(4;3;1).

  • Câu 15: Nhận biết
    Chọn đáp án thích hợp

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho hai điểm A( - 2;3;4),B(8; - 5;6). Hình chiếu vuông góc của trung điểm I của đoạn AB trên mặt phẳng (Oyz) là điểm nào dưới đây?

    Hướng dẫn:

    Vì I là trung điểm của đoạn AB nên I(3; - 1;5).

    Khi đó hình chiếu của I lên (Oyz) là M(0; - 1;5).

  • Câu 16: Vận dụng
    Chọn đáp án đúng

    Trong không gian Oxyz, cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có A'\left( \sqrt{3}\ ;\ - 1\ ;\ 1 \right), hai đỉnh B\ ,\ C thuộc trục Oz và AA' = 1 (C không trùng với O). Biết véctơ \overrightarrow{u} = (a\ ;\ b\ ;\ 2) với a\ ,\ b\mathbb{\in R} là một véctơ chỉ phương của đường thẳng A'C. Tính T = a^{2} + b^{2}.

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Gọi M là trung điểm BC.

    Khi đó có \left\{ \begin{matrix} AM\bot BC \\ AA'\bot BC \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow BC\bot A'M tại M \Rightarrow M là hình chiếu của A' trên trục Oz

    A'\left( \sqrt{3}\ ;\ - 1\ ;\ 1 ight) \Rightarrow M(0\ ;\ 0\ ;\ 1) và A'M = 2.

    Ta có: AM = \sqrt{A'M^{2} - A{A'}^{2}} = \sqrt{3}.

    Mà tam giác ABC đều nên AM = \frac{\sqrt{3}}{2}BC = \sqrt{3} \Rightarrow BC = 2 \Rightarrow MC = 1.

    Vì C thuộc trục Oz và C không trùng với O nên gọi C(0\ ;\ 0\ ;\ c), c eq 0.

    \overrightarrow{MC} = (0\ ;\ 0\ ;\ c - 1) \Rightarrow MC = |c - 1|; MC = 1 \Leftrightarrow |c - 1| = 1 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} c = 0\ (L) \\ c = 2 \\ \end{matrix} ight. \Rightarrow C(0\ ;\ 0\ ;\ 2).

    \overrightarrow{A'C} = \left( -\sqrt{3} ; 1 ;1 ight) là một véctơ chỉ phương của đường thẳng A'C

    \Rightarrow \overrightarrow{u} = \left( - 2\sqrt{3}\ ;\ 2\ ;\ 2 ight)cũng là một véctơ chỉ phương của đường thẳng A'C.

    Vậy a = - 2\sqrt{3};\ \ b = 2 \Rightarrow T = a^{2} + b^{2} = 16.

  • Câu 17: Vận dụng
    Tính tổng a và b

    Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): x - y + 2 = 0 và hai điểm A(1;\ 2;\ 3), B(1;0;1). Điểm C(a;\ b;\ - 2) \in (P) sao cho tam giác ABC có diện tích nhỏ nhất. Tính a + b

    Hướng dẫn:

    C(a;\ b;\ - 2) \in (P) \Rightarrow a - b + 2 = 0 \Rightarrow b = a + 2 \Rightarrow C(a;\ a + 2;\ - 2).

    \overrightarrow{AB} = (0;\ - 2;\ - 2), \overrightarrow{AC} = (a - 1\ ;\ a\ ;\ - 5) \Rightarrow \left\lbrack \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} ightbrack = (10 + 2a\ ;\ - 2a + 2\ ;\ 2a - 2).

    S_{\Delta ABC} = \frac{1}{2}\left| \left\lbrack \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} ightbrack ight| = \frac{\sqrt{(2a + 10)^{2} + 2(2a - 2)^{2}}}{2}

    = \frac{\sqrt{12a^{2} + 24a + 108}}{2} = \sqrt{3\left( a^{2} + 2a + 9 ight)}

    = \sqrt{3(a + 1)^{2} + 24} \geq 2\sqrt{6} với \forall a.

    Do đó \min S_{\Delta ABC} = 2\sqrt{6} khi a = - 1.

    Khi đó ta có C( - 1;\ 1; - 2) \Rightarrow a + b = 0.

