VnDoc.com

Khoảng cách giữa 2 đường thẳng trong không gian Oxyz

Ôn thi đại học môn Toán

Toán 12: Khoảng cách giữa 2 đường thẳng trong không gian Oxyz

KHOẢNG CÁCH GIỮA 2 ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN
TÍNH KHOẢNG CÁCH GIỮA 2 ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN OXYZ
- 1. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng song song trong Oxyz
- 2. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau trong Oxyz

Khoảng cách giữa 2 đường thẳng trong không gian được tính như thế nào? Để giúp các em học sinh hiểu rõ hơn về phần này, VnDoc gửi tới các em lý thuyết Toán 12: Khoảng cách giữa 2 đường thẳng trong không gian Oxyz. Sau đây mời các em tham khảo chi tiết.

KHOẢNG CÁCH GIỮA 2 ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN

Trong không gian hai đường thẳng có 4 vị trí tương đối là: Trùng nhau; Cắt nhau; Song song; Chéo nhau.

Trường hợp hai đường thẳng trùng nhau hay cắt nhau thì ta có thể coi khoảng cách giữa chúng bằng 0.

Nếu hai đường thẳng song song thì khoảng cách giữa chúng là khoảng cách từ điểm bất kỳ trên đường thẳng này đến đường thẳng kia.

Còn trong trường hợp hai đường thẳng chéo nhau thì khoảng cách giữa chúng là độ dài đoạn vuông góc chung. Trong đó đoạn vuông góc chung là đoạn thẳng nối hai điểm trên hai đường thẳng chéo nhau đồng thời vuông góc với cả hai đường thẳng đó. Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau là tồn tại và duy nhất.

Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau

TÍNH KHOẢNG CÁCH GIỮA 2 ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN OXYZ

1. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng song song trong Oxyz

Trong không gian Oxyz, giả sử cho 2 đường thẳng song song có phương trình:

${\Delta _1}:\left\{ \begin{gathered} x = {x_1} + a{t_1} \hfill \\ y = {y_1} + b{t_1} \hfill \\ z = {z_1} + c{t_1} \hfill \\ \end{gathered} \right.;\left( {{t_1} \in \mathbb{R}} \right)$ $Δ_{1} : {\begin{matrix} x = x_{1} + a t_{1} \\ y = y_{1} + b t_{1} \\ z = z_{1} + c t_{1} \end{matrix}; (t_{1} \in R)$ và ${\Delta _2}:\left\{ \begin{gathered} x = {x_2} + a{t_2} \hfill \\ y = {y_2} + b{t_2} \hfill \\ z = {z_2} + c{t_2} \hfill \\ \end{gathered} \right.;\left( {{t_2} \in \mathbb{R}} \right)$ $Δ_{2} : {\begin{matrix} x = x_{2} + a t_{2} \\ y = y_{2} + b t_{2} \\ z = z_{2} + c t_{2} \end{matrix}; (t_{2} \in R)$

Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng trên ta sử dụng công thức:

$d\left( {{\Delta _1};{\Delta _2}} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {{M_1}{M_2}} \wedge \overrightarrow u } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|}}$ $d (Δ_{1}; Δ_{2}) = \frac{| \vec{M_{1} M_{2}} \land \vec{u} |}{| \vec{u} |}$

Trong đó ${{M_1}{M_2}}$ $M_{1} M_{2}$ là điểm bất kỳ lần lượt trên hai đường thẳng ${{\Delta _1};{\Delta _2}}$ $Δ_{1}; Δ_{2}$

Để thuận tiện ta thường lấy ${M_1} = \left( {{x_1};{y_1};{z_1}} \right)$ $M_{1} = (x_{1}; y_{1}; z_{1})$ và ${M_2} = \left( {{x_2};{y_2};{z_2}} \right)$ $M_{2} = (x_{2}; y_{2}; z_{2})$

Còn ${\overrightarrow u }$ $\vec{u}$ là một vectơ chỉ phương bất kì của một trong hai đường thẳng ${{\Delta _1};{\Delta _2}}$ $Δ_{1}; Δ_{2}$ .

