VnDoc.com

Toán 10 Bài 3: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số

Bài trước

Tải về

Bài sau

Giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số Toán 12

A. Lý thuyết Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
B. Giải SGK Toán 12 Bài 3
C. Giải SBT Toán 12 Bài 3
D. Bài tập trắc nghiệm Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số

Để giúp các bạn học sinh lớp 12 học tập tốt hơn môn Toán, VnDoc xin mời các bạn tham khảo tài liệu Toán 10 Bài 3: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số. Bộ tài liệu hướng dẫn chi tiết cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số, tìm tham số để thỏa mãn điều kiện cho trước ... được xây dựng dựa trên kiến thức trọng tâm chương trình Toán 12 và đề thi THPT Quốc gia. Hi vọng tài liệu này sẽ giúp các bạn ôn thi THPT Quốc gia môn Toán trắc nghiệm hiệu quả.

Bản quyền thuộc về VnDoc.
Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép nhằm mục đích thương mại.

A. Lý thuyết Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

1. Các khái niệm về giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số

Định lý: Cho hàm số _{$y = f (x)$} xác định trên tập D.

a. Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số $y=f\left( x \right)$ $y = f (x)$ trên tập D nếu _{$f (x) \leq M$} với mọi x thuộc D và tồn tại _{$x_{0} \in D$} sao cho _{$f (x_{0}) \leq M$}. Kí hiệu: _{$M = max_{x \in D} f (x)$}

b. Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số _{$y = f (x)$} trên tập D nếu $f\left( x \right)\ge m$ $f (x) \geq m$ với mọi x thuộc D và tồn tại ${{x}_{0}}\in D$ $x_{0} \in D$ sao cho $f\left( {{x}_{0}} \right)\ge m$ $f (x_{0}) \geq m$ . Kí hiệu: $m=\underset{x\in D}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right)$ $m = min_{x \in D} f (x)$

Hay nói cách khác:

_{$M = max_{x \in D} f (x) \Leftrightarrow {\begin{matrix} f (x) \leq M, \forall x \in D \\ \exists x_{0} \in D, f (x_{0}) = M \end{matrix}$}
_{$m = min_{x \in D} f (x) \Leftrightarrow {\begin{matrix} f (x) \geq m, \forall x \in D \\ \exists x_{0} \in D, f (x_{0}) = m \end{matrix}$}

2. Quy tắc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn _{$[a, b]$}

Bước 1: Tìm tập xác định (nếu đề bài không cho sẵn)

Bước 2: Tính _{$f^{'} (x)$} và giải phương trình _{$f^{'} (x) = 0 \Rightarrow x_{1}, x_{2}, x_{3}, . . . . .$}

Bước 3: Tính _{$f (x_{1}), f (x_{2}), f (x_{3}), . . . .$} và _{$f (a), f (b)$}

Bước 4: So sánh và kết luận.

Chú ý:

Hàm số $y = f (x)$ đồng biến trên $\lbrack a;b\rbrack$ $[a; b]$ thì $\left\{ \begin{matrix} \max_{\lbrack a;b\rbrack}f(x) = f(b) \\ \min_{\lbrack a;b\rbrack}f(x) = f(a) \\ \end{matrix} \right.$ ${\begin{matrix} max_{[a; b]} f (x) = f (b) \\ min_{[a; b]} f (x) = f (a) \end{matrix}$
Hàm số $y = f (x)$ nghịch biến trên $\lbrack a;b\rbrack$ $[a; b]$ thì $\left\{ \begin{matrix} \max_{\lbrack a;b\rbrack}f(x) = f(a) \\ \min_{\lbrack a;b\rbrack}f(x) = f(b) \\ \end{matrix} \right.$ ${\begin{matrix} max_{[a; b]} f (x) = f (a) \\ min_{[a; b]} f (x) = f (b) \end{matrix}$

3. Cách tìm GTLN, GTNN của hàm số trên tập xác định

Để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = f (x)$ trên tập xác định ta làm như sau:

Bước 1. Tìm tập xác định $D$

Bước 2. Tìm $f^{'} (x)$

Bước 3. Tại các điểm $x_{i}$ $x_{i}$ mà tại đó $f^{'} (x_{i}) = 0$ hoặc các điểm $x_{i}$ $x_{i}$ mà tại đó $f^{'} (x_{i})$ không xác định nhưng hàm số vẫn xác định tại điểm đó.

