Trong không gian tọa độ
Mặt cầu có tâm
, bán kính
.
Ta tìm điểm thỏa mãn
.
Có ,
;
.
Suy ra ,
.
Do đó
.
Ta thấy nên điểm
nằm ngoài mặt cầu
. Ta có
, suy ra có một điểm
thuộc đoạn
thỏa mãn đề bài.
VnDoc.com xin gửi tới bạn đọc bài viết Trắc nghiệm Toán 12: Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ. Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết bài viết dưới đây nhé!
Trong không gian tọa độ
Mặt cầu có tâm
, bán kính
.
Ta tìm điểm thỏa mãn
.
Có ,
;
.
Suy ra ,
.
Do đó
.
Ta thấy nên điểm
nằm ngoài mặt cầu
. Ta có
, suy ra có một điểm
thuộc đoạn
thỏa mãn đề bài.
Trong không gian với hệ trục tọa độ
Vì I là trung điểm của đoạn AB nên .
Khi đó hình chiếu của I lên là
.
Trong không gian
Từ
Tọa độ trọng tâm của tam giác
là
Vậy tọa độ trọng tâm .
Trong không gian
Ta có ,
.
Ba điểm ,
,
thẳng hàng
.
Vậy .
Trong không gian với hệ tọa độ
Hình vẽ minh họa
Ta có ,
Do vuông góc với nên một VTCP của đường thẳng
được chọn là
Đường thẳng qua
và có VTCP
nên có phương trình tham số là:
.
Do vuông tại
.
Gọi là trung điểm
khi đó
là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
. Gọi
là đường thẳng qua
và song song với
nên
, suy ra
là trục đường tròn ngoại tiếp
.
Trong mặt phẳng vẽ đường trung trực của
cắt
tại
và cắt
tại
.
Mặt phẳng qua
và có một VTPT
nên có phương trình tổng quát là:
.
Ta có .
Do nên
, mà
, mà cao độ của
âm nên
thỏa mãn.
Trong không gian
Tính được
Ta có:
Vậy, , suy ra
.
Trong không gian với hệ tọa độ
Ta có: .
Vectơ vuông góc với vectơ
khi và chỉ khi:
.
Trong không gian với hệ tọa độ
Ta có mặt phẳng nhận vectơ
là vectơ pháp tuyến, đường thẳng
đi qua điểm
và nhận
là vectơ chỉ phương
Gọi là mặt phẳng chứa đường thẳng
và vuông góc với mặt phẳng
.
Ta có .
Khi đó đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng
và
.
Do đó một vectơ chỉ phương của đường thẳng là
.
Mà nên
,
. Vậy
.
Trong không gian với hệ tọa
Do cùng phương và nên ta có
.
Suy ra
.
Theo giả thiết vectơ tạo với tia
một góc nhọn nên
với
, do đó
.
Mà nên
.
Lại có , suy ra
.
Vậy .
Trong không gian
Hình vẽ minh họa
Gọi là trung điểm
.
Khi đó có tại
là hình chiếu của
trên trục
và
.
Ta có: .
Mà tam giác đều nên
.
Vì thuộc trục
và
không trùng với
nên gọi
,
.
;
.
là một véctơ chỉ phương của đường thẳng
cũng là một véctơ chỉ phương của đường thẳng
.
Vậy
Trong không gian với hệ tọa độ
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Ta có
//
nên
và
cùng phương, cùng chiều
So với điều kiện suy ra:
Trong không gian
.
,
.
với
.
Do đó khi
.
Khi đó ta có .
Trong không gian
Ta có không đổi.
Do đó chu vi tam giác nhỏ nhất khi
đạt giá trị nhỏ nhất.
.
,
.
Chọn .
Chọn
.
Theo tính chất vecto .
Dấu xảy ra khi và chỉ khi
cùng hướng với
.
Suy ra .
Do đó đạt giá trị nhỏ nhất bằng
khi
.
Vậy .
Trong không gian với hệ trục tọa độ
Gọi . Ta có:
Trong không gian
Ta có: ,
Mà , nên hai vecto
,
cùng phương, hay ba điểm
thẳng hàng.
Nhận xét: Có thể vẽ phát họa lên hệ tọa độ để nhìn nhận dễ dàng hơn.
Trong không gian vói hệ trục tọa độ
Hình vẽ minh họa
Gọi điểm là hình chiếu vuông góc của
lên đường thẳng
.
Khi đó .
Đường thẳng có vtcp là:
. Ta có:
.
