Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
VnDoc.com Lớp 10 Toán lớp 10

Toán 10 Bài 3: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số
Tải về

Giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số Toán 12

Để giúp các bạn học sinh lớp 12 học tập tốt hơn môn Toán, VnDoc xin mời các bạn tham khảo tài liệu Toán 10 Bài 3: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số. Bộ tài liệu hướng dẫn chi tiết cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số, tìm tham số để thỏa mãn điều kiện cho trước ... được xây dựng dựa trên kiến thức trọng tâm chương trình Toán 12 và đề thi THPT Quốc gia. Hi vọng tài liệu này sẽ giúp các bạn ôn thi THPT Quốc gia môn Toán trắc nghiệm hiệu quả.

Để tiện trao đổi, chia sẻ kinh nghiệm về giảng dạy và học tập các môn học lớp 12, VnDoc mời các thầy cô giáo, các bậc phụ huynh và các bạn học sinh truy cập nhóm riêng dành cho lớp 12 sau: Nhóm Tài liệu học tập lớp 12. Rất mong nhận được sự ủng hộ của các thầy cô và các bạn.

Bản quyền thuộc về VnDoc.
Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép nhằm mục đích thương mại.

A. Lý thuyết Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

1. Các khái niệm về giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số

Định lý: Cho hàm số y=f\left( x \right)\(y=f\left( x \right)\) xác định trên tập D.

a. Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y=f\left( x \right)\(y=f\left( x \right)\) trên tập D nếu f\left( x \right)\le M\(f\left( x \right)\le M\) với mọi x thuộc D và tồn tại {{x}_{0}}\in D\({{x}_{0}}\in D\) sao cho f\left( {{x}_{0}} \right)\le M\(f\left( {{x}_{0}} \right)\le M\). Kí hiệu: M=\underset{x\in D}{\mathop{\max }}\,f\left( x \right)\(M=\underset{x\in D}{\mathop{\max }}\,f\left( x \right)\)

b. Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y=f\left( x \right)\(y=f\left( x \right)\) trên tập D nếu f\left( x \right)\ge m\(f\left( x \right)\ge m\) với mọi x thuộc D và tồn tại {{x}_{0}}\in D\({{x}_{0}}\in D\) sao cho f\left( {{x}_{0}} \right)\ge m\(f\left( {{x}_{0}} \right)\ge m\). Kí hiệu: m=\underset{x\in D}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right)\(m=\underset{x\in D}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right)\)

Hay nói cách khác:

  • M=\underset{x\in D}{\mathop{\max }}\,f\left( x \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} f\left( x \right)\le M,\forall x\in D \\ \exists {{x}_{0}}\in D,f\left( {{x}_{0}} \right)=M \\ \end{matrix} \right.\(M=\underset{x\in D}{\mathop{\max }}\,f\left( x \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} f\left( x \right)\le M,\forall x\in D \\ \exists {{x}_{0}}\in D,f\left( {{x}_{0}} \right)=M \\ \end{matrix} \right.\)
  • m=\underset{x\in D}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} f\left( x \right)\ge m,\forall x\in D \\ \exists {{x}_{0}}\in D,f\left( {{x}_{0}} \right)=m \\ \end{matrix} \right.\(m=\underset{x\in D}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} f\left( x \right)\ge m,\forall x\in D \\ \exists {{x}_{0}}\in D,f\left( {{x}_{0}} \right)=m \\ \end{matrix} \right.\)

2. Quy tắc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn \left[ a,b \right]\(\left[ a,b \right]\)

Bước 1: Tìm tập xác định (nếu đề bài không cho sẵn)

Bước 2: Tính f\(f'\left( x \right)\) và giải phương trình f\(f'\left( x \right)=0\Rightarrow {{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}},.....\)

Bước 3: Tính f\left( {{x}_{1}} \right),f\left( {{x}_{2}} \right),f\left( {{x}_{3}} \right),....\(f\left( {{x}_{1}} \right),f\left( {{x}_{2}} \right),f\left( {{x}_{3}} \right),....\) và f\left( a \right),f\left( b \right)\(f\left( a \right),f\left( b \right)\)

Bước 4: So sánh và kết luận.