Bước 4. Lập bảng biến thiên (Hoặc một biểu đồ có cơ chế giống bảng biến thiên).

Bước 5. Kết luận.

4. Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên khoảng

Để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = f (x)$ trên đoạn $(a; b)$ ta làm như sau.

Bước 1. Tìm đạo hàm $f^{'} (x)$

Bước 2. Xác định tất cả các nghiệm $x_{1};x_{2};...;x_{n}$ $x_{1}; x_{2}; . . .; x_{n}$ trên $(a; b)$ mà tại đó $f^{'} (x) = 0$ và tất cả các điểm $\alpha_{i} \in (a;b)$ $α_{i} \in (a; b)$ làm cho $f^{'} (x)$ không xác định.

Bước 3. Tính $A = \lim_{x \rightarrow a^{+}}f(x);B = \lim_{x \rightarrow b^{-}}f(x);f\left( x_{i} \right);f\left( \alpha_{i} \right)$ $A = lim_{x \to a^{+}} f (x); B = lim_{x \to b^{-}} f (x); f (x_{i}); f (α_{i})$ .

Bước 4. So sánh các giá trị tính được và kết luận $M = \max_{(a;b)}f(x);m = \min_{(a;b)}f(x)$ $M = max_{(a; b)} f (x); m = min_{(a; b)} f (x)$ . Nếu giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) là $A$ hoặc $B$ thì kết luận không có giá trị lớn nhất (nhỏ nhất)

Chú ý:

Hàm số liên tục trên một khoảng có thể không có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên khoảng đó.

Ví dụ 1: Gọi M, m lần lượt là GTLN, GTNN của hàm số _{$y = x^{3} - 3 x^{2} + 1$} trên đoạn _{$[1, 2]$}. Khi đó tổng _{$M + m$} có giá trị bằng bao nhiêu?

A. 2

B. -4

C. 0

D. -2

Hướng dẫn giải

Tập xác định _{$D = R$}

$y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+1\Rightarrow y$ $y = x^{3} - 3 x^{2} + 1 \Rightarrow y^{'} = 3 x^{2} - 6 x$

$y^{'} = 0 \Rightarrow 3 x^{2} - 6 x = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = 0 \\ x = 2 \end{matrix}$

$f\left( 0 \right)=1,f\left( 1 \right)=-1,f\left( 2 \right)=-3$ $f (0) = 1, f (1) = - 1, f (2) = - 3$

Dễ thấy _{$M = max_{[1, 2]} f (x) = f (0) = 1$}

_{$m = min_{[1, 2]} f (x) = f (2) = - 3$} $\Rightarrow M+m=-2$ $\Rightarrow M + m = - 2$ . Vậy chọn đáp án D

Ví dụ 2: Tìm GTLN, GTNN của hàm số lượng giác _{$y = f (x) = \sin x + \cos x + \sin x . \cos x$} trên đoạn _{$[0, π]$}

$A. \underset{\left[ 0,\pi \right]}{\mathop{\max f\left( x \right)}}\,=\sqrt{2},\underset{\left[ 0,\pi \right]}{\mathop{\min f\left( x \right)}}\,=-1$ $A . \underset{[0, π]}{max f (x)} = \sqrt{2}, \underset{[0, π]}{min f (x)} = - 1$

$B. \underset{\left[ 0,\pi \right]}{\mathop{\max f\left( x \right)}}\,=3,\underset{\left[ 0,\pi \right]}{\mathop{\min f\left( x \right)}}\,=-3$ $B . \underset{[0, π]}{max f (x)} = 3, \underset{[0, π]}{min f (x)} = - 3$

$C. \underset{\left[ 0,\pi \right]}{\mathop{\max f\left( x \right)}}\,=\sqrt{2}+\frac{1}{2},\underset{\left[ 0,\pi \right]}{\mathop{\min f\left( x \right)}}\,=-1$ $C . \underset{[0, π]}{max f (x)} = \sqrt{2} + \frac{1}{2}, \underset{[0, π]}{min f (x)} = - 1$

$D. \underset{\left[ 0,\pi \right]}{\mathop{\max f\left( x \right)}}\,=\sqrt{2},\underset{\left[ 0,\pi \right]}{\mathop{\min f\left( x \right)}}\,=-\sqrt{2}$ $D . \underset{[0, π]}{max f (x)} = \sqrt{2}, \underset{[0, π]}{min f (x)} = - \sqrt{2}$