Ta thường lấy $\overrightarrow u = \left( {a;b;c} \right)$ $\vec{u} = (a; b; c)$

Ví dụ minh họa: Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng có phương trình lần lượt là

${\Delta _1}:\left\{ \begin{gathered} x = 1 + 2{t_1} \hfill \\ y = 2 + 2{t_1} \hfill \\ z = 3 - 3{t_1} \hfill \\ \end{gathered} \right.;\left( {{t_1} \in \mathbb{R}} \right)$ $Δ_{1} : {\begin{matrix} x = 1 + 2 t_{1} \\ y = 2 + 2 t_{1} \\ z = 3 - 3 t_{1} \end{matrix}; (t_{1} \in R)$ và ${\Delta _2}:\left\{ \begin{gathered} x = 3 + 4{t_2} \hfill \\ y = 2 + 4{t_2} \hfill \\ z = 5 - 6{t_2} \hfill \\ \end{gathered} \right.;\left( {{t_2} \in \mathbb{R}} \right)$ $Δ_{2} : {\begin{matrix} x = 3 + 4 t_{2} \\ y = 2 + 4 t_{2} \\ z = 5 - 6 t_{2} \end{matrix}; (t_{2} \in R)$

Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng đó.

Hướng dẫn giải

Lưu ý: Nhìn vào hệ số của tham số ở hai phương trình ta dễ nhận thấy hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau. Chúng ta sẽ không kiểm tra nó song song hay trùng nhau mà áp dụng ngay công thức tính khoảng cách bên trên. Nếu ra kết quả bằng 0 thì hai đường thẳng trùng nhau. Nếu ra kết quả khác 0 thì hai đường thẳng đó song song.

Ta có: ${M_1} = \left( {1;2;3} \right)$ $M_{1} = (1; 2; 3)$ , ${M_2} = \left( {3;2;5} \right)$ $M_{2} = (3; 2; 5)$ suy ra $\overrightarrow {{M_1}{M_2}} = \left( {2;0;2} \right)$ $\vec{M_{1} M_{2}} = (2; 0; 2)$

$\overrightarrow u = \left( {2;2; - 3} \right)$ $\vec{u} = (2; 2; - 3)$ là một vectơ chỉ phương của hai đường thẳng ${{\Delta _1};{\Delta _2}}$ $Δ_{1}; Δ_{2}$

Khi đó khoảng cách giữa hai đường thẳng ${{\Delta _1};{\Delta _2}}$ $Δ_{1}; Δ_{2}$ là:

$d\left( {{\Delta _1};{\Delta _2}} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {{M_1}{M_2}} \wedge \overrightarrow u } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|}} = \frac{{2\sqrt {561} }}{{17}}$ $d (Δ_{1}; Δ_{2}) = \frac{| \vec{M_{1} M_{2}} \land \vec{u} |}{| \vec{u} |} = \frac{2 \sqrt{561}}{17}$

2. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau trong Oxyz

Trong không gian Oxyz, giả sử cho 2 đường thẳng chéo nhau có phương trình:

${\Delta _1}:\left\{ \begin{gathered} x = {x_1} + a{t_1} \hfill \\ y = {y_1} + b{t_1} \hfill \\ z = {z_1} + c{t_1} \hfill \\ \end{gathered} \right.;\left( {{t_1} \in \mathbb{R}} \right)$ $Δ_{1} : {\begin{matrix} x = x_{1} + a t_{1} \\ y = y_{1} + b t_{1} \\ z = z_{1} + c t_{1} \end{matrix}; (t_{1} \in R)$ và ${\Delta _2}:\left\{ \begin{gathered} x = {x_2} + a{t_2} \hfill \\ y = {y_2} + b{t_2} \hfill \\ z = {z_2} + c{t_2} \hfill \\ \end{gathered} \right.;\left( {{t_2} \in \mathbb{R}} \right)$ $Δ_{2} : {\begin{matrix} x = x_{2} + a t_{2} \\ y = y_{2} + b t_{2} \\ z = z_{2} + c t_{2} \end{matrix}; (t_{2} \in R)$

Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng trên ta sử dụng công thức:

$d\left( {{\Delta _1};{\Delta _2}} \right) = \frac{{\left| {\left( {{{\overrightarrow u }_1} \wedge \overrightarrow {{u_2}} } \right)\overrightarrow {{M_1}{M_2}} } \right|}}{{\left| {{{\overrightarrow u }_1} \wedge \overrightarrow {{u_2}} } \right|}}$ $d (Δ_{1}; Δ_{2}) = \frac{| ({\vec{u}}_{1} \land \vec{u_{2}}) \vec{M_{1} M_{2}} |}{| {\vec{u}}_{1} \land \vec{u_{2}} |}$

Trong đó ${{M_1}{M_2}}$ $M_{1} M_{2}$ là điểm bất kỳ lần lượt trên hai đường thẳng ${{\Delta _1};{\Delta _2}}$ $Δ_{1}; Δ_{2}$

Để thuận tiện ta thường lấy ${M_1} = \left( {{x_1};{y_1};{z_1}} \right)$ $M_{1} = (x_{1}; y_{1}; z_{1})$ và ${M_2} = \left( {{x_2};{y_2};{z_2}} \right)$ $M_{2} = (x_{2}; y_{2}; z_{2})$

Còn ${\overrightarrow u _1};\overrightarrow {{u_2}}$ ${\vec{u}}_{1}; \vec{u_{2}}$ lần lượt là một vectơ chỉ phương bất kì của một trong hai đường thẳng ${{\Delta _1};{\Delta _2}}$ $Δ_{1}; Δ_{2}$ .

Ta thường lấy ${\overrightarrow u _1} = \left( {{a_1};{b_1};{c_1}} \right)$ ${\vec{u}}_{1} = (a_{1}; b_{1}; c_{1})$ và $\overrightarrow {{u_2}} = \left( {{a_2};{b_2};{c_2}} \right)$ $\vec{u_{2}} = (a_{2}; b_{2}; c_{2})$

Ví dụ minh họa: Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng có phương trình lần lượt là

${\Delta _1}:\left\{ \begin{gathered} x = 1 + 2{t_1} \hfill \\ y = 2 + 2{t_1} \hfill \\ z = 1 - 1{t_1} \hfill \\ \end{gathered} \right.;\left( {{t_1} \in \mathbb{R}} \right)$ $Δ_{1} : {\begin{matrix} x = 1 + 2 t_{1} \\ y = 2 + 2 t_{1} \\ z = 1 - 1 t_{1} \end{matrix}; (t_{1} \in R)$ và ${\Delta _2}:\left\{ \begin{gathered} x = 1 + 2{t_2} \hfill \\ y = 2 + 2{t_2} \hfill \\ z = 1 - 1{t_2} \hfill \\ \end{gathered} \right.;\left( {{t_2} \in \mathbb{R}} \right)$ $Δ_{2} : {\begin{matrix} x = 1 + 2 t_{2} \\ y = 2 + 2 t_{2} \\ z = 1 - 1 t_{2} \end{matrix}; (t_{2} \in R)$

Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng đó.

Lời giải:

Lưu ý: Trong công thức tính khoảng cách 2 đường thẳng chéo nhau ở trên. Nếu chúng ta áp dụng cho 2 đường thẳng song song hoặc trùng nhau thì mẫu số sẽ bằng 0 và phép tính không tính được. Còn nếu áp dụng cho hai đường thẳng cắt nhau ta được kết quả bằng 0. Áp dụng cho hai đường thẳng chéo nhau thì kết quả khác 0. Vì vậy khi làm bài ta sẽ nhận xét nhanh hai đường thẳng có rơi vào trường hợp song song hay trùng nhau không. Sau đó ta áp dụng công thức.

Ta có: ${M_1} = \left( {1;2;1} \right)$ $M_{1} = (1; 2; 1)$ , ${M_2} = \left( {1;3;2} \right)$ $M_{2} = (1; 3; 2)$ suy ra $\overrightarrow {{M_1}{M_2}} = \left( {0;1;1} \right)$ $\vec{M_{1} M_{2}} = (0; 1; 1)$

$\overrightarrow u_1 = \left( {2;2; - 1} \right)$ ${\vec{u}}_{1} = (2; 2; - 1)$ là một vectơ chỉ phương của hai đường thẳng ${{\Delta _1}}$ $Δ_{1}$

$\overrightarrow u_2 = \left( {2;-1; - 2} \right)$ ${\vec{u}}_{2} = (2; - 1; - 2)$ là một vectơ chỉ phương của hai đường thẳng ${\Delta _2}$ $Δ_{2}$

Khi đó khoảng cách giữa hai đường thẳng ${{\Delta _1};{\Delta _2}}$ $Δ_{1}; Δ_{2}$ là:

$d\left( {{\Delta _1};{\Delta _2}} \right) = \frac{{\left| {\left( {{{\overrightarrow u }_1} \wedge \overrightarrow {{u_2}} } \right)\overrightarrow {{M_1}{M_2}} } \right|}}{{\left| {{{\overrightarrow u }_1} \wedge \overrightarrow {{u_2}} } \right|}} = \frac{{4\sqrt {65} }}{{65}}$ $d (Δ_{1}; Δ_{2}) = \frac{| ({\vec{u}}_{1} \land \vec{u_{2}}) \vec{M_{1} M_{2}} |}{| {\vec{u}}_{1} \land \vec{u_{2}} |} = \frac{4 \sqrt{65}}{65}$

3. Bài tập tính khoảng cách giữa hai đường thẳng trong không gian Oxyz

Bài 1. Trong không gian $O x y z$ ,cho hai đường thẳng $d:\left\{ \begin{matrix} x = 1 - t \\ y = t \\ z = - t \\ \end{matrix} \right.\ ;\left( t\mathbb{\in R} \right)$ $d : {\begin{matrix} x = 1 - t \\ y = t \\ z = - t \end{matrix}; (t \in R)$ và $d^{'} : {\begin{matrix} x = 2 t^{'} \\ y = - 1 + t^{'} \\ z = t^{'} \end{matrix}; (t^{'} \in R)$ . Khoảng cách giữa hai đường thẳng $d$ và $d^{'}$ bằng bao nhiêu?

Bài 2. Trong không gian với hệ tọa độ $O x y z$ , tính khoảng cách giữa đường thẳng $d:\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 2}{- 4} = \frac{z - 4}{3}$ $d : \frac{x - 1}{2} = \frac{y + 2}{- 4} = \frac{z - 4}{3}$ và trục $O x$ .

Bài 3. Trong không gian $O x y z$ , cho hai đường thẳng $d_{1}:\frac{x - 1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z}{3},d_{2}:\left\{ \begin{matrix} x = 1 + t \\ y = 2 + t \\ z = m \\ \end{matrix} \right.\ ;\left( t\mathbb{\in R} \right)$ $d_{1} : \frac{x - 1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z}{3}, d_{2} : {\begin{matrix} x = 1 + t \\ y = 2 + t \\ z = m \end{matrix}; (t \in R)$ . Gọi $S$ là tập hợp tất cả các số $m$ sao cho $d_{1},d_{2}$ $d_{1}, d_{2}$ chéo nhau và khoảng cách giữa chúng bằng $\frac{5}{\sqrt{19}}$ $\frac{5}{\sqrt{19}}$ . Tính tổng tất cả các phần tử của $S$ .

........................

Trên đây VnDoc.com vừa giới thiệu tới các bạn tài liệu Khoảng cách giữa 2 đường thẳng trong không gian Oxyz. Hy vọng đây là tài liệu hay giúp các em nắm được lý thuyết về cách tính Khoảng cách giữa 2 đường thẳng trong không gian Oxyz, từ đó vận dụng làm các bài tập liên quan hiệu quả. Đây là nội dung thường xuất hiện trong các bài kiểm tra môn Toán lớp 12, cũng như bài thi THPT Quốc gia môn Toán, vì vậy các em học sinh cần ôn tập kỹ phần kiến thức này để có thể đạt điểm cao trong các bài thi của mình. Chúc các em học tốt.

Ngoài tài liệu trên, mời các bạn tham khảo thêm Giải bài tập Toán lớp 12, Giải Vở BT Toán 12, Trắc nghiệm Toán 12 để học tốt môn Toán lớp 12 và các môn Ngữ văn 12, Tiếng Anh 12, đề thi học kì 1 lớp 12, đề thi học kì 2 lớp 12... để có kiến thức tổng hợp, đầy đủ các môn.

Để trao đổi và chia sẻ tài liệu học tập, kinh nghiệm giảng dạy lớp 12, mời thầy cô và các em học sinh truy cập nhóm facebook: Tài liệu học tập lớp 12 nhé

Chia sẻ, đánh giá bài viết

1

1.036

Chia sẻ bởi:
Lan Trịnh

Tải về

Chọn file muốn tải về:

Khoảng cách giữa 2 đường thẳng trong không gian Oxyz

590,3 KB

file tải. doc
215,5 KB

Đóng Chỉ thành viên VnDoc PRO/PROPLUS tải được nội dung này!

Đóng

79.000 / tháng

Mua ngay

Đặc quyền các gói Thành viên

PRO

Phổ biến nhất

PRO+

Tải tài liệu Cao cấp 1 Lớp

Tải tài liệu Trả phí + Miễn phí

Xem nội dung bài viết

Trải nghiệm Không quảng cáo

Làm bài trắc nghiệm không giới hạn

Tìm hiểu thêm

Mua cả năm Tiết kiệm tới 48%

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Gợi ý cho bạn

Xem thêm

Toán 12

Xem thêm

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Giáo án STEAM

Dạy con học

Giáo án

Trường mầm non

Danh mục Trường Tiểu học

Sáng kiến kinh nghiệm

Thư viện Đề thi

Bài tập cuối tuần

Trắc nghiệm

Sách Cánh diều

Sách Chân trời sáng tạo

Sách Kết nối tri thức

Tài liệu Giáo viên

Thư viện Đề thi

Bài tập Hàng ngày

Bài tập Cuối tuần

Trắc nghiệm

Môn Toán lớp 2

Môn Tiếng Việt lớp 2

Chuyên đề - Văn mẫu

Môn Tiếng Anh

Tài liệu Giáo viên

Thư viện Đề thi

Bài tập Hàng ngày

Bài tập Cuối tuần

Trắc nghiệm

Môn Toán lớp 3

Môn Tiếng Việt lớp 3

Chuyên đề - Văn mẫu

Tiếng Anh lớp 3

Tài liệu Giáo viên

Thư viện Đề thi

Bài tập Hàng ngày

Bài tập Cuối tuần

Trắc nghiệm

Môn Toán lớp 4

Môn Tiếng Việt lớp 4

Tiếng Anh lớp 4

Tài liệu Giáo viên

Thư viện Đề thi

Bài tập Hàng ngày

Bài tập Cuối tuần

Trắc nghiệm

Môn Toán lớp 5

Môn Tiếng Việt lớp 5

Môn Tiếng Anh 5

Thi vào lớp 6

Tài liệu Giáo viên

Ôn thi

Thư Viện Đề Thi

Trắc nghiệm

Khóa Học Trực Tuyến

Môn Toán