  • Câu 18: Thông hiểu
    Tìm tổng x và y

    Trong không gian Oxyz cho ba điểm A( - 1\ ;\ 1\ ;\ 2), B(0\ ;\ 1\ ;\ - 1), C(x + 2;y; - 2) thẳng hàng. Tổng x + y bằng

    Hướng dẫn:

    Ta có \overrightarrow{AB} = (1;0; - 3), \overrightarrow{BC} = (x + 2;y - 1; - 1).

    Ba điểm A,B,C thẳng hàng \Leftrightarrow \overrightarrow{AB} và \overrightarrow{BC} cùng phương \Leftrightarrow \exists k:\overrightarrow{BC} = k\overrightarrow{AB}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x + 2 = k \\ y - 1 = 0 \\ - 1 = - 3k \\ \end{matrix} ight.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = \dfrac{- 5}{3} \\ y = 1 \\ k = \dfrac{1}{3} \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow x + y = - \dfrac{2}{3}.

  • Câu 19: Vận dụng
    Xác định mệnh đề đúng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình thang ABCD có hai đáy AB,\ CD; có tọa độ ba đỉnh A(1;2;1),\ B(2;0; - 1),\ C(6;1;0). Biết hình thang có diện tích bằng 6\sqrt{2}. Giả sử đỉnh D(a;b;c), tìm mệnh đề đúng?

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Ta có:

    \overrightarrow{AB} = (1; - 2; - 2);\overrightarrow{AC} = (5; - 1; - 1);\overrightarrow{DC} = (6 - a;1 - b; - c).

    Ta có S_{\Delta ABC} = \frac{1}{2}\left| \left\lbrack \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} ightbrack ight| = \frac{9\sqrt{2}}{2}

    \Rightarrow S_{ACD} = 6\sqrt{2} - \frac{9\sqrt{2}}{2} = \frac{3\sqrt{2}}{2}.

    AB//CD nên \overrightarrow{AB} và \overrightarrow{DC} cùng phương, cùng chiều \Leftrightarrow \frac{6 - a}{1} = \frac{1 - b}{- 2} = \frac{c}{2} > 0

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} c = 12 - 2a \\ b = 13 - 2a \\ a < 6 \\ b > 1 \\ c > 0 \\ \end{matrix} ight.

    \left\lbrack \overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD} ightbrack = (0;9a - 54;54 - 9a).

    S_{\Delta ACD} = \frac{3\sqrt{2}}{2} \Leftrightarrow \frac{1}{2}\left| \left\lbrack \overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD} ightbrack ight| = \frac{3\sqrt{2}}{2}

    \Leftrightarrow |54 - 9a| = 3 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} a = \frac{19}{3} \\ a = \frac{17}{3} \\ \end{matrix} ight.\ .

    So với điều kiện suy ra: a = \frac{17}{3} \Rightarrow a + b + c = 8.

  • Câu 20: Thông hiểu
    Tính giá trị biểu thức T

    Trong không gian Oxyz, cho hình thang cân\ ABCD có các đáy lần lượt là AB,CD. Biết A(3;1; - 2), B( - 1;3;2), C( - 6;3;6) và D(a;b;c) với a;b;c\mathbb{\in R}. Tính T = a + b + c.

    Hướng dẫn:

    Cách 1: Ta có \overrightarrow{AB} = ( - 4;2;4);\overrightarrow{CD} = (a + 6;b - 3;c - 6)

    Do ABCD là hình thang cân nên \overrightarrow{CD} = k\overrightarrow{AB}\left( k\mathbb{\in R} ight) hay \frac{a + 6}{- 2} = \frac{b - 3}{1} = \frac{c - 6}{2}

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} b = \frac{- a}{2} \\ c = - a \\ \end{matrix} ight.. Vậy D\left( a;\frac{- a}{2}; - a ight).

    Lại có

    AC = BD \Leftrightarrow AC^{2} = BD^{2}

    \Leftrightarrow ( - 9)^{2} + 2^{2} + 8^{2} = (a + 1)^{2} + \left( \frac{a}{2} + 3 ight)^{2} + (a + 2)^{2}

    \Leftrightarrow a^{2} + 4a - 60 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} a = 6 \\ a = - 10 \\ \end{matrix} ight..

    Với a = - 10 \Rightarrow D( - 10;5;10). Kiểm tra thấy: \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} .

    Với a = 6 \Rightarrow D(6; - 3; -6).

    Kiểm tra thấy: ( - 3).\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} . Do đó, T = a + b + c = 6 - 3 - 6 = - 3.

    Cách 2

    Ta có \overrightarrow{AB} = ( - 4;2;4);\overrightarrow{CD} = (a + 6;b - 3;c - 6)

    Do ABCD là hình thang cân nên \overrightarrow{AB};_{}\overrightarrow{CD} ngược hướng hay \frac{a + 6}{- 2} = \frac{b - 3}{1} = \frac{c - 6}{2} < 0

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} b = \frac{- a}{2} \\ c = - a \\ a > - 6 \\ \end{matrix} ight.. Vậy D\left( a;\frac{- a}{2}; - a ight) với a > - 6 .

    Lại có

    AC = BD \Leftrightarrow AC^{2} = BD^{2}

    \Leftrightarrow ( - 9)^{2} + 2^{2} + 8^{2} = (a + 1)^{2} + \left( \frac{a}{2} + 3 ight)^{2} + (a + 2)^{2}

    \Leftrightarrow a^{2} + 4a - 60 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} a = 6 \\ a = - 10(L) \\ \end{matrix} ight..

    Với a = 6 \Rightarrow D(6; - 3; - 6).

    Do đó, T = a + b + c = 6 - 3 - 6 = - 3.

    Cách 3

    + Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB

    + Gọi mp (\alpha) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB, suy ra mp (\alpha) đi qua trung điểm I(1\ ;\ 2\ ;0) của đoạn thẳng AB và có một vectơ pháp tuyến là \overrightarrow{n} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} = ( - 2\ ;1\ ;\ 2), suy ra phương trình của mp (\alpha)là: (\alpha): - 2x + y + 2z = 0.

    + Vì C,D đối xứng nhau qua mp(\alpha)nên

    D(6\ ;\ - 3\ ;\ - 6) \Rightarrow a = 6;b = - 3;c = - 6 \Rightarrow T = a + b + c = - 3

  • Câu 21: Thông hiểu
    Chọn phương án thíchhợp

    Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2 ; - 2 ; 1), B(0; 1 ;2). Tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng (Oxy) sao cho ba điểm A, B, M thẳng hàng là

    Hướng dẫn:

    Ta có: M \in (Oxy) \Rightarrow M(x\ ;\ y\ ;\ 0); \overrightarrow{AB} = ( - 2\ ;\ 3\ ;\ 1);\overrightarrow{AM} = (x - 2\ ;\ y + 2\ ;\ - 1).

    Để A, B, M thẳng hàng thì \overrightarrow{AB} và \overrightarrow{AM} cùng phương , khi đó :

    \frac{x - 2}{- 2} = \frac{y + 2}{3} = \frac{- 1}{1} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 4 \\ y = - 5 \\ \end{matrix} ight. .

    Vậy M(4\ ;\ - 5\ ;\ 0).

  • Câu 22: Thông hiểu
    Định điều kiện tọa độ điểm E

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho hai điểm A(2;3;2), B( - 2; - 1;4). Tìm tọa độ điểm E thuộc trục Oz sao cho E cách đều hai điểm A,B.

    Hướng dẫn:

    Gọi E(0;\ 0;\ t)\ \in Oz. Ta có:

    AE = BE

    \Leftrightarrow \sqrt{t^{2} - 4t + 17} = \sqrt{t^{2} - 8t + 21}

    \Leftrightarrow t = 1 \Rightarrow E(0;0;1)

  • Câu 23: Vận dụng
    Tính độ dài đoạn thẳng

    Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d:\frac{x - 3}{2} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z - 1}{2} và điểm M(1\ ;2\ ;\ - 3). Gọi M_{1} là hình chiếu vuông góc của M lên đường thẳng d. Độ dài đoạn thẳng OM_{1} bằng

    Hướng dẫn:

    Cách 1: Phương trình tham số của đường thẳng d là: \left\{ \begin{matrix} x = 3 + 2t \\ y = - 1 + t \\ z = 1 + 2t \\ \end{matrix} ight..

    Một vtcp của d là \overrightarrow{u} = (2\ ;\ 1\ ;\ 2).