Hướng dẫn giải

Đặt _{$t = \sin x + \cos x = \sqrt{2} \sin (x + \frac{π}{4})$}

Vì _{$x \in [0, π] \Rightarrow t \in [- 1, \sqrt{2}]$}

Ta có: _{$t^{2} = {(\sin x + \cos x)}^{2} = \sin^{2} x + c o x^{2} x + 2 \sin x . \cos x = 1 + 2 \sin x . \cos x$}

$\Rightarrow \sin x.\cos x=\frac{{{t}^{2}}-1}{2}$ $\Rightarrow \sin x . \cos x = \frac{t^{2} - 1}{2}$

$f\left( x \right)=g\left( t \right)=t+\frac{{{t}^{2}}-1}{2}=\frac{{{t}^{2}}}{2}+t-\frac{1}{2}$ $f (x) = g (t) = t + \frac{t^{2} - 1}{2} = \frac{t^{2}}{2} + t - \frac{1}{2}$

$g^{'} (t) = t + 1, g^{'} (t) = 0 \Leftrightarrow t = - 1$

$g\left( -1 \right)=-1,g\left( \sqrt{2} \right)=\sqrt{2}+\frac{1}{2}$ $g (- 1) = - 1, g (\sqrt{2}) = \sqrt{2} + \frac{1}{2}$

$\underset{\left[ 0,\pi \right]}{\mathop{\Rightarrow \max f\left( x \right)}}\,=\sqrt{2}+\frac{1}{2},\underset{\left[ 0,\pi \right]}{\mathop{\min f\left( x \right)}}\,=-1$ $\underset{[0, π]}{\Rightarrow max f (x)} = \sqrt{2} + \frac{1}{2}, \underset{[0, π]}{min f (x)} = - 1$

Chọn đáp án C

5. Quy tắc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một tập D bất kì

Bước 1: Tìm tập xác định (Nếu đề bài không cho sẵn tìm trên miền nào)

Bước 2: Tính _{$f^{'} (x)$} và giải phương trình _{$f^{'} (x) = 0 \Rightarrow x_{1}, x_{2}, x_{3}, . . . . .$}

Bước 3: Lập bảng biến thiên

Bước 4: Dựa vào bảng biến thiên để kết luận.

6. Quy tắc tìm điều kiện của tham số để hàm số có GTLN, GTNN thỏa mãn điều kiện cho trước

Cho hàm số _{$y = f (x)$} xác định và liên tục trên một đoạn _{$[a, b]$}

Bước 1: Tính _{$f^{'} (x)$} và giải phương trình _{$f^{'} (x) = 0 \Rightarrow x_{1}, x_{2}, x_{3}, . . . . .$}

Bước 2: Tính _{$f (x_{1}), f (x_{2}), f (x_{3}), . . . .$} và _{$f (a), f (b)$}

Bước 3: Biện luận theo tham số để tìm GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn _{$[a, b]$}

Bước 4: Thay điều kiện bài cho để tìm m

Ví dụ: Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số _{$f (x) = \frac{2 x^{2} + 7 x + 23}{x^{2} + 2 x + 10}$}

Hướng dẫn giải

Dễ thấy _{$x^{2} + 2 x + 10 > 0 \forall x$} nên hàm số xác định trên toàn trục số.

Gọi m là một giá trị tùy ý của hàm số, khi đó phương trình

$\begin{align} & \frac{2{{x}^{2}}+7x+23}{{{x}^{2}}+2x+10}=m \\ & \Leftrightarrow 2{{x}^{2}}+7x+23=m\left( {{x}^{2}}+2x+10 \right) \\ & \Leftrightarrow \left( m-2 \right){{x}^{2}}+\left( 2m-7 \right)x+10m-23=0 \\ \end{align}$ $\begin{aligned} (1) & \frac{2 x^{2} + 7 x + 23}{x^{2} + 2 x + 10} = m \\ (2) & \Leftrightarrow 2 x^{2} + 7 x + 23 = m (x^{2} + 2 x + 10) \\ (3) & \Leftrightarrow (m - 2) x^{2} + (2 m - 7) x + 10 m - 23 = 0 \end{aligned}$

Ta xét hai trường hợp sau:

