Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Lớp 12 Toán 12 Chuyên đề Toán 12

Khoảng cách giữa 2 đường thẳng trong không gian Oxyz

Ôn thi THPT Quốc gia môn Toán
Tải về
Lớp: Lớp 12
Môn: Toán
Loại File: PDF
Phân loại: Tài liệu Tính phí

Toán 12: Khoảng cách giữa 2 đường thẳng trong không gian Oxyz

Trong chương trình Toán học lớp 12, đặc biệt khi ôn thi THPT Quốc gia, chuyên đề hình học không gian luôn chiếm một vị trí quan trọng. Một trong những kiến thức trọng tâm mà học sinh cần nắm vững là khoảng cách giữa hai đường thẳng trong không gian Oxyz. Bài viết dưới đây sẽ giúp bạn hệ thống lại lý thuyết, công thức tính và phương pháp giải nhanh các dạng bài thường gặp, từ đó tự tin chinh phục điểm số cao trong kỳ thi sắp tới.

KHOẢNG CÁCH GIỮA 2 ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN

Trong không gian hai đường thẳng có 4 vị trí tương đối là: Trùng nhau; Cắt nhau; Song song; Chéo nhau.

Trường hợp hai đường thẳng trùng nhau hay cắt nhau thì ta có thể coi khoảng cách giữa chúng bằng 0.

Nếu hai đường thẳng song song thì khoảng cách giữa chúng là khoảng cách từ điểm bất kỳ trên đường thẳng này đến đường thẳng kia.

Còn trong trường hợp hai đường thẳng chéo nhau thì khoảng cách giữa chúng là độ dài đoạn vuông góc chung. Trong đó đoạn vuông góc chung là đoạn thẳng nối hai điểm trên hai đường thẳng chéo nhau đồng thời vuông góc với cả hai đường thẳng đó. Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau là tồn tại và duy nhất.

Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau

TÍNH KHOẢNG CÁCH GIỮA 2 ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN OXYZ

1. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng song song trong Oxyz

Trong không gian Oxyz, giả sử cho 2 đường thẳng song song có phương trình:

{\Delta _1}:\left\{ \begin{gathered} x = {x_1} + a{t_1} \hfill \\ y = {y_1} + b{t_1} \hfill \\ z = {z_1} + c{t_1} \hfill \\ \end{gathered} \right.;\left( {{t_1} \in \mathbb{R}} \right) và {\Delta _2}:\left\{ \begin{gathered} x = {x_2} + a{t_2} \hfill \\ y = {y_2} + b{t_2} \hfill \\ z = {z_2} + c{t_2} \hfill \\ \end{gathered} \right.;\left( {{t_2} \in \mathbb{R}} \right)

Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng trên ta sử dụng công thức:

d\left( {{\Delta _1};{\Delta _2}} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {{M_1}{M_2}} \wedge \overrightarrow u } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|}}

Trong đó {{M_1}{M_2}} là điểm bất kỳ lần lượt trên hai đường thẳng {{\Delta _1};{\Delta _2}}

Để thuận tiện ta thường lấy {M_1} = \left( {{x_1};{y_1};{z_1}} \right) và {M_2} = \left( {{x_2};{y_2};{z_2}} \right)

Còn {\overrightarrow u } là một vectơ chỉ phương bất kì của một trong hai đường thẳng {{\Delta _1};{\Delta _2}} .

Ta thường lấy \overrightarrow u = \left( {a;b;c} \right)

Ví dụ minh họa: Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng có phương trình lần lượt là

{\Delta _1}:\left\{ \begin{gathered} x = 1 + 2{t_1} \hfill \\ y = 2 + 2{t_1} \hfill \\ z = 3 - 3{t_1} \hfill \\ \end{gathered} \right.;\left( {{t_1} \in \mathbb{R}} \right) và {\Delta _2}:\left\{ \begin{gathered} x = 3 + 4{t_2} \hfill \\ y = 2 + 4{t_2} \hfill \\ z = 5 - 6{t_2} \hfill \\ \end{gathered} \right.;\left( {{t_2} \in \mathbb{R}} \right)

Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng đó.