    Gọi (\alpha) là mặt phẳng đi qua điểm M(1\ ;2\ ;\ - 3) và vuông góc với đường thẳng d. Khi đó (\alpha) có vtpt là \overrightarrow{n} = \overrightarrow{u} = (2\ ;\ 1\ ;\ 2).

    Phương trình mặt phẳng (\alpha): 2(x - 1) + 1(y - 2) + 2(z + 3) = 0 \Leftrightarrow 2x + y + 2z + 2 = 0.

    M_{1} là hình chiếu vuông góc của M lên đường thẳng d nên M_{1} là giao điểm của d và (\alpha).

    Xét hệ phương trình: \left\{ \begin{matrix} x = 3 + 2t\ \ \ \ \ (1) \\ y = - 1 + t\ \ \ \ \ (2) \\ z = 1 + 2t\ \ \ \ \ \ (3) \\ 2x + y + 2z + 2 = 0\ (4) \\ \end{matrix} ight.

    Thay (1),(2),(3) vào (4) ta được: 2(3 + 2t) - 1 + t + 2(1 + 2t) + 2 = 0

    \Leftrightarrow 9t + 9 = 0 \Leftrightarrow t = - 1.

    Suy ra \left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = - 2 \\ z = - 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow M_{1}(1\ ;\ - 2\ ;\ -1).

    Độ dài đoạn thẳng OM_{1} là: OM_{1} = \sqrt{1^{2} + ( - 2)^{2} + ( -1)^{2}} = \sqrt{6}.

    Cách 2: Phương trình tham số của đường thẳng d là: \left\{ \begin{matrix} x = 3 + 2t \\ y = - 1 + t \\ z = 1 + 2t \\ \end{matrix} ight..

    Một vtcp của d là \overrightarrow{u} = (2\ ;\ 1\ ;\ 2).

    M_{1} \in d \Rightarrow M_{1}(3 + 2t\ ;\ - 1 + t\ ;\ 1 + 2t)

    \Rightarrow \overrightarrow{MM_{1}} = (2 + 2t\ ;\ - 3 + t\ ;\ 4 + 2t).

    Ta có \overrightarrow{MM_{1}}\bot\overrightarrow{u} \Leftrightarrow \overrightarrow{MM_{1}}.\overrightarrow{u} = 0\Leftrightarrow 4 + 4t - 3 + t + 8 + 4t = 0 \Leftrightarrow t = - 1.

    Suy ra M_{1}(1\ ;\ - 2\ ;\ - 1)

    Độ dài đoạn thẳng OM_{1} là: OM_{1} = \sqrt{1^{2} + ( - 2)^{2} + ( -1)^{2}} = \sqrt{6}.

  • Câu 24: Vận dụng
    Tìm tọa độ điểm D

    Trong không gian vói hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình thang cân ABCD có hai đáy AB, CD thỏa mãn CD = 2AB và diện tích bằng 27, đỉnh A( - 1; - 1;0), phương trình đường thẳng chứa cạnh CD là\frac{x - 2}{2} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z - 3}{1} . Tìm tọa độ điểm D biết x_{B} > x_{A}.

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Gọi điểm H là hình chiếu vuông góc của A lên đường thẳng CD.

    Khi đó H(2 + 2t; - 1 + 2t;3 + t)\Rightarrow \overrightarrow{AH} = (3 + 2t;2t;3 + t) .

    Đường thẳng CD có vtcp là: \overrightarrow{u}(2;2;1).

    Ta có:

    \overrightarrow{AH}\bot\overrightarrow{u} \Rightarrow \overrightarrow{AH}.\overrightarrow{u} = 0

    \Rightarrow 2(3 + 2t) + 2.2t + 3 + t = 0

    \Leftrightarrow t = - 1 \Rightarrow H(0; - 3;2) \Rightarrow AH = 3.

    Đường thẳng AB đi qua A và song song với CD \Rightarrow phương trình ABlà: \frac{x + 1}{2} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z}{1}

    B \in AB \Rightarrow B( - 1 + 2a; - 1 + 2a;a) \Rightarrow AB = 3|a| \Rightarrow CD = 6|a|

    Theo bài ra ta có:

    S_{ABCD} = \frac{AB + CD}{2}.AH\Leftrightarrow \frac{3|a| + 6|a|}{2}.3 = 27 \Leftrightarrow |a| = 2 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} a = 2 \\ a = - 2 \\ \end{matrix} ight.