TH1: Nếu _{$m = 2$} phương trình trở thành _{$- 3 x - 3 = 0 \Leftrightarrow x = - 1 \Rightarrow$} vậy phương trình có nghiệm khi _{$m = 2$}

TH2: Nếu _{$m \neq 2$} khi đó phương trình bậc 2 có nghiệm khi và chỉ khi:

$\begin{align} & \Delta ={{\left( 2m-7 \right)}^{2}}-4\left( m-2 \right)\left( 10m-23 \right)\ge 0 \\ & \Leftrightarrow -36m+144m-135\ge 0 \\ & \Rightarrow \frac{3}{2}\le m\le \frac{5}{2}\ne 2 \\ & \Rightarrow \max f\left( x \right)=\frac{5}{2},\min f\left( x \right)=\frac{3}{2} \\ \end{align}$ $\begin{aligned} (4) & Δ = {(2 m - 7)}^{2} - 4 (m - 2) (10 m - 23) \geq 0 \\ (5) & \Leftrightarrow - 36 m + 144 m - 135 \geq 0 \\ (6) & \Rightarrow \frac{3}{2} \leq m \leq \frac{5}{2} \neq 2 \\ (7) & \Rightarrow max f (x) = \frac{5}{2}, min f (x) = \frac{3}{2} \end{aligned}$ .

7. Một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất khác

Cho hàm số $y = f (x)$

1. Phương pháp tìm miền giá trị

Xem $y = f (x)$ là phương trình đối với ẩn số $x$ và $y$ là tham số.

Tìm điều kiện của y để phương trình $y = f (x)$ có nghiệm.

Từ điều kiện trên, biến đổi đưa đến dạng $m \leq y \leq M$ $m \leq y \leq M$ . Xét dấu “=” xảy ra và kết luận.

2. Phương pháp đạo hàm

Khảo sát sự biến thiên của hàm số $y = f (x)$

Dựa vào bảng biến thiên để kết luận.

3. Phương pháp dùng bất đẳng thức

Bất đẳng thức AM – GM

Cho hai số thực không âm

$a + b \geq 2\sqrt{ab}$ $a + b \geq 2 \sqrt{a b}$

$\Leftrightarrow 4ab \leq (a + b)^{2} \Leftrightarrow (a + b)^{2} \geq 0$ $\Leftrightarrow 4 a b \leq (a + b)^{2} \Leftrightarrow (a + b)^{2} \geq 0$

Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \geq \frac{4}{x + y}$ $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \geq \frac{4}{x + y}$

Bất đẳng thức Bunhiacopxki

Cho các số thực a, b, c, d

$(ax + by)^{2} \leq \left( a^{2} + b^{2} \right)\left( x^{2} + y^{2} \right)$ $(a x + b y)^{2} \leq (a^{2} + b^{2}) (x^{2} + y^{2})$

Dấu “=” xảy ra khi $\frac{a}{x} = \frac{b}{y}$ $\frac{a}{x} = \frac{b}{y}$

Một số bổ đề cơ bản

$xy \leq \frac{(x + y)^{2}}{4} \leq \frac{x^{2} + y^{2}}{4}$ $x y \leq \frac{(x + y)^{2}}{4} \leq \frac{x^{2} + y^{2}}{4}$ và $x^{2} + xy + y^{2} \geq \frac{3}{4}(x + y)^{2}$ $x^{2} + x y + y^{2} \geq \frac{3}{4} (x + y)^{2}$

$x^{3} + y^{3} \geq \frac{(x + y)\left( x^{2} + y^{2} \right)}{2} \geq \frac{(x + y)^{3}}{4} \geq xy(x + y)$ $x^{3} + y^{3} \geq \frac{(x + y) (x^{2} + y^{2})}{2} \geq \frac{(x + y)^{3}}{4} \geq x y (x + y)$

B. Giải SGK Toán 12 Bài 3

Trong Sách giáo khoa Toán lớp 12, các bạn học sinh chắc hẳn sẽ gặp những bài toán khó, phải tìm cách giải quyết. Hiểu được điều này, VnDoc đã tổng hợp và gửi tới các bạn học sinh lời giải và đáp án chi tiết cho các bài tập trong Sách giáo khoa Toán lớp 12. Mời các bạn học sinh tham khảo:

Giải bài tập trang 24 SGK Giải tích lớp 12: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