Hướng dẫn giải

Lưu ý: Nhìn vào hệ số của tham số ở hai phương trình ta dễ nhận thấy hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau. Chúng ta sẽ không kiểm tra nó song song hay trùng nhau mà áp dụng ngay công thức tính khoảng cách bên trên. Nếu ra kết quả bằng 0 thì hai đường thẳng trùng nhau. Nếu ra kết quả khác 0 thì hai đường thẳng đó song song.

Ta có: {M_1} = \left( {1;2;3} \right), {M_2} = \left( {3;2;5} \right) suy ra \overrightarrow {{M_1}{M_2}} = \left( {2;0;2} \right)

\overrightarrow u = \left( {2;2; - 3} \right) là một vectơ chỉ phương của hai đường thẳng {{\Delta _1};{\Delta _2}}

Khi đó khoảng cách giữa hai đường thẳng {{\Delta _1};{\Delta _2}} là:

d\left( {{\Delta _1};{\Delta _2}} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {{M_1}{M_2}} \wedge \overrightarrow u } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|}} = \frac{{2\sqrt {561} }}{{17}}

2. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau trong Oxyz

Trong không gian Oxyz, giả sử cho 2 đường thẳng chéo nhau có phương trình:

{\Delta _1}:\left\{ \begin{gathered} x = {x_1} + a{t_1} \hfill \\ y = {y_1} + b{t_1} \hfill \\ z = {z_1} + c{t_1} \hfill \\ \end{gathered} \right.;\left( {{t_1} \in \mathbb{R}} \right) và {\Delta _2}:\left\{ \begin{gathered} x = {x_2} + a{t_2} \hfill \\ y = {y_2} + b{t_2} \hfill \\ z = {z_2} + c{t_2} \hfill \\ \end{gathered} \right.;\left( {{t_2} \in \mathbb{R}} \right)

Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng trên ta sử dụng công thức:

d\left( {{\Delta _1};{\Delta _2}} \right) = \frac{{\left| {\left( {{{\overrightarrow u }_1} \wedge \overrightarrow {{u_2}} } \right)\overrightarrow {{M_1}{M_2}} } \right|}}{{\left| {{{\overrightarrow u }_1} \wedge \overrightarrow {{u_2}} } \right|}}

Trong đó {{M_1}{M_2}} là điểm bất kỳ lần lượt trên hai đường thẳng {{\Delta _1};{\Delta _2}}

Để thuận tiện ta thường lấy {M_1} = \left( {{x_1};{y_1};{z_1}} \right) và {M_2} = \left( {{x_2};{y_2};{z_2}} \right)

Còn {\overrightarrow u _1};\overrightarrow {{u_2}} lần lượt là một vectơ chỉ phương bất kì của một trong hai đường thẳng {{\Delta _1};{\Delta _2}} .

Ta thường lấy {\overrightarrow u _1} = \left( {{a_1};{b_1};{c_1}} \right) và \overrightarrow {{u_2}} = \left( {{a_2};{b_2};{c_2}} \right)

Ví dụ minh họa: Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng có phương trình lần lượt là

{\Delta _1}:\left\{ \begin{gathered} x = 1 + 2{t_1} \hfill \\ y = 2 + 2{t_1} \hfill \\ z = 1 - 1{t_1} \hfill \\ \end{gathered} \right.;\left( {{t_1} \in \mathbb{R}} \right) và {\Delta _2}:\left\{ \begin{gathered} x = 1 + 2{t_2} \hfill \\ y = 2 + 2{t_2} \hfill \\ z = 1 - 1{t_2} \hfill \\ \end{gathered} \right.;\left( {{t_2} \in \mathbb{R}} \right)

Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng đó.