    Với a = - 2 \Rightarrow B( - 5; - 5; - 2) .

    Với a = 2 \Rightarrow B(3;3; - 2)

    Ta có: \overrightarrow{DH} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} \Rightarrow D( - 2; - 5;1)

  • Câu 25: Vận dụng
    Chọn phương án thíchhợp

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(1;0;2), B(3;1;4), C(3; - 2;1). Tìm tọa độ điểm S, biết SA vuông góc với (ABC), mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S.ABC có bán kính bằng \frac{3\sqrt{11}}{2} và S có cao độ âm.

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Ta có \overrightarrow{AB} = (2;1;2), \overrightarrow{AC} = (2; - 2; - 1) \Rightarrow \left\lbrack \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} ightbrack = (3;6; - 6).

    Do SA vuông góc với nên một VTCP của đường thẳng SA được chọn là \overrightarrow{u} = \left\lbrack \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} ightbrack = (3;6; - 6).

    Đường thẳng SA qua A(1;0;2) và có VTCP \overrightarrow{u} = (3;6; - 6) nên có phương trình tham số là:

    \left\{ \begin{matrix} x = 1 + 3t \\ y = 6t \\ z = 2 - 6t \\ \end{matrix} ight.\ \left( t\mathbb{\in R} ight).

    Do \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = 4 - 2 - 2 = 0 \Rightarrow AB\bot AC \Rightarrow \Delta ABC vuông tại A.

    Gọi M là trung điểm BC, khi đó M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Gọi d là đường thẳng qua M và song song với SA nên d\bot(ABC), suy ra d là trục đường tròn ngoại tiếp \Delta ABC.

    Trong mặt phẳng (SAM) vẽ đường trung trực của SA cắt d tại I và cắt SA tại N.

    Mặt phẳng (ABC) qua A và có một VTPT \overrightarrow{n} = \left\lbrack \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} ightbrack = (3;6; - 6) nên có phương trình tổng quát là:

    3(x - 1) + 6y - 6(z - 2) = 0 \Leftrightarrow x + 2y - 2z + 3 = 0

    \overrightarrow{BC} = (0; - 3; - 3) \Rightarrow BC = \sqrt{18} \Rightarrow BC^{2} = 18.

    Ta có R^{2} = IA^{2} + AM^{2} \Leftrightarrow \frac{99}{4} = IM^{2} + \frac{1}{4}BC^{2} \Rightarrow IM = \frac{9}{2}.

    Do S \in SA nên S(1 + 3t;6t;2 - 6t), mà SA = 2IM \Rightarrow SA = 9

    \Leftrightarrow d\left( S,(ABC) ight) = 9

    \Leftrightarrow \frac{\left| 1 + 3t + 12t - 2(2 - 6t) + 3 ight|}{\sqrt{1^{2} + ( - 2)^{2} + 2^{2}}} = 9

    \Leftrightarrow |27t| = 27 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} t = 1 \Rightarrow S(4;6; - 4) \\ t = - 1 \Rightarrow S( - 2; - 6;8) \\ \end{matrix} ight., mà cao độ của S âm nên S(4;6; - 4) thỏa mãn.

  • Câu 26: Thông hiểu
    Tìm tọa độ điểm M

    Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(3;1; - 2), B(2; - 3;5). Điểm M thuộc đoạn AB sao cho MA = 2MB, tọa độ điểm M là

    Hướng dẫn:

    Gọi M(x;\ y;\ z).

    Vì điểm M thuộc đoạn AB sao cho MA = 2MB \Rightarrow \overrightarrow{AM} = 2\overrightarrow{MB}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = \dfrac{7}{3} \\ y = - \dfrac{5}{3} \\ z = \dfrac{8}{3} \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow M\left( \dfrac{7}{3}; -\dfrac{5}{3};\dfrac{8}{3} ight)

    Vậy M\left( \frac{7}{3};\frac{- 5}{3};\frac{8}{3} ight).