C. Giải SBT Toán 12 Bài 3

Sách bài tập Toán 12 tổng hợp các bài Toán từ cơ bản tới nâng cao, đi kèm với đó là đáp án. Tuy nhiên, nhiều đáp án không được giải chi tiết khiến cho các bạn học sinh gặp nhiều khó khăn khi tiếp xúc với dạng bài mới. VnDoc đã tổng hợp và gửi tới các bạn học sinh lời giải và đáp án chi tiết cho từng dạng bài tập trong Sách bài tập để các bạn có thể nắm vững, hiểu rõ hơn về dạng bài tập này. Mời các bạn học sinh tham khảo:

Giải bài tập SBT Toán 12 bài 3

D. Bài tập trắc nghiệm Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số

Để ôn tập lại kiến thức cũng như rèn luyện nâng cao hơn về bài tập của bài Hàm số này, VnDoc xin gửi tới các bạn học sinh Tài liệu Tìm GTLN, GTNN của hàm số do VnDoc biên soạn. Qua đó sẽ giúp các bạn học sinh hiểu sâu hơn và nắm rõ hơn lý thuyết cũng như bài tập của bài học này. Mời các bạn học sinh tham khảo:

Trắc nghiệm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số (Có đáp án)

------------------------------------

Trên đây VnDoc.com đã giới thiệu tới bạn đọc tài liệu: Toán 10 Bài 3: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số. Để có kết quả cao hơn trong học tập, VnDoc xin giới thiệu tới các bạn học sinh tài liệu Giải bài tập Toán lớp 12, Thi THPT Quốc gia môn Toán, Thi THPT Quốc gia môn Văn, Thi THPT Quốc gia môn Lịch sử mà VnDoc tổng hợp và đăng tải.

Xem thêm các bài Tìm bài trong mục này khác:

Chia sẻ, đánh giá bài viết

5

52.937

Bài trước

Bài sau

Chia sẻ bởi:
Bơ

Tải về

Chọn file muốn tải về:

Toán 10 Bài 3: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

379,3 KB

Tải xuống Word
195,5 KB

Đóng Chỉ thành viên VnDoc PRO/PROPLUS tải được nội dung này!

Đóng

79.000 / tháng

Mua ngay

Đặc quyền các gói Thành viên

PRO

Phổ biến nhất

PRO+

Tải tài liệu Cao cấp 1 Lớp

Tải tài liệu Trả phí + Miễn phí

Xem nội dung bài viết

Trải nghiệm Không quảng cáo

Làm bài trắc nghiệm không giới hạn

Tìm hiểu thêm

Mua cả năm Tiết kiệm tới 48%

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Tìm bài trong mục này

Gợi ý cho bạn

Xem thêm

Toán 12

Xem thêm

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Giáo án STEAM

Dạy con học

Giáo án

Trường mầm non

Danh mục Trường Tiểu học

Sáng kiến kinh nghiệm

Thư viện Đề thi

Bài tập cuối tuần

Trắc nghiệm

Sách Cánh diều

Sách Chân trời sáng tạo

Sách Kết nối tri thức

Tài liệu Giáo viên

Thư viện Đề thi

Bài tập Hàng ngày

Bài tập Cuối tuần

Trắc nghiệm

Môn Toán lớp 2

Môn Tiếng Việt lớp 2

Chuyên đề - Văn mẫu

Môn Tiếng Anh

Tài liệu Giáo viên

Thư viện Đề thi

Bài tập Hàng ngày

Bài tập Cuối tuần

Trắc nghiệm

Môn Toán lớp 3

Môn Tiếng Việt lớp 3

Chuyên đề - Văn mẫu

Tiếng Anh lớp 3

Tài liệu Giáo viên

Thư viện Đề thi

Bài tập Hàng ngày

Bài tập Cuối tuần

Trắc nghiệm

Môn Toán lớp 4

Môn Tiếng Việt lớp 4

Tiếng Anh lớp 4

Tài liệu Giáo viên

Thư viện Đề thi

Bài tập Hàng ngày

Bài tập Cuối tuần

Trắc nghiệm

Môn Toán lớp 5

Môn Tiếng Việt lớp 5

Môn Tiếng Anh 5

Thi vào lớp 6

Tài liệu Giáo viên

Ôn thi

Thư Viện Đề Thi

Trắc nghiệm

Khóa Học Trực Tuyến

Môn Toán

2. Quy tắc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn _{$[a, b]$}