Hướng dẫn giải

Lưu ý: Trong công thức tính khoảng cách 2 đường thẳng chéo nhau ở trên. Nếu chúng ta áp dụng cho 2 đường thẳng song song hoặc trùng nhau thì mẫu số sẽ bằng 0 và phép tính không tính được. Còn nếu áp dụng cho hai đường thẳng cắt nhau ta được kết quả bằng 0. Áp dụng cho hai đường thẳng chéo nhau thì kết quả khác 0. Vì vậy khi làm bài ta sẽ nhận xét nhanh hai đường thẳng có rơi vào trường hợp song song hay trùng nhau không. Sau đó ta áp dụng công thức.

Ta có: {M_1} = \left( {1;2;1} \right), {M_2} = \left( {1;3;2} \right) suy ra \overrightarrow {{M_1}{M_2}} = \left( {0;1;1} \right)

\overrightarrow u_1 = \left( {2;2; - 1} \right) là một vectơ chỉ phương của hai đường thẳng {{\Delta _1}}

\overrightarrow u_2 = \left( {2;-1; - 2} \right) là một vectơ chỉ phương của hai đường thẳng {\Delta _2}

Khi đó khoảng cách giữa hai đường thẳng {{\Delta _1};{\Delta _2}} là:

d\left( {{\Delta _1};{\Delta _2}} \right) = \frac{{\left| {\left( {{{\overrightarrow u }_1} \wedge \overrightarrow {{u_2}} } \right)\overrightarrow {{M_1}{M_2}} } \right|}}{{\left| {{{\overrightarrow u }_1} \wedge \overrightarrow {{u_2}} } \right|}} = \frac{{4\sqrt {65} }}{{65}}

3. Bài tập minh họa có hướng dẫn chi tiết tính khoảng cách trong không gian

Bài 1: Để tính khoảng cách từ điểm M\left( x_{1},y_{1},z_{1} \right) đến đường thẳng (D):\frac{x - x_{0}}{a_{1}} = \frac{y - y_{0}}{a_{2}} = \frac{z - z_{0}}{a_{3}}\ \ \left( a_{1},\ a_{2},\ a_{3} \neq \ 0 \right), một học sinh lý luận qua các giai đoạn sau:

I. Vẽ MH vuông góc với (D) tại H. Ta có: A\left( x_{0},\ y_{0},\ z_{0} \right) \in (D); vectơ chỉ phương của (D) là: \overrightarrow{a} = \left( a_{1},\ a_{2},\ a_{3} \right).

\overrightarrow{AM} = \left( b_{1},b_{2},b_{3} \right) = \left( x_{1} - x_{0},y_{1} - y_{0};z_{1} - z_{0} \right)

II. \overrightarrow{AH} cùng phương với \overrightarrow{a}, ta có: \overrightarrow{AH} = k\overrightarrow{a}

Diện tích tam giác AMH: S = \frac{1}{2}AH.MH = \frac{|k|.\left| \overrightarrow{a} \right|.MH}{2} (1)

III. Dùng tích hữu hướng, ta có diện tính tam giác AMH:

S = \frac{1}{2}\left| \left\lbrack \overrightarrow{AH},\overrightarrow{AM} \right\rbrack \right| = \frac{|k|}{2}.\left| \left\lbrack \overrightarrow{a},\overrightarrow{AM} \right\rbrack \right| (2)

Từ (1) và (2), ta có: \left| \overrightarrow{a} \right|.MH = \left| \left\lbrack \overrightarrow{a},\overrightarrow{AM} \right\rbrack \right|

Vậy d(M,D) = \frac{\left| \left\lbrack \overrightarrow{a},\overrightarrow{AM} \right\rbrack \right|}{\left| \overrightarrow{a} \right|}

Lý luận trên đúng hay sai, nếu sai thì sai ở đoạn nào?