  • Câu 27: Vận dụng
    Tìm tọa độ điểm D

    Trong không gian vói hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình thang cân ABCD có hai đáy AB, CD thỏa mãn CD = 2AB và diện tích bằng 27, đỉnh A( - 1; - 1;0), phương trình đường thẳng chứa cạnh CD là\frac{x - 2}{2} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z - 3}{1} . Tìm tọa độ điểm D biết hoành độ điểm B lớn hơn hoành độ điểm A .

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Gọi điểm H là hình chiếu vuông góc của A lên đường thẳng CD.

    Khi đó H(2 + 2t; - 1 + 2t;3 + t) \Rightarrow \overrightarrow{AH}(3 + 2t;2t;3 + t) .

    Đường thẳng CDcó vtcp là: \overrightarrow{u}(2;2;1). Ta có:

    \overrightarrow{AH}\bot\overrightarrow{u} \Rightarrow \overrightarrow{AH}.\overrightarrow{u} = 0 \Rightarrow 2(3 + 2t) + 2.2t + 3 + t = 0 \Leftrightarrow t = - 1 \Rightarrow H(0; - 3;2) \Rightarrow AH = 3.

    Đường thẳng AB đi qua A và song song với CD \Rightarrow phương trình ABlà: \frac{x + 1}{2} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z}{1}

    B \in AB \Rightarrow B( - 1 + 2a; - 1 + 2a;a) \Rightarrow AB = 3|a| \Rightarrow CD = 6|a|

    Theo bài ra ta có: S_{ABCD} = \frac{AB + CD}{2}.AH\Leftrightarrow \frac{3|a| + 6|a|}{2}.3 = 27\Leftrightarrow |a| = 2 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} a = 2 \\ a = - 2 \\ \end{matrix} ight.

    Với a = - 2 \Rightarrow B( - 5; - 5; - 2) . Với a = 2 \Rightarrow B(3;3; - 2)

    Ta có: \overrightarrow{DH} = 2\overrightarrow{AB} \Rightarrow D( - 2; - 5;1)

  • Câu 28: Thông hiểu
    Tính tổng a và b

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (\alpha):\ x + y + z - 3 = 0 và đường thẳng d:\frac{x}{1} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z - 2}{- 1}. Gọi \Delta là hình chiếu vuông góc của d trên (\alpha) và \overrightarrow{u} = (1;\ a;\ b) là một vectơ chỉ phương của \Delta với a,\ b\mathbb{\in Z}. Tính tổng a + b.

    Hướng dẫn:

    Ta có mặt phẳng (\alpha) nhận vectơ \overrightarrow{n_{\alpha}} = (1;\ 1;\ 1) là vectơ pháp tuyến, đường thẳng d đi qua điểm A = (0;\ - 1;\ 2) và nhận \overrightarrow{u_{d}} = (1;\ 2;\ - 1) là vectơ chỉ phương

    Gọi (\beta) là mặt phẳng chứa đường thẳng d và vuông góc với mặt phẳng(\alpha).

    Ta có \overrightarrow{n_{\beta}} = \overrightarrow{n_{\alpha}} \land \overrightarrow{u_{d}} = ( - 3;\ 2;\ 1).

    Khi đó đường thẳng \Delta là giao tuyến của hai mặt phẳng (\alpha) và (\beta).

    Do đó một vectơ chỉ phương của đường thẳng \Delta là \overrightarrow{u_{\Delta}} = \overrightarrow{n_{\alpha}} \land \overrightarrow{n_{\beta}} = ( - 1;\ - 4;\ 5).

    Mà \overrightarrow{u} = (1;\ a;\ b) nên a = 4, b = - 5. Vậy a + b = - 1.

  • Câu 29: Thông hiểu
    Tìm m, n để các vecto cùnghướng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các vectơ \overrightarrow{a} = (2;m - 1;3),\overrightarrow{b} = (1;3; - 2n). Tìm m,n để các vectơ \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} cùng hướng.

    Hướng dẫn:

    Ta có: \overrightarrow{a} và \overrightarrow{b} cùng hướng\Leftrightarrow \overrightarrow{a} = k\overrightarrow{b\ }(k > 0)

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2 = k \\ m - 1 = 3k \\ 3 = k( - 2n) \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} k = 2 \\ m = 7 \\ n = - \frac{3}{4} \\ \end{matrix} ight..