Ví dụ 1: Gọi M, m lần lượt là GTLN, GTNN của hàm số y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+1\(y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+1\) trên đoạn \left[ 1,2 \right]\(\left[ 1,2 \right]\). Khi đó tổng M+m\(M+m\) có giá trị bằng bao nhiêu?

A. 2 B. -4 C. 0 D. -2

Hướng dẫn giải

Tập xác định D=\mathbb{R}\(D=\mathbb{R}\)

y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+1\Rightarrow y\(y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+1\Rightarrow y'=3{{x}^{2}}-6x\)

y\(y'=0\Rightarrow 3{{x}^{2}}-6x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x=0 \\ x=2 \\ \end{matrix} \right.\)

f\left( 0 \right)=1,f\left( 1 \right)=-1,f\left( 2 \right)=-3\(f\left( 0 \right)=1,f\left( 1 \right)=-1,f\left( 2 \right)=-3\)

Dễ thấy M=\underset{\left[ 1,2 \right]}{\mathop{\max }}\,f\left( x \right)=f\left( 0 \right)=1\(M=\underset{\left[ 1,2 \right]}{\mathop{\max }}\,f\left( x \right)=f\left( 0 \right)=1\)

m=\underset{\left[ 1,2 \right]}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right)=f\left( 2 \right)=-3\(m=\underset{\left[ 1,2 \right]}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right)=f\left( 2 \right)=-3\)\Rightarrow M+m=-2\(\Rightarrow M+m=-2\). Vậy chọn đáp án D

Ví dụ 2: Tìm GTLN, GTNN của hàm số lượng giác y=f\left( x \right)=\sin x+\cos x+\sin x.\cos x\(y=f\left( x \right)=\sin x+\cos x+\sin x.\cos x\) trên đoạn \left[ 0,\pi \right]\(\left[ 0,\pi \right]\)

A. \underset{\left[ 0,\pi \right]}{\mathop{\max f\left( x \right)}}\,=\sqrt{2},\underset{\left[ 0,\pi \right]}{\mathop{\min f\left( x \right)}}\,=-1\(A. \underset{\left[ 0,\pi \right]}{\mathop{\max f\left( x \right)}}\,=\sqrt{2},\underset{\left[ 0,\pi \right]}{\mathop{\min f\left( x \right)}}\,=-1\)

B. \underset{\left[ 0,\pi \right]}{\mathop{\max f\left( x \right)}}\,=3,\underset{\left[ 0,\pi \right]}{\mathop{\min f\left( x \right)}}\,=-3\(B. \underset{\left[ 0,\pi \right]}{\mathop{\max f\left( x \right)}}\,=3,\underset{\left[ 0,\pi \right]}{\mathop{\min f\left( x \right)}}\,=-3\)

C. \underset{\left[ 0,\pi \right]}{\mathop{\max f\left( x \right)}}\,=\sqrt{2}+\frac{1}{2},\underset{\left[ 0,\pi \right]}{\mathop{\min f\left( x \right)}}\,=-1\(C. \underset{\left[ 0,\pi \right]}{\mathop{\max f\left( x \right)}}\,=\sqrt{2}+\frac{1}{2},\underset{\left[ 0,\pi \right]}{\mathop{\min f\left( x \right)}}\,=-1\)

D. \underset{\left[ 0,\pi \right]}{\mathop{\max f\left( x \right)}}\,=\sqrt{2},\underset{\left[ 0,\pi \right]}{\mathop{\min f\left( x \right)}}\,=-\sqrt{2}\(D. \underset{\left[ 0,\pi \right]}{\mathop{\max f\left( x \right)}}\,=\sqrt{2},\underset{\left[ 0,\pi \right]}{\mathop{\min f\left( x \right)}}\,=-\sqrt{2}\)

Hướng dẫn giải

Đặt t=\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin \left( x+\frac{\pi }{4} \right)\(t=\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin \left( x+\frac{\pi }{4} \right)\)

Vì x\in \left[ 0,\pi \right]\Rightarrow t\in \left[ -1,\sqrt{2} \right]\(x\in \left[ 0,\pi \right]\Rightarrow t\in \left[ -1,\sqrt{2} \right]\)

