Giải bài tập Toán 12 chương 4 bài 4: Phương trình bậc hai với hệ số thực

Bài tập Toán lớp 12 trang 140 SGK

Bài tập Toán 12 Giải tích chương 4 bài 4

VnDoc.com xin giới thiệu tới các bạn học sinh lớp 12 tài liệu: Giải bài tập Toán 12 chương 4 bài 4: Phương trình bậc hai với hệ số thực, với cách giải chi tiết các bài tập trong SGK trang 140 chắc chắn sẽ giúp các bạn học sinh có kết quả cao trong học tập. Mời các bạn và thầy cô tham khảo.

Giải bài tập Toán 12 chương 4 bài 1: Số phức

Giải bài tập Toán 12 chương 4 bài 2: Cộng, trừ và nhân số phức

Giải bài tập Toán 12 chương 4 bài 3: Phép chia số phức

Giải bài tập Toán 12 ôn tập chương 4: Số phức

Giải bài tập Toán 12 chương 4 bài 4: Phương trình bậc hai với hệ số thực

Bài 1 (trang 140 SGK Giải tích 12): Tìm các căn bậc hai phức của các số sau: -7;-8;-12;-20;-121:

Lời giải:

Căn bậc hai của -7 là $\pm i\sqrt{7}$ $\pm i\sqrt{7}$

Căn bậc hai của -8 là $\pm i2\sqrt{2}$ $\pm i2\sqrt{2}$

Căn bậc hai của -12 là $\pm i2\sqrt{3}$ $\pm i2\sqrt{3}$

Căn bậc hai của -20 là $\pm i2\sqrt{5}$ $\pm i2\sqrt{5}$

Căn bậc hai của -121 là $\pm11i$ $\pm11i$

Bài 2 (trang 140 SGK Giải tích 12): Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức:

$a)-3z^2+2z-1=0$

$b)\ 7z^2+3z+2=0$ $b)\ 7z^2+3z+2=0$

$c)\ 5z^2-7z+11=0$ $c)\ 5z^2-7z+11=0$

Lời giải:

a) Ta có $Δ′=1^2−(−3).(−1)=1−3=−2$

Căn bậc hai của $Δ^{'}$ là $\pm i\sqrt{2}$ $\pm i\sqrt{2}$

Vậy nghiệm của phương trình là $z_{1,2}= \frac{1\pm i\sqrt{2}}{3}$ $z_{1,2}= \frac{1\pm i\sqrt{2}}{3}$

b) Ta có $∆ =3^2-4.7.2= 9 - 56 = -47$.

Căn bậc hai của $\Delta$ $\Delta$ là $\pm i\sqrt {47}$ $\pm i\sqrt {47}$

Vậy nghiệm của phương trình là $z_{1,2} = \frac{-3\pm i\sqrt{47}}{14};$ $z_{1,2} = \frac{-3\pm i\sqrt{47}}{14};$

c) Ta có $∆ = 49 - 4.5.11 = -171$.

Căn bậc hai của $\Delta$ $\Delta$ là $\pm i\sqrt {171}$ $\pm i\sqrt {171}$

Vậy nghiệm của phương trình là $z_{1,2} = \frac{7\pm i\sqrt{171}}{10}$ $z_{1,2} = \frac{7\pm i\sqrt{171}}{10}$

Bài 3 (trang 140 SGK Giải tích 12): Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức:

$a) z^4+z^2-6=0$

$b) z^4+7z^2+10=0$

Lời giải:

a) Đặt $t = z^2$, ta được phương trình ${t^2} + t - 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 2\\t = - 3\end{array} \right.$ ${t^2} + t - 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 2\\t = - 3\end{array} \right.$

$Khi: t = 2 \Rightarrow {z^2} = 2 \Rightarrow z = \pm \sqrt 2 .$ $Khi: t = 2 \Rightarrow {z^2} = 2 \Rightarrow z = \pm \sqrt 2 .$

$Khi :t = - 3 \Rightarrow {z^2} = - 3 \Rightarrow z = \pm i\sqrt 3$ $Khi :t = - 3 \Rightarrow {z^2} = - 3 \Rightarrow z = \pm i\sqrt 3$

Vậy phương trình có bốn nghiệm là: $± \sqrt2; i\sqrt3.$ $± \sqrt2; i\sqrt3.$

b) Đặt $t = z^2$, ta được phương trình ${t^2} + 7t + 10 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - 2\\t = - 5\end{array} \right.$ ${t^2} + 7t + 10 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - 2\\t = - 5\end{array} \right.$

$Khi :t = -2 \Rightarrow {z^2} =- 2 \Rightarrow z = \pm i\sqrt 2 .$ $Khi :t = -2 \Rightarrow {z^2} =- 2 \Rightarrow z = \pm i\sqrt 2 .$

$Khi :t = - 5 \Rightarrow {z^2} = - 3 \Rightarrow z = \pm i\sqrt 5 .$ $Khi :t = - 5 \Rightarrow {z^2} = - 3 \Rightarrow z = \pm i\sqrt 5 .$

Vậy phương trình có bốn nghiệm là: $± i\sqrt2 ;± i\sqrt5.$ $± i\sqrt2 ;± i\sqrt5.$

Bài 4 (trang 140 SGK Giải tích 12): Cho a, b, c ∈ R, a ≠ 0,z¹, z² là hai nghiệm phân biệt (thực hoặc phức) của phương trình ax²+bx+c=0. Hãy tính z¹+z² và z¹.z² theo hệ số a, b, c.