A. Chỉ I B. Chỉ II C. Chỉ III D. Chỉ II và III

Hướng dẫn giải

Sai ở giai đoạn II, vì \overrightarrow{AH} = k\overrightarrow{a} thìk \in R\backslash\left\{ 0 \right\}

Chọn đáp án C

Bài 2: Cho hai đường thẳng chéo nhau \left( D_{1} \right):\ \frac{x\ - \ x_{1}}{a_{1}} = \frac{y\ - \ y_{1}}{a_{2}} = \frac{z\ - \ z_{1}}{a_{3}} và \left( D_{2} \right):\ \frac{x\ - \ x_{2}}{b_{1}} = \frac{y\ - \ y_{2}}{b_{2}} = \frac{z\ - \ z_{2}}{b_{3}} \left( a_{1},a_{2},a_{3},b_{1},b_{2},b_{3} \neq \ \ 0 \right); với \overrightarrow{a} = \left( a_{1},a_{2},a_{3} \right); \overrightarrow{b} = \left( b_{1},b_{2},b_{3} \right) và \overrightarrow{AB} = \left( x_{2} - x_{1},y_{2} - y_{1},z_{2} - z_{1} \right). Khoảng cách hay đoạn vuông góc chung giữa \left( D_{1} \right) và \left( D_{2} \right) tính bởi công thức nào sau đây?

A. d\left( D_{1},D_{2} \right) = \frac{\left| \left\lbrack \overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{AB} \right\rbrack \right|}{\left| \left\lbrack \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \right\rbrack \right|} B. d\left( D_{1},D_{2} \right) = \frac{\left| \left\lbrack \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \right\rbrack \right|}{\left| \left\lbrack \overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{AB} \right\rbrack \right|}

C. d\left( D_{1},D_{2} \right) = \frac{\left| \left\lbrack \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \right\rbrack.\overrightarrow{AB} \right|}{\left| \left\lbrack \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \right\rbrack \right|} D. d\left( D_{1},D_{2} \right) = \frac{\left| \left\lbrack \overrightarrow{a},\overrightarrow{b}.\overrightarrow{AB} \right\rbrack \right|}{\left| \left\lbrack \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \right\rbrack \right|}

Hướng dẫn giải

Công thức đúng là: d\left( D_{1},D_{2} \right) = \frac{\left| \left\lbrack \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \right\rbrack.\overrightarrow{AB} \right|}{\left| \left\lbrack \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \right\rbrack \right|}

Chọn đáp án C

Bài 3: Cho ba điểm A(-4; 4; 0), B(2; 0; 4), C(1; 2; -1) .Khoảng cách từ C đến đường thẳng AB bằng bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

Ta có:

\overrightarrow{CA} = ( - 5,2,1) ;\overrightarrow{CB} = (1, - 2,5) ;\overrightarrow{AB} = (6, - 4,4) .

Khoảng cách cần tìm bằng: \frac{\left| \left\lbrack \overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB} \right\rbrack \right|}{\overrightarrow{AB}} = \frac{2\sqrt{36 + 169 + 16}}{2\sqrt{9 + 4 + 4}} = \sqrt{13}.

Vậy chọn A.

Bài 4: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.EFGH có AB = a; AD = b; AE = c trong hệ trục Oxyz sao cho A trùng với O;\ \ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE} lần lượt trùng với Ox; Oy; Oz. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm BC, EF, DH. Tính khoảng cách giữa NP và CG.

A. \frac{2ab\sqrt{a^{2} + 4b^{2}}}{a^{2} + 4b^{2}} B. abc C. \frac{\sqrt{a^{2} + 4b^{2}}}{2ab} D. \frac{c}{a}\sqrt{a^{2} + 4b^{2}}

Hướng dẫn giải

Ta có:

N\left( \frac{a}{2},0,c \right);P\left(0,b,\frac{c}{2} \right); C(a, b, 0); G(a, b, c)

= > \overrightarrow{NP} = \left( - \frac{a}{2},b, - \frac{c}{2} \right);\overrightarrow{CG} = (0,0,c);\overrightarrow{PC} = \left( a,0, - \frac{c}{2} \right)