Ta có: {{t}^{2}}={{\left( \sin x+\cos x \right)}^{2}}={{\sin }^{2}}x+co{{x}^{2}}x+2\sin x.\cos x=1+2\sin x.\cos x\({{t}^{2}}={{\left( \sin x+\cos x \right)}^{2}}={{\sin }^{2}}x+co{{x}^{2}}x+2\sin x.\cos x=1+2\sin x.\cos x\)

\Rightarrow \sin x.\cos x=\frac{{{t}^{2}}-1}{2}\(\Rightarrow \sin x.\cos x=\frac{{{t}^{2}}-1}{2}\)

f\left( x \right)=g\left( t \right)=t+\frac{{{t}^{2}}-1}{2}=\frac{{{t}^{2}}}{2}+t-\frac{1}{2}\(f\left( x \right)=g\left( t \right)=t+\frac{{{t}^{2}}-1}{2}=\frac{{{t}^{2}}}{2}+t-\frac{1}{2}\)

g\(g'\left( t \right)=t+1,g'\left( t \right)=0\Leftrightarrow t=-1\)

g\left( -1 \right)=-1,g\left( \sqrt{2} \right)=\sqrt{2}+\frac{1}{2}\(g\left( -1 \right)=-1,g\left( \sqrt{2} \right)=\sqrt{2}+\frac{1}{2}\)

\underset{\left[ 0,\pi \right]}{\mathop{\Rightarrow \max f\left( x \right)}}\,=\sqrt{2}+\frac{1}{2},\underset{\left[ 0,\pi \right]}{\mathop{\min f\left( x \right)}}\,=-1\(\underset{\left[ 0,\pi \right]}{\mathop{\Rightarrow \max f\left( x \right)}}\,=\sqrt{2}+\frac{1}{2},\underset{\left[ 0,\pi \right]}{\mathop{\min f\left( x \right)}}\,=-1\)

Chọn đáp án C

3. Quy tắc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một tập D bất kì

Bước 1: Tìm tập xác định (Nếu đề bài không cho sẵn tìm trên miền nào)

Bước 2: Tính f\(f'\left( x \right)\) và giải phương trình f\(f'\left( x \right)=0\Rightarrow {{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}},.....\)

Bước 3: Lập bảng biến thiên

Bước 4: Dựa vào bảng biến thiên để kết luận.

4. Quy tắc tìm điều kiện của tham số để hàm số có GTLN, GTNN thỏa mãn điều kiện cho trước

Cho hàm số y=f\left( x \right)\(y=f\left( x \right)\) xác định và liên tục trên một đoạn \left[ a,b \right]\(\left[ a,b \right]\)

Bước 1: Tính f\(f'\left( x \right)\) và giải phương trình f\(f'\left( x \right)=0\Rightarrow {{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}},.....\)

Bước 2: Tính f\left( {{x}_{1}} \right),f\left( {{x}_{2}} \right),f\left( {{x}_{3}} \right),....\(f\left( {{x}_{1}} \right),f\left( {{x}_{2}} \right),f\left( {{x}_{3}} \right),....\) và f\left( a \right),f\left( b \right)\(f\left( a \right),f\left( b \right)\)

Bước 3: Biện luận theo tham số để tìm GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn \left[ a,b \right]\(\left[ a,b \right]\)

Bước 4: Thay điều kiện bài cho để tìm m

Ví dụ: Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số f\left( x \right)=\frac{2{{x}^{2}}+7x+23}{{{x}^{2}}+2x+10}\(f\left( x \right)=\frac{2{{x}^{2}}+7x+23}{{{x}^{2}}+2x+10}\)

Hướng dẫn giải

Dễ thấy {{x}^{2}}+2x+10>0\forall x\({{x}^{2}}+2x+10>0\forall x\) nên hàm số xác định trên toàn trục số.