    Vậy m = 7;n = - \frac{3}{4}

  • Câu 30: Thông hiểu
    Xác định giá trị tham sốk

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, biết \left| \overrightarrow{u} \right| = 2; \left| \overrightarrow{v} \right| = 1 và góc giữa hai vectơ \overrightarrow{u}và \overrightarrow{v} bằng \frac{2\pi}{3}. Tìm k để vectơ \overrightarrow{p} = k\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} vuông góc với vectơ \overrightarrow{q} = \overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}.

    Hướng dẫn:

    Ta có: \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = 2.1.cos\left( \overrightarrow{u},\ \overrightarrow{v} ight) = 2.cos\frac{2\pi}{3} = - 1.

    Vectơ \overrightarrow{p} = k\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} vuông góc với vectơ \overrightarrow{q} = \overrightarrow{u} - \overrightarrow{v} khi và chỉ khi:

    \overrightarrow{p}.\overrightarrow{q} = \left( k\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} ight)\left( \overrightarrow{u} - \overrightarrow{v} ight) = 0

    \Leftrightarrow k{\overrightarrow{u\ }}^{2} + (1 - k)\overrightarrow{u\ }.\overrightarrow{v\ } - {\overrightarrow{v\ }}^{2} = 0

    \Leftrightarrow 4k - (1 - k) - 1 = 0 \Leftrightarrow k = \frac{2}{5}.

  • Câu 31: Thông hiểu
    Tính giá trị biểu thức

    Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1;2; - 2) và B\left( \frac{8}{3};\frac{4}{3};\frac{8}{3} \right). Biết I(a;b;c) là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác OAB. Giá trị của a - b + c bằng

    Hướng dẫn:

    Tính được OA = 3;OB = 4;AB = 5

    Ta có: OA.\overrightarrow{IB} + OB.\overrightarrow{IA} + AB.\overrightarrow{IO} = \overrightarrow{0}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 3\left( \dfrac{8}{3} - x ight) + 4(1 - x) + 5( - x) = 0 \\ 3\left( \dfrac{4}{3} - x ight) + 4(2 - y) + 5( - y) = 0 \\ 3\left( \dfrac{8}{3} - x ight) + 4( - 2 - z) + 5( - z) = 0 \\ \end{matrix} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = 1 \\ z = 0 \\ \end{matrix} ight.

    Vậy, I(1;1;0) , suy ra a - b + c = 0.

  • Câu 32: Vận dụng cao
    Tìm tọa độ điểm M thỏa mãn điều kiện

    Trong không gian Oxyz, cho \overrightarrow{OA} = \overrightarrow{i} + \overrightarrow{j} - 3\overrightarrow{k}, B(2;2;1). Tìm tọa độ điểm M thuộc trục tung sao cho MA^{2} + MB^{2} nhỏ nhất.

    Hướng dẫn:

    Khi đó:

    MA^{2} + MB^{2} = {\overrightarrow{MA}}^{2} + {\overrightarrow{MB}}^{2}

    = \left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA} ight)^{2} + \left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IB} ight)^{2}

    = 2{\overrightarrow{MI}}^{2} + {\overrightarrow{IA}}^{2} + {\overrightarrow{IB}}^{2} + 2\overrightarrow{MI}.\left( \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} ight)

    = 2MI^{2} + IA^{2} + IB^{2} = 2MI^{2} + 9.

    Do đó MA^{2} + MB^{2} đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi MI có độ dài ngắn nhất, điều này xảy ra khi và chỉ khi M là hình chiếu vuông góc của I trên trục tung.

    Phương trình mặt phẳng (P) đi qua I và vuông góc với trục tung là

    0.\left( x - \frac{3}{2} ight) + 1.\left( y - \frac{3}{2} ight) + 0.(z + 1) = 0 hay (P):y - \frac{3}{2} = 0.

    Phương trình tham số của trục tung là \left\{ \begin{matrix} x = 0 \\ y = t \\ z = 0 \\ \end{matrix} ight..

    Tọa độ điểm M cần tìm là nghiệm (x\ ;y\ ;z) của hệ phương trình:

    \left\{ \begin{matrix} x = 0 \\ y = t \\ z = 0 \\ y - \frac{3}{2} = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 0 \\ y = \frac{3}{2} \\ z = 0 \\ \end{matrix} ight..