Lời giải:

Yêu cầu của bài toán này là kiểm chứng định lí Vi-ét đối với phương trình bậc hai trên tập số phức.

+) Trường hợp $∆ ≥ 0$, theo định lí Vi-ét ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a}\\{x_1}{x_2} = \frac{c}{a}\end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a}\\{x_1}{x_2} = \frac{c}{a}\end{array} \right.$

+) Trường hợp $∆ < 0$, gọi $\delta$ $\delta$ là một căn bậc hai của $\Delta$ $\Delta$, khi đó các nghiệm của phương trình là:

$\begin{array}{l}{x_1} = \frac{{ - b + \delta }}{{2a}};\,\,{x_2} = \frac{{ - b - \delta }}{{2a}}\\\Rightarrow {x_1} + {x_2} = \frac{{ - b + \delta - b - \delta }}{{2a}} = \frac{{ - b}}{a}\\\,\,\,\,\,\,\,{x_1}{x_2} = \frac{{\left( { - b + \delta } \right)\left( { - b - \delta } \right)}}{{4{a^2}}} = \frac{{{b^2} - {\delta ^2}}}{{4{a^2}}}= \frac{{{b^2} - \left( {{b^2} - 4ac} \right)}}{{4{a^2}}} = \frac{{4ac}}{{4{a^2}}} = \frac{c}{a}\end{array}.$ $\begin{array}{l}{x_1} = \frac{{ - b + \delta }}{{2a}};\,\,{x_2} = \frac{{ - b - \delta }}{{2a}}\\\Rightarrow {x_1} + {x_2} = \frac{{ - b + \delta - b - \delta }}{{2a}} = \frac{{ - b}}{a}\\\,\,\,\,\,\,\,{x_1}{x_2} = \frac{{\left( { - b + \delta } \right)\left( { - b - \delta } \right)}}{{4{a^2}}} = \frac{{{b^2} - {\delta ^2}}}{{4{a^2}}}= \frac{{{b^2} - \left( {{b^2} - 4ac} \right)}}{{4{a^2}}} = \frac{{4ac}}{{4{a^2}}} = \frac{c}{a}\end{array}.$

Vậy kết quả của định lí Vi-et vẫn đúng trong trường hợp $∆ < 0.$

Bài 5 (trang 140 SGK Giải tích 12): Cho $z = a + bi$ là một số phức. Hãy tìm phương trình bậc hai với hệ số thực nhận $z$ và $\overline{z}$ $\overline{z}$ làm nghiệm.

Lời giải

Cách 1:

Một phương trình bậc hai nhận $z$ và $\overline{z}$ $\overline{z}$ làm nghiệm là

$\begin{array}{l} \,\,\,\,\,\left( {x - z} \right)\left( {x - \overline z } \right) = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} - x.\overline z + x.z + z.\overline z = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} - \left( {z + \overline z } \right)x + z.\overline z = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} - \left( {a + bi + a - bi} \right) + \left( {a + bi} \right)\left( {a - bi} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} - 2ax + {a^2} + {b^2} = 0 \end{array}$ $\begin{array}{l} \,\,\,\,\,\left( {x - z} \right)\left( {x - \overline z } \right) = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} - x.\overline z + x.z + z.\overline z = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} - \left( {z + \overline z } \right)x + z.\overline z = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} - \left( {a + bi + a - bi} \right) + \left( {a + bi} \right)\left( {a - bi} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} - 2ax + {a^2} + {b^2} = 0 \end{array}$

Vậy một phương trình bậc hai cần tìm là ${x^2}-2ax + {a^2} + {b^2} = 0$ ${x^2}-2ax + {a^2} + {b^2} = 0$

Cách 2:

Ta có:

$\begin{array}{l} z + \overline z = a + bi + a - bi = 2a\\ z.\overline z = \left( {a + bi} \right)\left( {a - bi} \right) = {a^2} + {b^2} \end{array}$ $\begin{array}{l} z + \overline z = a + bi + a - bi = 2a\\ z.\overline z = \left( {a + bi} \right)\left( {a - bi} \right) = {a^2} + {b^2} \end{array}$

$\Rightarrow z,\overline{z}$ $\Rightarrow z,\overline{z}$ là nghiệm của phương trình ${x^2}-2ax + {a^2} + {b^2} = 0.$ ${x^2}-2ax + {a^2} + {b^2} = 0.$

Trên đây các bạn đã tham khảo Giải bài tập Toán 12 chương 4 bài 4: Phương trình bậc hai với hệ số thực có thể các bạn sẽ quan tâm Giải SBT Toán 12 bài 4: Phương trình bậc hai với hệ số thực trong chương trình Toán lớp 12.

Hy vọng tài liệu học tập lớp 12 này cũng như tài liệu học tập các môn Vật lí 12, Hóa học 12, ... cũng giúp ích được nhiều cho các bạn học tập. Chúc các bạn luôn học tốt và đạt kết quả cao trong học tập, chuẩn bị cho kì thi THPT Quốc gia 2019 được tốt và chất lượng nhất.

Chia sẻ, đánh giá bài viết

3

1.504

Bài trước

Bài sau