= > \left\lbrack \overrightarrow{CG},\overrightarrow{NP} \right\rbrack = \left( - bc, - \frac{ac}{2},0 \right) = > \left| \left\lbrack \overrightarrow{CG},\overrightarrow{NP} \right\rbrack \right| = \frac{c}{2}\sqrt{a^{2} + 4b^{2}}

\left\lbrack\overrightarrow{CG},\overrightarrow{NP}\right\rbrack.\overrightarrow{PC} = - abc

Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng NP và CG là:

d(NP,CG) =\frac{2ab\sqrt{a^{2} + 4b^{2}}}{a^{2} + 4b^{2}}.

4. Bài tập tự rèn luyện tính khoảng cách giữa hai đường thẳng trong không gian Oxyz

Bài 1. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d:\left\{ \begin{matrix} x = 1 - t \\ y = t \\ z = - t \\ \end{matrix} \right.\ ;\left( t\mathbb{\in R} \right) và d':\left\{ \begin{matrix} x = 2t' \\ y = - 1 + t' \\ z = t' \\ \end{matrix} \right.\ ;\left( t'\mathbb{\in R} \right). Khoảng cách giữa hai đường thẳng d và d' bằng bao nhiêu?

Bài 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tính khoảng cách giữa đường thẳng d:\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 2}{- 4} = \frac{z - 4}{3} và trục Ox.

Bài 3. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d_{1}:\frac{x - 1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z}{3},d_{2}:\left\{ \begin{matrix} x = 1 + t \\ y = 2 + t \\ z = m \\ \end{matrix} \right.\ ;\left( t\mathbb{\in R} \right). Gọi S là tập hợp tất cả các số m sao cho d1; d2 chéo nhau và khoảng cách giữa chúng bằng \frac{5}{\sqrt{19}}. Tính tổng tất cả các phần tử của S.

--------------------------------------------------------------

Việc thành thạo cách tính khoảng cách giữa hai đường thẳng trong không gian Oxyz không chỉ giúp bạn giải nhanh các bài toán trong đề thi THPT Quốc gia mà còn rèn luyện tư duy hình học không gian sắc bén. Hãy luyện tập thật nhiều, kết hợp ghi nhớ công thức và phương pháp suy luận để làm chủ chuyên đề này. Nếu bạn cần thêm tài liệu ôn luyện, đề thi thử hoặc bài giảng chi tiết các chuyên đề Hình học không gian 12. Đây là nội dung thường xuất hiện trong các bài kiểm tra môn Toán lớp 12, cũng như bài thi THPT Quốc gia môn Toán, vì vậy các em học sinh cần ôn tập kỹ phần kiến thức này để có thể đạt điểm cao trong các bài thi của mình. Đừng ngần ngại theo dõi các bài viết tiếp theo trên VnDoc.com hoặc truy cập chuyên mục Ôn thi THPT Quốc gia môn Toán để cập nhật kiến thức mới nhất. Chúc các bạn học tốt và đạt kết quả cao trong kỳ thi sắp tới!

Luyện tập mở rộng
Chọn file muốn tải về:

Khoảng cách giữa 2 đường thẳng trong không gian Oxyz

590,3 KB

  • file tải. doc

    215,5 KB
Đóng Chỉ thành viên VnDoc PRO/PROPLUS tải được nội dung này!
Đóng
79.000 / tháng
Mua ngay
Đặc quyền các gói Thành viên
PRO
Phổ biến nhất
PRO+
Tải tài liệu Cao cấp 1 Lớp
30 lượt tải tài liệu
Xem nội dung bài viết
Trải nghiệm Không quảng cáo
Làm bài trắc nghiệm không giới hạn
Mua cả năm Tiết kiệm tới 48%
1
8.450 Bài viết đã được lưu
Mục lục

Có thể bạn quan tâm

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Tìm bài trong mục này