Gọi m là một giá trị tùy ý của hàm số, khi đó phương trình

\begin{align} & \frac{2{{x}^{2}}+7x+23}{{{x}^{2}}+2x+10}=m \\ & \Leftrightarrow 2{{x}^{2}}+7x+23=m\left( {{x}^{2}}+2x+10 \right) \\ & \Leftrightarrow \left( m-2 \right){{x}^{2}}+\left( 2m-7 \right)x+10m-23=0 \\ \end{align}\(\begin{align} & \frac{2{{x}^{2}}+7x+23}{{{x}^{2}}+2x+10}=m \\ & \Leftrightarrow 2{{x}^{2}}+7x+23=m\left( {{x}^{2}}+2x+10 \right) \\ & \Leftrightarrow \left( m-2 \right){{x}^{2}}+\left( 2m-7 \right)x+10m-23=0 \\ \end{align}\)

Ta xét hai trường hợp sau:

TH1: Nếu m=2\(m=2\) phương trình trở thành -3x-3=0\Leftrightarrow x=-1\Rightarrow\(-3x-3=0\Leftrightarrow x=-1\Rightarrow\) vậy phương trình có nghiệm khi m=2\(m=2\)

TH2: Nếu m\ne 2\(m\ne 2\) khi đó phương trình bậc 2 có nghiệm khi và chỉ khi:

\begin{align} & \Delta ={{\left( 2m-7 \right)}^{2}}-4\left( m-2 \right)\left( 10m-23 \right)\ge 0 \\ & \Leftrightarrow -36m+144m-135\ge 0 \\ & \Rightarrow \frac{3}{2}\le m\le \frac{5}{2}\ne 2 \\ & \Rightarrow \max f\left( x \right)=\frac{5}{2},\min f\left( x \right)=\frac{3}{2} \\ \end{align}\(\begin{align} & \Delta ={{\left( 2m-7 \right)}^{2}}-4\left( m-2 \right)\left( 10m-23 \right)\ge 0 \\ & \Leftrightarrow -36m+144m-135\ge 0 \\ & \Rightarrow \frac{3}{2}\le m\le \frac{5}{2}\ne 2 \\ & \Rightarrow \max f\left( x \right)=\frac{5}{2},\min f\left( x \right)=\frac{3}{2} \\ \end{align}\)

B. Giải SGK Toán 12 Bài 3

Trong Sách giáo khoa Toán lớp 12, các bạn học sinh chắc hẳn sẽ gặp những bài toán khó, phải tìm cách giải quyết. Hiểu được điều này, VnDoc đã tổng hợp và gửi tới các bạn học sinh lời giải và đáp án chi tiết cho các bài tập trong Sách giáo khoa Toán lớp 12. Mời các bạn học sinh tham khảo:

C. Giải SBT Toán 12 Bài 3

Sách bài tập Toán 12 tổng hợp các bài Toán từ cơ bản tới nâng cao, đi kèm với đó là đáp án. Tuy nhiên, nhiều đáp án không được giải chi tiết khiến cho các bạn học sinh gặp nhiều khó khăn khi tiếp xúc với dạng bài mới. VnDoc đã tổng hợp và gửi tới các bạn học sinh lời giải và đáp án chi tiết cho từng dạng bài tập trong Sách bài tập để các bạn có thể nắm vững, hiểu rõ hơn về dạng bài tập này. Mời các bạn học sinh tham khảo:

D. Bài tập trắc nghiệm Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số

Để ôn tập lại kiến thức cũng như rèn luyện nâng cao hơn về bài tập của bài Hàm số này, VnDoc xin gửi tới các bạn học sinh Tài liệu Tìm GTLN, GTNN của hàm số do VnDoc biên soạn. Qua đó sẽ giúp các bạn học sinh hiểu sâu hơn và nắm rõ hơn lý thuyết cũng như bài tập của bài học này. Mời các bạn học sinh tham khảo:

------------------------------------

Trên đây VnDoc.com đã giới thiệu tới bạn đọc tài liệu: Toán 10 Bài 3: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số. Để có kết quả cao hơn trong học tập, VnDoc xin giới thiệu tới các bạn học sinh tài liệu Giải bài tập Toán lớp 12, Thi THPT Quốc gia môn Toán, Thi THPT Quốc gia môn Văn, Thi THPT Quốc gia môn Lịch sử mà VnDoc tổng hợp và đăng tải.

Chia sẻ, đánh giá bài viết
5
52.194 Bài viết đã được lưu
Mục lục
Tìm thêm: toán 12 bài 3 giá trị nhỏ nhất gtln gtnn của hàm số
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Toán 12 Sách mới
Tải xuống

Tham khảo thêm

🖼️

Gợi ý cho bạn
Xem thêm
🖼️

Toán lớp 10
Xem thêm