Đường thẳng đi qua
và song song với
phương trình
là:
Theo bài ra ta có:
Với . Với
Ta có:
Trong không gian
Ta có và
không cùng phương đồng thời
.
Do .
Mặt khác tạo với tia
một góc tù nên
.
Suy ra .
Vậy .
Trong không gian
Ta có: ;
.
Để ,
,
thẳng hàng thì
và
cùng phương , khi đó :
.
Vậy .
Trong không gian
Do là trọng tâm tam giác
.
Gọi là hình chiếu vuông góc của
trên mặt phẳng
, khi đó
là khoảng cách từ
đến mặt phẳng
, ta có:
Với là điểm thay đổi trên mặt phẳng
, ta có
, do đó
ngắn nhất
. Vậy độ dài
ngắn nhất bằng
.
Trong không gian với hệ tọa độ
Ta có: và
cùng hướng
.
Vậy
Trong không gian
Ta có ,
.
Ba điểm thẳng hàng
và
cùng phương
.
Trong không gian
Gọi
là hình hộp
,
,
⇒
. Vậy:
.
Trong không gian
Gọi .
Vì điểm thuộc đoạn
sao cho
Vậy .
Trong không gian
Vì G là trọng tâm tam giác nên tọa độ
.
Ta có:
Trong không gian
điểm
Ta có:
Trong không gian vói hệ trục tọa độ
Hình vẽ minh họa
Gọi điểm là hình chiếu vuông góc của
lên đường thẳng
.
Khi đó .
Đường thẳng có vtcp là:
.
Ta có:
.
Đường thẳng đi qua
và song song với
phương trình
là:
Theo bài ra ta có:
Với .
Với
Ta có:
Trong không gian
Khi đó:
.
Do đó đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi
có độ dài ngắn nhất, điều này xảy ra khi và chỉ khi
là hình chiếu vuông góc của
trên trục tung.
Phương trình mặt phẳng đi qua
và vuông góc với trục tung là
hay
.
Phương trình tham số của trục tung là .
Tọa độ điểm cần tìm là nghiệm
của hệ phương trình:
.
Vậy .
Trong không gian
Cách 1: Ta có
Do là hình thang cân nên
hay
. Vậy
.
Lại có
.
Với . Kiểm tra thấy:
.
Với .
Kiểm tra thấy: . Do đó,
.
Cách 2
Ta có
Do là hình thang cân nên
ngược hướng hay
. Vậy
với
.
Lại có
.
Với .
Do đó, .
Cách 3
+ Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng
+ Gọi mp là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng
, suy ra mp
đi qua trung điểm
của đoạn thẳng
và có một vectơ pháp tuyến là
, suy ra phương trình của mp
là:
.
+ Vì đối xứng nhau qua mp
nên
Trong hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm
Giả sử .
Khi đó mặt phẳng
Ta có:
Vì là trực tâm của tam giác
nên
Vậy
Trong không gian
Ta có
Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC ta có
.
Vậy
Trong không gian
Hình vẽ minh họa
Gọi là trung điểm
.
Gọi là hình chiếu của
xuống mặt phẳng
.
Ta có
.
Do không đổi nên
nhỏ nhất khi
nhỏ nhất
.
Gọi là đường thẳng đi qua
và vuông góc với mặt phẳng
.
Khi đó nhận
làm vectơ chỉ phương.
Do đó có phương trình
.
.
.
Vậy .
Trong không gian tọa độ
Gọi là trung điểm
.
Ta có :
.
Suy ra tập hợp điểm trong không gian là mặt cầu tâm
, bán kính bằng 2.
Vậy là một mặt cầu có bán kính bằng
.
Trong không gian
Cách 1: Phương trình tham số của đường thẳng là:
.
Một vtcp của là
.
Gọi là mặt phẳng đi qua điểm
và vuông góc với đường thẳng
. Khi đó
có vtpt là
.
Phương trình mặt phẳng :
.
là hình chiếu vuông góc của
lên đường thẳng
nên
là giao điểm của
và
.
Xét hệ phương trình:
Thay vào
ta được:
.
Suy ra .
Độ dài đoạn thẳng là:
.
Cách 2: Phương trình tham số của đường thẳng là:
.
Một vtcp của là
.
.
Ta có .
Suy ra
Độ dài đoạn thẳng là:
.
Trong không gian
Ta có: ,
.
Gọi ,
lần lượt là trung điểm
,
.
Gọi là véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng
.
.
là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
.
Vậy .
Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây: