Công thức Số phức Toán 12

Công thức Toán 12

Toán 12: Công thức Số phức đầy đủ

Số phức liên hợp
Biểu diễn số phức
Mô đun của số phức
Phép chia số phức
Căn bậc hai của một số phức
3. Công thức giải nhanh số phức
4. Bất đẳng thức số phức

VnDoc xin giới thiệu tới bạn đọc Công thức giải toán Số phức, nội dung tài liệu được cập nhật nhanh và chính xác nhất sẽ là nguồn thông tin hay để giúp các bạn học sinh học tốt hơn môn Toán 12 phục vụ cho kì thi THPT Quốc Gia năm 2021. Chúc các bạn học tập tốt!

Để tiện trao đổi, chia sẻ kinh nghiệm về giảng dạy và học tập các môn học lớp 12, VnDoc mời các thầy cô giáo, các bậc phụ huynh và các bạn học sinh truy cập nhóm riêng dành cho lớp 12 sau: Nhóm Tài liệu học tập lớp 12. Rất mong nhận được sự ủng hộ của các thầy cô và các bạn.

1. Định nghĩa số phức

- Số phức có dạng: z = a + bi, (a, b ∈ $\mathbb{R}$ $\mathbb{R}$), i² = -1 trong đó a là phần thức, b là phần ảo

- Tập các số phức là tập $\mathbb{C}\Rightarrow \mathbb{R}\subset \mathbb{C}$ $\mathbb{C}\Rightarrow \mathbb{R}\subset \mathbb{C}$

Hai số phức bằng nhau: Hai số phức z = a + bi, w = c + di bằng nhau khi: $\left\{ \begin{matrix} a=c \\ b=d \\ \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} a=c \\ b=d \\ \end{matrix} \right.$

Số phức liên hợp

$z=a+bi\Rightarrow \bar{z} =a-bi$ $z=a+bi\Rightarrow \bar{z} =a-bi$

Biểu diễn số phức

z = a + bi là điểm M(a, b) trên mặt phẳng tọa độ

Mô đun của số phức

$\left| z \right|=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}$ $\left| z \right|=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}$

2. Công thức số phức cần nhớ

a. Công thức cộng, trừ, nhân, chia số phức

- Cho hai số phức z = a + bi, w = c + di, (a, b, c, d ∈ R), i² = -1 ta có:

Phép cộng số phức: z + w = (a + c) + (b + d)i

Phép trừ số phức: z - w = (a - c) + (b - d)i

Phép nhân số phức z.w = (ac - bd) + (ad + bc)i

Phép chia số phức

$\frac{w}{z}=\frac{c+di}{a+bi}=\frac{\left( c+di \right)\left( a-bi \right)}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}=\frac{ac+bd}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}+\frac{ad-bc}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}.i,\left( a+bi\ne 0 \right)$ $\frac{w}{z}=\frac{c+di}{a+bi}=\frac{\left( c+di \right)\left( a-bi \right)}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}=\frac{ac+bd}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}+\frac{ad-bc}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}.i,\left( a+bi\ne 0 \right)$

b. Tính chất cần nhớ

- Cho số phức z = a + bi, (a, b ∈ R), i² = -1

$z=\overline{z}\Leftrightarrow$ $z=\overline{z}\Leftrightarrow$ Số phức z là số thực
$z=-\overline{z}\Leftrightarrow$ $z=-\overline{z}\Leftrightarrow$ Số phức x là số thuần ảo

- Cho hai số phức z₁ = a + bi, z₂ = c + di, (a, b, c, d ∈ R) ta có:

$\overline{{{z}_{1}}+{{z}_{2}}}=\overline{{{z}_{1}}}+\overline{{{z}_{2}}}$ $\overline{{{z}_{1}}+{{z}_{2}}}=\overline{{{z}_{1}}}+\overline{{{z}_{2}}}$
$\overline{{{z}_{1}}.{{z}_{2}}}=\overline{{{z}_{1}}}.\overline{{{z}_{2}}}$ $\overline{{{z}_{1}}.{{z}_{2}}}=\overline{{{z}_{1}}}.\overline{{{z}_{2}}}$
$\overline{\frac{{{z}_{1}}}{{{z}_{2}}}}=\frac{\overline{{{z}_{1}}}}{\overline{{{z}_{2}}}},\overline{{{z}_{2}}}\ne 0$ $\overline{\frac{{{z}_{1}}}{{{z}_{2}}}}=\frac{\overline{{{z}_{1}}}}{\overline{{{z}_{2}}}},\overline{{{z}_{2}}}\ne 0$
$\left| {{z}_{1}}.{{z}_{2}} \right|=\left| {{z}_{1}} \right|.\left| {{z}_{2}} \right|$ $\left| {{z}_{1}}.{{z}_{2}} \right|=\left| {{z}_{1}} \right|.\left| {{z}_{2}} \right|$
$\left| \frac{{{z}_{1}}}{{{z}_{2}}} \right|=\frac{\left| {{z}_{1}} \right|}{\left| {{z}_{2}} \right|},{{z}_{2}}\ne 0$ $\left| \frac{{{z}_{1}}}{{{z}_{2}}} \right|=\frac{\left| {{z}_{1}} \right|}{\left| {{z}_{2}} \right|},{{z}_{2}}\ne 0$
$\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|\le \left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right|$ $\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|\le \left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right|$

Căn bậc hai của một số phức

Cho số phức z = a + bi. Tìm căn bậc hai của một số phức

- Nếu z = 0 ⇒ z có căn bậc hai là: 0

- Nếu z = a > 0 ⇒ z có căn bậc hai là: $\sqrt{a},-\sqrt{a}$ $\sqrt{a},-\sqrt{a}$

- Nếu z = a < 0 ⇒ z có căn bậc hai là: $i\sqrt{-a},-i\sqrt{a}$ $i\sqrt{-a},-i\sqrt{a}$

Nếu z = a + bi, b ≠ 0. Giả sử w = x + yi, y ∈ R là một căn bậc hai của số phức z ta có:

w² = z ⇔ (x + yi)² = a + bi

$\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x^2} - {y^2} = a} \\ {2xy = b} \end{array}} \right.$ $\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x^2} - {y^2} = a} \\ {2xy = b} \end{array}} \right.$

Giải hệ phương trình trên mỗi cặp (x; y) thu được cho ta một căn bậc hai của z.

3. Công thức giải nhanh số phức

Công thức giải nhanh phương trình $az+b\overline{z}=c$ $az+b\overline{z}=c$

$z=\frac{\overline{a}.c-b.\overline{c}}{{{\left| a \right|}^{2}}-{{\left| b \right|}^{2}}}$ $z=\frac{\overline{a}.c-b.\overline{c}}{{{\left| a \right|}^{2}}-{{\left| b \right|}^{2}}}$

4. Bất đẳng thức số phức

$\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|\le \left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right|$ $\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|\le \left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right|$ dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi z₁ = k.z₂, k ≥ 0
$\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|\le \left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right|$ $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|\le \left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right|$ dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi z₁ = k.z₂, k ≤ 0
$\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|\le \left| \left| {{z}_{1}} \right|-\left| {{z}_{2}} \right| \right|$ $\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|\le \left| \left| {{z}_{1}} \right|-\left| {{z}_{2}} \right| \right|$ dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi z₁ = k.z₂, k ≤ 0
$\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|\le \left| \left| {{z}_{1}} \right|-\left| {{z}_{2}} \right| \right|$ $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|\le \left| \left| {{z}_{1}} \right|-\left| {{z}_{2}} \right| \right|$ dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi z₁ = k.z₂, k ≥ 0

------------------------------------

Trên đây VnDoc.com đã giới thiệu tới bạn đọc tài liệu: Tổng hợp công thức Toán 12 Số phức. Để có kết quả cao hơn trong học tập, VnDoc xin giới thiệu tới các bạn học sinh tài liệu Toán lớp 11, Giải bài tập Hóa học lớp 11 mà VnDoc tổng hợp và đăng tải.

Chia sẻ, đánh giá bài viết

1

2.642

Bài trước

Bài sau