    Vậy M\left( 0\ ;\frac{3}{2}\ ;0 ight).

  • Câu 33: Thông hiểu
    Xác định tọa độ vectơ

    Trong không gian Oxyz, véctơ \overrightarrow{u} vuông góc với hai véctơ \overrightarrow{a} = (1 ; 1 ;1) và \overrightarrow{b} = (1\ ; - 1\ ;3); đồng thời \overrightarrow{u} tạo với tia Oz một góc tù và độ dài véctơ \overrightarrow{u} bằng 3. Tìm véctơ \overrightarrow{u}.

    Hướng dẫn:

    Ta có \overrightarrow{a} và \overrightarrow{b} không cùng phương đồng thời

    \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{\mathbf{u}}\mathbf{\bot}\overrightarrow{\mathbf{a}} \\ \overrightarrow{\mathbf{u}}\mathbf{\bot}\overrightarrow{\mathbf{b}} \\ \end{matrix} ight.\mathbf{\Rightarrow}\overrightarrow{\mathbf{u}}\mathbf{\ }\mathbf{//}\mathbf{\ }\left\lbrack \overrightarrow{\mathbf{a}}\mathbf{\ }\mathbf{,}\mathbf{\ }\overrightarrow{\mathbf{b}} ightbrack\mathbf{=}\left( \mathbf{4}\mathbf{\ }\mathbf{;}\mathbf{\ -}\mathbf{2}\mathbf{\ }\mathbf{;}\mathbf{\ -}\mathbf{2} ight)\mathbf{\Rightarrow}\overrightarrow{\mathbf{u}}\mathbf{=}\left( \mathbf{2}\mathbf{k\ }\mathbf{;}\mathbf{\ - k\ }\mathbf{;}\mathbf{\ - k} ight).

    Do \left| \overrightarrow{u} ight| = 3\Leftrightarrow \sqrt{4k^{2} + k^{2} + k^{2}} = 3\Leftrightarrow k =\pm \frac{\sqrt{6}}{2}.

    Mặt khác \overrightarrow{u} tạo với tia Oz một góc tù nên

    \cos\left( \overrightarrow{u},\overrightarrow{k} ight) < 0 \Leftrightarrow \overrightarrow{u}.\overrightarrow{k} < 0\Leftrightarrow 2k.0 + ( - k).1 < 0 \Leftrightarrow ( - k).1 < 0 \Leftrightarrow k > 0.

    Suy ra k = \frac{\sqrt{6}}{2}.

    Vậy \overrightarrow{u} = \left( \sqrt{6}\ ;\ - \frac{\sqrt{6}}{2}\ ;\ \frac{\sqrt{6}}{2} ight).

  • Câu 34: Thông hiểu
    Tính độ dài đoạn thẳng

    Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC với A(1\ ;2\ ;5), B(3\ ;4\ ;1), C(2\ ;3\ ; - 3). Gọi G là trọng tâm tam giác ABC và M là điểm thay đổi trên mp(Oxz). Độ dài GM ngắn nhất bằng

    Hướng dẫn:

    Do G là trọng tâm tam giác ABC \Rightarrow G(2\ ;3\ ;1).

    Gọi H là hình chiếu vuông góc của G trên mặt phẳng (Oxz), khi đó GH là khoảng cách từ G đến mặt phẳng (Oxz), ta có: GH = d\left( G,(Oxz) ight) = 3

    Với M là điểm thay đổi trên mặt phẳng (Oxz), ta có GM \geq GH = 3, do đó GM ngắn nhất \Leftrightarrow M \equiv H. Vậy độ dài GM ngắn nhất bằng 3.

0/34
34 câu:
Kiểm tra Kiểm tra lại Bỏ qua Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:
  • Nhận biết (9%):
    2/3
  • Thông hiểu (53%):
    2/3
  • Vận dụng (32%):
    2/3
  • Vận dụng cao (6%):
    2/3
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu làm đúng: 0
  • Số câu làm sai: 0
  • Điểm số: 0
  • Điểm thưởng: 0
Làm lại
Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé!
Mua ngay Đổi điểm
Tải file làm trên giấy
1
60 Bài viết đã được lưu
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Tìm bài trong mục này